加乘原理与归纳递推(上)

奥数-计数体系一、加乘原理1.1 加法原理：[类类独立，分类相加]1.1.1 定义：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

每一种方法都能够直接达成目标。

1.2.1 方法：1.2.1.1 枚举法分类枚举的方法主要用来解决一些排列组合的问题，列举时要有序分类，保证答案既不遗漏又不重复。

[例1] 把10只鸽子关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸽子，可以有多少种不同的放法？解：这里笼子都是同样的，因此3只笼子是无序的。

因为10÷3=3……1，根据题中条件，可得鸽子最少的那个笼子里的鸽子不多于3只，不少于1只，我们可以这样分为三类：1）鸽子最少的那个笼子里有1只鸽子，共有4种放法：①1、1、8；②1、2、7；③1、3、6；④1、4、5只。

2）鸽子最少的那个笼子里有2只鸽子，共有3种放法：①2、2、6；②2、3、5；③2、4、4。

3）鸽子最少的那个笼子里有3只鸽子，共有1种放法：①3、3、4。

所以共有放法：4+3+1=8（只）。

1.2.1.2标数法（解决最短路线问题的方法）对于网格形的最短路线问题（从起点A到终点B），首先确定大方向（若起点A在左下，则大方向为向上或向右）；其次从起点A开始，向上一列全标1，向右一行也全标1；再次网格的每条可达线段标上方向箭头；最后从起点A开始，逐级对节点标数，给节点的数字为所有箭头指向该节点的相邻节点的数字和。

[例2] 如图为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有几条？1.2.1.3 树形图法当要进行三步以上的操作，且各种结果出现的可能性相同时，可以采用树形图法逐步展开所有的可能性。

[例3] 暑假里，一个学生在A、B、C三个城市游览。

他今天在这个城市，明天就到另一个城市。

秋季四年级奥数竞赛班
如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？
(★★)
如图，图中有25个小方格，要把5枚不同的硬币放在方格里，使得每行、每列只出现一枚硬币，那么共有_____种放法。

(★★★)
用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有多少种不同的涂法？
加乘原理与归纳递推（上）
(★★★★)
某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成。

现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会。

从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？
(★★★)
在1到500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？
利用数字1，2，3，4，5共可组成
⑴(★★)多少个数字不重复的三位数？
⑵(★★★)多少个数字不重复的三位偶数？
⑶(★★★)多少个数字不重复的偶数？
(★★★)
由数字0，1，3，9可以组成多少个小于1000的自然数？
(★★★★)
用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于2000的没有重复数字的自然数？。

高中数学必修课教案数学归纳法与递推公式的推导与应用高中数学必修课教案：数学归纳法与递推公式的推导与应用一、引言在高中数学学科中，数学归纳法和递推公式是解决数列和整数等相关问题的重要工具。

本文将详细介绍数学归纳法和递推公式的基本概念、推导方法以及在实际问题中的应用。

二、数学归纳法的基本概念与推导方法1. 数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种证明方法，其基本思想是通过证明首项成立，并假设前n项成立的情况下，证明第n+1项成立。

通过这种思路，可以推导出数列或者整数的性质在所有情况下都成立。

2. 数学归纳法的推导方法数学归纳法的推导方法可以总结为以下三个步骤：（1）证明基本情况：证明首项成立，通常是n=1的情况。

（2）归纳假设：假设前n项成立，即假设第n项成立为真。

（3）归纳证明：证明第n+1项成立，即证明在假设前n项成立的情况下，第n+1项也成立。

三、数学归纳法的应用1. 证明数学命题数学归纳法常用于证明某种数学命题在所有情况下都成立。

例如，证明所有正整数的和公式1+2+3+...+n = n(n+1)/2。

通过数学归纳法，可以证明命题在每一个正整数n的情况下都成立。

2. 推导递推公式递推公式是数列中的相邻项之间的关系式。

数学归纳法可以用于推导递推公式。

例如，给定数列的首项和通项公式，可以通过数学归纳法推导出递推公式。

这样，通过递推公式就能够得到数列中的任意一项。

四、递推公式的基本概念与推导方法1. 递推公式的基本概念递推公式是数列中相邻项之间的关系式，通过这种关系式可以通过前一项得到后一项。

2. 递推公式的推导方法递推公式的推导方法可以总结为以下两个步骤：（1）确定递推关系：观察数列中相邻项之间的规律，可以确定出相应的递推关系。

（2）列出递推公式：根据递推关系，可以推出数列的递推公式。

五、递推公式的应用1. 求数列中的特定项通过递推公式，可以求得数列中的特定项，而无需计算整个数列。

这在实际问题中非常有用，可以大大简化计算过程。

第 4 讲加乘原理（2）一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互．不．影．响．的独．立．步．骤．来完成，这几步是完成这件任务缺．一．不．可．的．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．1、五面五种颜色的小旗，任意取出几面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【解析】分 5 种情况：⑴取出一面，有 5 种信号；⑵取出两面：可以表示5⨯ 4 = 20 种信号；⑶取出三面：可以表示：5⨯ 4 ⨯ 3 = 60 种信号；（4）取出四面：可以表示：5⨯ 4⨯ 3⨯ 2 =120 种信号；（4）取出五面：可以表示：5⨯ 4⨯ 3⨯ 2⨯1 =120 种信号；由加法原理，一共可以表示： 5 + 20 + 60 +120 +120 = 325 种信号．2、五种颜色不同的信号旗，各有5 面，任意取出四面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【解析】每一个位置都有 5 种颜色可选，所以共有5⨯ 5⨯ 5⨯ 5 = 625 种3、由数字4，5，7，8 可以组成多少个没有重复数字的奇数？【解析】2+6+12+12=324、由数字0，1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字的偶数？解答：3+13+52+156+312+312=8485、有5 张卡，分别写有数字2，3，4，5，6．如果允许6 可以作9 用，那么从中任意取出3 张卡片，并排放在一起．问（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个不同的三位偶数？（1）96有6 4×3×3=36有9 4×3×3=36无69 4×3×2=24（2）48有6 在末尾4×3×1=12有6 不在末尾3×2×2=12有9 3×2×2=12无69 3×2×2=126、妈妈买了7 件不同的礼物，要送给亲朋好友的 4 个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么，妈妈送出这4 件礼物共有种方法．【解析】若将遥控汽车给小强，则学习机要给小玉，此时另外2 个孩子在剩余5 件礼物中任选2 件，有5⨯ 4 = 60 种方法；若将遥控车给小玉，则智力拼图要给小强，此时也有20 种方法；若遥控车既不给小强、也不给小玉，则智力拼图要给小强，学习机要给小玉，此时仍然有20 种方法．所以共有60 种方法．7、某件工作需要钳工 2 人和电工2 人共同完成．现有钳工 3 人、电工 3 人，另有 1 人钳工、电工都会．从7 人中挑选 4 人完成这项工作，共有多少种方法？（6 级）【解析】分两类情况讨论：⑴都会的这 1 人被挑选中，则有：①如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有 3 种方法，再选 2 名电工也有 3 种方法；所以有3⨯ 3 = 9 种方法；②同样，这人做电工，也有9 种方法．⑵都会的这一人没有被挑选，则从 3 名钳工中选 2 人，有 3 种方法；从 3 名电工中选 2 人，也有 3种方法，一共有3⨯ 3 = 9 种方法．所以，根据加法原理，一共有9 + 9 + 9 = 27 种方法．8、玩具厂生产一种玩具棒，共4 节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色．这家厂共可生产种颜色不同的玩具棒．【解析】每节有3 种涂法，共有涂法3⨯ 3⨯ 3⨯ 3 = 81 (种)．但上述81 种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次．可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有3⨯ 3⨯1⨯1 = 9 (种)．故玩具棒最多有(81+ 9) ÷ 2 = 45 种不同的颜色．9、从 6 名运动员中选出4 人参加4 ⨯100 接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：⑴甲不能跑第一棒和第四棒；⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒【解析】⑴先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有5 种选择，第四棒有4 种选择，剩下的四人中随意选择2 个人跑第二、第三棒，有4 ⨯3=12 种，由乘法原理，共有：5⨯4⨯12 =240 种参赛方案⑵先不考虑甲乙的特殊要求，从 6 名队员中随意选择 4 人参赛，有6⨯ 5⨯ 4⨯ 3 = 360 种选择.考虑若甲跑第一棒，其余5 人随意选择3 人参赛，对应5⨯4⨯ 3 = 60 种选择，考虑若乙跑第二棒，也对应5⨯ 4 ⨯ 3 = 60 种选择，但是从360 种中减去两个60 种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情况，这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的 4 人选择 2 人参赛的4 ⨯ 3 = 12种方案，所以，一共有360 - 60⨯ 2 +12 = 252 种不同参赛方案．10、七位数的各位数字之和为60 ，这样的七位数一共有多少个？【解析】七位数数字之和最多可以为9 ⨯ 7 = 63．63 - 60 = 3 ．七位数的可能数字组合为：①9，9，9，9，9，9，6．第一种情况只需要确定 6 的位置即可．所以有 6 种情况．②9，9，9，9，9，8，7．第二种情况只需要确定8 和7 的位置，数字即确定．8 有7 个位置，7 有 6 个位置．所以第二种情况可以组成的7 位数有7 ⨯ 6 = 42 个．③9，9，9，9，8，8，8，第三种情况，3 个8 的位置确定即7 位数也确定．三个8 的位置放置共有7 ⨯ 6⨯ 5 = 210 种．三个相同的8 放置会产生3⨯ 2 ⨯1 = 6 种重复的放置方式．所以 3 个8 和 4 个9 组成的不同的七位数共有210 ÷ 6 = 35 种．所以数字和为60 的七位数共有35 + 42 + 7 = 84 ．11、从1到2006这2006个数中,共有多少个数与四位数8765相加时,至少发生一次进位？【解析】1887。

本讲主线
本讲
1．加法原理、乘法原理
2．加乘原理的综合考察
3.
1. 乘法原理，
如果一件事情需要分几步完成，那么，完成这件事情的总的方法数＝每一步果件事情需要分
中方法数相乘.
2. 加法原理，分类相加
3. 经典案例：穿衣服，组数字，站队问题，染色问题
(乘法)
用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有
色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同
共有多少种不同用四种不同的颜色对下图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同
要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。

问：共有多少种不同的染色方
如果一件事情需要分几步完成，那么，完成这件事情的总的方法数＝每一步件事情需要分几步完成。