1最小二乘法的理论基础
1.1最小二乘法
设单输入单输出线性定长系统的差分方程表示为：
其中δ(k)为服从N(0,1)的随机噪声,现分别测出n+N 个输出输入值y(1),y(2),…,y(n+N),u(1),u(2),…,u(n+N),则可写出N 个方程，写成向量－矩阵形式
(4.1.1)
()()()()()()()()
1201121n n y k a y k a y k a y k n b u k b u k b u k n k ξ=-------+
+-+
+-+()()()()()()101122,,n n a y n n y n a n y b y n N n N b ξξθξξ⎡⎤
⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢
⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
()()()()()()()()()
()
()()()()
()(
)()()10111121222112n n y n y n y u n u y n y n y u n u y n N y n N y N u n N u N a n a n b n N b ξξξ+--+⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥+-+-+⎢⎥⎢⎥
=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+--+⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦⎡⎤
⎢⎥+⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则式(1.1.1)可写为 （4.1.2） 式中：y 为N 维输出向量；ξ为N 为维噪声向量；θ为（2n+1）维参数向量；Φ为N ×（2n+1）测量矩阵。因此，式（4.1.1）是一个含有（2n+1）个未知参数，由N 个方程组成的联立方程组。
11y θφφξ--=-
在给定输出向量y 和测量矩阵Φ的条件下求参数θ的估计，这就是系统辨识问题。 设 表示 θ 的估计值，ŷ表示y 的最优估计，则有 （4.1.3） 式中：
()()()10ˆˆ1ˆˆ2ˆˆ,ˆˆˆn n a
y n a y n y b y n N b θ⎡⎤⎢⎥
+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
设e(k)=y(k)- ŷ(k), e(k)称为残差，则有e=y- ŷ=y-Φθ 最小二乘估计要求残差的平方和最小，即按照指数函数
（4.1.4）
求Ｊ对 的偏导数并令其等于0可得：
（4.1.5）
由式（4.1.5）可得的 θ 最小二乘估计：
（4.1.6）
J 为极小值的充分条件是：
即矩阵ΦT Φ为正定矩阵，或者说是非奇异的。 1.1.1最小二乘法估计中的输入信号
当矩阵ΦT Φ的逆阵存在是，式（1.1.6）才有解。一般地，如果u(k)是随机序列或伪随机二位式序列，则矩阵ΦT Φ是非奇异的，即（ΦT Φ）－1存在，式（1.1.6）有解。 现在从ΦT Φ必须正定出发，讨论对u(k)的要求。
y φθξ=+ˆθˆˆy
θ=Φ()()
ˆˆT
T J e e y y θ
θ==-Φ-Φˆθ()
ˆ20ˆT J y θ
θ
∂=-Φ-Φ=∂ˆT T y θ
ΦΦ=Φ()1
ˆT T y θ
-=ΦΦΦ220ˆT
J θ
∂=ΦΦ>∂1
n N yy
yu T
+-ΦΦ⎡⎤
当N 足够大时有
（4.1.8）
如果矩阵ΦT Φ正定，则Ru 是是对称矩阵，并且各阶主子式的行列式为正。当N 足够大时，矩阵Ru 才是是对称的。
由此引出矩阵ΦT Φ正定的必要条件是u(k)为持续激励信号。如果序列{u(k)}的n+1阶方阵Ru 是正定的，则称{u(k)}的n+1阶持续激励信号。 下列随机信号都能满足Ru 正定的要求 1. 有色随机信号 2. 伪随机信号 3.
白噪声序列
1.1.2最小二乘估计的概率性质 最小二乘估计的概率性质 1） 无偏性
由于输出值y 是随机的，所以θ是随机的，但注意θ不是随机值。
如果{}
{}ˆE E θ
θθ==，则称ˆθ是θ无偏估计 2）一致性
估计误差θ的方差矩阵为
（4.1.9）
上式表明当N →∞时，θ以概率1趋近于θ。
当ξ(k )为不相关随机序列时，最小二乘估计具有无偏性和一致性 3)有效性
如果式（1.1.2）中的ξ的均值为0且服从正态分布的白噪声向量，则最小二乘参数估计值 为有效值，参数估计偏差的方差达到Cramer-Rao 不等式的下界，即
（4.1.10）
式中M 为Fisher 矩阵，且
（4.1.11）
4）渐近正态性
如果式（4.1.2）中的ξ是均值为0且服从正态分布的白噪声向量，则最小二乘参数估计值ˆθ
服从正态分布，即
..1
1y uy W P T yu u R R R R R N ⎡⎤
ΦΦ−−−→=⎢⎥⎣⎦
121ˆT Var E N
N σθ-⎧⎫⎪⎪⎛⎫=ΦΦ⎨⎬
⎪⎝⎭⎪⎪
⎩
⎭2
1ˆlim lim 0,..1N N Var R w p N
σθ
-→∞→∞==ˆθ(){}
121
ˆT Var E M θσ--=ΦΦ=()
()
ˆ
ˆln /ln /ˆˆT
p y p y M E θθ
θθ
⎧⎫⎡⎤⎡⎤∂∂⎪⎪⎢⎥⎢
⎥=⎨
⎬⎢
⎥⎢⎥∂∂⎪⎪⎣
⎦
⎣
⎦⎩⎭
1
2ˆT -
