[工学]自动控制原理课件12-15次课

i1
j1
第三节 一般根轨迹的绘制法则
负反馈系统根轨迹增益k*由0→+∞变化时的
根轨迹，称为一般根轨迹。
一、根轨迹的分支数——开环极点数、特征根个数。
二、根轨迹的连续性和对称性——连续，复平面上根轨迹对称于实轴。
三、根轨迹的起点和终点——起于开环极点，终于开环零点或无穷远。
四、根轨迹在实轴上的分布规律——奇偶分布特性（举例）。
实轴上的分离、会合点 二重根的确定：满足特征方程和特征方程的导数方程。 分离角的确定
根轨迹与虚轴的交点
令：s j ω 带入特征方程得：1 Gk ( j ω ) 0
R e [ 1 Gk ( j ω ) ] 0 Im [ 1 Gk ( j ω ) ] 0

k *（ 产 生 等 幅 振 荡 时 根 轨迹 增 益 的 取 值 ） ω （等幅振荡频率）
简单绘制方法：依据复平面上的对称性和圆的直 径画圆；已知根轨迹上的三点画圆。
应用举例1
1)
Gk (
s
)
k s
( s ( s
4); 2)
2)
Gk
(s
)
k
( s 4) (s s ( s 2)
3);
3)
Gk
(s
)
k ( s ( s2
4); 4)4)来自Gk(s)(
k ( s s2 2
根轨迹的出射角和入射角
m
n
相 角 条 件 ： ( s zi ) ( s p j ) ( 2 k 1 ) π ( k 0 ,1 ,2)
i1
j1
m
n
出射角： θpa ( 2k1) π (pa zi ) (pa p j )
i1
j1
ja
n
m
入射角：θzb (2k1)π (zb pi ) (zb z j )
i1
j1
jb
举例：
Gk ( s
)
s (s
K*(s 2) 3)(s2 2s
2)
；
Gk
(
s
)
(
K s2
*(
s 2s
2
) 5
)
开环零极点与闭环极点特性
第四章 根轨迹分析法 (本章四次课)
特征根位置是确定系统稳定与否的唯一条件； 特征根位置（闭环极点）和闭环零点共同决定了系统的动态性能； 动态性能分析的难点——确定特征根在左半平面的位置。
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 一般根轨迹的绘制依据 第三节 一般根轨迹的绘制法则 第四节 参量根轨迹 第五节 零度根轨迹 第六节 根轨迹分析法
利用ROUTH判据可以求解！
举例：
Gk ( s)
k* s( s 1 ) ( s
2)

1
课后练习一
一、简答题： 1、根轨迹方程与特征方程的区别是什么？ 2、怎样检验复平面上的点是否在根轨迹上？ 3、怎样确定根轨迹上确定点的K值？ 4、根轨迹箭头所指的方向是K增加还是减小的方向？
二、根据开环零极点分布，绘制根轨迹草图。 1、两个极点、一个零点在实轴上的不同分布位置； 2、两个极点、两个零点在实轴上的不同分布位置； 3、三个极点、一个零点在实轴上的不同分布位置。
第二节 一般根轨迹的绘制依据
一、特征方程的一种演变形式——根轨迹方程
m
m
K * ( s zi )
K * (s zi)
Gk ( s ) G ( s ) H ( s)
i1 n
(s pj) j1
1 Gk ( s ) 0
根轨迹方程：
i1 n
1
( s p j )
j1
k根轨迹增益、n极点个数、m零点个数、-pj极点坐标、-zi零点坐标。
二、根轨迹方程的幅值条件和相位条件 回顾—S平面矢量的表示形式
幅值条件：
m
s zi
i1 n
1
K*
spj
j1
相角条件：
m
n
( s zi ) ( s p j ) ( 2 l 1 ) π ( l 0 ,1 ,2)
4 )2 s2
)
;
应用举例2
G k( s )
k(s 2)(s s ( s 1 )
3 );
试求系统呈现欠阻尼时的根轨迹增益范围。
课后练习二
一、简答题： 1、根轨迹与虚轴交点坐标及参数的计算方法有几种？简述计算依据及步骤。 2、根轨迹与虚轴交点对应的K值在系统性能分析中的作用是什么？ 3、两个极点、两个或一个零点在复平面上有根轨迹时，复平面上根轨迹的 形式如何？复平面上根轨迹的绘制规则又是什么？ 4、“根据开环零极点分布绘制闭环系统的根轨迹，研究的是闭环系统的性 能。”这句话对否？
m
Kg (s zi)
n
n
m
1 Gk ( s ) 1
i1 n
0
(s sj) (spj) Kg (s zi)
( s p j )
j1
j1
i1
j1
n
n
当n-m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和，即
sj pj
j1
j1
n
n
m
闭环极点之积和开环零、极点有如下关系： s j p j Kg zi
二、根据开环零极点分布，绘制根轨迹草图。 1、复平面上两个极点、实轴上一个零点； 2、复平面上两个极点、实轴上两个零点； 3、复平面上两个极点和两个零点； 4、复平面上两个零点、实轴上两个极点。
j1
j1
i1
举例：Gk ( s )
k* s ( s1) ( s
2)

1

K* 6 ω 2

求另一闭环极点？
当n-m≥2时根轨迹分布规律：对称放射性分布。
典型开环零极点分布对应的典型根轨迹
开环传递函数含有两个极点和一个或两个零点，则 若复平面上有根轨迹，根轨迹一定是圆或圆弧。
单元内容总结
校园春色
第一节 根轨迹的基本概念
一、根轨迹定义：特征方程中某待定参数从0-∞发生 变化时，特征根随之行走的轨迹。
二、简单系统根轨迹的绘制举例
(1)
Gk
(s
)
(
s
k
2)
;
(2)
Gk (
s
)
s
(
k s
2
)
三、根轨迹与系统性能之间的关系
1、稳定性——系统所有特征根在S平面的位置 2、稳态性能——系统型别、开环增益 3、动态性能——确定主导极点及其位置
五、根轨迹的渐近线——坐标： n m
六、根轨迹的重合点（重根） pj zi
七、根轨迹与虚轴的交点
δa j1
i1
nm
倾角：
θ (2l1)π nm
八、根轨迹的出射角和入射角
九、开环零极点与闭环极点特性 十、典型开环零极点分布对应的典型根轨迹
课后练习一
课后练习二
根轨迹的重合点