高一数学直线与平面垂直的性质

α β a A 线、面垂直的判定与性质一、线、面垂直的判定与性质1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直.2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直3.（1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线面垂直α⊥l 记为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = ]90,0[0[]]0[180,000π，或a β⊂a α⊥面⇒βα⊥//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a b αa bl a a l αβαββ⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭a α⇒⊥二、例题解析题型一、判断问题例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( )A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能变式：下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a 与直线b 的位置关系是( )A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直；④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是()①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1题型二：求角问题（线面角、面面角）例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．例2、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BC －A 1的平面角是( )A ．∠ABCB ．∠ABB 1C ．∠ABA 1D ．∠ABC 1变式：如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，求二面角P －CD －B 的大小．题型三：证明问题例1、如图，在三棱锥 A-BCD 中，AD ，BC ，CD 两两互相垂直，M ，N分别为 AB ，AC 的中点．(1)求证：BC ∥平面 MND ；(2)求证：平面 MND ⊥平面 ACD .变式： 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.BC A B C D P三、巩固练习1．在三棱锥V -ABC 中，VA ＝VC ，AB ＝BC ，则下列结论一定成立的是( )A ．VA ⊥BCB ．AB ⊥VCC ．VB ⊥ACD ．VA ⊥VB2．若A ∈α，B ∈α，A ∈l ，B ∈l ，P ∈l ，则( )A ．P ⊂αB ．P αC ．l αD ．P ∈α3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.2 65C.155D.1055．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x ，y 是平面；④x ，y ，z 均为平面．其中使“x ⊥z ，且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等于__________．7如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则二面角C 1-BD -C 的正切值为________．8.如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .。

专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质【考纲要求】1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；2. 掌握公理、判定定理和性质定理.【知识清单】知识点1．直线与平面垂直的判定与性质定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． 定理：⎭⎪⎬⎪⎫a αb αl ⊥a l ⊥ba ∩b ＝A ⇒l ⊥α知识点2．平面与平面垂直的判定与性质定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 定理：⎭⎪⎬⎪⎫AB βAB ⊥α⇒β⊥α⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MNAB βAB ⊥MN⇒AB ⊥α 知识点3．线面、面面垂直的综合应用 1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．【考点梳理】考点一：直线与平面垂直的判定与性质【典例1】（2020·贵溪市实验中学月考（文））如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，点E、F分别是AB和PC的中点．(1)求证：AB⊥平面P AD；(2)求证：EF//平面P AD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）∵侧棱P A垂直于底面，∴P A⊥AB．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，这样，AB垂直于平面P AD内的两条相交直线，∴AB⊥平面P AD．（2）取CD的中点G，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴FG是三角形CPD的中位线，∴FG∥PD，FG∥面P AD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面P AD．故平面EFG ∥平面P AD ，∴EF ∥平面P AD ．【典例2】（2019·甘肃高三期末（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，AB =，11B C =，1B C ⊥平面ABC .（1）证明：AC ⊥平面11BCC B ； （2）求点C 到平面11ABB A 的距离.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）证明：因为1B C ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1B C AC ⊥.因为1AC BC ==，AB ，所以AC BC ⊥， 又1BC B C ⋂，所以AC ⊥平面11BCC B . （2）设点C 到平面11ABB A 的距离为h ，因为1B C ⊥平面ABC ，所以1B C AC ⊥，1B C BC ⊥.则1AB ，1BB AB =，所以1ABB ∆是等边三角形，故12ABB S ∆==111122C ABB A C ABB B ABC V V V ---==111233ABC B C S ∆=⨯⨯⨯=，11111123323C ABB A ABB A V S h h h -=⋅=⨯⨯⋅=.所以h【规律方法】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. 【变式探究】1. （2019·河南南阳中学高三开学考试（文））如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是梯形，AB CD AD AB ⊥，， 且24 3.AD CD AB PA PD PC ======，(1)若O 为AC 的中点，证明:PO ⊥平面.ABCD (2)求点C 到平面PAB 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】(1)证明：因为AB CD AD AB ⊥，，AD CD AC ∴⊥=，,又3PA PC ==，O 为AC 的中点PO AC ∴⊥，1PO ==连接OD ，在Rt ACD ∆中，O 为AC 的中点12OD AC ∴== ∵222OD OP PD +=，PO OD ∴⊥又ODAC O =∴PO ⊥平面ABCD(2)解：设点C 到平面PAB 的距离为h ，则12442ABC S ∆=⨯⨯=，PB ==在PAB ∆中，32PA AB PB ==，， ∴9452cos 2323PAB +-∠==⨯⨯.∴1322PAB S ∆=⨯⨯=由C PAB P ABC V V --=44PO =⨯=，解得h =2.（2019·陕西高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB =,060BAD ∠=，面PAD ⊥面ABCD ,PAD ∆为等边三角形，O 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面POB ；(2)若E 是PC 的中点，求三棱锥P EDB -的体积． 【答案】（1）详见解析（2）12【解析】(1)证：因为O 为等边PAD ∆中边AD 的中点， 所以AD PO ⊥,又因为在菱形ABCD 中，060BAD ∠=， 所以ABD ∆为等边三角形，O 为AD 的中点， 所以AD BO ⊥,而PO BO O =,所以AD ⊥平面POB .(2)解：由(1)知AD PO ⊥，面PAD ⊥面ABCD ,所以PO ⊥底面ABCD ，因为等边PAD ∆的边长为2，所以PO , 易知BCD ∆为边长为2的等边三角形，所以三棱锥P BCD -的体积为：21213P BCD V -==, 因为E 是PC 的中点，所以1122P EDB P BCD V V --==， 所以三棱锥P EDB -的体积为12．考点二 ： 平面与平面垂直的判定与性质【典例3】（2020·全国高考真题（文））如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC ≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为,rl rl π==2222OD l r =-=，解得1,r l ==2sin 603AC r ==在等腰直角三角形APC 中，22AP AC ==在Rt PAO 中，PO ===，∴三棱锥P ABC -的体积为11333248P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯⨯⨯=△.【典例4】（2020·五华·云南师大附中高三月考（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1A B ⊥平面ABC ，1AB AC ==，12AA =．（1）证明：平面1AA B ⊥平面11AAC C ； （2）求三棱锥111B A BC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】（1）证明：∵1A B ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1A B AC ⊥．又∵AB AC ⊥，∵1AB A B B ⋂=， ∴AC ⊥平面1A AB ． 又∵AC ⊂平面11A ACC ， ∴平面1AA B ⊥平面11AAC C ．（2）111111111111111332B A BC B A B C A B C V V S A B --==⋅=⨯⨯⨯=△． 【规律方法】 1.判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)． 2．证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理． 【变式探究】1.在四边形ABCD 中，//,,45AD BC ADAB BCD，90BAD ∠=︒，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC 【答案】D 【解析】在直角梯形ABCD 中，因为ABD ∆为等腰直角三角形，故45ABD ADB ∠=∠=︒， 所以45DBC ∠=︒，故CD BD ⊥，折起后仍然满足CD BD ⊥.因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 平面ABD ⋂平面BCD BD =， 所以CD ⊥平面ABD ，因AB 平面ABD ，所以CD AB ⊥.又因为AB AD ⊥，AD CD D =，所以AB ⊥平面ADC ，因AB平面ABC ，所以平面ADC ⊥平面ABC .2．（2020·贵溪市实验中学月考（文））如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，BD 是线段AC 的中垂线，BD 与AC 交于点O ，8AC =，2PD =，3OD =，5OB =．（1）证明：平面PBD ⊥平面PAC ； （2）求点B 到平面PAC 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AC ⊥． 又因为BD AC ⊥，BDPD D =，所以AC ⊥平面PBD ．又AC ⊂平面PAC ，所以平面PBD ⊥平面PAC ． （2）因为8AC =，2PD =，3OD =，5OB =，所以由勾股定理得5AD CD ===，AP CP ==所以182PACS =⨯=△11852022ABC S AC OB =⋅=⨯⨯=△． 设点B 到平面PAC 的距离为h ．由B PAC P ABC V V --=，得1133PAC ABC S h S PD ⋅=⋅△△， 即1141320233h ⨯⨯=⨯⨯， 解得101313h =． 【总结提升】在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 考点三 ： 线面、面面垂直的综合应用【典例5】（2020·安徽省舒城中学月考（文））设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ；②若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α；③若m ⊥n ，m ⊥α，α∥β，则n ∥β；④若α⊥β，α∩β＝l ，m ∥α，m ⊥l ，则m ⊥β． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C 【解析】由,m n 是空间两条不同的直线，,αβ是空间两个不同的平面． 在①中，若//,//,//m n αβαβ，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误；在②中，设,,n n l l ααβ⊂⋂=⊥，因为αβ⊥，所以n β⊥，又m β⊥，所以//m n ，又m α⊄，n ⊂α，所以//m α，故②正确；在③中，若,,//m n m ααβ⊥⊥，则n 与β平行或n β⊂，故③错误；在④中，设,m n γγα⊂⋂=，因为//m α，所以//m n ，又m l ⊥，所以n l ⊥， 又因为,,l n αβαβα⊥⋂⊂＝，所以n β⊥，所以m β⊥，故④正确． 故选：C ．【典例6】（2020·临猗县临晋中学月考（文））如图，在三棱锥P －ABC 中，P A －AB －P A －BC －AB －BC －P A －AB －BC －2－D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.(1)求证：P A ⊥BD ；(2)求证：平面BDE ⊥平面P AC ；(3)当P A ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）13【解析】（I ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC . 所以平面BDE ⊥平面PAC .（III ）因为PA 平面BDE ，平面PAC ⋂平面BDE DE =， 所以PA DE .因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =⋅⋅=. 【规律方法】1.证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.3.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．4.垂直关系的转化：【变式探究】1.（2019·四川高考模拟（理））如图所示，在RtΔABC中，AB=4，AC=3，BC=5，在BC边上任取一点D，并将ΔABD沿直线AD折起，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后B、C两点间距离的最小值为__________．【答案】√13【解析】如图所示，设∠BAD=θ，则∠CAD=π2−θ,过点C作CE⊥AD于E，过B作BF⊥AD交AD的延长线于点F，所以BF=4sinθ,CE=3sin(π2−θ)=3cosθ,AF=4cosθ,AE=3cos(π2−θ)=3sinθ，所以EF=4cosθ−3sinθ，所以|BC|=√CE2+EF2+BF2=√(3cosθ)2+(4cosθ−3sinθ)2+(4sinθ)2 =√9cos2θ+16cos2θ+9sin2θ−24sinθcosθ+16sin2θ=√25−24sinθcosθ=√25−12sin2θ，当sin2θ=1时，|BC|min=√13.2.（2019·云南高三月考（文））如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA 1，E 是A 1C 的中点．（1）若P 为AB 的中点，证明：DE ∥平面PBA 1．（2）若平面PDA 1⊥平面PDA ，且DE ⊥平面CBA 1，求四棱锥A 1﹣PBCD 的体积． 【答案】（1）详见解析（2）12【解析】（1）证明：令1A B 的中点为F ，连接EF ，PF .因为P 为AB 的中点且//PD BC , 所以PD 是ABC △的中位线，所以//PD BC ,12PD BC =. 因为E 是1AC 的中点,且F 为1A B 的中点,所以EF 是1A BC 的中位线,所以//EF BC ，且12EF BC =，于是有PDEF ,所以四边形PDEF 为平行四边形,所以//DE PF , 又DE ⊄平面1PBA ，PF ⊂平面1PBA 所以有//DE 平面1PBA .（2）解：因为DE ⊥平面1CBA ，所以1DE AC ⊥. 又因为E 是1AC 的中点，所以1A D DC DA ==， 即D 是AC 的中点.由//PD BC 可得，P 是AB 的中点.因为在ABC △中,90B ∠=︒，//PD BC ，PDA 沿PD 翻折至1PDA ，且平面1PDA ⊥平面PDA ， 利用面面垂直的性质可得1PA ⊥平面PBCD ，所以111131·13322A PBCD PBCD V S A P -==⨯⨯=四棱锥四边形. 考点四： 平行、垂直的综合应用【典例7】（2020·全国高考真题（理））如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥ 1//MN BBMN BC ⊥由MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面1A AMN∴BC ⊥平面1A AMN又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC又11BC ⊂平面11EBC F ，且平面11EB C F ⋂平面ABC EF = 11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）连接NP//AO 平面11EB C F ，平面AONP ⋂平面11EB C F NP =∴//AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA ⋂平面ABC AM =，面1A NMA ⋂平面1111AB C A N = ∴//ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形 设ABC 边长是6m (0m >)可得：ON AP =，6NP AO AB m ===O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m∴16sin 603ON =⨯⨯︒=故：ON AP == //EF BC∴AP EPAM BM=3EP= 解得：EP m =在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =1B Q EP =且1//B Q EP∴四边形1B QPE 是平行四边形， ∴1//B E PQ由（1）11B C ⊥平面1A AMN故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQ ===sin10QN QPN PQ ∴∠===∴直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：10.【典例8】（2018·全国高考真题（文））如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析 【解析】（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．【总结提升】1.与探索性问题有关的解题策略(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．2．证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化．对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决． 【变式探究】1. （2020·江苏省震泽中学期末）如图，在三棱锥P ABC -中，AP AB =，,M N 分别为线段,PB PC 上的点（异于端点），平面PAB ⊥平面PBC .（1）若//BC 平面AMN ，求证：//BC MN ；（2）若M 为PB 的中点，求证：平面AMN ⊥平面PBC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为//BC 平面AMN ，BC ⊂平面PBC ，平面AMN平面PBC MN =，由线面平行的性质可得//BC MN（2）因为M 为PB 的中点，且AP AB =，由等腰三角形的性质可得AM PB ⊥， 又因为平面PAB ⊥平面PBC ， 平面PAB ⋂平面PBC BC =，AM ⊂平面PAB ，由面面垂直的性质定理即可得：AM ⊥平面PBC ，又因为AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC2.如图(1)所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1—BCD ，如图(2)所示．(1)若M 是FC 的中点，求证：直线DM ∥平面A 1EF . (2)求证：BD ⊥A 1F .(3)若平面A 1BD ⊥平面BCD ，试判断直线A 1B 与直线CD 能否垂直？请说明理由． 【答案】【解析】(1)证明：∵D ，M 分别为AC ，FC 的中点， ∴DM ∥EF ，又∵EF ⊂平面A 1EF ，DM ⊄平面A 1EF ， ∴DM ∥平面A 1EF .(2)证明：∵EF ⊥BD ，A 1E ⊥BD ，A 1E ∩EF ＝E ，A 1E ，EF ⊂平面A 1EF ， ∴BD ⊥平面A 1EF ，又A 1F ⊂平面A 1EF ， ∴BD ⊥A 1F .(3)直线A 1B 与直线CD 不能垂直．理由如下：∵平面BCD ⊥平面A 1BD ，平面BCD ∩平面A 1BD ＝BD ，EF ⊥BD ，EF ⊂平面CBD ， ∴EF ⊥平面A 1BD ，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面MCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．。

教案（2）如图，已知直线a ，b 和平面α. 如果a ⊥α， b ⊥α，那么直线a 与b 一定平行吗？直观观察，这两个问题中的直线都是相互平行.不失一般性，我们以问题（2）为例加以证明. 由于无法把两条直线a ，b 归入到一个平面内，所以无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4（即平行于同一条直线的两条直线平行），在这种情况下我们采用一种特殊的证明方法，叫做“反证法”. 证明：如图，假设b 与a 不平行，且b ∩α于点O .显然点O 不在直线a 上，所以点O 与直线a 可以确定一个平面， 在该平面内过点O 做直线//b a '，则直线b 与b ' 是相交于点O 的两条不同直线， 所以直线 b 与 b ' 可以确定一个平面β. 设αβ=c ，则点O 在直线c 上. 因为a ⊥α，b ⊥α， 所以a ⊥c ，b ⊥c.又因为//b a '，所以 b c '⊥.这样在平面 β 内，经过直线c 上同一点O 就有两条直线b ，b '与c 垂直，这显然不可能.所以假设不成立，因此b // a . 证明完毕.上述证明过程就是反证法，它的基本证明流程是：首先假设命题不成立，然后推导出矛盾，说明假设不成立，进而得出命题成立.反证法是间接论证的方法之一，也称为“逆证”. 它是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难时，用反证法会收到更好的效果.同学们，你们还有不同的证明方法吗？让我们看一看，从另一个角度如何证明：方法2 如图，假设b 与a 不平行，且b ∩α于点O ，显然点O 不在直线a 上， 所以点O 与直线a 可以确定一个平面β， 在β内过点O 做直线//b a '，则b α'⊥，因为b ⊥α，且直线b '与b 相交于点O ， 这与过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条矛盾. 所以假设不成立，因此b // a. 证明完毕. 通过问题（2）的证明，同学们，你能否总结一下，垂直于同一个平面的两条直线，具有怎样的位置关系呢？ 直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行. 同学们，你能用图形语言和符号语言，表示定理的内容吗？ 图形表示和符号表示： //.a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ 直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条 直线与一个平面垂直，判定这两条直线互相平行. 它揭 示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.巩固练习（一）：1、直线l1，l2互相平行的一个充分条件是（）（A）l1，l2都平行于同一个平面；（B）l1，l2与同一个平面所成的角相等；（C）l1，l2都垂直于同一个平面；（D）l1平行于l2所在的平面.2、两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（）（A）两个角均为锐角（B）一个角为0°，一个角为90°（C）两个角均为0°（D）两个角均为90°3、如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，且EF=12PD，G，H分别为PC，DC中点. 求证：FG//平面ABCD.请同学们回忆一下，空间中直线与平面的位置关系有哪些呢？三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.思考：在aα⊥的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论呢？证明：因为直线b在平面α外，所以假设b与α相交.若b⊥α ，因a⊥α，由线面垂直性质定理，则有a // b，这与已知a ⊥b 矛盾；若b 与α不垂直，设b A α= 取直线b 上一点P ，作PO ⊥α ，垂足为O ．连接AO ，则有PO //a ，且PO ⊥AO ．又因为a ⊥b ，所以PO 垂直b ，显然不成立. 综上，假设不成立，所以b // α.我们可以把结论这样描述：已知a ⊥α ，若b ⊄α ，且b ⊥a ，则b //α. 这样我们又得到一个判断直线与平面平行的方法.如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论呢？证明：在平面α内任取两条相交直线m ，n .⊥α//β，⊥m //β，n //β. 由线面平行性质，⊥在平面β内存在两条相交直线m n ''，，分别与m ，n 平行.⊥a ⊥α，⊥a ⊥m 且a ⊥n .⊥a m a n ''⊥⊥，.又 m n ''，是平面β内两条相交直线， ⊥a ⊥β.我们可以把结论这样描述：已知a ⊥α ，若β//α ，则a ⊥β.这样我们又得到一个判断直线与平面垂直的方法.上述两个问题，不仅呈现出线面垂直的性质，而且还体现了，“平行”与“垂直”之间可以进行相互转化，同学们要认真思考，可以尝试着提出更多的问题，发现更多的结论.例题： 如图，直线 l 平行于平面α，求证：直线l 上各点到平面α的距离相等.分析：要证明直线l 上各点到平面α的距离都相等，只需证明直线l 上任意两个点，到平面α的距离相等，具体证明如下：证明：过直线l 上任意两点A ，B 分别作平面α的垂线AA 1，BB 1，垂足分别为A 1，B 1.11,AA BB αα⊥⊥，11//AA BB ∴，于是直线AA 1，BB 1确定一个平面. 设直线AA 1，BB 1确定的平面为11,A B ββα=11//,//l l A B α∴ ，所以四边形AA 1B 1B 是矩形. 11AA BB ∴= 由A ，B 是直线l 上任取的两点，可知直线l 上各点到平面α的距离相等.当一条直线与一个平面平行时，直线上所有点到平面的距离都相等，此时，我们把这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.当两个平面平行时，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.随堂检测：如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC=CC 1=1.（1）直线A 1B 1到平面ABCD 的距离为多少？ （2）直线A 1A 到平面BCC 1B 1的距离为多少？ （3）直线CC 1到平面BDD 1B 1的距离为多少？（4）若E 为A 1B 1中点，判断直线A 1C 与平面BEC 1是否平行，若平行，求出直线A 1C 到平面BEC 1的距离；若不平行，请说明理由. 通过这几个题目，我们不难看出，在研究直线到平面的距离时，一般都转化成求点到平面的距离. 同学们在解题时要有这种转化意识. 同学们请想一想，前面我们学习过棱柱、棱台，在它们的体积公式中，哪个量代表着上、下底面间的距离呢？ 棱柱、棱台的高是它们上、下底面间的距离. 例题 推导棱台的体积公式: 1().3V h S S S S ''=++棱台其中S '，S 分别是棱台的上、下底面面积，h 是高. 棱台可看作由某个棱锥截得，所以我们先计算“截得棱台的棱锥的体积”，再减“去掉的棱锥的体积”，进而得到棱台的体积. 具体过程如下： 如图，延长棱台各侧棱交于点P ，得到截得棱台的棱锥.过点P 作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、4、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C中点，MN⊥平面A1DC. 求证：MN//AD1.证明直线与直线平行，常用的几种方法：（1）平行公理；（2）线面平行性质定理；（3）线面垂直性质定理；（4）面面平行性质定理；5、如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α ，垂足为A，EB⊥ β ，直线a β ，a⊥AB. 求证：a//l.小结：作业1如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点，求证：DF//平面ABC.作业2我们已经研究了空间直线与直线、直线与平面的垂直问题，接下来你还想研究什么问题？怎样去研究呢？【课后作业参考答案】证明：取AB中点G，连接FG，CG.∵F是EB的中点，∴FG//AE，且FG=12 EA.∵EA和DC都垂直于平面ABC，由线面垂直性质定理∴EA//DC，且EA=2DC.∴FG//DC，且FG=DC.∴四边形CDFG为平行四边形.∴DF//CG.又∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，∴DF//平面ABC.。

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质一、课标解读1.掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

2.掌握等价转化思想在解决问题中的运用.3.使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.4.能运用性质定理解决一些简单问题.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.二、自学导引问题1：如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？问题2：已知：a α⊥，b α⊥。

求证：b ∥a直线和平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号语言作用：a b问题3：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢？问题4：如图，长方体ABCD－A'B'C'D中，平面A'ADD’与平面ABCD垂直，直线A'A垂直于其交线AD，平面A'ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗？问题5：设α⊥β，α∩β＝CD，A B α，AB⊥CD，AB∩CD＝B，研究直线AB与平面β的位置关系。

归纳得到平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

想一想：用符号语言如何表述这个定理?三、典例精析例1 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，D A AC EF 1及与异面直线都垂直相交. 求证：EF ∥1BD变式训练1 如图所示，已知SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交 .,,,,G F E SD SC SB 于求证：SB AE ⊥例2 如图所示，平面⊥⊥PAC ABC PAB 平面平面,平面ABC ，⊥AE 平面PBC ,E 为垂足.（1） 求证：ABC PA 平面⊥（2） 当E 为PBC ∆的垂心时，求证：ABC ∆是直角三角形变式训练2 如图所示，是所在平面外一点，是四边形ABCD ABCD P60=∠DAB 且 边长ABCD PAD a 面垂直于底面为正三角形，其所在平的菱形，侧面. (1) 若PAD BG AD G 平面边的中点，求证：为⊥ (2) 求证：PB AD ⊥四、自主反馈 1．两异面直线在平面α内的射影（ ）A ．相交直线B ．平行直线C ．一条直线—个点D ．以上三种情况均有可能2．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（ ）A ．有且只有—个B ．可能存在也可能不存在C ．有无数多个D ．—定不存在3．在空间，下列哪些命题是正确的（ ）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确4．若平面α的斜线l 在α上的射影为l ′，直线b ∥α，且b ⊥l ′，则b 与l （ ）A ．必相交B ．必为异面直线C ．垂直D ．无法确定5．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长． 其中，正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个 n 4个6．在下列四个命题中，假命题为（ ）A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C ．过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7．已知P 是四边形ABCD 所在平面外一点且P 在平面ABCD 内的射影在四边形ABCD 内，若P 到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（ ）A ．圆内接四边形B ．矩形C ．圆外切四边形D ．平行四边形8．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，则P 到BC 的距离等于（ ）A ．5B ．52C ．35D ．45答案2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质例1 证明：连接BD C B AB ,,11ABCD AC ABCD DD 平面平面⊂⊥,1D DD BD BD AC AC DD =⊥⊥∴11,, 又111,BD AC B BDD AC ⊥∴⊥∴平面C AB BD C B BD 1111,平面同理可证⊥∴⊥C BD A AD EF AC EF 11//,,又⊥⊥C AB EF C B EF 11,平面⊥∴⊥∴1//BD EF ∴例2 证明（1）在平面F AC DF D ABC 于作内取一点⊥,AC ABC PAC 且交线为平面平面,⊥AP DF PAC PA PAC DF ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面AP DG G AB DG ⊥⊥同理可证于作,D DF DG ABC DF DG = 内，且都在平面,ABC PA 平面⊥∴(2)连接H PC BE 于并延长交BE PC PBC E ⊥∴∆的垂心，是又已知AE PC PBC AE ⊥∴的垂线，是平面AB PC ABE PC ⊥∴⊥∴,平面PAC AB AB PA ABC PA 平面平面又⊥∴⊥∴⊥,, 是直角三角形即ABC AC AB ∆⊥∴,变式训练1.SA BC ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,平面，平面证明：SAB SA SAB AB A SA AB AB BC 平面平面⊂⊂=⊥,,, BC AE SAB AE SAB BC ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面 SC AE AEFG AE AEFG SC ⊥∴⊂⊥,,平面平面 SBC BC SBC SC C BC SC 平面平面又⊂⊂=,, SB AE SBC SB SBC AE ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面2.略自主反馈1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D。

1.6.1 垂直关系的判定知识点1：直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.(2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如图所示.(3)直线与平面垂直的判定定理①文字叙述:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.②符号表示:若直线a⫋α,直线b⫋α,直线l⊥a,l⊥b,a∩b=A,则l⊥α.③图形表示:④作用:线线垂直⇒线面垂直。

【练习】垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A.垂直B.斜交C.平行D.不能确定解析:梯形的两腰所在的直线相交,根据线面垂直的判定定理可知选项A正确.名师点拨理解线面垂直的判定定理注意以下几点:(1)定理可表述为“线线垂直,则线面垂直”.(2)“两条相交直线”是关键词,一定不要忽视这个条件,否则将导致结论错误,即“线不在多,相交就行”.(3)要证明一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交直线和该直线垂直即可,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点无关紧要.(4)线面垂直的判定定理与线面垂直的定义往往在证题过程中要反复交替使用.知识点2：二面角及其平面角(1)半平面的定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.(3)二面角的记法:以直线AB为棱,半平面α,β为面的二面角,记作二面角α-AB-β.(4)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(5)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角.【练习】给出下列命题:①两个相交平面组成的图形叫作二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是( )A.①③B.②④C.③④D.①②解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,可知①不对.画出图形,可知②正确.③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③不对.由定义知④正确.故选B.知识点3：平面与平面垂直(1)两个平面互相垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)画法:在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直.如图①②所示.(3)平面与平面垂直的判定定理①文字叙述:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.②符号表示:③图形表示:④作用:线面垂直⇒面面垂直【练习】已知直线m,n与平面α,β,γ,下列可能使α⊥β成立的条件是( )A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=m,m⊥n,n⫋βC.m∥α,m∥βD.m∥α,m⊥β解析:选择适合条件的几何图形观察可得,A中α∥β或α与β相交,B中α,β相交,但不一定垂直,C中α∥β或α与β相交.名师点拨理解面面垂直的判定定理注意以下几点:(1)定理可简记为“线面垂直,则面面垂直”,因此要证明平面与平面垂直,只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线,即证“线面垂直”.(2)两个平面垂直的判定定理,不仅仅是判定两个平面垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.(3)要证α⊥β,可证α经过β的某一条垂线,也可证明β经过α的某一条垂线.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若直线l垂直于平面α内无数条直线,则有l⊥α. ( ╳)(2)若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. ( √)(3)若直线l垂直于α内的一个凸五边形的两条边,则有l⊥α. ( √)(4)一个二面角的平面角有且只有一个. ( ╳)(5)若直线l与平面α交于点O,且l与α不垂直,l⫋β,则α与β一定不垂直. ( ╳)【例1】如图所示,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连接CF,DF,因为AC=BC,所以CF⊥AB.同理可得,DF⊥AB.又CF∩DF=F,所以AB⊥平面CDF.因为CD⫋平面CDF,所以AB⊥CD.又BE⊥CD,且BE∩AB=B,所以CD⊥平面ABE.因为AH⫋平面ABE,所以CD⊥AH.又AH⊥BE,BE∩CD=E,所以AH⊥平面BCD.反思感悟证明线面垂直的关键是：分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.变式训练1：如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆O上的点.求证:BC⊥平面PAC.分析:由AB是圆O的直径可知AC⊥BC,再结合PA⊥平面ABC,即可证明BC⊥平面PAC.证明:由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⫋平面PAC,AC⫋平面PAC,所以BC⊥平面PAC.2,E,F分别是AB,PD的中点.【例2】如图所示,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2求证:(1)AF∥平面PCE;(2)平面PCE⊥平面PCD.分析:(1)要证AF∥平面PCE,只需证明AF平行于平面PCE内的一条直线即可,取PC的中点G,则该直线为GE. (2)要证明平面PCE⊥平面PCD,只需证明GE⊥平面PCD,而由(1)知GE∥AF,故只需证明AF⊥平面PCD即可.反思感悟怎样证明平面与平面垂直：1.证明面面垂直的方法:(1)证明两个半平面构成的二面角的平面角为90°;(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明面面垂直的问题转化为证明线面垂直的问题.2.利用判定定理证明两个平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图形中不存在这样的垂线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明.变式训练2：已知正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,FA为折痕,折叠使点B,C,D重合于一点P.求证:(1)AP⊥EF;(2)平面APE⊥平面APF.题型三：对空间中线面关系理解不透彻而致误【典例】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,则截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗?纠错心得1.因为B1O与底面不垂直,就断定截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直,这是毫无根据的.2.要克服上述错误,一定要将有关定理或性质的适用条件及内涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证.课后巩固练习：1.下列各种情况中,一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.不能保证该直线与平面垂直的是( )A.①③B.②C.②④D.①②④解析:三角形的任何两边都相交;圆的任何两条直径都相交;但梯形中任意两边不一定相交,也可能平行;正六边形中也存在平行的两条边,因此不能保证该直线与平面垂直的是②④.故选C.答案:C2.在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则( )A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC解析:如图所示,∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC.又AD⫋平面ADC,∴平面ADC⊥平面DBC.答案:D3.如图所示,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,(1)与PC垂直的直线有;(2)与AP垂直的直线有.解析:(1)因为PC⊥平面ABC,AB,AC,BC⫋平面ABC,所以与PC垂直的直线有AB,AC,BC.(2)∠BCA=90°,即BC⊥AC.又BC⊥PC,AC∩PC=C,所以BC⊥平面PAC,PA⫋平面PAC.所以BC⊥AP.答案:(1)AB,AC,BC (2)BC4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,则下列说法正确的个数为( )①C1M∥AC; ②BD1⊥AC; ③BC1与AC所成的角为60°; ④CD与BN为异面直线.A.1B.2C.3D.45.如图所示,四边形ABCD是菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点求证:平面BDE⊥平面ABCD.。