2014-2015年辽宁省大连二十中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

辽宁省大连市第二十高级中学 2014—2015学年度上学期期末考试高二数学理试题一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知()()2,1,0,1,0,2,a b ==-且与互相垂直，则的值是 （ ） A. 1 B. C. D. 2、设则“且”是“”的 （ ） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充分必要条件 D 、即不充分也不必要条件 3、已知,与的夹角为60°，则的值为（ ）A. B. C. D. 4、已知为等比数列，，，则 （ ）A 、B 、C 、D 、5、直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 （ ）A 、B 、C 、D 、 6、设，则函数的最小值是 ( )A 、12B 、 6C 、27D 、307、已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程为 （ ） A 、 B 、 C 、 D 、8、下列等式中，使M,A,B,C 四点共面的个数是 （ ）①②111;532OM OA OB OC =++③④0OM OA OB OC +++=A. 1B. 2C. 3D. 4 9、已知,()n n f n n n ⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数若，则（ ）A 、B 、2012C 、0D 、-201210、设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为2－1的点P 的个数为 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、311、将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足11BP BA BC BD 22=-+,则的值为 （ ） A.32 B.2 C.10-24 D.9412、若直线l 被圆所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是 ( )A 、B ． C. D ．卷Ⅱ二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13、已知, , ,则在上的正投影的数量为14、若实数满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-≥+-020022y x y x y x ，则的最大值为_______，最小值为______ .15、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线方程为16、正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，且是,的公垂线，在上，在上，则线段的长度为三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分10分）已知f(x)＝， (1)若函数有最大值178，求实数的值；(2)若不等式＞对一切实数恒成立，求实数的取值范围；18、（本小题满分12分）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且有（1）求、的通项公式； （2）若，的前项和为，求；19、（本小题满分12分）如图，在正四棱柱中，点是正方形对角线的交点，，点，分别在和上，且（Ⅰ）求证：∥平面 （Ⅱ）若，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值． 20、（本小题满分12分）如图，为抛物线的焦点，A （4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且的最小值为8。

辽宁省大连市第二十高级中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题考试时间：120分钟 试题分数：150分参考公式：球表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径． 圆柱的体积公式V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．第Ⅰ卷一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合}021|{≤-+=x x x M ，()2{|log 12}N x x =+<，则M N =（ ）A ．(]1,2-B ．)2,1[-C ．)2,1(-D ．]2,1[-2.复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A.15B.15iC.15i -D.15-3.“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.，则22a x dx -⎰的值为（ ）A.3B.73 C. 3或73 D. 35.已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为（ ）A.51- B.57C.57-D. 436.已知,0,0>>b a 函数ab x b a ab x x f +--+=)4()(2是偶函数，则)(x f 的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为（ ）A.16B.8C.4D.7．已知等差数列{}n a 的公差0,d <若462824,10,a a a a ⋅=+=则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．50B ．40C ．45D ．358.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A ．274π B ．16π C ．9π D ．814π9.在等比数列{}n a 中，7a 是89,a a 的等差中项，公比q 满足如下条件：ABO ∆（O 为原点）中，()()1,1,2,OA OB q ==，A ∠为锐角，则公比q 等于（ ）A.1B. 1-C. 2-D. 1或2-10.设x y 、满足约束条件360200x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩、，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为6，则46a b +的最小值为（ ）A ．256B ．253 C ．504 D ．503 11．已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A. )1,(e -∞ B. ),(e -∞ C. ),1(e e - D. )1,(ee - 12.已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中正确的个数是（ ） ①()f x 既是奇函数,又是周期函数 ②()y f x =的图像关于直线2x π=对称③()f x④()y f x =在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 A.1B.2C.3D. 4第Ⅱ卷二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.在ABC ∆中，若cos cos a A b B =,则ABC ∆是 三角形.14．ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则的值是_________.15.某几何体三视图如图所示（正方形边长为2），则该几何体的体积为 .16．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-,在区间()0,2内任取两个实数,p q ,且p q ≠,若不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为 .三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知向量33cos,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11cos ,sin 22b x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a b +的取值范围；（2）求函数()f x a b a b =∙-+的最小值，并求此时x 的值.18. （本小题满分12分）设函数22()cos(2)2cos .3f x x x π=++ （1）求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合； （2）已知ABC ∆中，角C B A ,,对边分别为.,,c b a 若3(),42f B C b c +=+=，求a 的最小值.19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目 的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.右面是根 据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率 分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟 的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .附：()2112212212-=n n n n n n n n n χ，20．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且12n n na S += (n ∈*N )，数列{}n b 满足112b =，214b =，对任意n ∈*N ，都有212n n n b b b ++=∙．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）令1122n n n T a b a b a b =++，若对任意的*n ∈N ，不等式()223n n n n nT b S n b λλ+>+恒成立，试求实数λ的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+(0)x >，其中a 为实数 （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：111ln(1)ln(2)ln()()nm m m n m m n +++>++++,对于任意的正整数,m n 成立.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (几何证明选讲) （本小题满分10分）如图，⊙O 内切于△ABC 的边于D ，E ，F ，AB =AC ，连接AD 交⊙O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G .（1）求证：圆心O 在直线AD 上； （2）求证：点C 是线段GD 的中点.23.（极坐标与参数方程选讲）（本小题满分10分）在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.24.（不等式选讲）（本小题满分10分） 设函数1()1|3|2f x x x =-+- （1）求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式()f x ≤1()2a x +的解集非空，求实数a 的取值范围.2014-2015学年度上学期期中考试高三数学试卷答案（理）一、选择题1-5 CABBA 6-10ACDCD 11-12 BD 二、填空题13. 等腰或直角 14. 3 15. 8π- 16. 28a ≥ 三、解答题 17.解：（1）∵3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 12cos 1≤≤-x ； x b a 2cos 22||+=+∴02a b ≤+≤（2）∵3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴ 0cos 1≤≤-x ； x x b a b a x f 2cos 222cos ||)(+-=+-⋅=1cos 2cos 2cos 41cos 2222-+=--=x x x x∴ 当1cos 2x =-，即23x π=或43x π=时，()f x a b a b =∙-+取最小值32- 18. 解：（1）)2cos 1()34sin 2sin 34cos 2(cos cos 2)342cos()(2x x x x x x f +++=+-=πππ1)32cos(12sin 232cos 21++=+-=πx x x 要使)(x f 取最大值，)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ （2）由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA化简得21)32cos(=-πA ()0A π∈Q ，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A在ABC ∆中，由余弦定理，bc c b bc c b a 3)(3cos22222-+=-+=π由4b c +=知242b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，即24a ≥，当2b c ==时，a 取最小值1925人，从而22⨯列联表如下：将()()221122122121+2++1+2-1003010-4515100=== 3.0307525455533n n n n n n n n n χ⨯⨯⨯≈⨯⨯⨯因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0. 25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意13,3X B ⎛⎫⎪，从而X 的分布列为 ()13==3=44E X np ⨯，()()139=1-=3=4416D X np p ⨯⨯.20. 解答（1）∵12n n na S +=，∴1(1)2n n n a S --= (2n ≥)，两式相减得，1(1)2n n n na n a a +--=，∴1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++=(2n ≥)，又因为11a =，22a =，从而21221a a ==∴321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⨯⨯=-(2n ≥)， 故数列{}n a 的通项公式n a n =(n ∈*N )．在数列{}n b 中，由212n n n b b b ++=⋅，知数列{}n b 是等比数列，首项、公比均为12， ∴数列{}n b 的通项公式12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）∴2111112()(1)()()2222n n n T n n -=+⋅++-⋅+⋅ ①∴23111111()2()(1)()()22222n n n T n n +=+⋅++-+ ② 由①-②，得231111111()()()]()222222n n n T n +=++++-⋅1212n n ++=-，∴222n n n T +=-，不等式22(3)n n n n nT b S n b λλ+<+即为2(1)3(2)2()222n nn n n n n n λλ++-+>+， 即2(1)(12)60n n λλ-+-->（*n ∈N ）恒成立．方法一、设2()(1)(12)6f n n n λλ=-+--（*n ∈N ），当1λ=时，()60f n n =--<恒成立，则1λ=不满足条件； 当1λ>时，由二次函数性质知不恒成立；当1λ<时，(1)340f λ=-->恒成立，则43λ<-满足条件．综上所述，实数λ的取值范围是4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．方法二、也即2262n n n nλ+-<+（*n ∈N ）恒成立，令226()2n n f n n n +-=+．则22611()1112422(6)1066n f n n n n n n n n +=-=-=-++++-++， 由67n +≥，24(6)106n n ++-+单调递增且大于0，∴()f n 单调递增∴()4()13f n f ≥=-∴实数λ的取值范围是4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．21. 解：解析(1)因为2'(1)()(1)()(1)(0)a x a x a x a x f x x a x x x x-++--=+-+==> ①当0a ≤时，令'()0f x >得1x >；'()0f x <得01x <<此时，函数()f x 的增区间是()1.+∞，减区间是()0,1 ②当01a <<时，令'()0f x >得1x >或0x a <<；'()0f x <得1a x <<此时，函数()f x 的增区间是()1,+∞和()0,a ，减区间是(),1a ③当1a =时，'()0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，此时，函数()f x 的增区间是()0,+∞，无减区间 ④当1a >时，令'()0f x >得x a >或01x <<；'()0f x <得1x a <<此时，函数()f x 的增区间是(),a +∞和()0,1，减区间是()1,a （4分）（3）当12a =-时，2111()ln 0222f x x x x =-+-≥（当且仅当1x =时等号成立）则2ln x x x ≤-，当1x >时，此不等式可以变形为21111ln 1x x x x x>=---， 分别令1,2,3,,x m m m m n =++++，则1111ln(1)ln(2)ln(3)ln()m m m m n ++++++++111111()()()1121m m m m m n m n >-+-++-++++-+11()nm m n m m n =-=++所以111ln(1)ln(2)ln()()nm m m n m m n +++>++++ . 22．证明： （1）,AB AC AF AE ==CF BE ∴=,CF CD BD BE ==又CD BD ∴=,ABC ∆又是等腰三角形AD CAB ∴∠是的角分线∴圆心O 在直线AD 上。

辽宁省大连市第二十高级中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（理）试题卷Ⅰ一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．命题“∃x ∈R ，x2－2x ＋1＜0”的否定是(A ．∃x ∈R ，x2－2x ＋1≥0B ．∃x ∈R ，x2－2x ＋1＞0C ．∀x ∈R ，x2－2x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，x2－2x ＋1＜02. 已知数列是等比数列，且，则的公比为（ ） A. B. C. D.3. 已知实数m 和2n 的等差中项是4,实数2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是（ ）A ．2B ．3C ．6D ．94. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( ) A.x 24＋y 26＝1 B.x 26＋y 24＝1 C.x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 （ ）A. B. C. D.6．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172 7.设集合P ＝{m |－1＜m ＜0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是( )A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅8.已知等差数列的前n 项和=18，若=1，，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．27D ．369.已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，，则数列{a n }的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．51010. 若实数、满足，且的最小值为，则常数的值为（ ）A ．2B ．C ．D ．11. 若a ＞0，b ＞0且a 2＋14b 2＝1，则a 1＋b 2的最大值是( )A.32B.62C.54D.25812. 已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax 2+bx-c=0的两个根分别为x 1,x 2,则点P(x 1,x 2)在( )A.圆x 2+y 2=2上B.圆x 2+y 2=2内C.圆x 2+y 2=2外D.以上三种情况都有可能 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．．13．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是__________．14．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若是的充分条件，则实数a 的取值范围是________．15. 已知函数的值域为，若关于x 的不等式的解集为，则实数c 的值为 ．16. 若点O 和点F 分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则·的最大值为 .三、解答题（17题10,其余每题12分）17、已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a >0)，若当z 取最大值时，最优解有无数多个，求a 的值．18、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 面积为4.求椭圆的方程．19. p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2≤9，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝{|，∈R }，求实数m 的值． (2)若p 是的充分条件，求实数m 的取值范围．20. 在数列{}中，其前n 项和为S n ， S n ＋1＝4＋2，＝1．(1)设，求证数列{b n }是等比数列；(2)设c n ＝，求证数列{c n }是等差数列；(3)求数列{}的通项公式及前n 项和的公式.21. 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为 (1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．22.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是边长为2一个内角为60°的菱形的 四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，且在直线 l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．答案：一、CBBCA,CACDD,CB二、填空题：13、3 14、 15、9 16、617、【解】 作出可行域如图所示． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．---------6分当直线z ＝ax ＋y (a >0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，-----------8分 ∴－a ＝－35，即a ＝35.-------10分 18. 【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .---------6分(2)法一 a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n n －12·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．----------12分法二 由(1)知a 1＝9， d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112. ∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．19．【解】 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[2,3]，∴m ＝5.-------6分(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －3＞3或m ＋3＜－1，∴m ＞6或m ＜－4.即实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(6，＋∞)．-----------12分20. 解析：(1)由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴ b 1＝a 2－2a 1＝3．由S n ＋1＝4a n ＋2 ①，则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2． ②②－①得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴ a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又∵ b n ＝a n ＋1－2a n ，∴ b n ＝2b n －1．∴ {b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． ∴ b n ＝3×2 n －1．--------4分(2)∵ c n ＝，∴ c n ＋1－c n ＝－＝＝＝＝，c 1＝＝，∴ {c n }是以为首项，为公差的等差数列．----------8分＝－1－3×＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1 ＝2＋(3n －4)·2n －1．∴ 数列{a n }前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1．-----12分 21． (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则不等式f (x )＞－2x 化为ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＞0.因为不等式的解集为(1,3)，所以a ＜0，＝3，即a ＜0，b ＝－4a －2，c ＝3a .因为方程ax 2＋bx ＋6a ＋c ＝0有两个相等的实根，所以Δ＝b 2－4a (6a ＋c )＝0.把b ，c 分别代入Δ中，化简得5a 2－4a －1＝0，解得a ＝－15， a ＝1(舍去)．所以b ＝－65，c ＝－35.所以f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.------6分 (2)由(1)知a ＜0，所以当x ＝时，函数f (x )取得最大值，由题设，得a (－b 2a )2＋b ·(－b 2a)＋c ＞0.代入b ，c 并整理得a 2＋4a ＋1＞0.解得a ＜－2－3或a ＞－2＋ 3.又因为a ＜0，所以a 的取值范围为(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．--12分22.【解】 解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2 ，一内角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.—4分(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴， y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3， 所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0， 当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 23＋y 2＝1，y ＝kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1， 则|AO |＝1＋k 233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1k x ， 它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3，y ＝－1k x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3k k －1，y 0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －2，。

辽宁省大连市第二十高级中学14—15学年上学期高一期中考试数学试题一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6}T =，则()U ST ð等于（A ）Φ (B){2,4,7,8} (C){1,3,5,6} (D){2,4,6,8}2.下列四个集合中，是空集的为（A ）}33|{=+x x (B)},,|),{(22R y x x y y x ∈-= (C)}0|{2≤x x(D) }01|{2=+-x x x3. 函数2()lg(1)f x x =+的定义域为（A ） (1,1)- (B)(1,)-+∞ (C)(1,)+∞ (D) (,1)-∞4. 已知集合{|12},{|},A x x B x x a =-≤≤=≤若≠B A Φ，则实数a 的取值范围为 （A ） {|2}a a < (B){|1}a a ≥- (C){|1}a a >-(D) {|12}a a -≤<5. 已知 5.10.90.90.9, 5.1,log 5.1m n p ===,则三个数,,m n p 的大小关系是 （A ） m n p << (B)m p n << (C)p m n << (D) p n m <<6. 下列函数中，在区间)20(，上为增函数的是 （A ）xy -=2 (B)x x y 42-= (C)32y x =(D) x y 2log -=7．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是（A ） 54 (B)45 (C)43 (D)348．下面四个结论中，正确的个数是①奇函数的图象关于原点对称； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④偶函数的图象一定与y 轴相交 （A ） 1(B)2 (C) 3 (D)49. 下列函数中，值域是)0(∞+，的函数是（A ） 1()51x y x R -=∈+(B) 0)y x =≤(C)0)y x =≤ (D) 11()()3xy x R -=∈10. 设()f x 是定义在R 上的任意函数，下列叙述正确的是 （A ） ()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数(C)()()f x f x +-是偶函数 (D)()()f x f x --是偶函数11. 已知y x y x lg lg )2lg(2+=-，则yx的值为（A ） 4 (B)1 (C) 1或4 (D)41或412.设0,1a a >≠，函数()2log a f x ax x =-在[]3,4上是增函数，则实数a 的取值范围是（A ）1a >(B)1184a ≤≤或1a > (C) 1164a ≤<或1a > (D)1154a ≤≤或1a >卷Ⅱ二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知全集}5,3,2{=U ，{|5|2}{5}U A a C A =-=，，，则实数a = .14. 函数)(222R x y xx ∈=-的值域为 .15. 已知)(x f 为奇函数，且0>x 时，)1()(3x x x f +=，则=-)8(f .16. 已知b a ,为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= .三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)分别在四个坐标系中画出幂函数123233,,,y x y x y x y x -====的草图.18.(本小题满分12分)设}019|{22=-+-=a ax x x A ，}065|{2=+-=x x x B ，}082|{2=-+=x x x C（Ⅰ）若ΦB A ，且C A =Φ，求实数a 的值；（Ⅱ）B A =C A ≠Φ，求a 的值.19．(本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,025,,100,2530,.t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩该商品的日销售量q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？20. (本小题满分12分) 已知函数)0(1)(≠-=x xx x f （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数)(x f 在），（∞+0为单调增函数；（Ⅲ）求满足()0f x >的x 的取值范围.21. (本小题满分12分)不等式23422-+≤x xx 的解集为M ，求函数)(16log )2(log )(22M x xx x f ∈=的值域.22. (本小题满分12分)已知函数()mf x x x=+有如下性质：如果常数0>m ，那么该函数在],0(m 上是减函数，在),[+∞m 上是增函数。

2014-2015学年度下学期月考高一数学试卷考试时间：120分钟 试题分数：150分卷Ⅰ一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、下列三角函数值的符号判断错误的是( )A ．sin 165°>0B ．cos 280°>0C ．tan 170°>0D ．tan 310°<02、在△ABC 中，一定成立的等式是（ ）A. a sinB=bsinAB. a cosB=bcosAC. a tanB=btanAD.sinA=bsinB3、已知等差数列{}n a 中，若261,13,a a ==则公差d =（ ）A ．10B ．7C ．6D ．34、已知平面向量(3,1),(,3)a b x ==-，且a ∥b ，则x =（ ）A ．-3 B.-9 C.9 D. 15、为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（）A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度6、已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．D ．7、设向量a ＝⎝⎛⎫sin α，22的模为32，则cos 2α＝( )A.32 B ．－14 C ．－12 D.128、等比数列{n a }中，2a ，6a 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则4a 等于( )A ．8B ．－8C ．±8D ．以上都不对9、已知在△ABC 中，3,5,7a b c ===，那么这个三角形的最大角是( )A ．135°B ．120°C ．90°D ．150°10、数列{}n a 的前n 项和n n S n 322+-=（*N n ∈），则当2≥n 时，有（ ） A ．n n na na S >>1 B ．1na na S n n <<C ．n n na S na <<1D ． 1na S na n n <<11、 已知△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( ) A.922 B.924 C.928D ．9 2 12、一个正整数数表如右（表中下一行中的数的个数比上一行中数的个数多两个，每行中 的数成公比为2的等比数列）则第6行的第5个数是 （ ）A.292B. 302C. 312D. 322卷Ⅱ二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13、已知等差数列{}n a 中，前5项和515S =，则3a =14、已知函数f(x)＝sin4ωx －cos4ωx(ω>0)的最小正周期是π，则ω＝________.15、已知在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a bc ，若222a c b +-=，则角B 的值为________．16、已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，则正整数k 的值为 .三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知2||=，3||=,b a 与的夹角为60o , 35+=， b k a d +=3,d c ⊥，求k 的值。

2014-2015学年度下学期月考高二数学（理科）试卷考试时间：120分钟 试题分数：150分卷Ⅰ一.选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 把4名男生和4名女生排成一排，4名女生要排在一起，不同排法的种数为（A ）88A （B ）4444A A （C ）4455A A （D ）58A2. 已知某工厂生产的一种零件内径尺寸服从正态分布)1.0,5.22(2N ，则该零件尺寸大于5.22的概率为（A ）01.0 (B)1.0 (C)5.0 (D)9.03.在一组样本数据112212(,),(,),,(,)(2,,,,n n n x y x y x y n x x x ⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅不全相等）的散点图中，若所有样本点(,)(1,2,,)i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为 （A ）1- (B) 0 (C) 12(D) 14. 方程2551616x xx C C --=的解集是（A ）{1，3，5，7} （B ）{1，3} （C ）{3，5} （D ）{1，3，5}5.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数为（A ）5254A A （B ）5255A A（C ）5256A A （D ）76764A A - 6．从1.2.3.4.5中任取2个不同的数，事件=A “取到的2个数之和为偶数”，事件=B “取到的2个数均为偶数”，则=)|(A B P (A)18 (B) 14 (C) 25 (D)127.得到的正确结论是（参考公式见第4页）(A ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” (B)有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”(C)在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关” (D)在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”8．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如下表所示，则与性别有关联的可能性最大的变量是（A ）成绩 (B) 视力 (C) 智商 (D) 阅读量 9. 已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=.若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=,则以下结论正确的是（A ）a a b b'>'>ˆ,ˆ (B) a a b b '<'>ˆ,ˆ (C) a a b b '>'<ˆ,ˆ (D) a a b b '<'<ˆ,ˆ 10.从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1m n C +种取法.在这1mn C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，一类是取出m -1个白球和1个黑球，共有01101111m m m n n n C C C C C C -+⋅+⋅=⋅，即有等式： 11m m mn n n C C C -++=成立.若(1,,,)k m n k m n N ≤<≤∈，根据上述思想化简下列式子 01122m m m k m kk n k n k n k n C C C C C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=的结果为 （A ）m m n C + (B)k k n C + (C)mn k C + （D ）k m n C +11. 二项展开式10)12(-x 中x 的奇次幂项的系数之和为（A ）23110+ (B)23110- (C)21310- (D)23110+-12.七个同学参加三个兴趣小组，每人只能参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少两个同学，则不同的参加方法有（A ）630种 (B) 210种 (C) 420种 (D) 1890种卷Ⅱ二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知离散型随机变量X 的分布列如表格所示，则=a .14.已知,x y 的取值如右表，其中m 的值被涂抹了.但是已知从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为3.5 1.3y x =-，则m = .15. 261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为 .16．用四种不同颜色给一个三棱锥模型的六条棱涂色，其中该三棱锥的六条棱互不相等，只有异面的两条棱才能涂同色，且四种颜色可以不都用，则不同的涂色方案有 种？ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)三名男生和两名女生按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？（结果用数字表示） （Ⅰ）甲、乙二人之间恰好站了两个人； （Ⅱ）两名女生从左到右由高到矮排列． 18.(本小题满分12分)盒子中有10个大小相同的球，其中有7个红球，3个白球，从中任取3个球，把取到的白球个数记为X ，求X 的分布列． 19．(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值； （Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望EX .20. (本小题满分12分)随着城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API 一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到补全22⨯列联表，并回答能否有99％的把握认为“感染呼吸系统疾病和工作场所有关” ． 参考公式：()21122122121+2++1+2-=n n n n n n n n n χ21. (本小题满分12分)（Ⅰ）求出线性相关系数，并进行相关性检验；（Ⅱ）如果,x y 线性相关，利用所给数据求,x y 之间的回归直线方程ˆˆy bxa =+； （Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求出的直线方程预测该地2015年的粮食需求量.（参考公式：线性回归方程系数公式1221n i iini i x y nx y b x nx==-=-∑∑121()()()niii nii x x y y x x ==--=-∑∑， ˆˆa y bx =-，线性相关系数公式ni ix y nx yr -=∑()()niix x y y --=∑，相关性检验临界值表：22. (本小题满分12分)已知盒中有大小相同的3个红球t 个白球共3t +个球，从盒中一次性取出3个球，取到白球的期望为56.若每次不放回地从盒中抽取一个球，一直到抽出所有白球时停止抽取，设X 为停止抽取时取到的红球个数，（Ⅰ）求白球的个数t ； （Ⅱ）求X 的分布列以及数学期望.。

辽宁省大连市第二十高级中学2014—2015学年度上学期期末考试高二数学文试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2、函数-的导数是（）A、2－1x2B、－1x2C、x－1x2D、1 x23、若,则等于（）A．B．C．D．4、已知为等比数列，，，则（）A、B、C、D、5、设，则函数的最小值是()A、12B、27C、6D、306、已知抛物线过点A（1，2），设抛物线的焦点为F，则|FA|等于（）A、6B、7C、5D、27、已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A、B、C、D、8、已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为（）A．-110 B．-90 C．90 D．1109、直线被椭圆所截的弦的中点坐标是（）A、(, －)B、(－,)C、(, －)D、(－,)10、曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A．B．C．和D．和11、已知点P为椭圆上的一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为（）A、B、C、2 D、12、若直线l被圆所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是( )A 、B ． C. D ．卷Ⅱ二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13、曲线在点处的切线方程为__________；14、若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-≥+-020022y x y x y x ，则的最大值为_______，最小值为______ .15、已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为16、已知椭圆22221,(0)x y a b a b+=>>与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则椭圆方程为三、解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）求抛物线过点的切线方程18、（本小题满分12分）已知f(x)＝，(1)若函数有最大值178，求实数的值；(2)若不等式＞对一切实数恒成立，求实数的取值范围；19、（本小题满分12分）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且有（1）求、的通项公式；（2）若，的前项和为，求；20、（本小题满分12分）已知函数-的图象在＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．21、（本小题满分12分）如图，为抛物线的焦点，A （4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且的最小值为8。

辽宁省大连第二十高级中学2015高三上期中考试数学（文）试卷考试时间：120分钟 试题分数：150分第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集R U =,集合}1|{},12|{22>=<=-x x B x A xx , 则集合B C A U ⋂等于A ．}10|{<<x x B. }10|{≤<x x C. }20|{<<x x D. }1|{≤x x 2下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -= 3.在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为 1.9A - 1.3B .1C 7.2D4.已知三条不重合的直线l n m ,,和两个不重合的平面βα,,下列命题正确的是 A. 若αα//,,//m n n m 则⊂ B. αβαβα⊥⊥=⋂⊥n m n m 则若,,, C ．若m l n m n l //,,则⊥⊥ D ． 若βαβα⊥⊥⊥⊥则且,,,m l m l5.已知平面直角坐标内的向量)32,(),3,1(-==m m b a ，若该平面内不是所有的向量都能写成by a x+（),R y x ∈的形式，则m 的值为 （A ）79-（B ）79 （C ）-3（D ）36.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=A. 31B. 32C. 63D. 647．已知圆22:(4)(4)1C x y -+-=和两点(1,0)A m -，(1,0)B m +，0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为A.7B.6C.5D.4 8 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 9已知实数y x 、满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤++≤--≥+-1012401201222y x y x y x y x ，则y x +3的取值范围为（A ）],[833-- （B ）],[1093-- （C ）],[10910-- （D ）],[8310--10.下列命题正确的个数是①命题“ 2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“ 2,13x R x x ∀∈+≤”： ②函数 22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为 π是a=1的必要不充分条件；③ 22x x ax +≥在 []1,2x ∈上恒成立2min max (2)()x x ax +≥在 []1,2x ∈上恒成立；④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ 0a b ⋅<” A ．1 B. 2 C. 3 D ．4 11.点A ，B ，C ，D 在同一个球面上, AB BC ==AC=2，若球的表面积为254π，则四面体ABCD 体积最大值为 A ．14 B ． 12 C.23D ．2 12．已知点,,P A B 在双曲线12222=-by a x 上，直线AB 过坐标原点，且直线PA 、PB 的斜率之积为31，则双曲线的离心率为 A.332 B.315C.2D.210 第Ⅱ卷二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．已知非零向量a,b 满足|a+b |=|a-b |，则<a,b>= ． 14.某几何体的三视图如图所示，根据图中尺寸（单位：m ），该几何体的体积为 . 15.已知数列1,(*)316n n a n N n +=∈-，则数列}{n a 最小项是第 项.16.已知关于x 的方程|210|xa -=有两个不同的实根12x x 、，且212x x =，则实数a= .三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）“等比数列 {}n a 中，130(),4n a n N a a *>∈=，且 31a +是 2a 和 4a 的等差中项，若21log n n b a +=(Ⅰ)求数列 {}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列}{n n b a ⋅的前n 项和.18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，直线1:10l ax y ++=与直线()222:40l b c bc x ay +-++=互相平行（其中4a ≠）.（I ）求角A 的值。

2014-2015学年辽宁省大连二十中高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M=，N={x|log2（x+1）＜2}，则M∩N=（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]2．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）二项式（ax+）6的展开式的第二项的系数为﹣，则x2dx的值为（）A．3 B．C．3或D．3或﹣5．（5分）已知，，那么sinα+cosα的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=x2+（ab﹣a﹣4b）x+ab是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点纵坐标的最小值为（）A．16 B．8 C．4 D．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50 B．45 C．40 D．358．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5分）在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∠A为锐角，则公比q等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．1或﹣210．（5分）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则+的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的个数是（）①f（x）既是奇函数，又是周期函数②y=f（x）的图象关于直线对称③f（x）的最大值为④y=f（x）在上是增函数．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）在△ABC中，已知acosA=bcosB，则△ABC的形状是．14．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，=||，则•的值是．15．（5分）某几何体三视图如图所示（正方形边长为2），则该几何体的体积为．16．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，2）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为．三．解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知向量，，且（1）求的取值范围；（2）求函数的最小值，并求此时x的值．18．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x．（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（2）已知△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若f（B+C）=，b+c=4，求a的最小值．19．（12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且na n+1=2S n（n∈N*），数列{b n}满足b1=，b2=，对任意n∈N*，都有b n+12=b n•b n+2．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…a n b n，若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＞2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+﹣（1+a）x（x＞0），其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对任意的正整数m，n，不等式++…+＞恒成立．五、选做题【几何证明选讲】22．（10分）如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O 于点H，直线HF交BC的延长线于点G．（1）求证：圆心O在直线AD上．（2）求证：点C是线段GD的中点．六、【极坐标与参数方程选讲】23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上，（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．七、【不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+）的解集非空，求实数a的取值范围．2014-2015学年辽宁省大连二十中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M=，N={x|log2（x+1）＜2}，则M∩N=（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]【解答】解：由，得﹣1≤x＜2．∴M==[﹣1，2），由log2（x+1）＜2，得0＜x+1＜4，即﹣1＜x＜3．∴N={x|log2（x+1）＜2}=（﹣1，3），∴M∩N=（﹣1，2）．故选：C．2．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：===﹣故复数（i为虚数单位）的虚部是故选：B．3．（5分）“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数y=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，它的周期是，a=±1显然“a=1”可得“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”后者推不出前者，故选：A．4．（5分）二项式（ax+）6的展开式的第二项的系数为﹣，则x2dx的值为（）A．3 B．C．3或D．3或﹣【解答】解：∵二项式（ax+）6的展开式的第二项的系数为×a5×=a5=﹣，∴a=﹣1，x2dx=×（﹣1）3﹣×（﹣2）3=﹣+=．故选：B．5．（5分）已知，，那么sinα+cosα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵==，即8tanα=﹣6，∴tanα=﹣，又，∴cosα=﹣=﹣，∴sinα==，则sinα+cosα=+（﹣）=﹣．故选：A．6．（5分）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=x2+（ab﹣a﹣4b）x+ab是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点纵坐标的最小值为（）A．16 B．8 C．4 D．【解答】解：∵函数f（x）=x2+（ab﹣a﹣4b）x+ab是偶函数，∴ab﹣a﹣4b=0，∴ab=a+4b，∵a＞0，b＞0，∴a+4b≥2=4，即ab≥4，令=t，∴t2≥4t，t≥4，即≥4，ab≥16令函数f（x）=x2+（ab﹣a﹣4b）x+ab中x=0，得，f（0）=ab，∴f（x）的图象与y轴交点纵坐标为ab，∵ab≥4，∴f（x）的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16．故选：A．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50 B．45 C．40 D．35【解答】解：依题意可知求得d=﹣1，a1=9∴S n=9n﹣=﹣n2+9n+，∴当n=9时，S n最大，S9=81﹣=45故选：B．8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．9．（5分）在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∠A为锐角，则公比q等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．1或﹣2【解答】解：∵等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，∴2a7=a8+a9，∴2=q+q2，∴q=1或q=﹣2，∵△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∴=（1，q﹣1），∵∠A为锐角，∴﹣1×1﹣q+1＞0，∴q=﹣2，故选：C．10．（5分）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），目标函数可化为y=x+z，（a＞0，b＞0），联立可解得，即A（4，6）平移直线易得当直线经过点A（4，6）时，目标函数取最大值6，代入数据可得4a+6b=6，即=1，∴+=（+）（）=+6++≥+2=+2×4=当且仅当=即a=b=时，+取到最小值，故选：D．11．（5分）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【解答】解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，），故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的个数是（）①f（x）既是奇函数，又是周期函数②y=f（x）的图象关于直线对称③f（x）的最大值为④y=f（x）在上是增函数．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵f（﹣x）+f（x）=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴函数f（x）=cosxsin2x是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，∴函数f（x）=cosxsin2x是周期函数，命题①正确；②∵f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x=对称，命题②正确；③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，则y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，则y′=2﹣6t2，令y′＞0，解得﹣，故y=2t﹣2t3，在[﹣，]上增，在[﹣1，﹣]与[，1]上减，又y（﹣1）=0，y（）=，故函数的最大值为，命题③正确；④∵t=sinx在上是增函数，而[]⊆[﹣，]，由③知，y=f（x）在上是增函数．∴正确命题的个数是4个．故选：D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）在△ABC中，已知acosA=bcosB，则△ABC的形状是△ABC为等腰或直角三角形．【解答】解：根据正弦定理可知∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，所以△ABC为等腰或直角三角形故答案为△ABC为等腰或直角三角形．14．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，=||，则•的值是3．【解答】解：设边BC的中点为D，则=2．∵2++=，∴=，∴D与O点重合．∵=||，∴△OAB是等边三角形．∴∠ACB=30°．则•==3．故答案为：3．15．（5分）某几何体三视图如图所示（正方形边长为2），则该几何体的体积为8﹣π．【解答】解：由题意，几何体是棱长为2的正方体减半个圆柱，∴几何体的体积为=8﹣π，故答案为：8﹣π．16．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，2）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为a ≥28．【解答】解：∵函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，∴f′（x）=﹣2x，∵在区间（0，2）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式＞1恒成立∴在区间（1，3）内，恒有f′（x）=﹣2x＞1，即令g（x）=2x2+3x+1，x∈（1，3），根据二次函数的性质可得g（x）max=g（3）=28，∴a≥28，故答案为：a≥28三．解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知向量，，且（1）求的取值范围；（2）求函数的最小值，并求此时x的值．【解答】解：（1）∵，∴﹣1≤cos2x≤1，∴==．∴0≤≤2．（4分）（2）∵，∴﹣1≤cosx≤0．…（6分）∵=，…（10分）∴当，即或时，取最小值﹣．…（12分）18．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x．（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（2）已知△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若f（B+C）=，b+c=4，求a的最小值．【解答】解：（1）f（x）=cos2xcos﹣sin2xsin+cos2x+1=﹣cos2x﹣sin2x+cos2x+1=cos2x﹣sin2x+1=sin（2x+）+1，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x={x|x=kπ﹣，k∈Z}时，sin（2x+）=1，则f（x）取得最大值为2；（2）由f（B+C）=sin[2（B+C）+]+1=sin（﹣2A+）+1=，得到sin（﹣2A+）=，∴﹣2A+=，即A=，∵cosA=，b+c=4，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=16﹣3bc≥16﹣=4，即a≥2，∴a的最小值为2．19．（12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．【解答】解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2==≈3.03，因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．（II）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由题意X∽B（3，），从而分布列为所以E（X）=np=3×=．D（X）=npq=3××=．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且na n+1=2S n（n∈N*），数列{b n}满足b1=，b2=，对任意n∈N*，都有b n+12=b n•b n+2．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…a n b n，若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＞2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵na n=2S n，∴（n﹣1）a n=2S n﹣1（n≥2），两式相减得，na n+1+1﹣（n﹣1）a n=2a n，=（n+1）a n，即（n≥2），又因为a1=1，a2=2，从而，∴na n+1∴（n≥2），故数列{a n}的通项公式a n=n（n∈N*）．在数列{b n}中，由，知数列{b n}是等比数列，首项、公比均为，∴数列{b n}的通项公式．（2）∴①∴②由①﹣②，得=，∴，不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）即为，即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＞0（n∈N*）恒成立．方法一、设f（n）=（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6（n∈N*），当λ=1时，f（n）=﹣n﹣6＜0恒成立，则λ=1不满足条件；当λ＞1时，由二次函数性质知不恒成立；当λ＜1时，f（1）=﹣3λ﹣4＞0恒成立，则满足条件．综上所述，实数λ的取值范围是．方法二、即（n∈N*）恒成立，令．则，由n+6≥7，单调递增且大于0，∴f（n）单调递增∴∴实数λ的取值范围是．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+﹣（1+a）x（x＞0），其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对任意的正整数m，n，不等式++…+＞恒成立．【解答】解：（1）∵，∴，①当a≤0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间是（a，1）；单调增区间是（0，a），（1，+∞）．③当a=1时，则，故函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；④当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间是（1，a）；函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．（2）由于f（1）=﹣，当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=﹣，此时，f（1）≥0，解得a≤﹣，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．（3）由（2）知，当a=﹣时，f（x）=﹣≥0，当且仅当x=1时，等号成立，这个不等式等价于lnx≤x2﹣x．当x＞1时，变换为，在上面的不等式中，令x=m+1，m+2，…，m+n，则有＞﹣，即对任意的正整数m，n，不等式恒成立．五、选做题【几何证明选讲】22．（10分）如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O 于点H，直线HF交BC的延长线于点G．（1）求证：圆心O在直线AD上．（2）求证：点C是线段GD的中点．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AF=AE∴CD=BE又∵CF=CD，BD=BE∴CF=BD又∵△ABC是等腰三角形，∴AD是∠CAB的角分线∴圆心O在直线AD上．（5分）（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，∴∠HFD=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°又∵∠G+∠FHD=90°∴∠FDH=∠G∵⊙O与AC相切于点F∴∠AFH=∠GFC=∠FDH∴∠GFC=∠G∴CG=CF=CD∴点C是线段GD的中点．（10分）六、【极坐标与参数方程选讲】23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上，（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．【解答】解：（1）点A（，）在直线l上，得cos（θ﹣）=a，∴a=，故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；（2）消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1圆心C到直线l的距离d=＜1，所以直线l和⊙C相交．七、【不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+）的解集非空，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）去绝对值可得f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|=，∴原不等式f（x）＞2等价于或或解以上不等式组取并集可得原不等式解集为；（II）f（x）图象如图所示，其中A（1，1），B（3，2），，直线绕点旋转，由图可得不等式f（x）≤的解集非空时，a的范围为赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2015—2016学年度上学期期初考试高三数 学（理）考试时间：120分钟 试卷分数：150分 命题人：卷Ⅰ一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝9，则f (2016)的值为( )A ．9B ．－9C ．3D ．－3 2. 已知函数)2(log ax y a -=在上是减函数，则a 的取值范围是 （ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．),2[+∞3. 曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A.19B.29C.13D.234. 设函数)(x f 满足：)4()(x f x f -=，且当2>x 时，)(x f 是增函数，则)1.1(9.0f a =，1.112(0.9),(log 4)b f c f == 的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >>5. 已知y ＝f (x 2log )的定义域为[21,4]，则y ＝f (x )的定义域是 （ ） A.[21,4] B.[]2,1- C.(][)+∞-∞-,21, D.(][)+∞-∞-,12, 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)0()0(12)(21x xx x f x 若00,1)(x x f 则>的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞7.已知函数2)(3-+=ax x x f 在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．上的零点个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．612. 已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，)()(/x f x xf -0<，若e e f a )(=，2ln )2(ln f b =，3)3(--=f c ，则,,a b c 的大小关系正确的是 （ ） A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．已知函数3,0,()(1),0,x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩那么5()6f 的值为 ．14.对于函数f x x ()sin =+⎛⎝⎫⎭⎪223π给出下列结论： （1）图象关于原点成中心对称；（2）图象关于直线x =π12成轴对称；（3）图象可由函数y x =22sin 的图象向左平移π3个单位得到；（4）图象向左平移π12个单位，即得到函数y x =22cos 的图象。