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(3) 矩阵的乘法不满足消去律,即如 果AB = CB, B O, 不一定能推出 A = C.
3. 运算规律
(1) Ok×mAm×p= Ok×p , Am×pOp×n= Om×n ;
(2) 设 A 是 m × n 矩阵, Em 是 m 阶单位矩 阵, En 是 n 阶单位矩阵, 则 EmA = A, AEn = A ;
其和 , 哪些不能进行加法运算 , 说明原因 ; 其和, 哪些不能进行加法运算, 说明原因; (2) 求 求C C的负矩阵 的负矩阵 (2) ..
例1 设 设 例
解 (1) A 与 B 能进行加法运算; 而 A 与 C,
B 与 C 不能进行加法运算, 因为它们不是同型矩
二、数与矩阵相乘
1.
则称矩阵
y1 a11 a12 y 2 a21 a22 b11 b12 t1 a13 b21 b22 a23 t 2 b b 31 32
y1 (a11b11 a12b21 a13b31)t1 (a11b12 a12b22 a13b32 )t2 y (a b a b a b )t (a b a b a b )t 21 11 22 21 23 31 1 21 12 22 22 23 32 2 2
b2 ,
,
a11 a12 a13 b1 2 b1 b2 b3 a21 a22 a23 b2 a a a b 31 32 33 3
b1 =( a11b1 a21b2 a31b3 a12b1 a22b2 a32b3 a13b1 a23b2 a33b3） b2 b 3
求 AB.
例 4 求矩阵
a a b b 1 1 A a a , B b b , C 1 1
计算AB ，AC和BA.
例5
Hale Waihona Puke 1 n矩阵，且 (1) 设A, B分别是n 1和 a1 a2 A , B b1 , a n 计算AB和BA. bn
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
例 利用下列模型计算两个矩阵的乘积.
矩阵乘积模型之: A2 3 B3 3
-1 54 67
. 1 例 利用下列模型验证单位矩阵的性质 2 4 2 4 54 5 6 A2 3 7 E3 3 单位矩阵的性质 : 3 67 1
0 1 2 0 4 0 763 0 666 1 0 5 6 0 1 0 -8 0 清 空 0 -9 1 7
(3) 数乘结合律：k(AB) = (kA)B = A(kB). (4) 结合律： (AB)C = A(BC);
(5) 左分配：A(B+ C) = AB + AC, 右分配：(B + C)A = BA + CA;
若令
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm ,
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aipbpj
aik bkj , i = 1, 2, · · ·, m
k 1
p
; j = 1, 2, · · · ,n,
则称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积, 记作 C = AB.
注意:
只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第
例
总收入与总利润
设某地区有甲、乙、丙三个工厂, 每个工厂都 生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 4 种产品. 已知每个工厂的年产量(单位: 个) 如下表所示: 求各工厂的总收入与总利润.
四、方阵的幂
１. 定义
AA A 如果 A 是 n 阶方阵, 那么, AA 有意义,
也有意义, 因此有下述定义:
2. 运算规律
设 A, B 为同型矩阵, k, l 为常数，则 (1) 1A = A;
(2) k(lA) = (kl) A; (3) k(A + B) = kA + kB;
(4) (k + l)A = kA + lA.
矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算.
例2设 设 例 3 3 A A 2 2
若记 - A = ( -aij) , 则称 -A 为矩阵 A 的负矩
阵. 显然有 A + (-A) = O. 由此可定义矩阵的差为
A - B = A + (-B) .
2 5 5 3 3 2 2 2 9 5 9 5 A 1 0 , B 4 5 , C . A 1 0 , B 4 5 , C 4 3 . 3 7 3 9 4 3 3 7 3 9 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算 问三个矩阵中哪些能进行加法运算 并求 (1) , ,并求
1 0 例 设 例 设A 0 1 , 1 0 0 1 0 解 A 0 A 0 1 0 , 0 计算 A2, A3, An (n>3). 0 0 2 3 n
计算 A , A , A (n>3).
第二节
主要内容
矩阵的加法 数与矩阵相乘
矩阵的运算
矩阵的转置
方阵的行列式 共轭矩阵
矩阵的乘法
方阵的幂
一、矩阵的加法
1. 定义 定义 2 设 A = (aij)m×n 与 B = (bij)m×n 是
两个同型矩阵，称 m×n 矩阵 C = (aij + bij)m×n 为矩
阵 A 与矩阵 B 的和，记为 A＋B．
2 2 a11b12 a22b2 a33b3 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
a11 a12 a13 b1 解 b1 b2 b3 a21 a22 a23 b2 a a b a 31 32 33 3
关于矩阵的乘法运算, 需要注意以下几点:
(1) 矩阵的乘法运算不满足交换律.
AB 有定义, BA不一定有定义. 如例3中 的矩阵A 和 B , AB 有定义, 但 BA 就没有定义. 即 如例4 使AB与BA 都有定义, 它们也不一定相等. 中AB和BA 虽然都有定义, 但 AB BA. 所以, 在
作乘法时,应指明它们相乘的次序. 如 AB 读作“A
左乘 B”或“B 右乘 A”. 但并不是说对任意的两个矩阵 A和B ,必有 AB BA
(2)
两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
A O, B O, 但 AB= O.
例如, 本节例4中
反过来，如果 AB 0 不能推出 A 0或B 0 的结 论.
2.
运算规律
设 A, B, C 为同型矩阵, 则
(1) A + B = B + A ( 加法交换律) ;
(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合 律); (3) A + O = O + A = A, 其中 O 与 A 是 同型矩阵; (4) A + ( -A ) = O .
定义
设 A = ( aij )m×n , k 是一个数,
定义 3
k a11 k a21 （k aij） mn ka m1
k a12 k a22 k am 2
k a1n k a2 n k amn
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积, 简称数乘, 记为 kA.
m 个A
定义
设 A 是 n 阶方阵, m 是正整数, m 个
Ａ相乘称为 Ａ 的 m 次幂，记为 Ａm , 即
A
m
AA A.
m 个A
另外还规定，
Ａ0 = E.
2.
运算规律
设 A 为方阵, k, l 为正整数, 则
AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl . 又因矩阵乘法一般不满足交换律, 所以对于两个 n 阶方阵 A 与 B , 一般来说 (AB)k AkBk .
例6 设
0 1 ,
2, A3, An (n>3). 计算 A 这一步很关键 解法一： 解 !2 1 0 1 也很巧妙 0 解 设 解法二： 2 A 0 1 0 1 0 0 0 A = E + B, 0 0 0 0 1 0
0 2 2 0 , B B , 1 2 1 2
1 1 ,, 2 2
且 X. A 3X 3 XB, 求矩阵 B, 求矩阵 且 2A 2 X.
解 在 2 A 3 X B , 两端同加上 2 A
得
3X 2 A B
2
2
0
其中 E 为三阶单位矩阵, B 0 0 1 ,
五、矩阵的转置
1. 定义
定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到
一个新矩阵, 叫做 A 的转置矩阵, 记作 AT 或 A′. 例如矩阵
1 3 2 8 A 5 2 1 0
5 2 . 1 0
1 单位矩阵的性质 : E3 A 15 330 179 33 1 2 33
28 1 4 0
双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程 0 02 1 5 -6 1 1 3
例 3 已知
1 2 A 1 3 1 1 1 4 , 1
