3.2二次根式的乘除(1)

二次根式的加减乘除法则
两个二次根式之和的形式是√a±√b。

如果两个二次根式的被开方数
相同，即a=b，则可以直接将它们的系数相加或相减，而保持根号下的数
不变。

具体来说，√a±√a=2√a，√b±√b=2√b。

例如，√2+√2=2√2，√3-√3=-2√3
如果两个二次根式的被开方数不同，即a≠b，则无法直接相加或相减。

在这种情况下，我们需要使用特殊的二次根式加法形式，即将二次根
式相加或相减后的结果进行化简。

具体步骤如下：
1.将二次根式分解成最简形式，即将每个二次根式的被开方数分解成
质因数的乘积。

2.将两个二次根式按照被开方数分别进行分组。

3.在每组中找出被开方数相同的二次根式，并将它们的系数相加或相减，而保持根号下的数不变。

4.将每组中的结果相加或相减，得到最终的结果。

两个二次根式的乘积可以按照分配律展开，然后进行合并同类项。

具
体步骤如下：
1.将每个二次根式的被开方数分解成质因数的乘积。

2.将两个二次根式的系数相乘。

3.将每个二次根式的根号下的数相乘，并合并同类项，即将被开方数
相乘后的结果进行化简。

4.将步骤2和步骤3的结果相乘。

除法可以转化为乘法，即将被除数乘以除数的倒数。

具体步骤如下：
1.将被除数和除数分别进行质因数分解。

2.将被除数和除数的系数相乘。

3.将被除数的根号下的数除以除数的根号下的数，并将结果进行化简。

以上就是二次根式的加减乘除法则的详细解释，希望能对您有所帮助。

初 三 数 学（3.2二次根式的乘除 第1课时）教学目标：1．运用二次根式的乘法法则b a ab ∙==b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥进行相关计算． 2． 使学生能掌握积的算术平方根的性质：b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥熟练解题．教学重点：积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则．教学难点：积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则的理解与运用． 作业布置：P 67 1、2． 教学过程： 一、自主探究1．复习：什么是二次根式? 已学过二次根式的哪些性质? 2． 计算：（1）= ，= ；（2）= ，= ；（3）2)32(×2)53(= ，22)53()32(⨯= ．文字语言叙述：二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变．3文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．二、自主合作例1．计算： (1)322⋅ (2)821⋅ (3))0(82≥⋅a aa练习：课本62页练习1．例2．化简：（1 （2）)0(43≥a a （3）324b a (a ≥0，b ≥0)一般地，二次根式运算的结果中，被开放数中应不含开得尽方的因数或因式． 练习：课本62页练习2．三、自主展示1．练习：例363页练习2 例4 63页练习1 2．计算（1= ， （2） = ，（3）a a 1052⋅= )0(≥a ， 3．化简（1 =，（2）3）449y x = ，（4）4254b a = )0(≥a ．4．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正． （1=（2）2516)25()16(-⨯-=-⨯-由题（1）（2）你能归纳出结论：． 5．求下列式子有意义的x 的取值范围． （1 （2）x x x x -∙+=-+21)2)(1( （3）1112-=-∙+x x x四、自主拓展1．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为 ． 2. 如果2223+-=+a a aa 则实数a 的取值范围是 ．3.把二次根式xx --11)1(中根号外的因式移到根号内，结果是__________．4．探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）（2）（3）=（4）=，…观察以上等式, 请你用含字母a 的等式表示一般结论，并验证你的结论．五、自主评价1．本节课你学到了哪些知识？ 2．本节课中你最大的收获是什么？教学反思：()()=-⋅-xy x y x 2218)4()0(>>y x。

课题：二次根式的乘除（1）教者： 一、教学目标:(1)使学生能掌握积的算术平方根的性质：b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥；.(2)使学生能运用积的算术平方根的性质熟练解题。

(3)使学生能掌握并能运用二次根式的乘法法则b a ab ∙==b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥并进行相关计算。

教学重点： 积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则教学难点：积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则的理解与运用 教学过程：一、探索活动: 1.计算：（1）425⨯=_______________ 425⨯=_______________ （2）169⨯=_______________ 169⨯=_______________（3）2)32(×2)53(=_______________22)53()32(⨯=_________ 2．请同学们观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？学生分小组讨论。

你还能举一些类似的式子吗？（至少举出三例）____________________ _________________ __________________由上述各式，我们可以推测出：b a ab ∙=________b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥ 4．概括：一般地，两个二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变. 5．由以上公式逆向运用可得: b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.三、例题教学例1、计算： (1)322⋅ (2)4831⋅ （3）814⨯练习（注意书写步骤）（1）9416⨯(2) 29223⋅ 例2、化简：（1）24， （2）3a )0(82≥⋅a a a （3）324y x (x ≥0，y ≥0)小结：如何化简二次根式？（关键：将被开方数因式分解或因数分解，使出现“完全平方数”或“偶次方因式”）四、当堂练习：1.化简72的结果是 （ ） A. 36 B. 26 C. 62 D. 562.下列等式中，正确的是 （ ）A 、x x =931B 、x x 552=C 、15)35(2=D 、m m 55= 3.计算：（注意书写各式） （1）515⨯ （2）6622⨯（3） )18(243x x ⨯ （x ≥0） （4）3858327⨯⨯4.化简：（注意书写各式）（1）2000 （2）5438c b a （a ≥0 0b ≥ 0c ≥） （3） 224y x x + （0x ≥）五、课堂小结从本节课的学习中，你有什么收获六、布置作业习题3.2 第一、二题。

A B C第三章 二次根式教学案 苏教版3．1 二次根式教学目标:(1) 了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.(2) 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a ≥0时，()2a = a ；能运用这个性质进行一些简单的计算。

(3) 通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法。

教学重点：二次根式的概念以及二次根式的基本性质 教学难点：经历知识产生的过程，探索新知识． 教学过程： 一、预习（ 一）.知识回顾1．什么叫平方根? 什么叫算术平方根? 2． 计算:的平方根是 .(2)如图,在R ∆t ABC 中,AB=50m,BC=a m,则AC= m. (3)圆的面积为S,则圆的半径是 .(4)正方形的面积为3-b ,则边长为 .3.对上面（2）~（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗? 得出：二次根式的定义.______________________________________________________ 二、例题讲解例1:说一说,下列各式是二次根式吗?(1)32 (2)6 (3)12- (4))0(≤-m m(5)x xy (、y 异号) (6)12+a (7)35例2:a 取何值时,下列二次根式有意义.(1)1+a (3) a 101- (2) a211- （4）2)1(-a （5）2x -练一练：书P59、1 三、二次根式性质的探索：1、二次根式性质的探索：22= ，即（4）2= ； 32= ，即（9）2= ；……观察上述等式的两边，你得到什么启示？得出二次根式的性质1： 揭示：当a ≥0时，()2a = a 。

2、例3、计算：（1）2)3(； （2）2)32(； （3） 2)(b a + （a+b ≥0）（4=0，求x,y 的值。

（5）已知：3+,求y x 的值3、练习. （1）=2)32(（2）2)32(-= 四、课堂小结 引导学生总结1、二次根式?你们能举出几个例子吗?2、a ≥0时，()2a = ？五、课堂检测 一、填空题。

初 三 数 学（3.2二次根式的乘除（1））设计：毛云峰 审校：丁宁 时间： 班级 学号 姓名一、选择题 1.计算82⨯的结果是 （ ）A .82B .10C .24D .4 2.的值估算324+ ( )A .在5和6之间B .在6和7之间C .在7和8之间D .在8和9之间3.当0,0>>y x 时，下列正确的是 （ ） A .xy y x =2B .xy x y x 393= C .xy y x yx 22439= D .xy y x 392=4．若2223+-=+x x x x ，则x 的取值范围是 （ ）A ．x ＜0B ．x ≥－2C ．－2≤x ≤0D ．－2＜x ＜0 5．若=a 的取值范围是 （ ）A ．44a -≤≤B ．4a >-C ．4a ≤D ．44a -<< 二、填空题 6.直接写出结果: （1）25= ；（2）56= ；（3）621⨯= .7．正方形的面积为27,则这个正方形的边长为 .8．一个直角三角形的两条直角边长为10㎝和5㎝，则这个直角三角形斜边上的中线长为 ㎝. 9.如果)2(2-=-⨯x x x x ,那么x 的取值范围是 .10．化简)1(223>+-x x x x 的值为 .三、解答题 11.计算 （1）728⋅（2）25641⋅ （3）63312⋅⋅（4）)0,0(1276>≥⋅y x y（5）())0,0(453≥≥-⋅b a b a ab （6）42218nm mn ⋅12.化简（1）12149⨯ （2）)169()25(-⨯- （3）16.049⨯（4（5（6）32464.0904.0⨯⨯⨯13. ()的值求满足、已知b ab ab a b a b a -⋅=++++-2,072142.14. 同学们已经学习了不少关于二次根式的知识，老师为了解同学们掌握知识的情况，请同学们根据所给条件求式子+的值，可小明却把题目看错了，根据条件他得到-2+。

第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除1．二次根式的乘法法则（1）一般地，二次根式的乘法法则是：__________(00)a b a b =≥≥，．语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________．在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件． 000)a b c abc a b c =≥≥≥，，． ②00)a b c d bd b d =≥≥，，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用00)ab a b a b =≥≥，．语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0．实际上，a ≥0，b ≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． 0000)abcd a b c d a b c d =≥≥≥≥，，，．运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），(00)ab a b a b =≥≥，2(0)a a a =≥将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．利用积的算术平方根的性质化简的步骤：①将被开方数进行因数分解或因式分解；②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．2．二次根式的除法法则（1）一般地，二次根式的除法法则是：0__________0)a b =≥，． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变．【注意】①a ≥0，b >0时，式子才成立，若a ，b 都是负数，虽然0a b >在实数范围内无意义；若b =0，a b则号无意义． ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．（2）二次根式除法法则的逆用00)a b =≥>， ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．公式中的a ，b 表示的代数式必频满足a ≥0，b >0，a ≥0，b >0是限制公式右边的，对公式的左边，只要0a b≥且0b ≠即可．利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a ≥0，b >0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含__________；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．K知识参考答案：1．ab，不变2．>，相除3．分母K—重点二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断K—难点二次根式的乘法法则和除法法则的逆用K—易错运算顺序错误；忽视隐含条件一、二次根式的乘法1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的．2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方．【例1】下列计算正确的是A．25×35=65B．32×33=36C．42×23=85D．22×63=126【答案】D⨯⨯得【例2】916144A．144 B．±144 C．±12 D．12【答案】A⨯⨯．故选A．916144⨯⨯916144=3412=144二、二次根式的除法1000)a b c ÷=≥>>，，；2．((()m n ÷=÷⋅，其中000a b n ≥>≠，，．【例3】=成立的条件是 A ．a 、b 同号B ．a ≥0，b >0C ．a >0，b >0D ．a >0，b ≥0 【答案】B【解析】由二次根式的非负性可知，a ≥0，b ≥0，由于b 是分母，故b >0．故选B ．【例4】计算A ．B ．23xC ．D x 【答案】C【解析】原式=4×C ． 三、二次根式的乘除混合运算二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．二次根式乘除混合运算的一般步骤：（1）将算式中的除法转化为乘法；（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；（3）将系数和被开方数分别相乘；（4）化成最简二次根式．【例5】A B C D ．【答案】A==．故选A．四、最简二次根式判断二次根式是不是最简二次根式的方法：一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母．二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式．三判断：得出结论．【例6】下列根式中，是最简二次根式的是A B C D【答案】C【解析】因为：A=；B=；D||b=，所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选C．。

3.2 二次根式的乘除(1)备课时间: 主备人:【学习目标】：1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

【重点难点】：重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

【预习指导】1、计算：（1）4×9=______ 94⨯=_______（2）16 ×25 =_______ 2516⨯=_______（3）100 ×36 =_______ 36100⨯=_______2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）4×9_____94⨯（2）16×25____2516⨯（3） 100×36__36100⨯【新知概括】二次根式的乘法法则：【典型例题】例1、计算：（1）2×32；（2）21×8； （3）a 2a 8（a 》0）例2、计算（1）12；（2）3a （a 》0）； （3）32b a 4（a 》0，b 》0）注意：一般地，二次根式运算的结果中，被开方数应不含有 。

例3：思维拓展（1）236； （2）21a 23a 8二次根式乘法运算的拓展：【课堂练习】1、计算：（1）20×5； （2）32×28； （3）8×18； （4）3a 6×2a 32、化简：（1）2516⨯；（2）150； （3）a 45（a ≥0）；（4）32b a 9（a ≥0，b ≥0）（5）221026-【知识梳理】a·b=ab（a≥0，b≥0）ab=a·b（a≥0，b≥0）【课后作业】1、化简：（1（2）（3（4（5（6（7（8）（9（10（0b≥）a≥02、计算：⑴xy·yxy⑵18·24·27（3 x3·23=x的取值范围。

《16.2 二次根式的乘除（第1课时）》教学设计《16.2 二次根式的乘除（第1课时）》教学设计一、内容和内容解析1.内容二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.2.内容解析二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章，因此承担着整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务.本节研究二次根式的乘法运算.运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则.基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.二、目标和目标解析1.教学目标(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;(2)会用公式化简二次根式.2.目标解析(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?师生活动学生回答。

【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质.问题2 教材第6页“探究”栏目，计算结果如何?有何规律?师生活动学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容.【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则.要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识.2.观察比较，理解法则问题3 简单的根式运算.师生活动学生动手操作，教师检验.问题4成立的条件是什么?等式反过来有什么价值?师生活动学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质.【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况.乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力.3.例题示范，学会应用例1 化简：(1); (2).师生活动提问：你是怎么理解例(1)的?如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成可以吗?你认为本题怎样才达到了化简的效果?师生合作回答上述问题.对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质将其移出根号外.再提问：你能仿照第(1)题的解答，能自己解决(2)吗?【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向.积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简.例2 计算：(1); (2); (3)师生活动学生计算，教师检验.(1)在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由直接可得而不必先写成再分解;(2)二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用的.对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再对根式进行运算;(3)例(3)的运算是选学内容.让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算.本题先利用积的算术平方根的性质，得到，然后利用二次根式的乘法法则，变成，由于可以判断，因此直接将x移出根号外.【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算.让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用.教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号.可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题.4.巩固概念，学以致用练习：教科书第7页练习第1题. 第10页习题16.2第1题.【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况.5.归纳小结，反思提高师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：(1)你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗?(2)你能说明乘法法则逆用的意义吗?(3)化简二次根式的基本步骤是怎样?一般对最后结果有何要求?6.布置作业：教科书第7页第2、3题.习题16.2第1，6题.五、目标检测设计1.下列各式中，一定能成立的是( )A.B.C.D.【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础.2.化简______________________________。