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外接球与内切球专题复习第一部分 外接球类型一、正方体 （a R 23=，a 为正方体的边长） 例1、已知正方体的棱长为1，则该正方体的体对角线长为______：外接球的表面积为______．变式1、已知正方体的棱长为2，则该正方体的外接球的直径为（ ）． A ．2 B ．3C ．22D ．232、正方体的边长为a ，则该正方体的外接球的直径长（ ） A ．aB ．2aC ．2aD ．3a例2、已知正方体的外接球的体积是43π，则这个正方体的棱长是( ) A ．23 B ．33 C ．223D ．233变式1、已知正方体外接球的表面积为16π，那么正方体的棱长等于________。
2、球是正方体的外接球，若正方体的表面积为，球的表面积为，则__________．类型二、长方体（2222c b a R ++=，c b a 、、为长方体的长、宽、高）例1、已知在长方体1111ABCD A B C D -中，棱长3AB =，4=AD ,15AA =,则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．25π B ．30πC ．45πD ．50π变式1、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==12AA =，则长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．32π2、在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，1D B 与DC 所成的角是60︒，则长方体的外接球表面积是（ ）A ．16πB ．8πC ．4πD ．42π3、已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的对角线长是 ；它的外接球的体积是 ．4、一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为__________．类型三、圆柱（222)21(h r R +=，为高为底面圆半径，为外接球半径，h r R ）例1、已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为_____________．变式1、若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．例2、若半径为2的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积为8π时，圆柱的体积为__________．变式1、已知圆柱的高为3，其外接球直径为2，则该圆柱的侧面积为__________．2、已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π3、若侧面积为的圆柱有一外接球O ，当球O 的体积取得最小值时，圆柱的表面积为______.4、半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是（ ） A ．22R πB ．252R πC ．23R πD ．272R π类型四、圆锥（222)-(R h r R +=，为高为底面圆半径，为外接球半径，h r R ）例1、底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O 的表面积为( )A ．6πB ．12πC ．8πD ．16π变式1、已知圆锥的底面半径为4，高为8，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）A ．10πB ．64πC ．100πD ．5003π2、已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的表面积为1S ，外接球的表面积为2S ，则12S S =（ ） A ．3:8 B ．9:16 C ．1:4 D ．1:83、已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是( )A ．43π B ．4π C ．163πD ．16π4、已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为，则该圆锥外接球的表面积为__________．类型五、直棱柱与正棱柱（补圆柱，222)21(h r R +=为高为底面外接圆半径，为外接球半径，h r R ）例1、已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32变式1、一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 。
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点 . 考查学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用 .一、直接法 (公式法 )1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ______________ .27.例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 ______________.4 3.2、求长方体的外接球的有关问题例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.14.例 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为 16，则这个球的表面积为（）.A.16B.20C.24D.32C.3.求多面体的外接球的有关问题例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知9该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 8，底面周长为３，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有6x 3,x 1 ,93 x26 2 h,h．843r132，球心到底面的距离d∴正六棱柱的底面圆的半径2.∴22V球4 外接球的半径Rr d 1. 3.小结 本题是运用公式 R 2r2d 2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式 .二、构造法 (补形法 )1、构造正方体例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 _______________.9.例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积S4R29.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径为R，则有 2Ra2b2c2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
考点14 空间几何体的内切球、外接球近年来在高考中经常有多面体与球的切与接的问题，充分体现了对学生空间想象能力，运算求解能力和转化思想的考查，题目难度为中等或偏难．为了便于学习和掌握此类问题的求解方法,下面结合高考题进行了以下归纳：类型一求多面体与内切球或外接球的表面积和体积类型二多面体的内切球或外接球的最值问题【例】一个正方体内接于球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是( )A．（1）（3）B．(2）(4）C．（1）（2）（3）D．（2）（3）（4）【答案】C【思路归纳】解决此类问题，必须多观察几何体，提高空间想象力．1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( )A．8π B．6πC．4πD．π【答案】C【解析】设正方体的棱长为a，则a3＝8，即a＝2．故该正方体的内切球的半径r＝1，所以该正方体的内切球的表面积S＝4πr2＝4π．【解题技巧】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，可作出合适的截面图．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C． D．【答案】B【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a．【规律方法】已知几何体的结构特征求其内切球或外接球的表面积与体积，关键是正确分析已知几何体的各项数据，从中推导出其内切球或外接球的半径再代入公式即可．3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】S 表＝4πR 2＝6π，所以R ＝26．设正四棱柱底面边长为x ，则x 22＋1＝R 2，所以x＝1．所以V 正四棱柱＝2．故选B ．4．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为( )A ．34πB ．4πC ．36πD ．32π【答案】D5．已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是( ) A ．π B ．2πC ．3πD ．4π 【答案】D【解析】由题意得SO =r 为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是×2r ×r =r 2,所以三棱锥体积是，又球的体积为，则球的体积与三棱锥体积之比是4π．6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ）A ．cm 3 B ．cm 3C ．cm 3D ．cm 3 【答案】A【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R -2，则，解得R =5，∴球的体积为=3500π，故选A ．【解题技巧】分清球被正方体上面所截得的圆的半径为R ，然后再求出这个圆的圆心到球的对应顶点的距离，最后在球心、圆心、球的顶点所构成的直角三角形中运用勾股定理求球体的半径．7．已知正方体的棱长为a ，分别求出它的内切球、外接球及与各棱都相切的球半径．(2R )2＝(a )2＋a 2⇒R ＝23a ．（3）与正方体的各棱均相切的球与正方体相连结的点是正方体各棱的中点，应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图（3）所示，易求得球的半径为22a ．1．表面积为16π的球的内接正方体的体积为( )A ．8B ．24C ．D ．16【答案】C【解析】设表面积为16π的球的半径为r,则4πr 2=16π,解得r =2．设内接正方体的棱长为a ，则a =2r ，所以a =．所以内接正方体的体积V =a 3=．2．在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．29πC ．6πD ．332π【答案】B【解析】由题意知，底面三角形的内切圆直径为4．三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V 的最大值为29π．3．面积为的正六边形的六个顶点都在球的球面上，球心到正六边形所在平面的距离为，记球的体积为，球的表面积为，则的值是（）A．B．C．D．4．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A．B．C．D．【答案】A黄海明珠烟台黄海游乐城中的海水中一个巨大的球形建筑，高30米，直径21．8米，由不锈钢网架结构筑成，叫做“黄海明珠”，球内共分六层，主要以游客餐饮娱乐为主．。
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习高考数学：内切球和外接球问题多面体的顶点都在同一球面上时，称该多面体为球的内接多面体，该球为多面体的外接球。
多面体外接球问题是立体几何的重点，也是高考的热点，考查学生的空间想象能力和化归能力。
解决该问题需要运用多面体和球的知识，并特别注意多面体的几何元素与球的半径之间的关系。
多面体外接球半径的求法在解题中往往起到至关重要的作用。
一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1：若正方体的棱长为3且顶点都在同一球面上，求该球的表面积。
解析：要求球的表面积，只需知道球的半径。
由于正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径。
故表面积为27π。
例2：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为多少？解析：要求球的体积，还需先求出球的半径。
由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线长为3√3.因此，该球的半径为3，故该球的体积为36π。
2、求长方体的外接球的有关问题例1：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1、2、3，则该球的表面积为多少？解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为√14，故球的表面积为14π。
例2：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则该球的表面积为多少？解析：正四棱柱也是长方体。
由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2、2、4.故该球的表面积为24π。
3、求多面体的外接球的有关问题例：一个底面为正六边形的六棱柱，侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为3，则该球的体积为多少？解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h。
由底面周长可得x=3/6=1/2，由体积可得h=4/3.因此，正六棱柱的底面圆的半径为√3/2，外接球的半径为√13/2.故该球的体积为(52/3)π。
2019年上海高中数学 补充材料（八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球）类型一：墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径,三棱锥与长方体的外接球相同）：图2图3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。
（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面 积为（ ）π11.A π7.B π310.Cπ340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）：1．题设：如图5，⊥PA平面ABC解题步骤：第一步：将ABC∆画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：1O为ABC∆的外心，所以⊥1OO平面ABC，算出小圆1O的半径rDO=1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得rCcBbAa2sinsinsin===），PAOO211=；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(rPAR+=⇔22)2(2rPAR+=；②2122OOrR+=⇔212OOrR+=2．题设：如图6，7，8，P的射影是ABC∆的外心⇔三棱锥ABCP-的三条侧棱相等⇔三棱锥ABCP-的底面ABC∆在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点图6图7-1图7-2图8图8-1图8-2图8-3解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC∆的外心1O，则1,,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径rAO=1，再算出棱锥的高hPO=1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA+=⇒222)(rRhR+-=，解出R.方法二：小圆直径参与构造大圆。
例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为A．π3B．π2C．16πD．以上都不对图5类型三：切瓜模型（两个平面互相垂直）：图9-1图9-2图9-3图9-41．题设：如图9-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R 。
2．如图9-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=3．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R4．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 。
（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 （3）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60，则该三棱锥外接球的体 积为（ ）A ．π B.3π C. 4π D.43π（4）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为（ ） ABCD类型四：汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）：图10-2题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r h R +=⇒22)2(hr R +=，解出R例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 （2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 。
（4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 。
类型五：折叠模型：题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)第一步：先画出如图所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+例 5 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .类型六：对棱相等模型（补形为长方体）：题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， 补充：abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=- 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R ，例如，正四面体的外接球半径可用此法。
例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个 截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .图12图11(1)题（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．433 B ．33 C ．43 D ．123（3）在三棱锥BCD A -中，若,4,3,2======BD AC BC AD CD AB 则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 。
（4）在三棱锥A BCD -中，5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 . （5）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为类型七：两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型：图13题设：90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 21====，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径） 例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π3125（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 ．类型八：锥体的内切球问题：1．题设：如图14，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高； 第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r2．题设：如图15，四棱锥ABC P -上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高； 第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出 3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3习题：1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.9 2． 三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于 . 3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 . 4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .5． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .6． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .图14A图15D。
