轴对称现象及简单的轴对称图形

七年级数学第五章生活中的轴对称第一部分知识要点1、轴对称现象如果一个图形沿着一条折叠，直线两旁的部分能够互相，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作它的．对称轴是直线．对于个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成，这条直线就是对称轴．2、简单的轴对称图形（1）角是轴对称图形，它的对称轴是它的平分线所在的直线．角平分线上的点到的距离相等；到一个角的两边距离相等的点，在上．（2）线段是轴对称图形，线段的是它的一条对称轴．线段的上的点到这条线段两个端点的距离相等．的点，在这条线段的垂直平分线上．轴对称和轴对称图形的区别与联系：区别：(1)轴对称是________个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形；(2)轴对称是对两个图形说的，轴对称图形是对_______个图形说的．联系：(1)它们的定义中，都有沿某直线折叠，图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形，反过来，把轴对称图形的两部分当作两个图形，那么这两个图形成轴对称．3、探索轴对称的性质轴对称图形的对应点所连的线段被垂直平分．如果对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．轴对称图形相等，相等．4、等腰三角形的性质（1）对称性：________________________________________________________________________ (2)“三线合一”:________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ (3)“等边对等角”:________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 5、线段垂直平分线的定义：_________于一条线段，并且__________这条线段的______________.。

- .第五章生活中的轴对称第1、2节轴对称现象和探索轴对称的性质•知识点聚焦1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做该图形的对称轴.注：（1）轴对称图形是一个图形，且这个图形被对称轴分成的两部分，对折后能够重合.（2）对称轴是一条直线，不是线段，也不是射线.（3）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条.（但至少有1条）（4）常见的轴对称图形：线段、角、等腰三角形、菱形、长方形、圆等。

2.成轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形成轴对称，这条直线就是这两个图形的对称轴.注：（1）两个图形成轴对称是指两个图形之间的形状和位置关系.（2）全等的两个图形不一定成轴对称，成轴对称的两个图形一定全等.3.轴对称图形与成轴对称的区别、联系与应用（1）区别：①轴对称图形是一个图形，成轴对称涉及两个图形；②轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形，成轴对称是说两个图形的位置关系；③轴对称图形的对应点在同一个图形上，成轴对称的对应点，分别在两个图形上；④轴对称图形不一定只有一条对称轴，成轴对称的两个图形只有一条对称轴.（2）联系：①都是沿某直线翻折后能够互相重合；②如果把成轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形，反之，如果把轴对称图形沿着对称轴分成两部分，那么这两部分就是关于这条对称 轴成轴对称.（3）应用：在数学里利用轴对称主要是求最短距离，证明线段相等，角度相等，图形全等。

其他方面如桌球路线、光线入射反射等情况。

4.轴对称的性质（1）关于某直线对称的两个图形是全等形.（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分. （3）如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段（对应的中线、高线、角平 分线等）相等，对应角相等.（4）对应点的连线互相平行（或在同一直线上）. 注：（1）如何判断轴对称图形上的对应点和对应线段.判断两个点是不是对应点：判断的标准是连接两个对应点的线段被对称轴 垂直平分. 若找到了对应点，则对应线段自然就找到了. （2）轴对称的应用利用轴对称可以解决线段之和最小的问题.①将军饮马②建桥问题(要求桥垂直两岸)方法：作A 点关于直线1l 的对称点A '，方法：作2l BC ⊥，使d BC =，连结AC 交1l 于点D ，作1l DE ⊥交 d 1l 2C BD EA连接B A '交1l 于点P ,点P 即2l 于点E ，DE 即为建桥位置.5.利用轴对称性质作图（1）求作对称轴（2）求作与已知图形成轴对称的图形典型例题 数的运算中会有一些有趣的对称现象，比如“1的金字塔”，你能发现其中的规律吗？按你发现的规律把下面的式子补充完整.121112=；123211112=； 123432111112=； =211111； =2111111.分析：观察可知321123111112n n =个方法：先确定图形的两个对应点，再作 以这两个对应点为端点的线段的垂直 平分线，这条垂直平分线就是它的对 称轴. 方法：①确定代表已知图形的关键点； ②分别作出这些关键点关于对 称轴的对应点；③根据已知图形连接这些对应 点.•例1.下图是由小正方形组成的“L ”图案，请你在图中添一个小正方形，使它变成轴对称图形，要求用三种方法.分析：要想添加图形使原图变成轴对称图形，首先要确定对称轴.如下图所示，需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A ,B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置.分析：利用轴对称图形的性质可作A 关于公路的对称点A '，连接B A '，与公路的交点就是点P 的位置.解：如图②，点P 就是飞机场所在的位置.如下图所示，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为多少？分析：折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称，例4.图①A '例3.因此E B BE '=，C B BC '=，F C CF '=，于是图中①②③④四个三角形的周长之和正方形的周长.正方形的周长为3248=⨯.如下图所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30A ，将BC 向BA 方向折叠，使点C 落在BA 上的C '处，折痕为BE ，请你探究C A '与EC 有什么样的关系？并说明理由. 分析：折叠后BCE ∆和E C B '∆是以BE 为对称轴的两个三 角形，以此为突破口得到E C B BCE '∠=∠，再由︒=∠30A ， 可以得到C E AC '=，则C E AC '=. 解：C E AC '=，理由如下：因为CE 与E C '关于BE 对称，所以C E EC '=，B C E C '∠=∠. 在ABC Rt ∆中，︒=∠30A ，所以︒=︒-︒=∠-︒=∠60309090A C . 所以︒='∠60B C E .所以︒=︒-︒=∠-'∠='∠303060A B C E C AE . 所以C AE A '∠=∠.所以C E AC '=.如下图①所示，已知AOB ∠一定点P ，试在OB OA ,上各找一点M ，N ,使得PMN ∆的周长最短.分析：利用“两点之间，线段最短”的原理，通过轴对称找到对应的点，就可以找出满足最小 值的点.例5. AB CEC '例6.AO BP • AOBP •N解：如图②所示，作点p 关于OB OA ,的对应点21,P P ,连接21P P ，分别交OB OA ,于点N M ,.利用轴对称的性质可得M P PM 1=,PN N P =2,所以PMN ∆的周长为N P MN M P MN PN PM 21++=++.因为21,P P是定点，两点之间，线段最短，所以N P MN M P 21++最小，即图②中的点N M ,即为所求的点.已知MON ∠小于︒60，D A ,分别是ON OM ,上的点，由于实际设计的需要，需在OM 和ON 上分别找出点B C ,，使CD BC AB ++最短，应如何找？分析：解“两线+两点”型最短路线问题需要通过两次轴对称变换，得到所需的点与最短路线.解：如右图所示，作点A 关于ON 的对称点A ',点D 关于OM 的对称点D '，连接D A '',分别交ON OM ,于点B C ,，则点C B ,就是所求的点，此时CD BC AB ++最短.如下图，EFG ∆与ABC ∆关于某直线成轴对称，请用不同的方法确定对称轴.分析：确定对称轴的关键是利用对称轴垂直平分 对应点的连线和对应边或其延长线的交点在对称轴上.解：如下图①②③④.例7. A ••A ' O D D 'M N例8.方法一：如图①，连接对应F C ，和对应点D A ，，再取F C ，和D A ，的中点N M ，，连接MN ，直线MN ABCD EF 方法二：如图②，连接对应F C ，，再作F C ，的垂直平分线N M ，，直A 类变式练习：1.下列交通标志中是轴对称图形的是()A B C D EF M N A B C D EF M N AB C D EF ③ MNMNA BC D EF ④方法三：如图③，连接对应F C ，，再延长线段BC 和EF 交于点M ，过M 点作CF 的垂线，连接MN ，直线MN 就是所求作的对称轴. 方法四：如图④，延长线段BC 和EF 交于点M ，再延长线段BA 和ED 交于点N ，连接MN ，直线MN 就是所求作的对称轴.2.下列图形中,对称轴的条数最少的图形是()A ．圆B ．正六边形C ．正方形D ．等边三角形3.在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4.直线l 是一条河,Q P 、两地相距km 8，Q P 、两地到l 的距离分别为km km 52、，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向Q P 、两地供水．现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是()5.数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立。

生活中的轴对称美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描绘：音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。

下面就让我们一起来看看数学是怎样让人赏心悦目的。

轴对称图形是沿着某直线折叠后，直线两旁的局部互相重合的图形。

这条直线就是他们的对称轴。

这条对称轴就像一个公正的法官，左右两边的长度、面积、形状等，都一点儿也不差，唯一不同的就是他们所朝的方向。

在数学课本里，我们已见过它们的身影，也接触、理解过它们。

下面让我们一起看看生活当中的轴对称图形。

当我们漫步在校园时，随手捡起一片树叶，假如将树叶中间的那根茎当成是其左右两边的对称轴，将树叶右边局部沿着这条对称轴对折过去，我们会惊奇地发现它正好与左边的一半树叶重合。

一只蝴蝶停留在花朵上，张合着翅膀时，假如将蝴蝶两只触角的中点与尾部相连接，连接好的线段所在的直线就是其对称轴。

而右边的翅膀就像是左边的翅膀沿着对称轴翻折过去的图形。

像蝴蝶这样成轴对称图形的动物还有很多，比方蜻蜓、飞蛾、螃蟹等。

动物进化经历了由海绵动物、双胚层辐射对称动物〔包括腔肠动物〕、三胚层两侧对称动物的开展阶段，其中从辐射对称动物到两侧对称动物的演化，是生物进化过程中的一个重大事件，它意味着一系列遗传基因的重要创新，并由此促进生命的形态、行为向更加复杂的阶段快速开展。

“贵州小春虫〞的发现，将生物进化史上的一个重要阶段——两侧对称动物化石记录的历史前推到了寒武纪之前4000万年。

对称是动物的美学，左右对称是动物世界普遍的安康、强壮的特征。

人类的耳、眼、四肢都是对称生长的。

耳的轴对称不仅使我们听到的声音具有强烈的立体感，还可以判断声源的位置；眼的对称使我们看物体更明晰、准确。

演出前化装时，你肯定不希望眉毛被画得一高一低、两边眼线不一样粗细吧？这就要求化装师随时把轴对称放在心里。

中国银行的图形标志也是一个轴对称图形。

这个图形的对称轴有两条，一条是图形程度直径所在的直线，另一条是与程度直径相垂直的直径所在的直线。

生活中常见的轴对称图形
《镜面对称》。

生活中常见的轴对称图形，如菱形、心形、蝴蝶形等，都展现了一种美妙的对
称美感。

轴对称图形是指图形中存在一条轴线，使得图形关于这条轴线对称，即图形的两侧完全对称。

这种对称美感在我们的生活中无处不在，不仅存在于自然界中的植物、动物，也存在于建筑物、艺术品、日常用品等各个方面。

在自然界中，我们常常能够看到许多轴对称图形。

比如，植物的叶子往往都是
轴对称的，两侧完全对称，给人一种和谐美感。

蝴蝶的翅膀也是轴对称的，左右对称的翅膀给人一种优美的视觉享受。

而在建筑物中，许多古代建筑都采用了轴对称的设计，如中国的古代宫殿、寺庙等，都展现了一种庄严美感。

在现代建筑中，许多摩天大楼、桥梁等也采用了轴对称的设计，使得建筑物更加稳固美观。

除了自然界和建筑物，轴对称图形也广泛存在于艺术品和日常用品中。

许多绘
画作品中都运用了轴对称的构图，使得画面更加和谐美观。

而在日常用品中，许多家具、餐具等也采用了轴对称的设计，使得这些物品更加美观实用。

轴对称图形所展现的对称美感，不仅仅是一种视觉享受，更是一种心灵的愉悦。

它让人感受到一种和谐、稳定、美丽的力量，使得我们的生活更加丰富多彩。

因此，让我们在日常生活中多留意这些轴对称图形，感受它们带给我们的美妙。