【走向高考】高考数学总复习 8-4空间中的垂直关系课后作业 北师大版

【走向高考】2013年高考数学总复习 8-2空间图形的基本关系与公理课后作业北师大版一、选择题1．已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点( ) A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上[答案] D[解析]D、E、F为已知平面与平面A′、B′、C′的公共点，由公理3知，D、E、F共线．2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件[答案] A[解析]若有三点共线于l，当第四点在l上时共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面α，这四点共面于α；若四点共面，则未必有三点共线．3．(2011·浙江文，4)若直线l不平行于平面α，且lα，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交[答案] B[解析]本题考查了线面、线线关系问题．由题意可得，l与α相交，则α内不存在与l平行的直线；(反证法)假若∃m l，则m∥l又∵lα，∴l∥α这与l不平行平面α相矛盾．故假设错误．4．(文)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条[答案] D[解析]在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，当M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点．(理)如下图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 与FD 1所成角的余弦值等于( )A.105B.155C.45 D.23[答案] B[解析] 取C 1D 1的中点G ，连OG ，GE ，易知∠GOE 就是两直线OE 与FD 1所成的角或所成角的补角．在△GOE 中由余弦定理知cos ∠GOE ＝OG 2＋OE 2－EG 22OG ·OE＝5＋3－22×5×3＝155. 5．(2011·江西理，8)已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d 1，平面α2，α3之间的距离为d 2，直线l 与α1，α2，α3分别相交于P 1，P 2，P 3.那么“P 1P 2＝P 2P 3”是“d 1＝d 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[分析] 本题借助平面的基本性质，考查了逻辑推理及立体几何知识，还考查了空间想象能力以及数形结合思想．[解析]如上图，α1∥α2∥α3，l 与α1，α2，α3分别交于点P 1，P 2，P 3；作FP 3⊥α1，且FP 3与α2交于点E ，则FE ＝d 1，EP 3＝d 2.根据“两平行平面与一平面相交所得的交线平行”得P 1F ∥P 2E ，则P 1P 2P 2P 3＝d 1d 2，显然“P 1P 2＝P 2P 3”是“d 1＝d 2”的充分必要条件．6．(文)已知m 、n 为异面直线，m 平面α，n 平面β，α∩β＝l ，则l ( ) A ．与m 、n 都相交 B ．与m 、n 中至少一条相交 C ．与m 、n 都不相交 D ．与m 、n 中的一条直线相交 [答案] B[解析] 若m 、n 都不与l 相交， ∵m α，n β，∴m ∥l 、n ∥l ， ∴m ∥n ∥l ，这与m 、n 为异面直线矛盾， 故l 与m 、n 中至少一条相交．(理)将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 的中点，则异面直线AE 、BC 所成角的正切值为( )A. 2B.22C ．2 D.12[答案] A[解析] 取BD 中点F ，连AF 、EF ，∠AEF 是AE 、BC 所成的角，∵平面ABD ⊥平面CBD ，∴AF ⊥EF ，∴tan ∠AEF ＝ 2.7．α，β，γ几是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件．①a∥r，bβ，②a∥γ，b∥β，③b∥β，aγ如果命题“α∩β＝a，b r，且________则a∥b”为真命题．[答案]①③[解析]①中α∥γ，aβ，β∩γ＝b⇒a∥b；③b∥β，bγ，β∩γ＝a⇒a∥b.8．如下图，在四面体ABCD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF 与CD所成的角是________．[答案]30°[解析]取AD的中点H.连接FH、HE.则EH∥CD，FH∥AB，∴∠FEH为EF、CD所成角，∴EF⊥FH，EH＝2，又FH＝1，∴∠FEH＝30°.∴EF与CD所成的角为30°.三、解答题9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.求：(1)AB与B1C所成的角；(2)AB与B1D的距离．[解析](1)∵AB∥CD，∴∠B1CD为AB和B1C所成的角，∵DC⊥平面BB1C1C，∴DC⊥B1C，于是∠B1CD＝90°，∴AB与B1C所成的角为90°.(2)∵AB∥CD，AB平面B1DC，DC平面B1DC，∴AB∥平面B1DC，从而AB与B1D的距离即为AB与平面B1DC的距离，连接BC1交BC于O点，易知BO⊥B1C，BO⊥CD，∴BO⊥平面B1DC，∴BO的长为B到平面B1DC的距离，∵BO＝2 2，∴AB与B1D的距离为2 2.一、选择题1.如下图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③[答案] C[解析]本题考查了立体几何中点线面之间的位置关系的判定，在解题过程中采用了反证的思想，多做有益假设便于做出判断，如①若还能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．2．(文)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．aα，bαB．aα，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．aα，b⊥α[答案] B[解析]a、b异面时，A错，C错；若D正确，则必有a⊥b，故排除A、C、D，选B.(理)一个正方体纸盒展开后如下图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是( )A．①②B．③④C．②③D．①③[答案] D[解析]如下图，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知①③正确，故选D.二、填空题3．两异面直线a、b所成角为60°，直线l与a、b所成角均为θ，则θ的取值范围是________．[答案][30°，90°][解析]平移使它们均过同一点O，当l在60°角的平分线位置时，θ＝30°，将l绕着O点转动到与a，b都垂直时，θ＝90°.∴30°≤θ≤90°.4．(文)a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c 相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．[答案]①[解析]由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．(理)如下图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．[答案] ②③④[解析] 还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .三、解答题5．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 上的点，请回答下列问题：(1)满足什么条件时，四边形EFGH 为平行四边形？ (2)满足什么条件时，四边形EFGH 为矩形？ (3)满足什么条件时，四边形EFGH 为正方形？[分析] 四边形是平行四边形、矩形、正方形，首先转化为线线平行问题，而证线线平行或用平面几何的方法也可用公理4.[解析] 本题是一个开放性问题．(1)E 、F 、G 、H 为所在边的中点时，四边形EFGH 为平行四边形．证明如下： ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点， ∴EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，从而EH ∥FG ，且EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形． 一般地AE AB ＝AH AD ＝CF CB ＝CG CD时EFGH 为平行四边形． (2)AE AB ＝AH AD ＝CF CB ＝CG CD且BD ⊥AC 时，四边形EFGH 为矩形．(3)当E 、F 、G 、H 为所在边的中点且BD ⊥AC ，AC ＝BD 时，四边形EFGH 为正方形．[点评] 上述答案并不唯一，如当AE :AB ＝AH :AD ＝CF :CB ＝CG :CD 时，四边形EFGH 也为平行四边形．6．如下图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q ，若A 1C 交平面BDEF 于点R ，试确定点R 的位置．[解析] 如上图，在正方体AC 1中，∵Q ∈A 1C 1，∴Q ∈平面A 1C 1CA .又Q ∈EF ，∴Q ∈平面BDEF ，即Q 是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点．同理，P 也是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点．∴平面A 1C 1CA ∩平面BDEF ＝PQ ，又A 1C ∩平面BDEF ＝R ，∴R ∈A 1C ，∴R ∈平面A 1C 1CA ，又R ∈平面BDEF ，∴R ∈PQ ， ∴R 是A 1C 与PQ 的交点．7．(文)如下图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点．求异面直线A 1E 与GF 所成角的大小．[解析] 连接B 1G ，EG ，B 1F ，CF . ∵E 、G 是棱DD 1、CC 1的中点， ∴A 1B 1綊EG .∴四边形A 1B 1GE 是平行四边形． ∴B 1G ∥A 1E .∴∠B 1GF (或其补角)就是异面直线A 1E 与GF 所成的角． 在Rt △B 1C 1G 中，B 1C 1＝AD ＝1，C 1G ＝12AA 1＝1，∴B 1G ＝ 2.在Rt△FBC 中，BC ＝BF ＝1， ∴FC ＝ 2.在Rt △FCG 中，CF ＝2，CG ＝1，∴FG ＝ 3.在Rt △B 1BF 中，BF ＝1，B 1B ＝2，∴B 1F ＝5，在△B 1FG 中，B 1G 2＋FG 2＝B 1F 2， ∴∠B 1GF ＝90°.因此，异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°. (理)如下图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱．(1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；(2)已知二面角C 1－BD －C 的大小为60°，求异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值． [解析] 解法一：(1)证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，∴CC 1⊥平面ABCD ，∴BD ⊥CC 1，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，又∵AC 、CC 1平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1＝C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)设BD 与AC 相交于O ，连接C 1O . ∵CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊥AC ，∴BD ⊥C 1O ，∴∠C 1OC 是二面角C 1－BD －C 的平面角，∴∠C 1OC ＝60°. 连接A 1B ，∵A 1C 1∥AC ，∴∠A 1C 1B 是BC 1与AC 所成的角． 设BC ＝a ，则CO ＝22a ，CC 1＝CO ·tan60°＝62a ，A 1B ＝BC 1＝102a ，A 1C 1＝2a . 在△A 1BC 1中，由余弦定理得，cos ∠A 1C 1B ＝A 1C 21＋BC 21－A 1B22A 1C 1·BC 1＝55，∴异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为55. 解法二：(1)证明：建立空间直角坐标系Dxyz ，如下图：设AD ＝a ，DD 1＝b ，则有D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，C 1(0，a ，b )． ∴BD →＝(－a ，－a,0)，AC →＝(－a ，a,0)，CC 1→＝(0,0，b )，∴BD →·AC →＝0，BD →·CC 1→＝0，∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，又∵AC 1、CC 1平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1＝C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A .(2)设BD 与AC 相交于O ，连接C 1O ，则点O 坐标为(a 2，a 2，0)，OC 1→＝(－a 2，a 2，b )． ∵BD →·OC 1→＝0，∴BD ⊥C 1O ，又BD ⊥CO ，∴∠C 1OC 是二面角C 1－BD －C 的平面角，∴∠C 1OC ＝60°，∵tan ∠C 1OC ＝CC 1OC ＝b 22a ＝3， ∴b ＝62a ， ∵AC →＝(－a ，a,0)，BC 1→＝(－a,0，b )， ∴cos 〈AC →，BC 1→〉＝AC →·BC 1→|AC →|·|BC 1→|＝55. ∴异面直线BC 1与AC 所成的余弦值为55.。

第四节 空间中的垂直关系．直线与平面垂直一条直线都垂直，那么称这条直线和这个任何()定义：如果一条直线和一个平面内的平面垂直． ()定理：，就说这两个平面互相垂直．直二面角()定义：两个平面相交， 如果所成的二面角是 ()定理：辨明三个易误点()注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交． ()注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．()注意对平面与平面垂直性质的理解．．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) ()直线与平面α内的无数条直线都垂直，则⊥α.( ) ()垂直于同一个平面的两平面平行．( )()若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )()若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ) 答案：()× ()× ()× ()×．(教材习题改编)设α，β是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且α，β( ) ．若⊥β，则α⊥β ．若α⊥β，则⊥ ．若∥β，则α∥β ．若α∥β，则∥解析：选∵⊥β，α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故正确．．“直线与平面内的无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的( ) ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选根据直线与平面垂直的定义知“直线与平面的无数条直线都垂直”不能推出“直线与平面垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．．如图，∠＝°，⊥平面，则在△和△的边所在的直线中，与垂直的直线有；与垂直的直线有．解析：∵⊥平面， ∴垂直于直线，，； ∵⊥，⊥，∩＝，。

8.5垂直关系必备知识预案自诊知识梳理1.直线与平面垂直图形条件结论判定a⊥b,b⫋α(b为α内的一条直线)a⊥αa⊥m,a⊥n,m,n⫋α,a⊥αa∥b,b⊥α性质a⊥α,a⊥ba⊥α,b⊥α2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的,那么这两个平面垂直l⫋β,l⊥α}⇒α⊥β性质定理两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的,那么这条直线与另一个平面垂直α⊥β,α⋂β=a,b⫋β,b⊥a}⇒3.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.(2)线面角θ的范围:θ∈[0°,90°].4.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角.(2)二面角的平面角:过二面角棱上的任一点,在两个半平面内分别作与棱的射线,则两射线所成的角叫作二面角的平面角.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.()(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.()(3)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.()(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.()2.(2020黑龙江大庆高三三模)设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,“l⊥α”是“l⊥m,且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.(2020湖南湘潭模拟)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α4.(2020新高考全国1,4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成的角为()A.20°B.40°C.50°D.90°5.(2019北京,文13)已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.关键能力学案突破考点证明空间线面垂直【例1】(2020河北张家口二模,文18)如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,平面PAC ⊥平面PBC,PB=BC=2,AC=1.(1)证明:AC⊥平面PBC;(2)求点C到平面PBA的距离.思考证明线面垂直的常用方法有哪些?解题心得证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.对点训练1(2018全国2,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2√2,PA=PB=PC=AC=4,O 为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.考点证明空间两条直线垂直【例2】(2020湖南湘潭三模,文17)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥平面ABCD,AB=3,AD=AP=4,E为PD的中点.(1)证明:AE⊥PC.(2)若M为线段BC上一点,且BM=1,求点M到平面PCD的距离.思考证明空间两条直线垂直有哪些基本方法?解题心得1.证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系.(2)利用等腰三角形底边中线的性质.(3)利用勾股定理的逆定理.(4)利用直线与平面垂直的性质.2.在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.对点训练2在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°,AD=CD且BB1⊥平面ABCD,BB1=2AB=2.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求四棱锥C1-B1BD的体积.考点证明空间两个平面垂直【例3】(2020河北唐山一模,文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等边三角形,且AA1⊥底面ABC,AB=2√2,A1A=3,D,E分别为AC,A1C1的中点,点F在棱CC1上,且FC=1.(1)证明:平面BEF⊥平面BDF;(2)求点D到平面BEF的距离.思考证明面面垂直的常用方法有哪些?解题心得1.面面垂直的证明方法(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线面垂直加以解决.2.三种垂直关系的转化由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.3.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”这一条件.对点训练3(2019全国3,文19)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.考点垂直关系中的存在问题【例4】如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,PD⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2,DA=√3.(1)线段BC上是否存在一点E,使平面PBC⊥平面PDE?若存在,请给出⫋⫋⫋⫋的值,并进行证明;若不存在,请说明理由.(2)若PD=√3,线段PC上有一点F,且PC=3PF,求三棱锥A-FBD的体积.思考探索性问题的一般处理方法是什么?解题心得线面垂直中的存在问题同“平行关系中的存在问题”的规律方法一样,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,再给出符合要求的证明.对点训练4(2020辽宁葫芦岛联考)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=3,AD=2,CD=5.过点A 作AE⊥CD,交CD于点E.将△ADE沿线段AE折起,使得点D在平面ABCE内的投影恰好是点E,如图2.(1)若点M为棱AD上任意一点,证明:平面MBC⊥平面DEB.?若存在,确定N点的位置;(2)在棱BD上是否存在一点N,使得三棱锥E-ANC的体积为4√39若不存在,请说明理由.1.转化思想:垂直关系的转化2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键. 3.线面角、二面角求法根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角,步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲. 也可用射影法:设斜线段AB 在平面α内的射影为A'B',AB 与α所成角为θ,则cos θ=|A'B'||AB|;设△ABC 在平面α内的射影三角形为△A'B'C',平面ABC 与α所成角为θ,则cos θ=S △A'B'C'S △ABC.1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.在高考立体几何题目中,证明线、面平行或垂直关系是极易被扣分的,原因是存在着逻辑推理的不严谨性,或者表述上的不严谨性.那么如何避免被扣分呢?需要对概念、公理、定理理解透彻.不要以主观臆断代替严密的科学论证.1.加强对基本概念理解.比如对异面直线的理解,两条直线不在同一个平面是简单的定义,如何才能不在同一个平面呢,哪些条件才能保证两条直线不在一个平面,只要直线不平行,并且不相交,那么就异面,对于不平行的条件,在平面几何中我们已经知道,如何能保证不相交呢,可以把其中一条直线放在一个平面,看另外一条直线和平面是否平行,这样对异面直线的概念就理解到位了.2.加强对公理、定理应用条件的理解.比如线面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.这个定理它是五个条件推出一个结论,哪五个条件?若平面α外的直线是a ,α内的两条直线b ,c 相交于一点A ,五个条件是:a ⊥b ,a ⊥c ,b 在平面α内,c 在平面α内,b 和c 相交于一个点A ,五个条件推出了a ⊥α,你要漏掉其中一个,便被扣分.再比如直线和平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.它是三个条件推出一个结论.三个条件分别为:a 在平面α外,b ⫋α,a ∥b ,结论是a ∥α,最容易漏掉的条件是:a 在平面α外,有的同学自以为它明明在平面α外,我为什么还要写它!8.5 垂直关系必备知识·预案自诊知识梳理1.任意m∩n=O a⊥αb⫋αa∥b2.(1)直二面角(2)垂线交线b⊥α4.(1)两个半平面(2)垂直考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2.A设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,若l⊥α,则l⊥m,且l⊥n,反之若l⊥m,且l⊥n,当m∥n时,推不出l⊥α,故“l⊥α”是“l⊥m,且l⊥n”的充分不必要条件,故选A.3.C由m⊥n,n∥α,可得m∥α或m与α相交或m⊥α,故A错误;由m∥β,β⊥α,可得m∥α或m与α相交或m⫋α,故B错误;由m⊥β,n⊥β,可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,故C正确;由m⊥n,n⊥β,β⊥α,可得m∥α或m与α相交或m⫋α,故D错误.4.B由题意知,如图,圆O为赤道所在的大圆.圆O1是在点A处与赤道所在平面平行的晷面.O1C为晷针所在的直线.直线OA在圆O所在平面的射影为直线OB,点B在圆O上,则∠AOB=40°,∴∠COA=50°.又∠CAO=90°,∴∠OCA=40°.∴晷针与点A处的水平面所成角为40°,故选B.5.若l⊥α,m∥α,则l⊥m关键能力·学案突破例1(1)证明∵PB⊥平面ABC,AC⫋平面ABC,∴PB⊥AC.取PC的中点D,连接BD.∵PB=BC,∴BD⊥PC.∵平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,BD⫋平面PBC,∴BD⊥平面PAC.又AC⫋平面PAC,∴BD⊥AC.∵PB∩BD=B,∴AC⊥平面PBC.(2)解易知平面PBA⊥平面ABC,AB为交线,在Rt△ABC中,过点C作CM⊥AB,交AB于点M,则CM⊥平面PBA.又AC·BC=AB·CM,∴CM=2√5=2√55,即点C 到平面PBA 的距离为2√55.对点训练1解(1)因为AP=CP=AC=4,O 为AC 的中点,所以OP ⊥AC ,且OP=2√3.连接OB ,因为AB=BC=√22AC ,所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB=12AC=2.由OP 2+OB 2=PB 2知,OP ⊥OB.由OP ⊥OB ,OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC.(2)作CH ⊥OM ,垂足为H.又由(1)可得OP ⊥CH ,所以CH ⊥平面POM.故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=4√23,∠ACB=45°.所以OM=2√53,CH=⫋⫋·⫋⫋·sin∠⫋⫋⫋⫋⫋=4√55.所以点C 到平面POM 的距离为4√55.例2(1)证明因为PA ⊥平面ABCD ,DC ⫋平面ABCD ,所以PA ⊥CD.因为底面ABCD 为矩形,所以AD ⊥CD.又PA ∩AD=A ,所以CD ⊥平面PAD.因为AE ⫋平面PAD ,则AE ⊥CD.因为AD=AP=4,E 为PD 的中点,所以AE ⊥PD ,且CD ∩PD=D ,所以AE ⊥平面PCD ,又PC ⫋平面PCD ,则AE ⊥PC. (2)解因为PD ⊥CD ,所以S △PCD =12PD·CD=6√2,V P-CDM =13S △MCD ·PA=6.设点M 到平面PCD 的距离为h ,因为V M-PCD =V P-CDM , 所以13h·6√2=6,所以h=3√22.对点训练2(1)证明由∠BAD=∠BCD=90°,AD=CD ,易知△ABD ≌△CBD.所以AB=CB ,∠ADB=∠CDB. 又AD=CD ,所以AC ⊥BD.因为BB 1⊥平面ABCD ,所以AC ⊥BB 1,所以AC ⊥平面BB 1D. 又B 1D ⫋平面BB 1D ,所以AC ⊥B 1D.(2)解因为CC 1∥BB 1,所以点C 1到平面B 1BD 的距离与点C 到平面B 1BD 的距离相等.又已知BB 1=2AB=2,∠ADC=60°,根据(1)的结论知点C 到平面B 1BD 的距离为d=√32,BD=2, 所以△B 1BD 的面积S=12×2×2=2, 所以四棱锥C 1-B 1BD 的体积V=13×2×√32=√33. 例3(1)证明因为AA 1⊥平面ABC ,所以AA 1⊥BD.因为△ABC 为等边三角形,D 为AC 的中点,所以BD ⊥AC.又AA 1∩AC=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥EF.在△DEF 中,DE=3,EF=√6,DF=√3,满足DE 2=DF 2+EF 2,所以EF ⊥DF.又BD ∩DF=D ,所以EF ⊥平面BDF.又因为EF ⫋平面BEF ,所以平面BEF ⊥平面BDF.(2)解作DM ⊥BF ,垂足为M ,由(1)可知平面BEF ⊥平面BDF ,DM ⫋平面BEF ,平面BEF ∩平面BDF=BF ,所以DM ⊥平面BEF , 所以DM 即为点D 到平面BEF 的距离. 由(1)得BD ⊥DF ,在Rt △BDF 中,BD=√6,DF=√3,BF=3,故DM=⫋⫋·⫋⫋⫋⫋=√2,即点D 到平面BEF 的距离为√2.对点训练3(1)证明由已知得AD ∥BE ,CG ∥BE ,所以AD ∥CG ,故AD ,CG 确定一个平面,从而A ,C ,G ,D 四点共面.由已知得AB ⊥BE ,AB ⊥BC ,BE ∩BC=B ,故AB ⊥平面BCGE. 又因为AB ⫋平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面BCGE.(2)解取CG 的中点M ,连接EM ,DM.因为AB ∥DE ,AB ⊥平面BCGE , 所以DE ⊥平面BCGE ,故DE ⊥CG.由已知,四边形BCGE 是菱形,且∠EBC=60°得EM ⊥CG ,DE ∩EM=E ,故CG ⊥平面DEM.因此DM ⊥CG.在Rt △DEM 中,DE=1,EM=√3,故DM=2.所以四边形ACGD 的面积为4.例4解(1)存在线段BC 的中点E ,使平面PBC ⊥平面PDE ,即⫋⫋⫋⫋=1.证明如下:连接DE ,PE ,∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=1,DA=√3,∴BD=DC=2. ∵E 为BC 的中点,∴BC ⊥DE. ∵PD ⊥平面ABCD ,∴BC ⊥PD. ∵DE ∩PD=D ,∴BC ⊥平面PDE. ∵BC ⫋平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面PDE.(2)∵PD ⊥平面ABCD ,且PC=3PF ,∴点F 到平面ABCD 的距离为23PD=2√33,∴三棱锥A-FBD的体积V A-FBD =V F-ABD =13×S △ABD ×2√33=13×12×1×√3×2√33=13.对点训练4(1)证明在等腰梯形ABCD 中,AE=√⫋⫋2-⫋⫋2=√3,BE=√⫋⫋2+⫋⫋2=2√3,在△BEC 中,BE 2+BC 2=12+4=16=CE 2,所以BE ⊥CB.又因为DE ⊥平面ABCE ,BC ⫋平面ABCE ,所以DE ⊥BC ,DE ∩BE=E , 所以BC ⊥平面BDE ,BC ⫋平面MBC ,所以平面MBC ⊥平面BDE. (2)解存在.因为V E-ANC =V N-AEC ,S △AEC =12·AE·CE=2√3,设点N 到平面AEC 的距离为h ,则V N-AEC =13·S △AEC ·h=4√39,所以h=23,在△BED 中,DE ⊥平面AEC ,所以存在点N ,使得⫋⫋⫋⫋=23,则点N 是线段BD 靠近D 的三等分点.。

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第5讲垂直关系一、选择题1.（2015·浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ（)A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β，则l⊥mC.若l∥β，则α∥βD。

若α∥β，则l∥m解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，l与m可能平行；C选项中,α与β可能相交；D选项中,l与m可能异面.答案A2.(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l,P∈α，P ∉l,则下列命题中是假命题的为( )A。

过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P垂直于直线l的直线在平面α内C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内D。

过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确。

过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内,因此B不正确。

根据面面垂直的性质定理知,选项C，D正确。

答案B3。

如图,在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是（)A.BC∥平面PDFB。

DF⊥平面PAEC。

平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC解析因为BC∥DF，DF平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF,故选项A正确.在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC,AE∩PE＝E,∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，则DF⊥平面PAE,又DF平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE。

第4讲垂直关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ() A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，l与m可能平行；C选项中，α与β可能相交；D选项中，l与m可能异面．答案 A2．(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为() A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确．答案 B3．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析因为BC∥DF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，∴BC⊥平面P AE，DF∥BC，则DF⊥平面P AE，又DF平面PDF，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B，C均正确．答案 D4．(2017·西安调研)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析A中，α∥β或α与β相交，不正确．B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确．C中，l∥β或lβ，C不正确．D中，l与β的位置关系不确定．答案 B5．(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD 为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是() A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④解析由题意知，BD⊥平面ADC，且AC平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC ＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．答案 B二、填空题6．如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析∵P A⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，则△P AB，△P AC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．答案 47.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号)．解析对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又mα，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n 与β所成的角相等，故正确．答案②③④三、解答题9．(2017·南昌质检)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD ＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．(1)证明由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G为AD的中点，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图由平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BDC ＝BC ，AO 平面ABC ，知AO ⊥平面BDC . 又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h ＝13×12BD ·BC · sin 120°·32＝12.10．(2016·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .(1)求证：DC ⊥平面P AC ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由．(1)证明 因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥DC .又因为AC ⊥DC ，且PC ∩AC ＝C ，所以DC ⊥平面P AC . (2)证明 因为AB ∥CD ，DC ⊥AC ，所以AB ⊥AC . 因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥AB . 又因为PC ∩AC ＝C ，所以AB ⊥平面P AC . 又AB 平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AC .(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EF∥P A.又因为P A平面CEF，且EF平面CEF，所以P A∥平面CEF.能力提升题组(建议用时：20分钟)11．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．则下列说法正确的是() A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；C中，由m⊥β，n ⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误．答案 C12．(2017·合肥模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心解析由题意可知P A，PE，PF两两垂直，所以P A⊥平面PEF，从而P A⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩P A＝P，所以EF⊥平面P AO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．答案 A13.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．解析由P A⊥平面ABC，AE平面ABC，得P A⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，P A∩AB＝A，得AE⊥平面P AB，又PB平面P AB，∴AE⊥PB，①正确；又平面P AD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD平面P AD，BC 平面P AD，∴BC∥平面P AD，∴直线BC∥平面P AE也不成立，③错；在Rt △P AD中，P A＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．答案①④14．(2016·四川卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠P AB＝90°，BC＝CD＝12AD.(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由； (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD . (1)解取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下： 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB .又AB 平面P AB .CM 平面P AB .所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD . 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以直线AB 与CD 相交， 所以P A ⊥平面ABCD . 又BD 平面ABCD ， 从而P A ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB .又BD平面PBD，所以平面P AB⊥平面PBD.。

§8．４垂直关系１．直线与平面垂直（１）判定直线和平面垂直的方法１定义法．２利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．３推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．（２）直线和平面垂直的性质１直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．２垂直于同一个平面的两条直线平行．３垂直于同一条直线的两平面平行．２．二面角的有关概念（１）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．（２）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．３．平面与平面垂直（１）平面与平面垂直的判定方法１定义法．２利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．（２）平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. （×）（２）若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．（√）（３）异面直线所成的角与二面角的取值范围均为（0，错误!]．（×）（４）直线a⊥α，b⊥α，则a∥b. （√）（５）若α⊥β，a⊥β⇒a∥α. （×）（6）a⊥α，aβ⇒α⊥β. （√）２．（２0１３·广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）Ａ．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nＢ．若α∥β，mα，nβ，，则m∥nＣ．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βＤ．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，mα，nβ，故C错误；故D正确．３．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是（）Ａ．a⊥c，b⊥cＢ．α⊥β，aα，bβＣ．a⊥α，b∥αＤ．a⊥α，b⊥α答案C解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.４．将图１中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD（如图２），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（）Ａ．相交且垂直Ｂ．相交但不垂直Ｃ．异面且垂直Ｄ．异面但不垂直答案C解析在题图１中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图２，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.１若mβ，α⊥β，则m⊥α；２若α∥β，mα，则m∥β；３若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；４若m∥α，m∥β，则α∥β.其中正确命题的序号是________．答案２３解析根据题意若mβ，α⊥β，则mα＝P或m∥α，故１错误；若α∥β，mα，则m∥β，故２正确；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故３正确；若m∥α，m∥β，则α∥β或α∩β＝l，故４不正确.题型一直线与平面垂直的判定与性质例１如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：（１）CD⊥AE；（２）PD⊥平面ABE.思维启迪第（１）问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第（２）问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．证明（１）在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.（２）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由（１），知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.思维升华（１）证明直线和平面垂直的常用方法：１判定定理；２垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；３面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；４面面垂直的性质．（２）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．（３）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.（１）求证：SD⊥平面ABC；（２）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明（１）因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.（２）因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由（１）知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质例２（２0１３·北京）如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝２AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点．求证：（１）PA⊥底面ABCD；（２）BE∥平面PAD；（３）平面BEF⊥平面PCD.思维启迪（１）平面PAD⊥底面ABCD，可由面面垂直的性质证PA⊥底面ABCD；（２）由BE∥AD可得线面平行；（３）证明直线CD⊥平面BEF.证明（１）∵平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.∴PA⊥底面ABCD.（２）∵AB∥CD，CD＝２AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD平面PAD，∴BE∥平面PAD.（３）∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．∴BE⊥CD，AD⊥CD.由（１）知PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，又E、F分别为CD、CP的中点，∴EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面PCD.思维升华（１）判定面面垂直的方法：１面面垂直的定义；２面面垂直的判定定理（a⊥β，aα⇒α⊥β）．（２）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．（２0１２·江西）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝１２，AD＝５，BC＝４错误!，DE＝４．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.（１）求证：平面DEG⊥平面CFG；（２）求多面体CDEFG的体积．（１）证明因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形．由GD＝５，DE＝４，得GE＝错误!＝３．由GC＝４错误!，CF＝４，得FG＝错误!＝４，所以EF＝５．在△EFG中，有EF２＝GE２＋FG２，所以EG⊥GF.又因为CF⊥EF，CF⊥FG，所以CF⊥平面EFG.所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG.又EG平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG.（２）解如图，在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于点H，则GH＝错误!＝错误!.因为平面CDEF⊥平面EFG，所以GH⊥平面CDEF，所以V多面体CDEFG＝错误!S矩形CDEF·GH＝１6．题型三直线、平面垂直的综合应用例３如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝２AD＝8，AB＝２DC＝４错误!.（１）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（２）求四棱锥P—ABCD的体积．思维启迪（１）因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD.（２）四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离．（１）证明在△ABD中，∵AD＝４，BD＝8，AB＝４错误!，∴AD２＋BD２＝AB２.∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又BD平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.（２）解过P作PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为４的等边三角形，∴PO＝２错误!.在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝２DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为错误!＝错误!，此即为梯形的高．∴S四边形ABCD＝错误!×错误!＝２４．∴V P—ABCD＝错误!×２４×２错误!＝１6错误!.思维升华垂直关系综合题的类型及解法（１）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．（２）垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．（３）垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．（２0１３·江西）如图，直四棱柱ABCD—A１B１C１D１中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝２，AD＝错误!，AA１＝３，E为CD上一点，DE＝１，EC＝３．（１）证明：BE⊥平面BB１C１C；（２）求点B１到平面EA１C１的距离．（１）证明过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝错误!，EF＝AB—DE＝１，FC＝２．在Rt△BFE中，BE＝错误!.在Rt△CFB中，BC＝错误!.在△BEC中，因为BE２＋BC２＝9＝EC２，故BE⊥BC.由BB１⊥平面ABCD得BE⊥BB１，所以BE⊥平面BB１C１C.（２）解三棱锥E—A１B１C１的体积V＝错误!AA１·S△A１B１C１＝错误!.在Rt△A１D１C１中，A１C１＝错误!＝３错误!.同理，EC１＝错误!＝３错误!，A１E＝错误!＝２错误!.故S△A１C１E＝３错误!.设点B１到平面A１C１E的距离为d，则三棱锥B１—A１C１E的体积V＝错误!·d·S△A１C１E＝错误!d，从而错误!d＝错误!，d＝错误!.题型四线面角、二面角的求法例４如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．（１）求PB和平面PAD所成的角的大小；（２）证明：AE⊥平面PCD；（３）求二面角A—PD—C的正弦值．思维启迪（１）先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；（２）可以利用线面垂直根据二面角的定义作角．（１）解在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝４５°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为４５°.（２）证明在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.（３）解过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由（２）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知，可得∠CAD＝３0°.设AC＝a，可得PA＝a，AD＝错误!a，PD＝错误!a，AE＝错误!a.在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，则AM＝错误!＝错误!＝错误!a.在Rt△AEM中，sin∠AME＝错误!＝错误!.所以二面角A—PD—C的正弦值为错误!.思维升华求线面角、二面角的常用方法．（１）线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．（２）二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有１定义法；２垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．（２0１２·浙江）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为２错误!的菱形，∠BAD＝１２0°，且PA⊥平面ABCD，PA＝２错误!，M，N分别为PB，PD的中点．（１）证明：MN∥平面ABCD；（２）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．（１）证明连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN∥BD.又因为MN平面ABCD，BD平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.（２）解如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝１２0°，得AC＝AB＝BC＝CD＝DA，BD＝错误!AB.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD.所以PB＝PC＝PD.所以△PBC≌△PDC.而M，N分别是PB，PD的中点，所以MQ＝NQ，且AM＝错误!PB＝错误!PD＝AN.取线段MN的中点E，连接AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ为二面角A—MN—Q的平面角．由AB＝２错误!，PA＝２错误!，故在△AMN中，AM＝AN＝３，MN＝错误!BD＝３，得AE＝错误!.在Rt△PAC中，AQ⊥PC，得AQ＝２错误!，QC＝２，PQ＝４．在△PBC中，cos∠BPC＝错误!＝错误!，得MQ＝错误!＝错误!.在等腰△MQN中，MQ＝NQ＝错误!，MN＝３，得QE＝错误!＝错误!.在△AEQ中，AE＝错误!，QE＝错误!，AQ＝２错误!，得cos∠AEQ＝错误!＝错误!.所以二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为错误!.立体几何证明问题中的转化思想典例：（１２分）如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A１B１C１D１的棱AB，CD，C１D１的中点．求证：（１）AN∥平面A１MK；（２）平面A１B１C⊥平面A１MK.思维启迪（１）要证线面平行，需证线线平行．（２）要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．规范解答证明（１）如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A１B１C１D１中，∵四边形AA１D１D，DD１C１C都为正方形，∴AA１∥DD１，AA１＝DD１，C１D１∥CD，C１D１＝CD. [２分]∵N，K分别为CD，C１D１的中点，∴DN∥D１K，DN＝D１K，∴四边形DD１KN为平行四边形．[３分]∴KN∥DD１，KN＝DD１，∴AA１∥KN，AA１＝KN.∴四边形AA１KN为平行四边形．∴AN∥A１K. [４分]∵A１K平面A１MK，AN平面A１MK，∴AN∥平面A１MK. [6分]（２）如图所示，连接BC１.在正方体ABCD—A１B１C１D１中，AB∥C１D１，AB＝C１D１.∵M，K分别为AB，C１D１的中点，∴BM∥C１K，BM＝C１K.∴四边形BC１KM为平行四边形．∴MK∥BC１. [8分]在正方体ABCD—A１B１C１D１中，A１B１⊥平面BB１C１C，BC１平面BB１C１C，∴A１B１⊥BC１.∵MK∥BC１，∴A１B１⊥MK.∵四边形BB１C１C为正方形，∴BC１⊥B１C. [１0分]∴MK⊥B１C.∵A１B１平面A１B１C，B１C平面A１B１C，A１B１∩B１C＝B１，∴MK⊥平面A１B１C.又∵MK平面A１MK，∴平面A１B１C⊥平面A１MK. [１２分]温馨提醒（１）线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；（２）线线关系是线面关系、面面关系的基础．证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；（３）证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．方法与技巧１．证明线面垂直的方法（１）线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；（２）判定定理１：错误!⇒l⊥α；（３）判定定理２：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；（４）面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；（５）面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒a⊥β.２．证明线线垂直的方法（１）定义：两条直线所成的角为90°；（２）平面几何中证明线线垂直的方法；（３）线面垂直的性质：a⊥α，bα⇒a⊥b；（４）线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.３．证明面面垂直的方法（１）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；（２）判定定理：aα，a⊥β⇒α⊥β.４．转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．失误与防范１．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．２．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（）Ａ．l∥m，l⊥αＢ．l⊥m，l⊥αＣ．l⊥m，l∥αＤ．l∥m，l∥α答案C解析设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.２．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（）Ａ．PA＝PB>PCＢ．PA＝PB<PCＣ．PA＝PB＝PCＤ．PA≠PB≠PC答案C解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.３．在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是（）Ａ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γＢ．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mＣ．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥nＤ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β答案D解析对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D是假命题．综上所述，选Ｄ．４．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于（）Ａ．A′C′ Ｂ．BDＣ．A′D′ Ｄ．AA′答案B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.５．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：１BC⊥PC；２OM∥平面APC；３点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是（）Ａ．１２Ｂ．１２３Ｃ．１Ｄ．２３答案B解析对于１，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC平面PAC，∴BC⊥PC；对于２，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于３，由１知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故１２３都正确．二、填空题１PA⊥BC；２PB⊥AC；３PC⊥AB；４AB⊥BC.其中正确的个数是________．答案３解析如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.7．在正三棱锥P—ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：１AC⊥PB；２AC∥平面PDE；３AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．答案１２解析如图，∵P—ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE平面PDE，A C⃘平面PDE，∴AC∥平面PDE.故１２正确．8．正方体ABCD—A１B１C１D１中，BB１与平面ACD１所成角的余弦值为________．答案错误!解析画出图形，如图，BB１与平面ACD１所成的角等于DD１与平面ACD１所成的角，在三棱锥D—ACD１中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD１内的射影为等边三角形ACD１的垂心即中心H，连接D１H，DH，则∠DD１H为DD１与平面ACD１所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD１H＝错误!＝错误!.三、解答题9．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝２，AB＝３，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．（１）求证：平面DEC⊥平面BDE；（２）求点A到平面BDE的距离．（１）证明因为四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝２，AB＝３，所以BD＝错误!，又因为BC＝7，CD＝6，所以根据勾股定理可得BD⊥CD，因为BE＝7，DE＝6，同理可得BD⊥DE.因为DE∩CD＝D，DE平面DEC，CD平面DEC，所以BD⊥平面DEC.因为BD平面BDE，所以平面DEC⊥平面BDE.（２）解如图，取CD的中点O，连接OE，因为△DCE是边长为6的正三角形，所以EO⊥CD，EO＝３错误!，易知EO⊥平面ABCD，则V E—ABD＝错误!×错误!×２×３×３错误!＝３错误!，又因为直角三角形BDE的面积为错误!×6×错误!＝３错误!，设点A到平面BDE的距离为h，则由V E—ABD＝V A—BDE，得错误!×３错误!h＝３错误!，所以h＝错误!，所以点A到平面BDE的距离为错误!.１0．（２0１２·江苏）如图，在直三棱柱ABC—A１B１C１中，A１B１＝A１C１，D，E 分别是棱BC，CC１上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B１C１的中点．求证：（１）平面ADE⊥平面BCC１B１；（２）直线A１F∥平面ADE.证明（１）因为ABC—A１B１C１是直三棱柱，所以CC１⊥平面ABC.又AD平面ABC，所以CC１⊥AD.又因为AD⊥DE，CC１，DE平面BCC１B１，CC１∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC１B１.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC１B１.（２）因为A１B１＝A１C１，F为B１C１的中点，所以A１F⊥B１C１.因为CC１⊥平面A１B１C１，且A１F平面A１B１C１，所以CC１⊥A１F.又因为CC１，B１C１平面BCC１B１，CC１∩B１C１＝C１，所以A１F⊥平面BCC１B１.由（１）知AD⊥平面BCC１B１，所以A１F∥AD.又AD平面ADE，A １F平面ADE，所以A１F∥平面ADE.B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（）Ａ．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直Ｂ．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直Ｃ．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直Ｄ．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案C解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．２．（２0１２·江苏）如图，在长方体ABCD—A１B１C１D１中，AB＝AD＝３cm，AA１＝２cm，则四棱锥A—BB１D１D的体积为________ cm３.答案6解析连接AC交BD于O，在长方体中，∵AB＝AD＝３，∴BD＝３错误!且AC⊥BD.又∵BB１⊥底面ABCD，∴BB１⊥AC.又DB∩BB１＝B，∴AC⊥平面BB１D１D，∴AO为四棱锥A—BB１D１D的高且AO＝错误!BD＝错误!.∵S矩形BB１D１D＝BD×BB１＝３错误!×２＝6错误!，∴VA—BB１D１D＝错误!S矩形BB１D１D·AO＝错误!×6错误!×错误!＝6（cm３）．３．如图，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝２AB，则下列结论中：１PB⊥AE；２平面ABC⊥平面PBC；３直线BC∥平面PAE；４∠PDA＝４５°.其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）．答案１４解析由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴AE⊥PB，１正确；∵平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，２错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD平面PAD，B C⃘平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，３错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝２AB，∴∠PDA＝４５°，∴４正确．４．如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝２，AC＝BC＝错误!，等边三角形ADB以AB为轴转动．（１）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；（２）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解（１）取AB的中点E，连接DE，CE.∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，∵平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝错误!，EC＝１．在Rt△DEC中，CD＝错误!＝２．（２）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：１当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.２当D不在平面ABC内时，由（１）知AB⊥DE.又∵AC＝BC，∴AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE.由CD平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.５．如图１所示，在边长为４的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图２所示．（１）求证：BD⊥平面POA；（２）当PB取得最小值时，求四棱锥P—BDEF的体积．（１）证明因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC.所以BD⊥AO.因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因为BD平面ABFED，所以PO⊥BD.因为AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA.（２）解设AO∩BD＝H.因为∠DAB＝60°，所以△BDC为等边三角形．故BD＝４，HB＝２，HC＝２错误!.设PO＝x，则OH＝２错误!—x，OA＝４错误!—x.连接PH，OB，由OH⊥BD，得OB２＝（２错误!—x）２＋２２.又由（１）知PO⊥平面BFED，则PO⊥OB.所以PB＝错误!＝错误!＝错误!.当x＝错误!时，PB min＝错误!，此时PO＝错误!＝OH，所以V四棱锥P—BDEF＝错误!×S梯形BDEF×PO＝错误!×（错误!×４２—错误!×２２）×错误!＝３．。

课时作业提升（四十二）空间中的垂直关系A 组夯实基础1. （2018西安联考）已知m 和n 是两条不同的直线， a 和B 是两个不重合的平面，下面 给出的条件中一定能推出 m 丄B 的是（）B . a 丄 3 且 m II aC . m l n 且 n 丄 3D . m ± n 且 al 3解析：选C 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知2. 如图，O 为正方体ABCD — A i B i C i D i 的底面ABCD 的中心，则下列直线中与 BQ 垂 直的是（）A . A i D C . A i D i解析：选D 由题易知AQ I 丄平面BB i D i D.又B i O 平面BB i D i D ，所以A i C i 丄B i O. 3.设m , n 是两条不同的直线，a, 3是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A .若 a 丄 3 m a, n 3贝Um ± nB .若 al 3 m a, n3贝U m I nC . 若 m ±n , m a, n 3,贝U a 丄 3D .若 m ± a,m I n , n I3,贝U a 丄 3解析：选D A 中，m 与n 可垂直、可异面、可平行； B 中，m 与n 可平行、可异面;4.如图，在正四面体 P — ABC 中，D , E , F 分别是AB , BC , CA 的中点，下面四个结 论不成立的是（ ）平面PDF , BC0 平面PDF ,所以BC I 平面PDF , 故选项 A正确.在正四面体中， AE 丄BC , PE 丄BC , DF I BC ,所以BC 丄平面FAE ,贝U DFC 正确.B . AA i D . A iC iC 中，若al 3仍然满足m l n , ma , n 3,故C 错误；故选D.A . BC I 平面 PDFB . DF 丄平面PAEC .平面 PDF 丄平面 PAED .平面PDE 丄平面ABC解析：选D 因为BC I DF , DF丄平面FAE,从而平面PDF丄平面PAE•因此选项B, C均正确.5•如图，在斜三棱柱ABC —A i B i C i中，/ BAC = 90° BC i丄AC,贝V C i在底面ABC上的射影H必在（）A .直线AB上B .直线BC上C.直线AC上 D . △ ABC内部解析：选A 由AC丄AB, AC丄BC1,得AC丄平面ABC1.因为AC 平面ABC，所以平面ABC i丄平面ABC.所以C i在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB 上.6.如图，在长方体ABCD —A i B i C i D i 中，AB= BC= 2, AA i= i,则AC i 与平面A i B i C i D i 所成角的正弦值为________________ .解析：连接A i C i，则/ AC i A i为AC i与平面A i B i C i D i所成的角.因为AB = BC = 2，所以A i C i= AC= 2 2,又AA i= i，所以AC i= 3,AA i i所以sin Z ACiAi= AC i = 3.7.A ABC 中，Z ACB = 90 ° AB = 8,Z ABC = 60 ° PC丄平面ABC, PC = 4, M 是AB 上的一个动点，则PM的最小值为解析：作CH丄AB于H，连接PH.因为PC丄平面ABC, AB 平面ABC,：PC丄AB.又CH丄AB，且PC A CH = C，: AB丄平面PCH , PH 平面PCH.所以PH丄AB , PH为PM 的最小值，等于2 7.答案：2 7&已知a、b、l表示三条不同的直线，a伙丫表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若ad 3= a,阳尸b,且a II b,贝V all Y②若a, b 相交，且都在a, 3外，a I a, a II 3 b I a, b II 3 贝U all 3③若a丄3 ad 3= a , b 3, a丄b,贝V b丄a；④若 a a, b a, I 丄a , l 丄b , I? a ,贝V l 丄a.其中正确命题的序号是 __________ •解析：若平面a, 3 丫两两相交于三条直线,则有交线平行，故①不正确.因为 a , b 相交，假设其确定的平面为Y根据a II a, b I a,可得丫// a.同理可得丫〃3,因此al 3②正确.由面面垂直的性质定理知③正确.当 a II b时，I垂直于平面a内两条不相交直线,不能得出I丄a④错误.答案：②③9.如图，在厶ABC中，/ ABC = 90 ° ° D是AC的中点，S是厶ABC所在平面外一点，且SA= SB= SC.⑴求证：SD丄平面ABC ;⑵若AB = BC ,求证：BD丄平面SAC.证明：⑴因为SA= SC , D是AC的中点，所以SD丄AC. 在Rt△ ABC 中，AD = BD ,又SA= SB , SD= SD ,所以△ADS^A BDS ,所以SD丄BD.又AC d BD = D ,所以SD丄平面ABC.⑵因为AB= BC , D为AC的中点，所以BD丄AC.由(1)知SD丄BD ,又SD d AC= D , 所以BD丄平面SAC.B组能力提升1. (2017全国卷川)如图，四面体ABCD中，△ ABC是正三角形，AD = CD.f :. -一―1""*A(1) 证明：AC丄BD ;(2) 已知△ ACD是直角三角形，AB= BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE丄EC, 求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.(1)证明：如图，取AC的中点0,连接DO, BO.因为AD = CD，所以AC丄DO.又由于△ ABC是正三角形，所以AC 丄BO, BO n DO = O ,从而AC丄平面DOB , BD 平面DOB .故AC丄BD.⑵解：连接EO.由⑴及题设知/ ADC = 90° 所以DO= AO.在Rt△ AOB 中，BO2+ AO2= AB2.又AB= BD，所以BO2+ DO2= BO2+ AO2= AB2= BD2，故/ DOB = 90°1由题设知厶AEC为直角三角形，所以EO = ?AC.1又厶ABC是正三角形，且AB= BD，所以EO = ^BD.1 故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的？，四面体ABCE1的体积为四面体ABCD的体积的扌，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1 : 1.2.0 O的直径AB = 4，点C, D为O O上两点，且/ CAB = 45° F为BC的中点.沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图②).D①②⑴求证：OF //平面ACD ;(2)在AD上是否存在点E,使得平面OCE丄平面ACD ?若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由.(1) 证明：由/ CAB = 45 ° 知/ COB = 90 °又因为F为BC的中点，所以/ FOB = 45° 因此OF // AC,又AC 平面ACD , OF ? 平面ACD ,所以OF //平面ACD.(2) 解：存在，E为AD中点，因为OA = OD，所以OE丄AD.又OC丄AB且两半圆所在平面互相垂直.所以OC丄平面OAD.又AD 平面OAD，所以AD丄OC ,由于OE , OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD丄平面OCE.又AD 平面ACD ,所以平面OCE丄平面ACD.3.如图所示，在矩形ABCD中，AB = 3, BC= 4, E, F分别在线段BC, AD上，EF // AB,将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF丄平面ECDF .(1) 求证：NC //平面MFD ;(2) 若EC = 3,求证：ND 丄FC;⑶求四面体N —EFD体积的最大值.(1)证明：•••平行四边形MNEF和EFDC都是矩形，••• MN // EF , EF // CD , MN = EF = CD , A MN // CD.•••四边形MNCD是平行四边形.••• NC // MD.•/ NC0 平面MFD , MD 平面MFD ,• NC// 平面MFD.⑵证明：连接ED，交FC于点O,如图所示.=2,•••平面 MNEF 丄平面 ECDF ，且 NE 丄EF ，平面 MNEF 门平面 ECDF = EF , NE 平面MNEF ,••• NE 丄平面 ECDF.•/ FC 平面 ECDF ,• FC 丄 NE.•/ EC = CD ，•四边形 ECDF 为正方形，• FC 丄ED. 又••• ED n NE = E , ED , NE 平面 NED , • FC 丄平面NED.•/ ND 平面 NED ,• ND 丄 FC.(3) 解：设 NE = x ,贝U FD = EC = 4- x ，其中 0<x<4 , 由⑵得NE 丄平面FEC , •四面体N — EFD 的体积为 1 1V N -FED = 3&EFD NE = 2x(4 — x).当且仅当x = 4-x ,即x = 2时，四面体N — EFD 的体积最大，最大值为 2.--V N - FEDW 1 ~x + (4- x 菲2. 2 _AfB E。

第4讲 垂直关系最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．知 识 梳 理1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)判定定理与性质定理⎭⎪⎬l ⊥al ⊥ba αb α(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理⎭⎬⎫l ⊥αl β⇒α⊥β⎭⎬α⊥βα∩β＝a l ⊥a lβ诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( ) 解析 (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则有l ⊥α或l 与α斜交或l α或l ∥α，故(1)错误．(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误．(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误． (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．(教材改编)下列命题中错误的是( )A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析 对于D ，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项易知均是正确的．答案 D3．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n解析因为α∩β＝l，所以lβ，又n⊥β，所以n⊥l，故选C.答案 C4．(2017·江西六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且mαB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．答案 C5．(必修2P4B2改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．图1图2(2)如图2，∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，∴PC⊥平面P AB，AB平面P AB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．答案(1)外(2)垂考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB平面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.规律方法(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，lβ⇒l⊥α)．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．【训练1】(2017·临沂模拟)如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝13DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证：P A⊥CD.证明因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.在Rt△ABC中，由3AC＝BC得，∠ABC＝30°.设AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2 3.由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.因为PD⊥平面ABC，CD平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面P AB，又P A平面P AB，所以P A⊥CD.考点二面面垂直的判定与性质【例2】(2015·山东卷)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH. 证明(1)连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC中点，可得DF∥GC，且DF＝GC，则四边形DFCG为平行四边形．从而M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，又HM平面FGH，BD平面FGH，故BD∥平面FGH.(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【训练2】如图，在三棱锥P－ABC中，平面P AB⊥平面ABC，P A⊥PB，M，N分别为AB，P A的中点．(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：P A⊥平面MNC.证明(1)因为M，N分别为AB，P A的中点，所以MN∥PB.又因为MN平面MNC，PB平面MNC，所以PB∥平面MNC.(2)因为P A⊥PB，MN∥PB，所以P A⊥MN.因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.因为平面P AB⊥平面ABC，CM平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB.所以CM⊥平面P AB.因为P A平面P AB，所以CM⊥P A.又MN∩CM＝M，所以P A⊥平面MNC.考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度一多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE平面A 1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A 1C1平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A 1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B 1D平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B 1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B 1D平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.规律方法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．命题角度二平行垂直中探索性问题【例3－2】如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF.(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．(1)证明连接AC交BD于O，连接OF，如图①.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中点，∴OF为△ACE的中位线，∴OF∥AE，又OF平面BDF，AE平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)解当P为AE中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD平面ABCD，CD ⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H为BE的中点，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.规律方法(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 【训练3】(2017·汉中模拟)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.(1)求证：AC⊥平面FBC.(2)求四面体FBCD的体积．(3)线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．(1)证明在△ABC中，因为AC＝3，AB＝2，BC＝1，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又因为AC⊥FB，BC∩FB＝B，所以AC⊥平面FBC.(2)解因为AC⊥平面FBC，FC平面FBC，所以AC⊥FC.因为CD⊥FC，AC∩CD＝C，所以FC⊥平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1.所以△BCD的面积为S＝3 4.所以四面体FBCD 的体积为V F －BCD ＝13S ·FC ＝312.(3)解 线段AC 上存在点M ，且点M 为AC 中点时，有EA ∥平面FDM .证明如下：连接CE ，与DF 交于点N ，取AC 的中点M ，连接MN . 因为四边形CDEF 是正方形，所以点N 为CE 的中点．所以EA ∥MN .因为MN 平面FDM ，EA平面FDM ，所以EA ∥平面FDM .所以线段AC 上存在点M ，且M 为AC 的中点，使得EA ∥平面FDM 成立．[思想方法]1．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎬⎫m ，nα，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a α，a ⊥l ⇒a ⊥β；2．证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：aα，a ⊥β⇒α⊥β.3．转化思想：垂直关系的转化[易错防范]1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．4．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，l与m可能平行；C选项中，α与β可能相交；D选项中，l与m可能异面．答案 A2．(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为()A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确．答案 B3．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析因为BC∥DF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，∴BC⊥平面P AE，DF∥BC，则DF⊥平面P AE，又DF平面PDF，从而平面PDF ⊥平面P AE.因此选项B，C均正确．答案 D4．(2017·西安调研)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析A中，α∥β或α与β相交，不正确．B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确．C中，l∥β或lβ，C不正确．D 中，l与β的位置关系不确定．答案 B5．(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD 为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④解析由题意知，BD⊥平面ADC，且AC平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．答案 B二、填空题6．如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析∵P A⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，则△P AB，△P AC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．答案 47.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M 是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号)．解析对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又mα，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．答案②③④三、解答题9．(2017·南昌质检)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD ＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D －BCG 的体积． (1)证明 由已知得△ABC ≌△DBC ， 因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BCG . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG . (2)解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图由平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BDC ＝BC ，AO平面ABC ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h ＝13×12BD ·BC · sin 120°·32＝12.10．(2016·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .(1)求证：DC ⊥平面P AC ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由．(1)证明因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面P AC.(2)证明因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面P AC.又AB平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AC.(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EF∥P A.又因为P A平面CEF，且EF平面CEF，所以P A∥平面CEF.能力提升题组(建议用时：20分钟)11．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．则下列说法正确的是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；B中，由m ∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误．答案 C12．(2017·合肥模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心解析由题意可知P A，PE，PF两两垂直，所以P A⊥平面PEF，从而P A⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩P A＝P，所以EF⊥平面P AO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．答案 A13.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．解析 由P A ⊥平面ABC ，AE 平面ABC ，得P A ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，得AE ⊥平面P AB ，又PB平面P AB ，∴AE ⊥PB ，①正确；又平面P AD ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD平面P AD ，BC平面P AD ，∴BC ∥平面P AD ，∴直线BC ∥平面P AE 也不成立，③错；在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确． 答案 ①④14．(2016·四川卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由； (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD . (1)解取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下： 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB .又AB平面P AB .CM平面P AB .所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD .因为AD∥BC，BC＝12AD，所以直线AB与CD相交，所以P A⊥平面ABCD.又BD平面ABCD，从而P A⊥BD.因为AD∥BC，BC＝12AD，M为AD的中点，连接BM，所以BC∥MD，且BC＝MD.所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面P AB. 又BD平面PBD，所以平面P AB⊥平面PBD.。

第四节 空间中的垂直关系1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理：⎭⎪⎬⎪⎫a αb αl ⊥a l ⊥ba ∩b ＝A ⇒l ⊥α(1)定义：两个平面相交， 如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)定理：⎭⎪⎬⎪⎫AB βAB ⊥α⇒β⊥α⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MNAB βAB ⊥MN ⇒AB ⊥α辨明三个易误点(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交． (2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．(3)注意对平面与平面垂直性质的理解．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材习题改编)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α，m β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m解析：选A ∵l ⊥β，l α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A 正确．3．“直线a 与平面M 内的无数条直线都垂直”是“直线a 与平面M 垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 根据直线与平面垂直的定义知“直线a 与平面M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线a 与平面M 垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．4．如图，∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC 和△P AC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有________；与AP 垂直的直线有________．解析：∵PC ⊥平面ABC ， ∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ； ∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ， ∴AB ⊥平面P AC ， ∴与AP 垂直的直线是AB . 答案：AB ，BC ，AC AB5．PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，P A ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有________对．解析：由于PD ⊥平面ABCD ，故平面P AD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面P AC ⊥平面PDB ，平面P AB ⊥平面P AD, 平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．答案：7直线与平面垂直的判定与性质 [明技法]判定线面垂直的四种方法[提能力]【典例】 (2016·全国卷Ⅱ改编)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．OD ′＝10.求证：D ′H ⊥平面ABCD .证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，且OH ，EF 平面ABCD ， 所以D ′H ⊥平面ABCD . [刷好题]如图，在三棱锥P －ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC .(1)若AB ⊥BC ，且CP ⊥PB ，求证：CP ⊥P A ； (2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l ∥平面PBC .证明：(1)因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，AB 平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC .因为CP 平面PBC ，所以CP ⊥AB .又CP ⊥PB ，且PB ∩AB ＝B ，AB 平面P AB ，PB 平面P AB ，所以CP ⊥平面P AB . 又P A 平面P AB ，所以CP ⊥P A .(2)在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D .因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD 平面PBC ，所以PD ⊥平面ABC .又l⊥平面ABC，所以l∥PD.因为l⊆/平面PBC，PD平面PBC，所以l∥平面PBC.平面与平面垂直的判定与性质[明技法]1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．[提能力]【典例】菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD ⊥平面ABCD，FD＝ 3.(1)求证：EF∥平面ABCD；(2)求证：平面ACF⊥平面BDF.证明：(1)如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD，∴EH＝ 3.∵平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，，FD＝3，∴FD∥EH，FD＝EH.∴四边形EHDF为平行四边形．∴EF∥HD.∵EF⊆/平面ABCD，HD平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.(2)∵FD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴FD⊥AC，又四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， 又FD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面FBD ，又AC 平面ACF ，从而平面ACF ⊥平面BDF . [刷好题](2018·济宁月考)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且平面P AC ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝PC ，AB ＝2BC ＝2，∠ABC ＝60°.(1)求证：PB ∥平面ACE ； (2)求证：平面PBC ⊥平面P AC .证明：(1)连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，∵底面ABCD 是平行四边形，∴O 为BD 中点， 又E 为PD 中点，∴OE ∥PB ， 又OE 平面ACE ，PB ⊆/ 平面ACE ， ∴PB ∥平面ACE .(2)∵P A ＝PC ，O 为AC 中点，∴PO ⊥AC ， 又平面P AC ⊥平面ABCD ，平面P AC ∩平面ABCD ＝AC ，PO 平面P AC ， ∴PO ⊥平面ABCD ，又BC 平面ABCD ，∴PO ⊥BC .在△ABC 中，AB ＝2BC ＝2，∠ABC ＝60°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝22＋12－2×2×1×12＝3，∴AC 2＝AB 2－BC 2，∴BC ⊥AC .又PO 平面P AC ，AC 平面P AC ，PO ∩AC ＝O ， ∴BC ⊥平面P AC ，又BC 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面P AC .空间位置关系的综合问题[明技法]空间位置关系的转化路线图线线平行(垂直)、线面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空间中三种基本平行(垂直)关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：[提能力]【典例】如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC；(2)求证：平面P AB⊥平面P AC；(3)设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF？说明理由．(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，DC平面ABCD.所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面P AC.(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面P AC.又AB平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AC.(3)解：棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.理由如下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E 为AB 的中点，所以EF ∥P A . 又因为P A ⊆/ 平面CEF ，且EF 平面CEF ， 所以P A ∥平面CEF . [刷好题](2018·潍坊模拟)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1－BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1－BCDE 的体积为362，求a 的值． (1)证明：在题图(1)中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在题图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE . 即A 1O 是四棱锥A 1－BCDE 的高． 由题图(1)知，A 1O ＝AO ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2，从而四棱锥A 1－BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，得a ＝6.。