下载文档原格式
2020年中考数学第二轮复习 第九讲 分式方程【强基知识】一、分式方程的概念分母中含有 的方程叫做分式方程注意：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据 二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即整式方程转化去分母分式方程→ 2、解分式方程的一般步骤：①、 ②、 ③、 3、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
注意：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
如：131=---xx a x 有增根，则a= ，若 该方程无解，则a= 。
三、分式方程的应用：解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
注意：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型【中考真题考点例析】 考点一：分式方程的解A ．a≤-1B ．a≤-1且a≠-2C ．a≤1且a≠-2D ．a≤1．对应练习1－1 （贵港）关于x 的分式方程011=++x m的解是负数，则m 的取值范围是（ ）考点二：解分式方程 例2.（2019年淄博）解分式方程22121--=--xx x 时，去分母变形正确的是A ．()2211---=+-x xB ．()2211--=-x xC ．()x x -+=+-2211D ．()2211---=-x x对应练习2－1 （2019年山东临沂）解方程：25-x ＝x 3． 对应练习2－2（2019年山东滨州）方程33122x x x-+=--的解是_________． 考点三：含字母系数的分式方程 例3.（2019年烟台）若关于x 的分式方程3xx －2－1＝m ＋3x －2有增根，则m 的值为____________考点四：由实际问题抽象出分式方程 例4. ( 2019年济宁)世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（ ） A ．5005004510x x -= B ．5005004510x x -= C ．500050045x x -= D ．500500045x x-= 对应练习4－1 （2019年莱芜）已知A 、C 两地相距40千米，B 、C 两地相距50千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地．设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 对应练习4－2 （深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）A ．1440144010100x x -=-B ．1440144010100x x =++ C ．1440144010100x x =+-D ．1440144010100x x-=+考点五：分式方程的应用 例5.（2019年菏泽）（本题6分）列方程（组）解应用题.德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工，届时，如果汽车行驶在高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求汽车在高速公路的平均速度. 对应练习5－1（2019年泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进A 、B 两种粽子1100个，购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同，已知A 粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍. （1）求A 、B 两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购买A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变，求A中粽子最多能购进多少个？对应练习5－2 （2019年威海）小明和小刚约定周末到某体育馆打羽毛球，他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米。
分式方程的解法与应用分式方程是指含有分数形式的方程，其中包含了分数的加减乘除运算。
解决分式方程需要运用一些特定的解法和技巧，以及理解分式方程在实际生活中的应用。
本文将介绍分式方程的解法和应用，并讨论其在数学和日常生活中的重要性。
一、分式方程的解法分式方程的解法有多种方法，以下是其中常见的几种：1. 清除分母法：当分式方程中存在分母时，可以通过乘以适当的整数或者多项式的方法，将方程的分母消除，从而转化为含有整数或多项式的方程。
通过进行这样的清除分母操作，可以简化方程的求解过程。
2. 相同分母法：当分式方程中存在多个分式且分母相同的情况时，可以通过将这些分式相加或相减，生成一个分子相加或相减的新分式，从而将分式方程转化为一个更简单的方程。
然后，可以继续使用其他解方程的方法求解。
3. 倒数法：当分式方程的分子或分母中含有复杂的表达式时，可以通过倒数的方式，将方程进行转化。
将方程的分母转化为分子，分子转化为分母，然后利用等式的性质进行化简，最后得到一个更为简单的方程。
二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 比例问题：比例问题是分式方程的常见应用之一。
在计算比例时，常常需要解决分式方程。
例如，在商业领域中，计算销售增长率、成本与利润的关系等问题，都需要运用分式方程进行计算。
2. 涉及面积和体积的问题：分式方程在计算面积和体积相关问题时也很有用。
例如，计算不规则形状的面积、计算容器中液体的体积等都可能涉及到分式方程的应用。
3. 财务问题：在处理财务问题时，分式方程同样发挥着重要的作用。
例如，在计算股票交易、利息计算以及贷款还款等问题时，常常需要解决分式方程来进行计算。
总结：分式方程是一种特殊的方程类型，运用特定的解法和技巧可以解决。
掌握分式方程的解法不仅在数学学科中重要，也在实际生活中具有广泛的应用。
通过应用不同的解法，我们能够更好地理解和解决涉及分数运算的各类问题，提高解决实际问题的能力。
分式方程的解法与应用分式方程是含有至少一个分式的方程，其解法与整式方程有一定的区别。
本文将介绍分式方程的解法及其应用。
一、分式方程的解法解分式方程的关键在于将方程化简为整式方程，以下是常见的几种解法：1. 通分法：当分式方程中含有多个分母时，可以通过通分的方式将其转化为整式方程。
首先找到所有分母的公倍数，然后将方程两边都乘以公倍数，从而得到一个整式方程。
最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。
2. 消去法：当分式方程中存在相同的因式时，可以通过消去的方式将其化简为整式方程。
首先找出方程中的公因式，然后将其约去，从而得到一个整式方程。
最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。
3. 倒数法：当分式方程中含有一个分式的倒数时，可以通过倒数的方式将其转化为整式方程。
首先将方程两边的分式取倒数，然后将其化简为整式方程。
最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。
二、分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用，以下是几个常见的例子：1. 比例问题：比例问题通常可以表示为分式方程。
例如，某商品的原价为x元，打折后的价格为x/2元，求折扣后的价格是多少。
可以建立分式方程x/2 = 折扣后的价格，然后通过解方程求得折扣后的价格。
2. 水箱问题：水箱问题中常涉及到进水速度、出水速度等概念，可以通过分式方程求解。
例如，一个水箱的进水口每小时进水1/3箱，出水口每小时排水1/4箱，求水箱在多长时间内装满。
可以建立分式方程1/3 - 1/4 =水箱装满的时间，然后通过解方程求得水箱装满的时间。
3. 工作效率问题：工作效率问题中常涉及到多个人或物共同工作时的效率关系，可以通过分式方程求解。
例如，甲、乙两人共同完成一项任务需要5小时，如果甲的效率是乙的2倍，那么甲独自完成此任务需要多长时间。
可以建立分式方程1/甲的效率 - 1/乙的效率 = 5，然后通过解方程求得甲独自完成任务的时间。
总之，分式方程的解法与整式方程有一定的区别，可以通过通分法、消去法、倒数法等方式来解决。
数学知识点分式方程的解法和应用数学知识点：分式方程的解法和应用分式方程是指方程中含有分式的数学等式。
解分式方程需要运用一些特定的方法和策略，以找到变量的值满足方程的条件。
本文将介绍分式方程的解法和应用。
首先，我们将讨论如何解一元分式方程。
一元分式方程的解法解一元分式方程的方法主要分为两个步骤：首先将分式方程转化为整式方程，然后求解整式方程得到变量的值。
步骤一：转化为整式方程为了将分式方程转化为整式方程，我们可以通过两种方法：通分或消去分母。
例子 1：解方程： 5/x - 2/(3x) = 1/4通分即可得到：15/(3x) - 2/(3x) = 3/(12x)化简为：13/(3x) = 3/(12x)例子 2：解方程： (2x - 1)/3 - (x + 1)/(2x) = 2/3将所有分式通分得到：2(2x - 1)/(6x) - 3(x + 1)/(6x) = 4/6整理化简为：4x - 2 - 3x - 3 = 4/6步骤二：求解整式方程得到整式方程后，我们可以使用常规的方程求解方法，将变量的值计算出来。
例子 1的继续：13/(3x) = 3/(12x)通过交叉相乘可得：39x = 36x整理化简为：x = 0例子 2的继续：4x - 2 - 3x - 3 = 4/6化简为：x - 5 = 2/6继续整理可得：x = 3到此为止，我们已经学习了解一元分式方程的方法。
接下来，我们将探讨分式方程的应用。
分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍两个常见的应用场景：比例问题和物体混合问题。
应用一：比例问题比例问题是指涉及到数量比例关系的问题。
通过设立分式方程，我们可以解决这类问题。
例子 3：甲、乙、丙三个人的年龄比例为5:3:2。
如果乙的年龄比甲大9岁，而丙的年龄比乙大8岁，求三个人的年龄。
设甲的年龄为5x岁，则乙的年龄为3x岁，丙的年龄为2x岁。
乙的年龄比甲大9岁，可以设立方程：3x = 5x - 9通过解方程可得：x = 4因此，甲的年龄为20岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为8岁。
分式方程的解法和应用分式方程，又称有理方程，是指包含了分数的方程。
解决分式方程问题可以在数学中发挥很大的作用，因为它们可以用来描述实际问题，特别是在科学和工程领域中。
本文将介绍一些常见的分式方程的解法以及它们在实际应用中的应用。
一、一次分式方程的解法一次分式方程是指分式的分子和分母的次数均为1的方程。
例如，2/x + 3 = 1/2。
解决这类问题的一种常见方法是通过消去分母，使方程转化为线性方程。
在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将2/x转化为2/x - 1/2。
2. 通过求公倍数来消去分母，例如通过乘以2来消去分母。
3. 合并同类项并将方程转化为一元一次方程，例如2 - x = 1/2。
4. 将方程解题得到x的值，检查解的合法性。
二、二次分式方程的解法二次分式方程是指分式的分子或者分母的次数为2的方程。
例如，1/x^2 + 1/x = 2。
解决这类问题的一种常见方法是通过将方程转化为二次方程，然后使用二次方程的解决方法来求解。
在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将1/x^2转化为1/x^2 - 2。
2. 将方程中的分数转化为一个多项式方程，例如通过乘以x^2来消去分母。
3. 合并同类项并将方程转化为二次方程，例如x^2 - 2x + 1 = 0。
4. 使用求解二次方程的方法，例如配方法、因式分解法或者公式法，得到x的值。
5. 检查解的合法性。
三、分式方程的应用分式方程在实际应用中有广泛的用途，常见的应用包括以下几个方面：1. 比例问题：比例问题可以通过设置分式方程来解决。
例如，一个图书馆中有1000本书，其中有3/10是故事书，那么故事书的数目可以表示为(3/10)*1000=300本。
2. 涉及速度、距离和时间的问题：速度、距离和时间之间有一定的关系，可以通过设置分式方程来解决相关问题。
例如，一个人以每小时60公里的速度行驶，问他行驶1小时可以行驶多远，可以通过设置方程60/1=x/1解决。
第9讲 简单的二元二次方程组与分式方程◆【知识要点、学习目标】1、二元二次方程组的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程组；2、二元二次方程组的解法：代入消元法、因式分解法、换元法；3、分式方程的解法：直接去分母法、换元法；◆ 知识重点：代入法解简单的二元二次方程组；分式方程的解法及应用； ◆ 【知识要点及典型例题解析】◆【要点1】----二元二次方程组及其解法【例1】解方程组：221 (1)13 (2)y x x y =+⎧⎨+=⎩小结：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组主要用代入消元法解； 【例2】解方程组：224915 (1)23 5 (2)x y x y ⎧-=⎨-=⎩【例3】已知方程组22 =0 420x y m x x y ⎧-+⎪⎨+++=⎪⎩有两组相等实数解，求m 的值。
◆目标训练2：1、用代入消元法解方程组 68 x y xy ⎧+=⎨=⎩可得它的解是 。
2、若方程组22263x y mx y ⎧+=⎨+=⎩有一个实数解，则m 的值为（ ）A 、1B 、1-C 、0或1D 、1或1-3、解下列方程组：（1）2210 (1)13 (2)x y x y -+=⎧⎨+=⎩ （2）227 320x y x y x y ⎧+=⎪⎨+++-=⎪⎩◆【要点2】----分式方程及其应用【例4】关于x 的方程2251224m x x x x +-=-+-有增根，则m 等于（ ） A 、12- B 、12 C 、14 D 、12或12- 【例5】解方程：（1）2412122x x x x x +-=+++ （2）2231332131x x x x -+-=+-◆方法感悟：分式方程一定要验根◆目标训练2：1、方程4111x x -=-的解是 ； 2、若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为 ； 3、已知实数a 、b 满足条件：272a a =-，2720b b -+=，则_________b a a b+=；4、解方程：（1）231211x x x x --=-- （2）2142321x x x x --=-【例6】为了绿化荒地，某村计划在荒山上种植1200棵树，由于邻村的支援，每天比原计划多种了40棵，结果提前5天完成了任务，求原计划每天种树多少棵？◆【能力提升与思维拓展】【例7】已知方程组242y x y x m⎧=⎨=+⎩有两组实数解是11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩且12x x ≠，120x x ≠。
分式方程的解法及应用分式方程是数学中常见的一类方程，其特点是方程中含有分式表达式。
解决分式方程的关键是找到合适的方法，以求得方程的解。
本文将介绍几种常见的分式方程解法，并探讨其在实际应用中的一些案例。
一、通分法通分法是解决分式方程的基本方法之一。
当方程中含有多个分式时，我们可以通过通分的方式，将其转化为一个分子为0的分式方程。
例如，对于方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$，我们可以通过通分得到$yz+xz=xy$，进而得到$xy-xz-yz=0$。
这样，我们就将原方程转化为了一个分子为0的分式方程，可以更方便地求解。
二、代换法代换法是解决分式方程的另一种常用方法。
通过合理的代换，可以将方程转化为一个更简单的形式。
例如，对于方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，我们可以令$u=\frac{1}{x}$，$v=\frac{1}{y}$，则原方程可以转化为$u+v=2$。
这样，我们就将原方程转化为了一个线性方程，可以通过求解线性方程的方法得到解。
三、消元法消元法是解决分式方程的另一种常见方法。
通过巧妙地选择消元的方式，可以将方程转化为一个更简单的形式。
例如，对于方程$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3$，我们可以通过乘以$x$和$y$的方式，得到$x^2+y^2=3xy$。
这样，我们就将原方程转化为了一个二次方程，可以通过求解二次方程的方法得到解。
在实际应用中，分式方程的解法有着广泛的应用。
以下是几个具体的案例：案例一：物体的速度假设一个物体以速度$v$匀速运动，经过时间$t$后的位移为$s$。
根据运动学公式，位移与速度和时间的关系可以表示为$s=vt$。
现在假设物体的速度是变化的，速度与时间的关系可以表示为$v=\frac{a}{t}$，其中$a$是一个常数。
我们可以通过求解分式方程$\frac{s}{t}=\frac{a}{t}$，得到物体的位移与时间的关系。
