[K12]2019年秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程课件新版新人教版

x1 =－9.
4 3x 1260
解： x 12 2,
x1 2,
x1 2,x12,
方程的两根为
x1 1 2 x2 1 2.
5 x24x45
解： x22 5,
x2 5,
x25,x25,
方程的两根为x1 2 5
x2 2 5.
6 9x2 ＋ 6x＋ 14
解： 3x12 4,
21.2 解一元二次方程
——配方法(1)
问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油 漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能 算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2 dm2， 根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2=1 500 ① 由此可得 x2=25
即 x1=5，x2=－5
可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不 能是负值，所以正方体的棱长为5 dm．
x2 3
x2 0 x2 4
x2 p
x 32 5
x 3
x0
x? x?
x?
解下列方程：
1 2 x 2 8 0 2 9 x 2 5 3 3 x 6 2 9 0 4 3 x 1 2 6 0 5 x 2 4 x 4 5 6 9 x 2 ＋ 6 x ＋ 1 4
1 2x2 80
解：移项 x2 4, 得 x2,
方程的两根为
x12 x22.
2 9x253
移项 9x2 8, 得 x2 8 ,
9 x2 2,
3
方程的两根为
x1
2
2 3
x2
2
2 3
.
3 x 6290
解：移项 x62 9

10 .2 ( x 3 ) 2 x 2 9 .
9.x1 3, x 2 9 .
10 .x1
1 ;x 42
3. 4
开启 智慧
二次三项式 ax2+bx+ c
的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
x 2 6 x 9 ( x 3 ) 2 ; x 2 5 x 6 ( x 2 )( x 3 );
2 x 1 0,或4 x 3 0.
x1
1 2
, x2
3. 4
● 一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0.
x1
0, x2
7. 2
我最棒
,用分解因式法解下列方
程
参考答案：
1. x 2 ( 5 2 ) x 5 ; 2 0 2. x 2 ( 3 5 ) x ；15 0
五、课堂练习：
● 1.解下列方程:
1.x 2 x - 4 0 , 2 .4 x 2 x 1 3 2 x 1 . 解 : 1.x 2 0, 或 x - 4 0 .
x1 2;x2 4.
2 .4 x 2x 1 3 2x 1 0 ,
2x 1 4x - 3 0 ,
二、目标展示：
了解分解因式法解一元二次方程的概念,并会用 分解因式法解某些一元二次方程.
三、导入新课
自学指点
认真思考下面大屏幕出示的问题,列出一元二次 方程并尽可能用多种方法求解.
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数
是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ亮都设这个数为x,根据题意得

解： 3和-2.
12/10/2021
你注意到了吗？一元 二次方程可能不止一 个根.
例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求
2a2+4a+2018的值. 解：由题意得 a22a20 即a2 2a2 2a24a2018 2(a22a)2018 2 2 2018 2022
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意 观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数 式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
12/10/2021
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意有，
201053 0x2201053 0 4
整理，得 x225000①
200cm
12/10/2021
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：由题意得 abc0 即 a12b1c0 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方 程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2

3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
x
3 4
2

1 16
31
1
x , 44
x1 1, x2 2
(3) 3x2-6x+4=0
(3) 解：移项，得：3x2-6x=-4 二次项系数化为1：x2 2x 4
3
配方，得：x2 2x 12 4 12 ,
3 ( x 1)2 1
3
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
①当p>0时，则 x n p ，方程的两个根为
x1 n p, x2 n p
②当p=0时,则(x+n)2=0，x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.
③当p<0时，则方程(x+n)2=p 无实数根.
随堂训练
基础巩固
1．将方程x2＋4x＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该 是( A )
A．9 B．6 C．4 D．1 2．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C ) A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对
3．用配方法解方程：
(1)2x2－4x－2＝1；
解：x1＝1＋
10 2
，x 2＝1－
10 2
(2)－3x2＋2x＋1＝0.
解：x1＝1，x 2＝－13
综合应用
4．能否存在一个实数x，使得x满足下列条件： ①x＋1＜3x－3；②3x－12＜2x－8；③代数式x2－2x的值为4. 若存在，请你求出这个x的值；若不存在，请说明理由．
(1)解：移项，得：x2-8x=-1
配方，得：x2-8x+42=-1+42
(x-4)2=15

解：系数化为1得x2 25 9
由平方根的意义得：
解：由平方根的意义得： 2x 1 3
x5 3
x1
5 3
,
x2
5 3
2x 1 3，或2x 1 3
x1
-1 2
3 ，x2
1 2
3
利用直接开平方法解下列方程
(3)、3(x 1)2 6 0
解：移项得 3(x 1)2 6 系数化为1得(x 1)2 2
人教版数学九年级上册第二十一章
21.2.1 解一元二次方程（1） ——直接开平方法
1、用直接开平方法解形如 x²=p(p≥0)或 (x+m)²=p(p≥0)的方程；
2、理解一元二次方程的解法——直接开 平方法；
3、体会一元二次方程“降次”──转化 的数学思想。
1、如果x2=a,则x叫做a的__平_方_根__; 2、如果x2=a（a≥0），则x=____; 3、如果x2=64，则x=_____.
开方得x 1 2
(4)、x2 4x 4 25
解：原方程整理得 (x 2)2 25
开方得x 2 5
x1 1 2, x2 1- 2
x1 7, x2 3
利用直接开平方法解下列方程 (5)、9x2 5 1
解：移项得 9x2 4
由平方根的意义得 原方程无实数根
直接开平方法 解一元二次方程
由平方根的意义得：
由平方根的意义得：
x 10
x 5
x1 10, x2 10
x1 5, x2 5
例1：利用直接开平方法解下列方程
(3)、4x2 100
思考：
解：两边同时 4得 x2 0的解是什么？
x2 25
x2 4呢？
由平方根的意义得：

A. k > −1
B. k > −1 且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
分析：方程有两个不等的实数根 (-2)2 + 4k > 0 k > −1
二次项系数不为 0 k≠0
且 k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注 意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0， a = 3，b = -7，c = 8，
∴ Δ = b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96 = - 47 < 0，
∴ 原方程没有实数根.
4. 解方程：2x2 - 3 3 x + 3 = 0. 解： a = 2，b = − 3 3，c = 3 . ∴ Δ = b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ，
典例精析
b b2 4ac
x
例4 用公式法解下列方程：
2a
(1) x2 − 4x − 7 = 0； 解：a = 1，b = −4，c = −7.
Δ = b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0.
方程有两个不等的实数根
x b
b2 4ac (4)
44 2
11 ，
2a
21
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解：移项，得 ax2 bx c.
பைடு நூலகம்
方程两边都除以 a，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a

A.x2

1 x2

0
不是整式方程
B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
化简整理成 x2-3x+2=0
少了限制条件 a≠0
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是 整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是 x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 x1＝2,x2＝－1.
3. 解下列方程：
(1)x2-81＝0； 解：x1＝9,x2＝－9；
ax2+bx+c=0 (a≠0)
二次项系数 一次项系数
常数项
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以 为零吗？
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次 项系数等于0的字母的值．
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它 们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10. 注意 系数和项均包含前面的符号.