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§2 最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念定义3.10 设函数f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，对于任意给定的ε >0，如果存在多项式p (x )，使不等式ε<-<<)()(max x p x f bx a 成立，则称多项式p (x )在区间[a , b ]上一致逼近(或均匀逼近)于函数f (x )。
那么，对于在区间[a , b ]上的连续函数f (x )，是否存在多项式p (x )一致逼近于f (x )呢？这个问题有许多人研究过。
德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)在1885年曾给出下述著名定理。
维尔斯特拉斯定理 若f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，则对于任意ε >0，总存在多项式p (x )，使对一切a ≤x ≤b 有ε<-)()(x p x f证明从略。
维尔斯特拉斯定理表明，连续函数f (x )可以用多项式p (x )逼近到任意精确程度，但维尔斯特拉斯定理只在理论上肯定了闭区间上的连续函数可以用多项式以任意精确度来逼近，并没有给出确定逼近得最快的多项式的方法。
事实上，如果精确度要求较高，则用来逼近的多项式的次数一般也很高，这就增加了计算工作量。
因而，在实际计算时，我们总量希望在一定的精确度要求下，逼近多项式的次数越低越好。
切比雪夫从这样的观点去研究一致逼近问题，他不让逼近多项式的次数n 趋于无穷大，而是先把n 加以固定。
对于给定的[a , b ]上的连续函数f (x )，他提出在次数不超过n 的多项式的集合p n 中去寻找一个多项式)(*x p n ，使它在[a , b ]上“最佳地逼近”f (x )。
这里最佳逼近的意思是指)(*x p n 对f (x )的偏差。
)()(max *x p x f n bx a -<< 和其它任一p (x ) ∈ p n 对f (x )的偏差)()(max x p x f bx a -<<比较时是最小的，也就是说{})()(max min )()(max )(*x P x f x p x f bx a p x p n b x a n-=-<<∈<<(3.18)这就是通常所谓的最佳一致逼近问题，也称为切比雪夫逼近问题。
