N等分线段的尺规作图法及证明

M尺规作图【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；（1）题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .求作：线段AB ，使AB = a .作法：（1）作射线AP ；（2）在射线AP 上截取AB=a .则线段AB 就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的中点。

已知：如图，线段MN.求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于 　的相同线段为半径画弧，两弧相交于P ，Q ；（２）连接PQ 交MN 于O ．则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。

（3）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP 平分∠AOB）。

作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；（3）作射线OP 。

则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

d①①①BAP（4）题目四：作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB作法：（1）作射线O’A’；（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；（5）连接O’N’并延长到B’。

则∠A’O’B’就是所求作的角。

（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知：如图，P是直线AB上一点。

求作：直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。

作法：（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N（2）分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点Q；MN21（3）过D、Q作直线CD。

教案尺规作图——线段一、学习目标：1．会用尺规画一条线段等于已知线段；2．会比较两条线段的长短；3．理解线段中点的概念，了解“两点之间，线段最短”的性质；4．体验运用“两点之间，线段最短”解决生活中的问题；5．了解两点之间的距离的定义，并会求两点之间的距离．二、知识回顾：1．已知一条线段，如何画一条线段等于已知线段？先量出已知线段的长，再画一条这个长度的线段.2. 怎样比较两条线段的长短？用刻度尺分别量出两条线段的长度来比较.三、知识梳理：1．尺规作图和基本作图在几何里，把只用直尺和圆规画图的方法称为尺规作图；最基本、最常用的尺规作图，通常成为基本作图. 2．作一条线段等于已知线段已知线段a,画一条线段等于已知线段．作法：（1）作射线AM（2）在AM上截取AB= a．则线段AB为所求．3．比较两条线段的长短两条线段可能相等，也可能不相等，那么怎样比较两条线段的长短呢？（1）度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度从而进行比较．（2）叠合法：把一条线段移到另一条线段上，使一端对齐，从而进行比较．（如下图）4．线段的中点及等分点如图(1)，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点；记作AM=MB或AM=MB=1/2AB或2AM=2MB=AB．如图(2)，点M、N把线段AB分成相等的三段AM、MN、NB，点M、N叫做线段AB的三等分点．类似地，还有四等分点，等等．5．线段的性质两点所连的线中，线段最短．简单地说成：两点之间，线段最短．6．两点间的距离连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．注意：距离是用“数”来度量的，它是线段的长度，而不是线段本身．四、典例探究1．用尺规作已知线段的和、差【例1】如下图，已知线段a，b，画一条线段，使它等于a+b．总结：1.画线段的和时，一般在第一条线段向右的延长线上画，画图工具可选用直尺和圆规，注意保留圆弧的痕迹．2.画线段的差时，一般从被减的那线段的右端点向左在线段上画．3.所画线段含已知线段的和、差时，通常先画和，再画差.4.画完线段后，最后别忘了写结论.练1如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a－b+c．2．线段中点的有关计算【例2】如图，已知线段AD=6，线段AC=BD=4，E、F分别是线段AB，CD的中点，求线段EF的长．总结：1.一条线段的中点只有一个.2.某一点要成为一条线段的中点，必须同时满足两个条件：①点必须在这条线段上；②它把这条线段分为相等的两条线段.3.若点C是线段AB 的中点，则AB=2AC=2BC，或AC=BC=12AB.反之，若AB=2AC=2BC，或AC=BC=12AB，则点C是线段AB 的中点．练2已知线段AB=12，直线AB上有一点C，且BC=6，M是线段AC的中点，求线段AM的长．3．两点之间线段最短的实际应用【例3】如图，A、B是公路l两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A、B两村的距离和最小，试在l上标注出点P的位置，并说明理由．总结：解决平面图形中最短路径（即最小距离或距离之和最小）问题时，通常会运用到线段的基本性质：两点之间，线段最短．练3如下图，一只壁虎要从圆柱体A点沿着表面尽快地爬到B点，因为B点有它要吃的一只蚊子，而它饿的十分厉害，问壁虎怎样爬行路线最短？4．两点之间的距离问题【例4】A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（）A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对总结：对于题目中没有给出图的几何问题，要注意考虑全面，必要时需分类讨论. 结合题目已知条件正确画图很重要，既直观形象，又不易漏掉情况．练4已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB=5cm，BC=3cm，那么点A与点C之间的距离是（）A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm五、课后小测一、选择题1．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边2．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm3．已知线段AB=16cm，O是线段AB上一点，M是AO的中点，N是BO的中点，则MN=（）A．10cm B．6cm C．8cm D．9cm4．如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CD=3cm，AB=10cm，那么BC的长度是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm5．在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB=5cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm6．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b7．如图，O是线段AB的中点，C在线段OB上，AC=4，CB=3，则OC的长等于（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．28．已知A，B两点之间距离是10cm，C是线段AB上任意一点，则AC的中点与BC的中点距离是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定9．下列说法中，正确的有（）A．两点之间，直线最短 B．连结两点的线段叫做两点的距离C．过两点有且只有一条直线 D．AB=BC，则点B是线段AC的中点10．下列说法错误的是（）A．若AP=BP，则点P是线段的中点 B．若点C在线段AB上，则AB=AC+BCC．若AC+BC＞AB，则点C一定在线段AB外 D．两点之间，线段最短11．A、B两点的距离是（）A．连接A、B两点的线段 B．连接A、B两点间的线段的长度C．过A、B两点的直线 D．过A、B两点的射线12．下列说法正确的是（）A．两点之间的连线中，直线最短 B．如果AP=BP，那么点P是线段AB的中点C．两点之间的线段叫做这两点之间的距离 D．如果点P是线段AB的中点，那么AP=BP13．下列说法中，正确的是（）A．若AC=12AB，则C是AB的中点 B．若AC=BC，则C是AB的中点C．若C在线段AB上，且AC=BC，则C是AB的中点 D．若C在直线AB上，且AC=12AB，则C是线段AB的中点二．填空题14．已知线段AB=10，如图，若C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA=6，DB=4，则CD的长度是．15．（1）线段的大小比较可以用测量出它们的长度来比较，也可以把一条线段另一条线段上来比较；（2）将一条线段分成两条相等的线段的点叫做_________，若P是AB•的中点，•则PA=12_____，或AB=2________．三、解答题16．如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a+3b－2c．17．如图，P是线段AB上一点，M，N分别是线段AB，AP•的中点，若AB=16，BP=6，求线段MN的长．18．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．19．平面上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小（A，B，C，D四个村庄的地理位置如图所示），你能说明理由吗？20．如图，线段AC=6cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN的长．21．如图所示，A，B，C三棵树在同一直线上，量得树A与树B的距离为4m，树B与树C的距离为3m，小亮正好在A，C两树的正中间O处，请你计算一下小亮距离树B多远？22．如图所示，已知点C是线段AB的中点，D是AC上任意一点，M、N分别是AD、DB的中点，若AB=16，求MN的长．六、小结。

初中基本尺规作图总结与典型例题一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

一、尺规作图在中学就知道，几何作图所使用的工具是严格限制的，只准用圆规和直尺，直尺不能有刻度，不能使用量角器及其他任何工具．其实，这种限制自古希腊就有而且沿用至今．为什么要加以这样的限制呢？比如说，要找出一个线段的中点来，就不可以先用(有刻度的)尺去量，看它的长度是多少，然后取这个长的一半，再用这一半去量就找出中点来了．何必一定要用无刻度的直尺和圆规去寻求呢？是自己跟自己过不去吗？古希腊认为，所有的几何图形是由直线段和圆弧构成的，圆是最完美的，他们确信仅靠直尺和圆规就可绘出图形来．古希腊人十分讲究理性思维，讲究精确、严谨．他们认为依据从少数假定出发的、经由逻辑把握的东西最可靠．例如前面所说的寻求一已知线段AB的中点问题，作图的步骤是：1．以A为圆心，以一适当长度为半径画弧；2．又以B为圆心，以同样的长度为半径画弧；3．这两弧相交于两点，作两点连线，此连线与已知直线之交点即为所求之中点．然后，要根据已知几何命题来证明这个点必是中点．人们认为，这不仅是最可靠地找到了中点，而且体现了一种完美的思路和做法．正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如F i＝22i＋1的数．费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程x n＋y n＝z n没有正整数解．现在他又猜测F i都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的F i：F0＝3，F1＝5，F2＝17，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F5＝641×6 700 417．当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．当然，形如F i=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难，不仅对形如F i=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个F i也不是一件简单的事．更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k或2k×p1×p2×…×p s，其中，p1，p2，…，p s是费马素数．正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5＝F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22，因为6= 2· 3而3=F0．从古希腊流传下来的几何作图还有三大难题，一个是化圆为方问题，即求作一正方形，使其面积等于已知圆的面积；二是倍立方体问题，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的体积；三是将一任意角三等分．某些特殊角的三等分并不困难，例如将90°的角、135°的角三等分并不难，但是任意角就不一样了．例如，60°的角，你试试看，能否将它三等分？现在已有了结论，告诉你不要再试了，否则是白费时间了．可以取单位圆作代表，其面积即为π．那么，化圆为方的问题相当能吗？古希腊人对化圆为方的问题有极大兴趣，许多人进行研究．这一研究推动了圆面积的近似计算，促进了极限思想的萌生，但是并没有解决化圆为方的问题．另外两大难题虽也没解决，但也促进了对另一些数学问题的研究．尺规作图的实质在于限制只使用两种工具的条件下通过有限步骤完成作图．长度为任一有理数平方根的线段来．当然还可通过有限步骤作出长度为一有理数平方根的平方根的线段来．我们把凡能用尺规经有限次步骤作出的线段或量叫做“可作几何量”．可以证明，“可作几何量”就是那些有理数经有限次+、－、×、÷和开方这类运算得到的量．否则叫“不可作几何量”．化圆为方的问题直至19世纪才得到答案：它是不可能的．因为可作几何量”．这一悬而未决、延宕两千多年的古老问题，最终得以解决．属“不可作几何量”，所以，倍立方体问题的答案也明确了：不可能！再以60°角为例来分析任意角的三等分问题．为把60°三等分，必然要用尺规作出量cos 20°或sin 20°．以下三角恒等式是我们熟知的：cos 3x＝4cos3x－3cos x，将x＝20°代入，得将cos 20°换写为y，即是三次代数方程：这个三次方程的一个正实根当为其所需之解，然而，它必会有有理数的立方根表示．因而y＝cos 20°也是一个“不可作几何量”．故三等分问题亦属不可能．难怪古希腊人对这三个问题久久未找到答案，难怪这是真正的难题．不是古希腊人不智，确实是当时的数学水平还难以使他们得出三大几何作图难题均以“不可能”为结局的结论来．二、解析几何与微积分数学以两千多年的历史伴随人类文明．从公元前到公元16世纪，几何与代数各自平行发展着，几何则以更大的魅力影响着人类文明．但几何似乎仅是关于形的科学而与数无关；代数则似乎与形无关而仅是关于数的科学．代数与几何难以被联系起来的原因是，人们心目中的数是一个个孤立的定数，因而难以从数想到由无穷多个点连成的线条等图形；而对于形，例如，线段和封闭图形，它们与数的联系似乎仅有由数刻画的长度和面积，因而难以从图形想到数的其他表现能力．把数与形密切联系起来的关键是变量概念的形成；另一个同等重要的问题是把图形如线条视为是由动点形成的．只有变动的数与变动的点联系起来，才使数与形的密切关系被深刻地揭示出来了．这里，决定性的工具是坐标，有了坐标，数就是点，点就是数，变动的点就是变动的数，变动的数就是变动的点，于是变数与图形结合在一块了．真正的困难还在于，任何一个具体的图形都不带有一个坐标在身上，亦即，人们在现实生活中是不能直接看到坐标的．当然，稍稍想一想，生活中也有根本感受不到的坐标存在着．例如，在我们说东、南、西、北的时候，一般是确定的站在某一点来说，比如说“北京在东面”，这对站在兰州的人来讲是对的，对站在济南的人来讲是不对的．同样，站在郑州应当说“武汉在南面”，而站在广州，则只能说“武汉在北面”．这实际上就是有了坐标原点的概念，有了坐标的思想．可是，问题还没有那样简单，还需要有运动的观念，还需要有更精确的描述，才能借以刻画几何图形，才能实现数与形的有效融合．数与形的充分结合才产生解析几何．解析几何的主要创始人笛卡儿的有关工作也经历了一个发展过程，所以解析几何并不是瞬间的、偶然出现的产物．让我们看一个实例．首先，我们回顾一下已知两线段而由尺规作出比例中项的办法，如果两线段一样长，那它们本身就是比例中项．如果不一样，那么，可在较长的线段AC上取一点B，使AB等于较短线段的长．再以AC为直径画圆，然后过B作AC的垂线交圆于D，连接AD，AD即为所求之比例中项．在右图中，我们按以上方式作出了AB与AC的比例中项，即接着，我们容易作出E、F、G、H、…使得如果设AB＝1，AD＝x，上式就变成了从线段看，AD=x时AF=x3，AF＝AD＋DF，若记DF=a，我们得到x3=x+a．反过来看，a作为已知数，容易作出一长度为a的线段DF，根据由以上分析所得之启示可作出AD，那么，AD实际上便是三次方程式x3=x＋a的根．这就是笛卡儿在正式形成其明确的解析几何思想之前的一例，把代数方程与几何结合起来的一例．他还曾利用几何方法探寻四次代数方程求根的方法．这是把几何与代数问题结合的一个方面．另一方面，笛卡儿对几何问题又运用了代数方法，例如，研究几何轨迹的问题．解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表达，同时又利用代数的研究方法来研究几何．从进一步的分析还可发现，这种方法其所以十分强有力，是因为形与数的联系比人们想象的要紧密得多，许多复杂的几何现象是通过解析的方法发现的，许多复杂的几何问题是通过解析方法解决的．这不仅是一个手段问题，也是对世界本质的看法问题．所以，笛卡儿的解析几何具有深远的意义．我们从所熟知的内容来看看解析几何的意义．例如，我们知道椭圆、双曲线、抛物线的标准方程是：y2＝2px我们并不需要画出图形来而只要一看式子就知道它是个什么样子．所谓标准方程，是从代数表达形式来看的，而从几何上看，则是其图形摆得方方正正，例如，标准椭圆方程实际上是其圆心摆在原点，其长短半轴分别与平面的两条坐标轴重合．但是，实际的情况并不总是以标准的形式呈现在我们面前的．直线也有其标准形式，但一般形式是ax＋by＋c＝0；二次曲线的一般方程式是ax2＋2bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝0．然后，我们可以通过解析的方法、代数的方法把它们化为标准形式，例如，对二次方程，我们可以通过以下的变换来做这件事情：通过这样的变换，就可以把一般方程化为标准方程．这一过程，这种工作，从表面看来似与几何毫无关系，我们只是在做着代数的工作．通过上面的变换，原来的方程就变为一个新的形式了，现在把它们并列写下来：ax2＋2bxy＋cy2＋dx+ey＋f＝0a′x′2+2b′x′y′+c′y′2+d′x′+e′y′+f′=0这成了两个不同的式子，却有3个相等的式子：a+c=a′+c′，换句话说，在前述变换之下，有两个东西不变(对此，我们前面曾提到过)．至此，我们对一般二次代数方程所作的叙述全是代数的，对方程进行代数变换(两种线性变换)，以及这种变换之下的不变量．接下去我们还可以说明，一般二次方程能在变换之下化为标准方程．下面将用全套的几何语言来叙述与以上相关的全套代数涵义，或说明全套代数语言的几何涵义：在给出了一般二次曲线之后，我们总可以通过平移和旋转，把它摆在标准位置上．以椭圆为例，即把它的圆心移到原点来，把它的长短轴移至坐标轴上来，而二次曲线的原形是不变的．可见，用几何的语言来说，也是很简单的．那么，代数的讨论有什么实际的意义呢？在一般地给出了一个二次代数方程后，你很难看出它会是怎样一条曲线，如果一点一点地描绘也不是件简单的事．然而，代数的讨论告诉我们有几个不变式在那里，我们甚至不必最终化成标准表达式，就能由几个不变式看出曲线的类型和性质．这是重要的定性分析．此外，这种分析也使我们能把所有的二次曲线准确无误地详尽无遗地予以归类了．从哲学上说，笛卡儿的解析几何可说是他理性主义的产物．上面以二次曲线为例，表明代数方法与几何问题的结合，产生了最充分的理论说明．笛卡儿们认为世界是十分有秩序有条理的，是可以用方程来表达的．奇异就出在这种有序的世界和有序的运动里面．在解析几何出现后不久，微积分被发现了．微积分与解析几何不仅是伟大的数学发现，而且为近代科学开辟了道路；它们不仅是17世纪的伟大发现，而且在人类文明史上写下了极其灿烂的一页；它们不仅为近代科学开辟了道路，而且它们本身就是划时代的成果．在微积分产生之前，人们已比较普遍地接触这样几类问题：物理方面，求速度、求距离的问题；几何方面，求切线、求长度、求面积、求体积、求物体重心的问题；在各种实际问题中，求极大、极小的问题等．因此，在微积分正式诞生之前，关于极限的思想，关于微分的思想，关于积分的思想，已经零星可见．关于极限的思想在我国古代早已出现．求速度，求切线，这就会接近微分；求距离，求长度和面积、体积，这就会接近积分．古代中国的祖暅原理与近代西方的卡瓦列里原理说的是同一原理，前者先于后者约1100年左右．这一原理当为一般大学生所熟悉：当两立体介入两平行平面之间，又为平行于这两平面的任何一平行平面所截得之截面面积相等时，那么两立体之体积相等．用符号来表达，用同一平面截得两立体之截面面积分别表示为f(x)dx和g(x)dx，原理说的是：当对于所有的x有f(x)dx=g(x)dx时，便有：作为一个著名例子，我们看看半球体积的计算．这一计算，现在看来似乎是轻而易举的，但在没有微积分之前是十分困难的．所以下面的计算方式在当时是很有意义的，它利用了祖暅——卡瓦列里原理．设半球的半径为r．以半球的大圆为底面，球顶朝上．作一平面与底面平行并与底面之距离为h．这个平面截半球所得之截面为一圆，该π(r2－h2)．再看看一个截面半径为r的圆柱，其高度也为r．其下底与上面所说的半球底面摆在一个平面．现在将以此圆柱的上底为底、以下底圆的圆心为顶点作一圆锥．这一圆锥完全含于圆柱，现在把这一圆锥挖去，并考虑被挖去一圆锥的圆柱所形成的立体．当用一平行于底面的平面去截它时，其截面为一圆环，设这一平行于底面的平面距底面h，那么，这一圆环的面积也等于πr2－πh2=π(r2－h2)．可见，这一立体与半球被任何同一平行平面所截之截面面积相等．根据祖暅原理，半球体积应与被挖去一圆锥的圆柱体积相等．而被挖去一圆锥的圆柱体积是：尽管在牛顿和莱布尼茨之前，人们从不同的角度接触到了微分和积分，但是对于微分与积分的关系并没有真正弄清楚．而真正的困难亦在此．很容易明白，加法与减法是互逆的运算，也不难明白，乘法与除法是互逆的运算．开方作为乘方的逆运算，在技术上更困难了；作为指数运算逆运算的对数运算的产生并不容易．逆运算常常带来一些新问题，程序性问题，多值性问题．对于微分与积分之间的联系，认识上更有特殊的困难，这样两个似乎十分不同的两种运算竟然是互逆的，这正是使人惊讶不已的地方，也是使人感到其发现之特别不易的地方．以具体问题来说，求一曲线所围成图形的面积运算怎么会与求这一曲线的切线的运算是互逆的运算呢？微积分的创立正是以发现微分与积分的互逆关系为标志的．如今我们所说的牛顿—莱布尼茨定理即微积分基本定理，讲的就是两者关系．微积分基本定理可主要以微分的形式出现，亦可主要以积分的形式出现．我们分别叙述如下：微分形式．(x)在[a，b]上可微，且积分形式．可微，且发现f(x)的积分的微分正是它自己(在一定条件下即可保证)．只有在这一发现得到之后，才能说微积分产生了，因为这一定理奠定了微积分的理论基础．牛顿的发现在莱布尼茨之前，但发表的时间在莱布尼茨之后，他们两人又确系各自独立的发现，而且背景也有所不同．因此，虽然后来也曾出现过关于发现的优先权的争议，最终的看法却达成一致：牛顿和莱布尼茨共同创立了微积分的基本定理．微积分的伟大意义可以从4个方面去看．1．对数学自身的作用．自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，因而数学开始描述变化，描述运动．微积分改变了整个数学世界的面貌．牛顿、莱布尼茨17世纪创立的微积分还存在着明显的逻辑缺陷，但是这种缺陷并未抑制它旺盛的生命力．18世纪的数学家们在微积分提供的思维和工具的基础上阔步前进，迅速创立了许多数学分支，诸如微分方程，无穷级数，变分法等．在进入19世纪之后，还有诸多与微积分直接相关的数学分支产生，原有的一些数学分支也开始利用微积分的方法，前者包括复变函数，微分几何等，后者包括数论，概率论等．可以说，在有了微积分之后的两、三百年期间，数学获得了极大的发展，获得了空前的繁荣．微积分的严密逻辑基础也在19世纪完善地建立起来．微积分基本定理的表现形式在多维空间和一般拓扑空间中也获得了拓广，在更广阔的领域中延伸，进一步显示了它在数学领域里的普遍意义．2．对其他自然科学和工程技术的作用．有了微积分，整个力学、物理学都得以它为工具来加以改造，微积分成了物理学的基本语言，而且，许多物理学问题要依靠微积分来寻求解答．“数理不分家”，这句话在有了微积分之后就具有了真实的意义，离开了微积分不可能有现代物理，无论是力学、电学还是光学、热学．微积分的创立得到了天文学的启示，此后，天文学再也离不开微积分．19世纪上半叶可能还认为化学只需要简单的代数知识，而生物学基本上与数学没有联系．现在，化学、生物学、地理学等都必须深入地同微积分打交道．3．对人类物质文明的影响工程技术是最直接影响人类物质生活的，然而工程技术的基础即数理科学，也可以说，现代工程技术少不了微积分的支撑．从机械到材料力学，从大坝到电站的建设，都要利用微积分的思想和方法．如果说在落后的生产方式之下，只需要少量的几何、三角知识就可以工作的话，如今，任何一个未学过微积分的人都不可能从事科学技术工作．在有了微积分和万有引力原理之后，人们就预见了人造卫星及宇宙飞行的可能，并且早已利用微积分计算出了宇宙速度．今日满天飞行的人造卫星早在微积分产生之初就已在学者们的预料之中．在今天人类广泛的经济活动、金融活动中，微积分也成了必不可少的工具．微积分诞生之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它几乎为一切领域所运用．它对人类物质生活的影响是越来越大．4．对人类文化的影响只要研究变化规律就要用上微积分，在人文、社会科学领域亦如此，因而微积分也渗透于人文、社会科学，用它来描述和研究规律性的东西．哲学尤其关注微积分，那是因为微积分给了哲学许多的启示，它不仅影响到哲学方法，也影响到世界观．辩证唯物主义更关注微积分．马克思十分关心数学，何止是关心，他对数学还曾有过广泛而深入的研究，特别对微积分有专门的研究．马克思在1863年7月6日致恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分．顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果您愿意研究，我准备寄给您一本．”①1865年5月20日，马克思又在给恩格斯的一封信中说到：“在工作之余——西，任何其他读物总是把我赶回写字台来．”②马克思不只研究牛顿、莱布尼茨，而且研究了牛顿、莱布尼茨之后一个多世纪内的一批著名数学家，如达朗贝尔，欧拉，拉格朗日等人．1882年11月22日，马克思在致恩格斯的一封信中还说到：“我未尝不可用同样的态度去对待所谓微分方法的全部发展——这种方法始于牛顿和莱布尼茨的神秘方法，继之以达朗贝尔和欧拉的唯理论的方法，终于拉格朗日的严格的代数方法(但始终是从牛顿—莱布尼茨的原始的基本原理出发的)，——我未尝不可以用这样的话去对待分析的这一整个发展过程，说它在利用几何方法于微分学方面，也就是使之几何形象化方面，实际上并未引起任何实质性的改变．”③马克思那个时代写到了“终于拉格朗日”表明马克思已站在前沿，他可能还未看到柯西、魏尔斯特拉斯的分析方法、极限方法，但也是从“牛顿—莱布尼茨”那里出发的．从1863年的信到1882年的信，从信中表现出来的对微积分越来越深入的分析，可以看出，马克思是多么认真、多么深入又在多么漫长的时间里关注和研究着微积分！我们可以想一想，马克思作为一位哲学家、思想家、经济学家、政治家为何如此深切地关心和深入地研究数学尤其是微积分？再看看恩格斯本人．恩格斯在《自然辩证法》中有一段许多人熟悉的话：“数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的．”①当然，应当说大体上是由他们发现的，另一位可以说接近这一发现的是牛顿的老师——巴罗．恩格斯还在《反杜林论》这部著作中说到：“因为辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽．在数学中也存在着同样的关系．初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样，而变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用．”②事实上，恩格斯不只是注意深入研究微积分，研究数学，他还令人敬佩地广泛地研究了他所处时代的数十个自然科学领域的最新成果．也许，恩格斯是一个杰出的榜样，是从社会文化的角度深刻分析过自然科学的榜样．顺便说说，列宁对于数学，尤其是物理学，也有过浓厚的兴趣．似乎在马克思、恩格斯、列宁之后的马克思主义者很少有这种兴趣，更少有这样深刻的见解．这是不是一种遗憾呢？也许，不一定每位马克思主义者都需要有如此广博而深刻的自然科学见解，也许学识与智慧及其表现形式也不一样．然而，有一点似乎应当是共同的，任何一位真正的马克思主义者必然是对自然科学的各种进步寄予深切关注和满腔热情的支持，并且特别关注它们对社会进步的巨大影响．邓小平具有这样的品质，邓小平亦可算这一方面的典范，虽然他没有可能熟悉现代意义下的微积分，但他把社会文化与自然文化也联系在一起．三、非欧几何直到现在，知道非欧几何的大学生还少得可怜，甚至大学数学专业本科毕业了，学习了大约15年以上的数学，不少人还是不知道非欧几何．这一事实，让人在赞美非欧几何之时多少有些遗憾．为了使我们的叙述更实在些，不能不以尽可能简洁的方式介绍一下有关背景．欧几里得几何在公元前300年就产生了，现在简称欧氏几何．中学生所学的几何基本上是欧氏几何，这种几何已流传两千多年，至今每个学生仍然学习它，多多少少要学习；它的影响遍及世界各国．欧氏几何的主要特征是首开公理方法，不仅是在数学领域，而且是在整个科学领域开创了公理方法．公理方法的基本要点是，从少数几个概念(原始概念)和少数几个命题(原始命题，又称公理)出发；演绎出本学科其他所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌．运用这种方法的学科因而自然地被认为具有最严密的演绎体系，做到了这一点的学科就被认为是严谨的科学，也被认为是十分成熟的学科门类．所以，几何被认为是最早成熟的自然科学分支．由于几何在数学领域长期作为主要的代表，。

第七讲尺规作图尺规作图的基本知识一、几何作图的含义和意义含义：给泄条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不岀图形，故几何作图是存在问题的证明。

意义：建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背左理的好办法：学以致用：为制图学提供理论基础：培养逻辑思维能力。

二、作图公法（1）通过两个已知点可作一直线；（2）已知圆心和半径作圆：（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。

上面三条叫作图公法。

若一个图不能有限次根据作图公理作岀图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。

三、作图成法我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。

它可以在以后的作图中直接应用。

下而列举一些：（1）任意延长已知线段。

（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。

（3）以已知射线为一边，在指泄一侧作角等于已知角。

（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。

（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。

（6）作已知线段的中点。

（7）作已知线段的垂直平分线。

（8）作已知角的平分线。

（9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。

（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。

（11）已知边长作正方形。

（12）以立线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。

（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。

（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。

（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。

（18）作一线段，使之等于已知线段的n倍或n等分。

（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。

（20）作已知三线段a.b.c的第四比例项。

（21）作已知两线段匕“的比例中项。

（22）已知线段“丄作一线段为x = yla2+b2 .或作一线段为x = yjcr-b1（a>b）.四、解作图题的步骤①分析：遇到不是一目了然的作图题，常假左符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索。

N等分线段的尺规作图法及证明崔谧（安定区风翔学区小西岔小学甘肃定西743000）几何学从诞生到发展，再到逐步完善，除一条线段能被(n≥1且n为一正整数)等分外，至今还没有一种严格的几何方法能将一条线段进行任意N(N>3且N为一正整数)等分。

经过长期的探究，本人发现有一种严格的几何方法——定点定比交轨思想及方法可以将一条线段进行任意N(N>2且N为一正整数)等分。

该方法将以一条线段二等分的方法和思想作为主要思想和理论依据进行论述。

为了简单明了起见，先详细介绍用该思想及方法将一条线段三等分和五等分的作法及证明过程，然后以此作为主要思想和理论依据进行论述任意N等分的作法及证明过程.将一条线段二等分的方法和思想是以已知线段的两个端点为定点,以相等的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条直线,然后再确定该轨迹(直线)与已知线段的交点，即已知线段的二分之一点。

因为该二分线段的方法和思想在现行数学教材中已经成为公认的既定公理，无须再述。

我们可以称其为一一交轨思想（两条半径的长度比为1:1）。

依据以上二分线段的一一交轨（两条半径的长度比为1:1）的思想和方法，可以用已知线段的两个端点为定点，用长度比为2:1的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条弧所在的圆，然后再确定该轨迹(弧所在的圆)与已知线段的交点，即已知线段的三分之二点。

我们可以称其为二一交轨思想（两条半径的长度比为2:1）。

具体作法和证明如下：作法：1.画线段AB并求其中点C。

2.用目测法在点C和B之间取一点D,使得线段AD的长度大于线段AB的三分之二而小于线段AB的长度，再求线段AD的中点E。

3.以A为圆心，以AD为半径画弧，以B为圆心，以AE的长为半径画弧，使两条弧相交与点F；以点A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以BC为半径画弧，使两条弧相交于G点。

（确保点F和G在线段AB的同侧）4.连接FG并求其中垂线HI，延长HI交AB的延长线于点J。

《超级画板》对线段进行任意等分的作法摘要：如何对任意线段进行等分？利用《超级画板》的功能，本文列举了几种方法。

关键词：线段；等分；作法作者简介：尚强，任职于深圳市教育科学研究院；许苏华，任教于深圳教苑中学。

怎样把一条任意线段三等分? 如果把引题进行推广：对任意线段进行n等分，又如何作图呢？利用《超级画板》几何作图及编程功能，给出8种他人的作法以及3种笔者的作法。

一、尺规作图等分线段只利用尺规，怎样把任意一条线段三等分？如图1所示，操作步骤如下：1. 先画出要等分的线段，并作射线；2. 以点为圆心，以任意长度为半径画圆，交射线于点；3. 再以点为圆心，作同样半径的圆，交射线于点，同法作出点；4. 连接，作，则点、把线段分成三等分。

对于线段的n等分，同法。

二、单尺作图等分线段只利用直尺，怎样把任意一条线段三等分？如图2所示，操作步骤如下：1. 先画出要等分的线段，并任作其平行线，在直线的另一侧任取一点；2. 连接和，交直线于点、，再连接和相交于点，连接，并延长交于点，则点平分线段；3. 再连接，交于点，连接并延长交于点，则点是三等分点。

对于线段的四等分，最简单的办法就是平分线段后再平分线段，也可以利用上面的方法，在三等分点的基础上再作四等分点，依次可作五等分点、六等分点、直到n等分点。

三、大卫-丹尼尔等分线段早在1996年，美国康涅狄格州的两名中学生，15岁的大卫·戈登汉姆和16岁的丹尼尔·李奇菲尔德，借助几何画板成功地用另一种方法，证明了线段可以任意等分的这一古老定理，我们简称为大卫-丹尼尔等分线段法.如图3所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：1. 先画出要等分的线段，以为边作正方形；2. 连接，作的中点，连接，交于点；3. 过点作的垂线，点即为线段的三等分点。

对于n等分点，都是可以通过二等分点和三等分点迭代作。

四、秦世锐等分线段1998年秦世锐提出了一种新方法，如图4所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：1. 先画出要等分的线段，并作射线；2. 在上任取一点，再取点使得；3. 连接，并延长到点使得；4. 连接交于点，点即是线段的三等分点。

热点09 尺规作图中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类：一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分）二、尺规作图画图（每年1道，3~12分）三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分）尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。

最近几年又出现一类不用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。

当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析。

考向一：尺规作图的痕迹【题型1 线段中垂线的尺规作图痕迹】满分技巧1、线段垂直平分线的画图痕迹：2、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等1．（2023•凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．（2023•西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（）A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD＝ABC．DE＝BCD．S△ADE：S四边形DBCE＝1：43．（2023•随州）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（）A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC4．如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°5．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为．6．（2023•广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA ＝34°，则∠CAB的度数为．【题型2 角平分线的尺规作图痕迹】满分技巧1、角平分线的画法：2、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等1．（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC2．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．3．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DMC．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM4．（2023•湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP 的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（）A．B．C．D．45．（2023•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（）A．6B．8C．9D．106．（2023•内蒙古）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（）A．1：2B．1：C．2：5D．3：87．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD 于点F，则的值为．8．（2023•鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为．9．（2023•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为°．10．（2023•阜新）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD 于点H，则线段DH的长是．考向二：尺规作图画图【题型3 作一条线段的垂直平分线】满分技巧线段垂直平分线的画图步骤：1、分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点；2、过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。

初二数学19. 3 尺规作图19. 4逆命题与逆定理华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：19. 3 尺规作图19. 4 逆命题与逆定理二. 重点、难点：1. 重点：⑴认识尺规作图，掌握五种基本作图，并运用基本方法作三角形；⑵了解尺规作图的步骤，对一些简单的尺规作图，会写主要的作图过程；⑶理解逆命题与逆定理的概念，并能识别互逆命题；⑷学习几个重要的定理及逆定理，并灵活运用．2. 难点：⑴掌握五种基本图形的作图方法，能灵活地用来解决一些较简单的实际问题，培养动手能力；⑵能灵活运用几个重要的定理及逆定理，提高数学能力．三.知识梳理：1. 尺规作图：⑴定义：我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．⑵作图与画图的区别：凡写“求作”的题目，都只能使用无刻度的直尺和圆规作图；凡写“画”的题目，可使用多种工具作图，如三角板，量角器，有刻度的直尺，也可用圆规等其他作图工具．2. 基本作图内容：⑴画一条线段等于已知线段；⑵画一个角等于已知角；⑶经过一点画已知直线的垂线；⑷画已知线段的垂直平分线；⑸平分已知角．3. 常用的尺规作图的基本术语：⑴过点×、点×作直线××，或作直线（线段、射线）××；⑵连接两点×、×，或连接××；⑶在线段××上截取××＝××；⑷延长××至点×，使××＝××；⑸以点×为圆心，××长为半径作圆（或弧），交××于点×；⑹分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径画圆弧，两弧相交于点×、×．4. 尺规作图的步骤：已知、求作、分析、作法、证明（一般不用证明）．5. 逆命题与逆定理：⑴逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．⑵逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．⑶互逆定理：如果命题和它的逆命题都是定理，那么它们就是互逆定理．6. 本节中的定理：⑴等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称“等角对等边”．⑵勾股定理及逆定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．⑶角平分线有关定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；角平分线的性质定理的逆命题：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；内心：三角形三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．⑷线段垂直平分线有关定理：定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．定理的逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．【典型例题】例1. 已知线段a、b画一条线段，使其等于a+2b．分析：所画的线段等于a+2b，实质上是等于a+b+ b．作图由左向右逐个画出所加的线段，结果仍是线段．图形反映的是“形的关系”，与计算反映的“数量的关系”是统一的．解：⑴画射线AP；⑵在射线AP截取AB＝a；⑶在射线BP上依次截取BC＝CD＝b；⑷线段AD就是所求作的线段．例2. 已知∠1和∠2，求作一个角，使它等于∠1－∠2.分析：画角的和与差，注意角的位置关系．角的和，角度变大，外部相邻；角的差，角度变小，内部相邻．解：⑴用直尺和圆规画出∠AOB＝∠1；⑵以O为顶点，射线OA为一边，在∠AOB的内部，画∠AOC＝∠2，则∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝∠1－∠2；∠BOC就是所求的角．例3. 如图内宜高速公路OA 和自雅路OB 在我市相交于点O ，在∠AOB 的内部有五宝C 、正紫D 两个镇，若要修一个大型农贸市场P ，使P 到OA 、OB 的距离相等，且使PC ＝PD ，用尺规作出市场P 的位置（不写作法，保留作图痕迹）．分析：由题意知：点P 既要在∠AOB 的平分线上，又要在线段CD 的垂直平分线上，即点P 应为∠AOB 的角平分线与线段CD 的垂直平分线的交点．解：如图所示．例4. 已知三角形的一边及这条边上的中线和高线求作三角形．已知：线段m ，h ，a （h m >）求作ABC ∆，使AD 为BC 边上的中线且m AD =， AH 为BC 边上的高，使a BC h AH ==,．分析：作三角形，关键是要定下三角形的三个顶点．这里可根据中线、高线定下A 点的位置；再根据中线过底边中点，定下底边上的B 、C 两点．解：作法：⑴画ADH Rt ∆，使h AH m AD ==,，︒=∠90AHD⑵以D 为圆心，以a 21为半径画弧，分别交HD 的延长线于B 、C 两点 ⑶连结AB 、AC为所求作的三角形ABC例5. 如图△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于点D，交AC于E，若AB＝10，AC＝12，则△ADE的周长是．分析：角平分线遇到平行，一般存在等腰三角形．因为∠ABC和∠ACB的平分线在DE上，DE∥BC，所以一定存在等腰△DBF和等腰△EFC. 所以AB+AC等于△ADE的周长．解答：22例6. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．求：△ABC各角的度数分析：如此多的线段相等，蕴含很多的等腰三角形．但是没有已知角，只有设未知数，寻找等量关系．解：设∠A＝x，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C∴∠A＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠C＝2x∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠C＝2x∵∠A+∠ABC+∠C＝180°∴x+2x+2x＝180°∴x＝36°∴∠A＝36°，∠ABC＝72°，∠C＝72°．例7. 如图，已知：△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F．求证：EB＝FC．分析：说明线段相等，常用方法是“在一个三角形中，等角对等边”，或找以它们为对应边的三角形全等，显然后者比较方便．证明：∵AD是△ABC的平分线．（已知）DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点（已知）∴DE＝DF（角平分线性质定理）∠DEB ＝∠DFC （垂直定义） 在Rt △DEB 和Rt △DFC 中 ∵DE ＝DF （已证）BD ＝CD （已知）∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）∴BE ＝CF （全等三角形的对应边相等）例8. 如图所示，∠BAC ＝30°，D 为角平分线上一点，DE ⊥AC 于E ，DF ∥AC ，且交AB 于点F ．⑴求证：△AFD 为等腰三角形； ⑵若DF ＝10cm ，求DE 的长．CFAEDB32CF1G AEDB分析：角平分线遇到平行，一般存在等腰三角形，△AFD 为等腰三角形易证；要求DE 的长度，而已知是线段DF 的长度，这里要找到他们之间的关系．没有直接关系，可找第三媒介DG 联系起来．解：⑴证明：如答图所示， ∵DF ∥AC ，∴∠3＝∠2. ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.∴FD ＝FA. ∴△AFD 为等腰三角形． ⑵解：过D 作DG ⊥AB ，垂足为G ，∵∠1＝∠2＝12∠BAC ，∠BAC ＝30°，∴∠1＝15°． 又∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝15°． ∴∠GFD ＝∠1+∠3＝15°+15°＝30°．在Rt △FDG 中，DF ＝10cm ，∠GFD ＝30°，∴DG ＝5.∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AC ，DG ⊥AB ， ∴DE ＝DG ＝5cm ．例9. P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF ． 求证：OP 垂直平分EF ．分析：两点确定一条直线．只要分别说明O 、P 是垂直平分线上的点，就能说明OP 垂直平分EF ．证明：∵PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ∴∠PEO ＝90°＝∠PFO ∴在△PEO 和△PFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OP OP FOP EOP PFO PEO ∴△PEO ≌△PFO ，∴PE ＝PF ，EO ＝FO ∴O 、P 在EF 的中垂线上， ∴OP 垂直平分EF ．例10. 如图，一机器人在y 轴上的点A 处发现一个小球自x 轴上的点B 处，沿x 轴向原点方向匀速滚来，机器人立即从A 处匀速直线前进，去截小球．若机器人的速度与小球的速度相等．⑴请你用尺规在图中找出机器人最快能截住小球的位置点C （不写作法，保留作图痕迹）．⑵若点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（8，0），求在⑴中机器人最快能截住小球的位置点C 的坐标．分析：小球在x 轴上运动，截住时的点C 定在x 轴上；同时，机器人、小球速度相同，由此，点C 与A 、B 的距离相同，定在线段AB 的垂直平分线上；所以，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点，即为C 点．点C 在x 轴上，所以只要求横坐标即可，即只要求线段OC 的长．可运用直角三角形的勾股定理，构造方程求解．解：⑴如图所示．⑵连接AC ，AC ＝BC设BC 长为x ，则AC ＝BC ＝x ，OC ＝8－x在Rt △AOC 中，AO 2+OC 2＝AC 2即42+（8－x ）2＝x 2x ＝5，OC ＝3点C坐标为（3，0）．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题：1. 下列作图语句正确的是（）AB=A. 延长线段aB. 以点O为圆心作弧∆中，连结AD，使AD＝DCC. ABC∆中，取BC中点D，连结ADD. ABC2. 用尺规作图，不能作出惟一三角形的是（）A. 已知两角和夹边；B. 已知两边和其中一边的对角C. 已知两边和夹角；D. 已知两角和其中一角的对边3. 下列画图语言表述正确的是（）A. 延长线段AB至点C，使AB＝BC；B. 以点O为圆心作弧；C. 以点O为圆心，以AC长为半径画弧；D. 在射线OA上截取OB＝a，BC＝b，则有OC＝a+b4. 下列真命题中，其逆命题也真的是（）A. 全等三角形的对应角相等B. 两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形C. 等边三角形是锐角三角形D. 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．5. 如图，等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，在底边BC上截取BD＝AB，过D作DE⊥BC 交AC于E，连结AD，则图中等腰三角形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图所示，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE ∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE＝9，则线段DE的长为（）A. 9B. 8C. 7D. 67. 如图，在△ABC中，DE、GF分别是AB、AC边上的垂直平分线，若AB＝10，BC ＝22，AC＝18，则△AEG的周长等于（）A. 22B. 24C. 25D. 30二、填空题：1. 如图是画∠AOB 的平分线的方法，射线OC 平分∠AOB 的理由是．2. 把∠O 四等分的步骤是：第一步：先把∠O_______等分；第二步：把得到的两个角分别再_______等分．3. 命题：全等三角形的对应角相等．题设：，结论：；它的逆命题是，这个逆命题是命题（填真、假）．4. 若有两条线段，长度是1cm 和2cm ，第三条线段为______时， 才能组成一个直角三角形．5. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝5cm ，作AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，连结BD ，如果△BCD 的周长是17cm ，则△ABC 的腰长为． 三、解答题：1. 按要求作图：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连结BE 、CE ．ABC D2. 如图所示，已知∠AOB 和两点M 、N 画一点P ，使得点P 到∠AOB 的两边距离相等，且PM ＝PN ，简述步骤．NM BAO3. 已知：如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，求∠BAC 的度数．4. 在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD+∠C ＝180°，求证：AD ＝CD.5. 如图，△ABC的周长为19cm，且AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足，BC＝5cm，求△BCE的周长．【试题答案】一、选择题。

初中几何第二册第三章第三单元尺规作图一、教法建议【抛砖引玉】本单元要向同学们介绍尺规作图，何谓尺规作图：在几何里，把限定用直尺（没有刻度）和圆规来画图，称为尺规作图．最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图．在平面几何的学习中和工程绘图中，经常应用．因而，在教学中，首先复习几何第一章中学过的作一条线段等于已知线段，用尺规法画图十分方便，免去了度量，准确度更高些，以激发他（她）们的兴趣．在此基础上先后引入“作一个角等于已知角”和“平分已知角”．首先分析标题，通过分析命题，分清已知什么，求作什么，才能画出已知条件，写好已知、求作．在讲解作法时，最好边画图边叙述，然后让学生说明作法的正确性，再写出作法，证明（或引导学生写证明），讲完后要反复练习，发现错误，及时纠正，防患未然，在练中学，在学中练，以便切实掌握作图方法，并且从课本中给出的锐角推广到直角和钝角，仍然能掌握它们的作图方法并会证明．通过前两个基本作图的学习，再继续讲授“经过已知点作已知直线的垂线”和“作线段的垂直平分线”．对于“经过已知点作已知直线的垂线”应分两种情况：已知点在直线上或已知点在直线外，两种情况缺一不可．对于已知点在直线外的情况，证明略去，在教学中，应引导学生补证一下，这样可使学生确信作图的正确性，另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法，这样新旧知识交叉，互相渗透，相辅相成，将收到较好的教学效果．在学好练好，掌握好五种（初一学过的一种）基本作图的基础上，再介绍其应用．即什么是几何作图以及几何作图的一般步骤．在教学中，要说明几何作图与一般画图不同，它严格规定只准用直尺（没有刻度）和圆规为工具，而且每一步作图都必须有根有据，不能随便画．比较复杂的作图，要经过严格分析，才能找到作图的依据和方法．教学中对比较复杂的作图不要涉及，只要求学生掌握经过简单分析就可以作出的题目，如求作出三角形，会写出最简单的几何作图的已知、求作、作法即可．并通过实例、习题的教学，进一步强调几何作图的三个步骤．在叙述作法中，不需要重述基本作图过程．【指点迷津】四种基本作图是本单元学习主要内容，尤其对前两种更是重中之重．因而，在学习中一定要准确地使用作图工具画出符合要求的正确图形，每一步画图都要有根有据．准确精练的几何语言，同学们叙述起来比较困难，为此，教学中可分步进行．一、教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂；二、教师叙述作法，让学生作图；三、教师画图学生叙述作法、交错进行，反复练习，最后再要求学生自己作图，写作法．学过基本作图后，遇有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．与此同时，画图的方法更多了，如没有特别指出，可以选用任何一种你认为方便的方法画图．二、学海导航【思维基础】回答下列问题：1．在几何里把了限定用直尺和图规来画图，称为 ，最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图．2．基本作图包括：（i ）作一个角等于 ；（ii ）平分 ；（iii ）经过一点 ；（iv ）作线段的 ．第一章学过的作一条线段等于 ．3． 于一条线段并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．【学法指要】例1．已知：直线AB 及直线AB 外一点C ．求作：过点C 作CD ∥AB ．（画出图形，不写作法，保留作图痕迹）思路分析：假设符合条件的图形已作出（如左图），那么直线CD 过点C ，且CD ∥AB ．符合条件．我们从左图可知：CD ∥AB反之，只要∠FCD=∠FEB 或∠DCE=∠AEC ，那么CD ∥AB ．这时就将问题转化为“作一个角等于已知角”的基本作图上来．因为直线AB 和点C 是固定的，所以∠FEB 与∠AEC 均是固定的．另要作∠FCD=∠FEB 或∠DCE=∠AEC 即可．于是便得到如下两种画法：过C 作ECF 与AB 交于点E ，作∠FCD=∠FEB 或∠DCE=∠AEC ，得如下两图，均符合条件．（作图痕迹略）例2．如图，已知平角AOB ，试用直尺和圆规将平角AOB 三等分．（不写已知，求作，画法，保留作图痕迹）思路分析1：已知角AOB 为平角，∴∠AOB =180°，要把∠AOB 三等分，那么它三等分的每一个角是60°，由60°这一特殊角度，引起我们构造两个等边三角形，即以OA ，OB 分边作等边三角形，问题就解决，也就找到作法，如左图．（作图痕迹略）思路分析2：由思路1的分析，启发我们又有多种思路可以找到．如上作图，当作出等边三角形AOC 后，因∠BOC = 120°，再作∠BOC 的平分线即可．或作出等边△AOC 后，再作∠COD=∠AOC （或∠COD=∠CAO 或∠COA ）即可．或作出等边△AOC 后，再作∠BOD=∠OAC 即可．于是又可找到三种作法，画图如下：（作图痕迹略）∠FCD=∠FEB ∠AEC=∠DCE（作∠COB 的平分线） （作∠COD=∠AOC ） （作∠BOD=∠OAC ）这就是将求作的问题转化为基本作图──平分已知角，而中图与右图又将问题转化为基本作图而作一个角等于已知角．可见，必须熟悉基本作图，才有利于打开作图题的思路，望同学们一定要掌握好五种基本作图，遇到有关作图问题才能得心应手．例3．已知：线段a ，s ，s ＞2a求作：等腰三角形，使它的底边等于a ，周长等于s （作图痕迹略）．思路分析：本例要作的等腰三角形已知底边a ，周长为s ，关键是知道等腰三角形的腰长．因为等腰三角形两腰相等，现又知两腰之和为(s －a )．所以将线段(s －a )平分即可求出等腰三角形腰长为 (s －a )．那么等腰三角形的三边为a ， (s －a )， (s －a )便知道，仿课本P38知道三边画三角形方法即可画出符合要求的等腰三角形．作法：（如前页图） （i ）在线段AD(AD=s)上用圆规截取AB=a ；（ii ）作线段BD (BD=s －a )的中垂线L 与BD 交于点O ；（iii ）以AB (AB=a )为底，BD (BD = (s －a ))为腰作等腰三角形ABC 即为所求．证明：由作图可知：AB=a ，AC=BC=BO= (s －a )，∴AB+AC+BC=a+ (s －a )+(s －a )=s故所求作的等腰三角形符合要求．例4．已知斜边，求作一锐角为15°的直角三角形．已知：线段c ．求作：直角三角形，并使斜边为c ．一锐角为15°（作图痕迹略）．思路分析：本例要作Rt △，知道斜边及直角，是没法作出这样的三角形．必须知道15°的角才能作出符合条件的三角形．如何作出15°的角呢？我们可以发现15°角是60°角的四分之一．由60°角又启发我们作等边三角形，便出现60°角再把60°角四等分，便得出15°角，问题便解决了．得作法如下：i ）作出15°角（∠B ′A ′D ′=15°），作AB=c ；ii ）作∠BAD =∠B ′A ′D ′=15°；iii）过点B作AD的垂线BC交AD于C点．则△ABC为所求作的Rt△．本例在探索15°角时，将问题转化为“平分已知角(60°)”问题，进而又得出“作一个角等于已知角(15°)”．最后又用到“经过一点作已知直线的垂线”，使问题圆满解决．一道问题用到三种基本作图，才把思路打开．如果对基本作图不十分熟悉，是很难找到思路的．只有对基本作图熟练驾驭，遇到陌生问题，才能借助基本作图这位“向导”找到思路．【思维体操】例作已知锐角α的平分线（不要求写已知，求作，作法，以下各题要求相同，保留作图痕迹）．扩散一：作已知直角的平分线扩散二：作22.5°的角扩散四：作已知钝角的平分线．扩散五：如图，将已知角四等分扩散六：作15°的角扩散七：如图，作△ABC的∠A，∠B，∠C的平分线．扩散八：如图，已知公路AB和CD，准备在两公路间修一条高速公路，与两公路始终保持等距，试画出高速公路示意图．由扩散一～扩散八，试题进引各种变化，但归根结底，却又回归到基本作图──平分已知角，所以在学习中一定要抓住基本作图的“精髓”，才能进一步的深化与提高，才能把较复杂的作图题转化到基本作图上来，从而打开思路．三、智能显示【心中有数】本单元向同学们介绍了什么是尺规作图，并能够用尺规完成下列基本作图：（1）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线，过已知点作已知直线的垂线．能用五种基本作图作三角形：已知三边作三角形，已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形，已知底边及底边上的高作等腰三角形，已知一直角边及斜边作直角三角形等．了解尺规作图的一般步骤，会写出已知，求作，作法．通过基本作图练习，并能解决生产、生活中的一些简单的实际问题，并能将一些较复杂的作图题转化为基本作图题去解决．学会转化的方法，学会基本作图的方法，以适应社会的需求．【动脑动手】1．如图．l 为一段直的河岸，A ，B 是河岸同侧的两个村庄，在河岸l 上修建一个水泵站C ，分别向A ，B 两个村抽水，这个水泵站应建在什么位置，可使水泵站到两个村庄距离相等？请问圆规和直尺在图中作出满足条件的水泵站C 的位置（不写作法，证明，保留作图痕迹）2．如图，某铁路MN 与公路PQ 相交于点O ，且交角为90°某仓库G 在A 区，到铁路，公路的距离相等（即G 点在∠NOQ 的平分线上），且到公路与铁路的相交点O 的距离为200m ，（1）在图上标出仓库G 的位置（比例R ，1 : 10000）用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）；（2）求出仓库G 到铁路的实际距离． 3．如图，A ，B ，C 三点表示某平原的三个村庄，要建一个电视转播站，使它到三个村庄的距离相等，求作电视转播站的位置P ．（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）4．已知：线段a ．求作：△ABC ，使∠ACB =90°，AB=a ，并且∠A =30°（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不必写作法与证明）5．如图，请作出由A 地经过B 地去河边l 的最短路线．（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）参考答案：（作图痕迹略）点C 为水泵站位置．2．（1）∵200m =200cm ．∴图距为：20000×＝2(cm )即OG ＝2cm ．如图，G 为仓库位置．（2）自G 作GB ⊥MN ，垂足为B 点（这里不要求用尺规作）依题设知△OBG 为等腰直角三角形．OG ＝200m∴2GB 2=2002 ∴GB ＝200∴GB ＝100 (m ) 答：仓库到铁路的实际距离为1002m ．4．1．以上三图中的△ABC 均符合条件，都为所求作的三角形如图，线段AB 与BP 即为所求．【创新园地】1．已知：线段a ，c 和角α，用圆规和直尺作出△ABC ，使AB ＝c ，BC ＝a ，∠ABC ＝α（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．2．已知：线段a 和∠α求作：直角三角形ABC ，使∠C ＝90°，BC ＝a ，∠B ＝∠α（要求：不写作法，每步都要用尺规作图并保留作图痕迹）3．已知：线段m 和∠α求作：等腰△ABC ，使顶角A ＝2α，腰AB ＝m（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法和证明）．4．已知：∠α，∠β和线段a求作：△ABC，使∠B =∠α，∠C＝β，BC=a．（要求：不要写作法及证明，要用尺规作图，并保留作图痕迹）四、同步题库填空题1.（1）尺规作图是指用来画图.（2）基本作图包括：；；；；；它们是几何作图的 .（3）最基本的几何作图语句有：①过点，点，作直线或作直线；②连结两点，或连结 .③延长到点，使 = .④在上截取 = ；⑤以点为为圆心，，为半径作弧，交于点；⑥分别以点点为圆心；以，为半径作弧，两弧交于点 .⑦一般几何作图应有下面几个步骤：；目前我们只要求写出三个步骤.2.用尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）作出△ABC的AB边的中点D，再作出DE∥BC交AC于点E.（如图1-3-17）3.已知斜边，一锐角，作直角三角形.4.已知△ABC，求作一点P，使点P到AB，AC的距离相等，且到边AC的两端点距离相等.图1-3-17 图1-3-185.如图1-3-18，在直线MN上求作一点P，使点P到OA，OB的距离相等.（注3～5尺为尺规作图）6.已知：线段a、b，求作以a为底，以b为底边上的高的等腰三角形（要求用圆规和直尺作图，不必写出作法和证明，但必须保留作图痕迹.7.如图1-3-19，A，B两个村子在河CD的同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管总费用F.图1-3-198.已知：如图1-3-20，直线MN和线段AB.求作：线段AB关于直线MN的对称线段A'B'（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）.9.要求用尺规作图，写出作法，保留作图痕迹，不证明.已知二边和夹角作三角形.10.已知线段AB，求作以线段AB为斜边的等腰直角三角形ABC（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.11.如图1-3-21，一块三角形ABC，阴影部分已破损.（1）只要从残留的玻璃片中度量出哪些边，角，就可以不带残留的玻璃片到店铺加工一块与原来玻璃片ABC的形状和大小完全相同的玻璃片A'B'C'，请简单说明理由.（2）用（1）中度量的边，角作△A'B'C'（要求尺规作图，保留作图痕迹）.12.用尺规作图，已知两边及第三边上的高求作三角形.图1-3-20 图1-3-21参考答案同步题库1.（2）直尺和圆规；（2）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作一条射线平分已知角；过一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线；依据（3）①A，A，AB，BA；②A，B，AB；③AB，E，AB，BE；④OA，OM，a；⑤O，OD，OA，D；⑥D，E，OD，OE，C；⑦尺规作图，基本作图.2.如图1-3-273.已知：∠α，线段m.求作：Rt△ABC,使∠A=α，斜边AB=m.作法：（1）作线段AB=m（2）以A为顶点作∠BAO=α（3）过点B过AO的垂线BC，BC交AO于C.△ABC即为所求.图1-3-27 图1-3-28 图1-3-294.已知：△ABC（如图1-3-30）.求作：点P，使PA=PC，且点P到边AB、AC的距离相等.作法：（1）作线段AC的垂直平分线MN；（2）作∠BAC的平分线AO，AO交MN于P.点P即为所求.图1-3-30 图1-3-315.已知：∠AOB及直线MN（如图1-3-31）.求作：点P，使点P在直线MN上，且点P到OA，OB距离相等.作法：作∠AOB的平分线OE交直线MN于点P.点P即为所求.6.已知：线段a ，b a b 求作：等腰△ABC ，使底BC=a ，高AD=h.作法：（1）作线段BC=a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，交BC 于点D ；（3）在MN 上截取DA=b ；（4）连结AB ，AC ，△ABC 即为所求.图1-3-327.解：（参照原题图）要使铺设水管费用最省，关键是使水厂到两村距离最短，因之，应延长AC 到A '，使A 'C=AC ，连结A 'B ，与CD 相交于点O ，点O 就是我们要选择的水厂O 的位置.∵ △BDO ∽△A 'CO ，∴ OD ∶OC=BD ∶A 'C=3即OD ：（OD+OC ）=3∶4，也即OD ∶DC=3∶4∴ BO=4154932222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+OD BD 又OC=CD-OD=3-4349= ∴ 45431222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=2OC AC AO ∴ 铺设的管道最短为：AO+BO=5∵ 每公里工程费用为：20000元∴ 总费用F 至少为5×20000=100000（元）.8.略9.见下图10.见图1-3-33图1-3-3311.（1）只要度量出∠B，∠C的度数和边BC的长，就可以不带残留的玻璃片到店铺加工一块与原来玻璃片ABC的形状和大小完全相同的玻璃片A'B'C'.其理由是根据“角边角定理”知△ABC、△A'B'C'.（2）见图1-3-34图1-3-3412.已知：线段b,c,h.求作：△ABC，使AC=b，AB=c，AD⊥BC，D为垂足，且AD=h作法：（1）作△ABD，使AD⊥BD，AB=c,AD=h.（2）以A为圆心，b为半径作弧，分别交BD或它的延长线上一点C1，C.（3）连结AC，AC1.△ABC及△ABC1均为所求作的三角形.图1-3-35。

初⼆数学-尺规作图总结初⼆数学尺规作图⼀、理解“尺规作图”的含义1?在⼏何中，我们把只限定⽤直尺（⽆刻度）和圆规来画图的⽅法，称为尺规作图?其中直尺只能⽤来作直线、线段、射线或延长线段；圆规⽤来作圆和圆弧?由此可知，尺规作图与⼀般的画图不同，⼀般画图可以动⽤⼀切画图⼯具，包括三⾓尺、量⾓器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的.2?基本作图：（1）⽤尺规作⼀条线段等于已知线段；（2）⽤尺规作⼀个⾓等于已知⾓.利⽤这两个基本作图，可以作两条线段或两个⾓的和或差⼆、熟练掌握尺规作图题的规范语⾔1?⽤直尺作图的⼏何语⾔：①过点X、点X作直线XX;或作直线XX;或作射线XX；②连结两点XX；或连结XX;③延长XX到点X;或延长（反向延长）XX到点X,使XX = XX ;或延长XX交X X于点X;2?⽤圆规作图的⼏何语⾔：①在XX上截取XX = XX;②以点X为圆⼼，XX的长为半径作圆（或弧）；③以点X为圆⼼，XX的长为半径作弧，交XX于点X;④分别以点X、点X为圆⼼，以XX、XX的长为半径作弧，两弧相交于点X、X三、了解尺规作图题的⼀般步骤尺规作图题的步骤:1?已知：当作图是⽂字语⾔叙述时，要学会根据⽂字语⾔⽤数学语⾔写出题⽬中的条件；2?求作：能根据题⽬写出要求作出的图形及此图形应满⾜的条件；3?作法：能根据作图的过程写出每⼀步的操作过程?当不要求写作法时，⼀般要保留作图痕迹?对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图⼤致相同，然后借助草图寻找作法?在⽬前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，⽽且在许多中考作图题中，⼜往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要?尺规作图的定义：尺规作图是指⽤没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本，最常⽤的尺规作图通常称基本作图。

⼀些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

五种基本作图：1、作⼀条线段等于已知线段；2、作⼀个⾓等于已知⾓；3、作已知线段的垂直平分线;4、作已知⾓的⾓平分线；5、过⼀点作已知直线的垂线;题⽬⼀：作⼀条线段等于已知线段。

作图专题一、尺规作图1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×.三．有关线的尺规作图1.作一条线段等于已知线段作法：作射线AP；在射线AP 上截取AB=a .则线段AB 就是所求作的图形.2.作一个角等于已知角作法：①作射线OB.②以点O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA 于E，交OB 于D.③以点C 为圆心，以OD 长为半径作弧，交OF 于N.④以点N 为圆心，以DE 长为半径作弧，交前弧于M.⑤经过点M 作射线OE，∠ECF 就是所求的角.3.作已知线段的垂直平分线.作法：①以点M 为圆心，以大于MN 一半的长为半径画弧；②以点N 为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点分别记为P、Q，连结PQ，则PQ 是线段AB 的垂直平分线．4.作已知角的平分线作法：①在OA 和OB 上，分别截取OD、OE，使OD=OE.②分别以D、E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C.③作射线OC.④OC 就是所求的射线.5.经过一点作已知直线的垂线（1）经过已知直线上的一点已知:直线AB 和AB 上一点C，求作:AB 的垂线,使它经过点C.作法：①以点C 为圆心，任一线段的长为半径画弧，交直线l 于点A、B；②以点A 、B 为圆心,以大于CB 长为半径在直线一侧画弧，两弧交于点D；③经过点C、D 作直线CD．直线CD 即为所求．（2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知:直线l 和l 外一点C求作直线l 的垂线,使它经过点C.作法:①任取一点M，使点M 和点C 在直线l 的两侧；②以C 点为圆心，以CM 长为半径画弧，交于A、B 两点；③分别以A、B 两点为圆心，以大于1AB长为半径画弧，两弧相交于D 点;2④过C、D 两点作直线CD.直线CD 就是所求作的垂线.四．有关三角形的尺规作图1. 三角形的尺规作图（1）已知三边作三角形已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC＝a，AC＝b、AB＝c.作法：①作线段BC＝a；②以点C 为圆心，以b 为半径画弧，再以B 为圆心，以c 为半径画弧，两弧相交于点A；③连接AC 和AB，则△ABC 即为所求作的三角形，如图所示．（2）已知两边及其夹角作三角形已知∠α和线段m，n.求作△ABC，使∠B＝∠α，BA＝n，BC＝m.作法：①作∠MBN＝α；②在射线BN，BM 上分别截取BC＝m，BA＝n；③连接AC，则△ABC 就是所求作的三角形．（3）已知两角及其夹边作三角形已知∠α，∠β，线段c.求作△ABC，使得∠ABC＝∠α，∠ACB＝∠β，BC＝c.作法：①作线段BC＝c；②在BC 的同旁，作∠DBC＝∠α，作∠ECB＝∠β，DB 与EC 交于点A.则△ABC 所求作的三角形．五、典型例题归纳1.作线段，作角（1）作平行例：如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）．分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可．作法如图（2）．图（1）图（2）（1）过点C作直线EF，交AB于点F；（2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；（3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；（4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线．说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．（2）作几等分点例：正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．分析这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．作法如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．（3）作全等例：如下图，△ABC 中，a =5cm ，b =3cm ，c =3.5cm ，∠B =︒36，∠C =︒44，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC 全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．分析 本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC 全等的各种情况，依据是SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．2.垂直平分线（1）过线段中点（2）过点作垂直例：如下图，已知钝角△ABC ，∠B 是钝角．求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形）． 分析 （1）作BC 边上的高，就是过已知点A 作BC 边所在直线的垂线；（2）作BC 边上的中线，要先确定出BC 边的中点，即作出BC 边的垂直平分线．作法 如下图（1）①在直线CB 外取一点P ，使A 、P 在直线CB 的两旁；②以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线CB 于G 、H 两点； ③分别以G 、H 为圆心，以大于21GH 的长为半径画弧，两弧交于E 点； ④作射线AE ，交直线CB 于D 点，则线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高． （2）①分别以B 、C 为圆心，以大于21BC 的长为半径画弧，两弧分别交于M 、N 两点； ②作直线MN ，交BC 于点F ；③连结AF ，则线段AF 就是所要求作的△ABC 中边BC 上的中线．说明 在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．（3）作一点到另外两点距离相等例：如图（1）所示，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．图（1） 图（2）分析 由题意知，点C 不仅要在∠MON 的平分线上，且点C 到O 、A 两点的距离要相等，所以点C 应是∠MON 的平分线与线段OA 的垂直平分线的交点． 作法 如图（2）所示 （1）作∠MON 的平分线OP ；（2）作线段OA 的垂直平分线EF ，交OP 于点C ，则点C 就是所要求作的点． 说明①根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等． ②两条直线交于一点． （4）作三角形的外接圆3.角平分线（1）作角的平分线例：已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ．图（1） 图（2）作法 如图（2）（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点； （2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点； （3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．（2）作一个点到角两边的距离相等例：如图，已知△ABC ，在AB 边上找一点P ，使点P 到AC 、BC 两边的距离相等．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）解：作∠ACB 的平分线CD 交AB 于P ，点P 即为所求．（3）作三角形的内切圆4.圆（1）圆内接正三角形（2）圆内接正方形（3）圆内接正六边形（4）圆内接正八边形5.位似问题如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2，7)，B (6，8)，C (8，2)，请你分别完成下面的作图并标出所有顶点的坐标。

第六部分图形的变化专题22尺规作图（5大考点）核心考点核心考点一尺规作图—作线段核心考点二尺规作图—作角（角平分线）核心考点三尺规作图—作三角形（等腰三角形）核心考点四尺规作图—作圆核心考点五格点作图题新题速递核心考点一尺规作图—作线段（2022·江苏南通·统考中考真题）【阅读材料】老师的问题：已知：如图，AE BF ∥．求作：菱形ABCD ，使点C ，D 分别在,BF AE 上．小明的作法：（1）以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AE 于点D ；（2）以B 为圆心，AB 长为半经画弧，交BF 于点C ；（3）连接CD ．四边形ABCD 就是所求作的菱形，【解答问题】请根据材料中的信息，证明四边形ABCD 是菱形．（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m ，n ．求作ABC ，使90,,A AB m BC n ∠=︒==．（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在ABCD Y 中，以点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 于点E ，在AD 上截取AF BE =，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）请用无刻度的直尺．．．．．．在ABCD Y 内找一点P ，使90APB ∠=︒（标出点P 的位置，保留作图痕迹，不写作法）作一条线段等于已知线段。

先用直尺画一条射线，再用圆规量取已知线段长度，再在画出的直线段上量取等长线段即可。

这种是最简单的尺规作图，但是要学会用准确的语言表述作图的基本步骤。

【变式1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知在ABC 中，2BD CD =．请用尺规作图法，在BC 边上求作一点E ，16ABE ABC S S =△△．（保留作图痕迹，不写作法）【变式2】（2023·福建福州·统考一模）如图，P 为O 外一点，M 为OP 中点．(1)过点P 作O 的一条切线PQ ，且Q 为切点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若PQ =，求证：点M 在O 上．【变式3】（2022·河南安阳·模拟预测）阅读材料：我们曾经解决过如下问题：“如图，点M ，N 分别在直线AB 同侧，如何在直线AB 上找到一个点P ，使得PM PN +最小？”我们可以经过如下步骤解决这个问题：①画草图（或目标图）分析思路：在直线AB 上任取一点P'，连接'P M ，'P N ，根据题目需要，作点M 关于直线AB 的对称点'M ，将''P M P N +转化为'''P M P N +，“化曲为直”寻找'''P M P N +的最小值；②设计画图步骤；③回答结论并验证．借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图：已知三条线段h ，m ，c ，求作ABC ，使其BC 边上的高AH h =，中线AD m =，AB c =．(1)请先画草图(画出一个即可)，并叙述简要的作图思路(即实现目标图的大致作图步骤)；(2)完成尺规作图(不要求写作法，作出一个满足条件的三角形即可)．核心考点二尺规作图—作角（角平分线）（2022·宁夏·中考真题）如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB BC =，AD DC ⊥于点D ．(1)用尺规作ABC ∠的角平分线，交CD 于点E ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接AE ．求证：四边形ABCE 是菱形．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线．(1)作∠ACB 的角平分线，交AB 于点E （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：AD ＝AE ．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）已知：ABC ．(1)尺规作图：用直尺和圆规作出ABC 内切圆的圆心O ；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）(2)如果ABC 的周长为14cm ，内切圆的半径为1.3cm ，求ABC 的面积．1、作角：作一个角等于已知角。

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。

用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法,经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题:作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题:作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题"。

直至1837年,万芝尔(Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数(即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数)，由此即可推得根号π（即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题。

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。

数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形。

将任意一条线段任意等分的尺规作图方法已知任意一条线段a，利用尺规将它二等分就是作它的垂直平分线，垂足即为二等分点。

已知任意一条线段a，利用尺规将它三等分、四等分、五等分……，怎么做呢？
下面给出一种方法，可以将任意一条线段n等分。

1、过已知线段AB的一个端点A做任意一条射线AC
2
距离的几个点。

例如要三等分，则取三个点，如图用圆规取M、N、P三点，使得AM=MN=NP。

3、连结PB,分别过点M和点N作直线M D‖PB,NE‖PB,交线段AB分别于点D和点E。

即点D和点E就是所要求作的已知线段AB的三等分点。

注:过直线外一点作已知直线的平行线用尺规法是可以的。

用此法以此理类推，用尺规就可以将任意一条线段任意等分。

证明：由作图可知AM=MN=NP，M D‖NE‖PB,
依据平行线等分线段成比例定理可知：AM：MN：NP=AD：DE：EB=1：1：1.
所以，AD=DE=EB,
即点D和点E就是线段AB的三等分点。

专题06 尺规作图一、尺规作图 1．定义只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图． 2．步骤①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分； ②分析作图的方法和过程； ③用直尺和圆规进行作图； ④写出作法步骤，即作法． 二、六种尺规作图即为所求线段为圆心，任意长为半径作弧，分别 长的平长和即为线A ′即为所求角两的两弧分别交于点MN分别交为半为半； 即可得三、基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．注意：依据基本作图的方法步骤，规范作图，注意一定保留好作图痕迹．核心考点用尺规作图尺规作图为广东中考近几年的必考点，题型多为解答题，设问方式主要为作图痕迹所代表的作图步骤与几何的计算和证明等的结合，考查点有作线段的垂直平分线、作垂线、作角的平分线、作线段、作圆等，主要结合三角形、四边形等的有关知识．【经典示例】如图，要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB，BC都相切．请你用直尺和圆规画出来(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．答题模板第一步，思路：假设所求的图形已经作出，并且满足题中所有的条件．第二步，解法：分析图中哪些是关键点，并探讨确定关键点的方法．第三步，作图：运用基本作图法确定关键点，然后完成作图．第四步，反思：要注意用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题，每一步作图都必须有根有据，不能随便画．【满分答案】如图，即为所求图形．【解题技巧】要作一个圆与角的两边都相切，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可解决问题，比较复杂的作图题，要经过严格的分析，才能找到作图的根据和作法．模拟训练在一块直角三角形的废料上，要裁下一个半圆形的材料，并且要半圆的直径在斜边AB上，且充分利用原三角形废料．（1）试画出你的设计（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）（2）若AC=4，BC=3，试计算出该半圆形材料的半径．【解析】（1）作∠ACB的平分线交AB于O，过O作OE⊥AC于E，以O为圆心，OE为半径作圆交AB于D、F．（2）作OH⊥BC于H，∵OC平分∠ACB，OE⊥AC，OH⊥BC，∴OE=OH，设OE=OH=r，∵S△ABC=12•AC•BC=12•AC•r+12•BC•r，∴r=127．【点睛】本题考查作图——应用与设计，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用面积法构建方程解决问题．解答本题时，（1）作∠ACB的平分线交AB于O，过O作OE⊥AC于E，以O为圆心，OE为半径作圆交AB于D、F，三角形中半圆即为所求．（2）作OH⊥BC于H，首先证明OE=OH，设OE=OH=r，利用面积法构建方程求出r即可．1．(2018·广东)如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°.（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【解析】（1）如图所示，直线EF即为所求.（2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠DBC12∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°，∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD–∠FBE＝45°．2．(2018·广州)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB>CD，AD＝AB+CD．（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．【解析】（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示．（2）①解法一：在DA上截取DG＝CD，连接GE，由（1）知∠GDE＝∠CDE，又DE＝DE，∴△GDE≌△CDE，∴∠DGE＝∠C＝90°，∠DEC＝∠DEG，在△AGE和△ABE中，∠AGE＝∠ABE＝90°，而AD＝AG+DG＝AB+CD，DG＝CD，∴AG＝AB，又AE＝AE，∴Rt△AEG≌Rt△AEB，∴∠AEG＝∠AEB，∴∠DEG+∠AEG＝∠DEC+∠AEB＝90°，即∠AED＝90°，故AE⊥DE．解法二：延长DE交AB的延长线于F．∵CD∥AF，∴∠CDE＝∠F，∵∠CDE＝∠ADE，∴∠ADF＝∠F，∴AD＝AF，∵AD＝AB+CD＝AB+BF，∴CD＝BF，∵∠DEC＝∠BEF，∴△DEC≌△FEB，∴DE＝EF，∵AD＝AF，∴AE⊥DE．②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．∵AD＝AF，DE＝EF，∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，∴AK＝AB＝4，在Rt△ADG中，DG==∵KH∥DG，∴KH AK DG AD=，46=，∴KH3=，∵MB＝MK，∴MB+MN＝KM+MN，∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长，∴BM+MN的最小值为3．3．(2018·深圳)已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于12AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．【解析】（1）由已知得：AC＝CD，AB＝DB，由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，∴∠ACB＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB，又∵AC＝CD，AB＝DB，∴AC＝CD＝DB＝BA，∴四边形ACDB是菱形，∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.（2）设菱形ACDB的边长为x，∵四边形ACDB是菱形，∴AB∥CE，∴∠F AB＝∠FCE，∠FBA＝∠E，∴△F AB∽△FCE，∴FA AB FC CE =，即6126x x-=，解得：x ＝4， 过A 点作AH ⊥CD 于H 点，∵在Rt △ACH 中，∠ACH ＝45°，sin ∠ACE AHAC=，AC ＝4，∴AH sin 4AC ACE =⋅∠=⨯=，∴四边形ACDB 的面积为CD ×AH 4=⨯= 4．(2017·广东)如图，在△ABC 中，A B ∠>∠．(1)作边AB 的垂直平分线DE ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E (用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，连接AE ，若50B ∠=︒，求AEC ∠的度数．【答案】见解析 【解析】(1)如图所示：(2)∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE =BE ， ∴∠EAB =∠B =50°，∴∠AEC =∠EAB +∠B =100°．5．(2017·广州)如图，在Rt △ABC 中，9030B A AC ∠=∠=︒︒=，，AC 的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D．(保留作图痕迹，不写作法)【答案】见解析【解析】如图所示：6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径画弧交AC于点E，交BC于点F；②分别以点E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线CP交AB于点D，若AC=3，BC=4，求△ACD的面积．【答案】18 7【解析】过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G，H，∵由题意可知CP是∠ACB的平分线，∴DG=DH．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴S△ABC=S△ACD+S△BCD，即12×3×4=12×3DG+12×4DG，解得DG=127，∴△ACD的面积=12×3×127=187．7．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ．（1）请用尺规作图的方法在边AC 上确定点P ，使得点P 到边BC 的距离等于P A 的长；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：BC ＝AB +AP ．【解析】（1）作图如图所示.（2）过点P 作PD BC ⊥于点D ， 由（1）知PA PD =.又∵90A ︒∠=，PD BC ⊥，BP BP =， ∴Rt Rt ABP DBP △≌△. ∴AB DB =.∵=90A ︒∠，AB AC =， ∴45C ︒∠=.∴1904545︒︒︒∠=-=. ∴1C ∠=∠. ∴DP DC =. ∴DC AP =.∴BC BD DC AB AP =+=+.【点睛】本题考查作图−复杂作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．解答本题时，（1）作∠ABC的平分线即可解决问题；（2）证明Rt△ABP≌Rt△DBP（HL），PD＝DC即可解决问题．8．已知：如图△ABC．求作：(1)AC边上的高BD；(2)△ABC的角平分线CE．【答案】见解析【解析】(1)以点B为圆心，较大的长为半径画弧，交直线AC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点B和这点作射线，交直线AC于点D，BD就是所求的AC边上的高；(2)以点C为圆心，任意长为半径画弧，交CA，CB于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，作过点C和这点的射线交AB于点E，CE即为所求的角平分线．如图所示：9．按要求用尺规作图(只保留作图痕迹，不必写出作法)．(1)在图(1)中作出∠ABC的平分线；(2)在图(2)中作出△DEF的外接圆O．【答案】【解析】如图所示，10．已知△ABC中，∠A=90°．（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，设BC边上的中线为AD，求证：BC=2AD．【解析】如图1，AD为所作.（2）延长AD到E，使ED=AD，连接EB、EC，如图2，∵CD=BD，AD=ED，∴四边形ABEC为平行四边形，∵∠CAB=90°，∴四边形ABEC为矩形，∴AE=BC，∴BC=2AD．【点睛】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线），也考查了矩形的判定与性质．解答本题时，（1）作BC的垂直平分线得到BC的中点D，从而得到BC边上的中线AD；（2）延长AD到E，使ED=AD，连接EB、EC，通过证明四边形ABEC为矩形得到AE=BC，从而得到BC=2AD．11．如图，锐角△ABC中，AB＝8，AC＝5．（1）请用尺规作图法，作BC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接CD，求△ACD的周长．【解析】（1）如图，DE即为所求.（2）DE是BC的垂直平分线，DC DB ∴=， 8AB =，5AC =，ACD ∴△周长13AD DB CA AB AC =++=+=．【点睛】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．解答本题时，（1）利用基本作图作BC 的垂直平分线得到DE ；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC DB =，则ACD △周长AD DB CA AB AC =++=+．12．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠DAC 是△ABC 的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母．(保留作图痕迹，不写作法) (1)作∠DAC 的平分线AM ；(2)作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接AE ，CF ． 猜想并判断四边形AECF 的形状并加以证明．【答案】(1)作图见试题解析；(2)作图见试题解析，四边形AECF 的形状为菱形． 【解析】作图如图所示，四边形AECF 的形状为菱形．理由如下： ∵AB =AC ，∴∠ABC=∠ACB．∵AM平分∠DAC，∴∠DAM=∠CAM．而∠DAC=∠ABC+∠ACB，∴∠CAM=∠ACB，∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOF=∠COE．在△AOF和△COE中，∠FAO=∠ECO，OA=OC，∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴OF=OE，即AC和EF互相垂直平分，∴四边形AECF的形状为菱形．。