三等分线段

对于尺规作图法将线段三等分的研究1.问题背景用尺规作图法将线段三等分的研究：尺规作图法是指只能使用圆规与无刻度直尺，并且只准许使用有限次，来解决平面几何作图问题的方法。

我们知道并已经能用尺规作图法将一条给定线段进行（n为正整数）等分。

那么如何解决以下问题呢？用尺规作图法将一条给定线段AB三等分，写出作图过程，保留作图痕迹。

看谁想出的方法更多。

2.思路分析由于尺规作图法的要求，在将线段三等分的过程中，应该尽最大可能利用特殊角度、特殊三角形、三角形全等、三角形相似、平行线、中线、垂线及其性质。

通过这些性质使得线段之间出现2倍、3倍、1/2倍、1/3倍的关系，从而推进线段AB的三等分。

3.问题的解决方法3.1利用平行线分线段成比例定理作图1.过给定线段AB的任意一端端点作射线（例如射线BO）；2.利用圆规依次在射线BO上截取三段等长线BM、MN、NL；3.连接LA 过M、N做平行于LA的直线交AB于C、D；则点C、点D即是给定线段AB的三段分点。

3.2 佘氏尺规法1.已知给定线段AB，分别以A、B为圆心，AB长度为半径作圆弧，交点分别为C、D；2.连接C、D，交AB于E点；3.分别以点A、点B、点E为圆心，AE长为半径画弧，三弧两两相交于点F、点G ；4.连接DF与DG，直线DF、直线DG分别与直线AB相交于点P和点N则P、N即为线段AB的三段分点。

3.3利用三角形重心性质作图1.已知给定直线AB，以A为圆心，半径任意做圆弧；过点A作直线，与圆弧相交于点C、D；2.连接点C、B、D，得到三角形CBD（A为CD的中点）；3.尺规作图找出线段DB的中点E，连接CE，交线段AB于F4.同样方法找出线段BF的中点G则点F、G即为线段AB的三等分点。

3.4利用特殊角度作图1.已知给定线段AB，过A点利用三角板作出射线AO与直线AB的夹角呈60度；作∠OAB的角平分线AC；2.过B 点作线段AB 的垂线交AC 于点D ，则有；3=BDAB3.作∠ADB 的角平分线，与线段AB 交于点E ，则有3=EBDB即AB=3EB，E为线段AB的三等分点。

引言：三角形三等分点定理是一个重要的几何定理，在三角形中寻找三个等分点是一个常见问题。

该定理给出了一种方法，可以用几何手段确定三角形的等分点位置。

本文将详细介绍三角形三等分点定理，包括定义、证明和应用。

概述：三角形三等分点定理是指在任意三角形ABC中，可以找到三个点D、E和F，使得线段AD、BE和CF均等分三角形ABC。

这意味着三个等分点分别位于三个边界上，并且每个等分点都将三角形划分为等面积部分。

正文内容：一、三等分点的定义和性质1.三等分点是指在三角形中将三个边界等分的点。

2.三等分点满足三等分线段的性质，即三个等分点将边界分为相等的部分。

3.三等分点与三角形的形状和大小无关，只与三角形的边界长度有关。

二、三等分点的几何构造方法1.方法一：利用三角形的中位线构造等分点。

2.方法二：利用三角形的高线构造等分点。

3.方法三：利用三角形的角平分线构造等分点。

4.方法四：利用三角形的外接圆和内切圆构造等分点。

三、三等分点的证明方法1.证明方法一：利用三角形的边界长度和线段等分的性质。

2.证明方法二：利用三角形的中垂线和角平分线的性质。

3.证明方法三：利用三角形的相似性和三等分点的定义。

4.证明方法四：利用向量和坐标几何的方法证明三等分点的存在和位置。

四、三等分点的应用1.应用一：用三等分点构造等面积分割线，将三角形分割成等面积的部分。

2.应用二：利用三等分点证明三角形的性质，如内接四边形和外接圆的关系。

3.应用三：三等分点与三角形的内心、外心和重心的关系。

4.应用四：利用三等分点构造等边三角形的方法。

五、三等分点的拓展和深入研究1.拓展一：三等分点的存在性和唯一性。

2.拓展二：三等分点的坐标表示和计算方法。

3.拓展三：三等分点与其他几何定理的关系和应用。

4.拓展四：三等分点在三角形划分和分割问题中的应用。

总结：三角形三等分点定理是一个重要的几何定理，可以用于构造等分点和证明三角形的性质。

本文介绍了三等分点的定义和性质，几何构造方法和证明方法，以及应用和拓展研究。

⼏何画板线段怎么实现三等分点？
⼏何画板绘图的时候，想要构造三等分点，该怎么实现呢？请看下⽂详细介绍。

出⾊的教学软件⼏何画板 V5.06 中⽂绿⾊单⽂件版
类型：理科⼯具
⼤⼩：1.57MB
语⾔：简体中⽂
时间：2015-08-01
查看详情
⽅法⼀：点值法
使⽤点的值在等边三⾓形的边上绘制点，选择边右键，执⾏“在线段上绘制点”命令，分别输⼊“1/3”和“2/3”即可。

1、画等边三⾓形ABC，使⽤“点⼯具”在边BC上任意画⼀点D，执⾏“度量”——“点的值”命令，得到该点在边BC上的值。

2、选中边BC，⿏标右键，选择“在线段上绘制点”命令，在弹出的对话框输⼊“1/3”，点击绘制，得到三等分点E。

3、然后再执⾏该命令再输⼊“2/3”，点击绘制，然后点击完成，得到边BC的三等分点F，如下图所⽰。

温馨提⽰：按照以上⽅法，可以构造出其余两边的三等分点，这⾥就不再详细介绍。

⽅法⼆：使⽤缩放命令
可以标记线段⼀个端点为中⼼，选中另⼀个端点，执⾏“变换”——“缩放”命令，缩放⽐例为1:3，接着再缩放⼀次，⽐例为2:3即可。

1、打开⼏何画板，画⼀个等边三⾓形ABC，双击点B标记为缩放中⼼，选中点C，执⾏“变换”——“缩放”命令，在弹出的对话框输⼊缩放⽐例为1：3，点击“确定”得到三等分点D。

2、接着选中点C，执⾏“变换”——“缩放”命令，在弹出的对话框输⼊缩放⽐例为2：3，点击“确定”得到三等分点E。

温馨提⽰：按照以上步骤，可以找出每个边的三等分点，从⽽进⾏研究，这⾥就不再多作介绍。

以上就是⼏何画板构造三等分点的教程，希望⼤家喜欢，请继续关注爱。

等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

在等腰三角形中，顶角的三等分线是指从顶点引出的三条线段，这三条线段将顶角平分成三个相等的角。

本文将探讨等腰三角形顶角的三等分线与底边的关系。

一、等腰三角形的定义1. 定义：等腰三角形是指两条边相等的三角形。

2. 性质：等腰三角形的底边对应的两个底角是相等的，顶角的三等分线相交于三角形的底边的中点，并且三等分线的交点到底边的距离等于底边的一半。

二、顶角的三等分线和底边的关系1. 顶角的三等分线的性质在等腰三角形ABC中，顶角A的三等分线AD、AE和AF满足以下性质：a. 三等分线AD、AE和AF相交于点O，即三等分线的交点为O。

b. 三等分线交底边BC于点D、E和F，其中D为BC的中点。

2. 三等分线的长度关系在等腰三角形中，顶角的三等分线与底边的关系如下：a. 三等分线的交点O到底边的距离等于底边的一半，即OD=OE=OF=1/2*BC。

这说明三等分线的交点O到底边的距离相等，且等于底边的一半。

3. 证明假设在等腰三角形ABC中，AD、AE和AF分别为顶角A的三等分线，交于点O，D为BC的中点。

要证明OD=OE=OF=1/2*BC。

证明如下：a. 证明OD=1/2*BC：连接OA并延长至BC的延长线上，构造三角形OAB和OCD。

由于三角形OAB和OCD中AB=CD，且∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，因此△OAB≌△OCD。

根据△OAB≌△OCD可得OA=OC。

又因为OD=CD-DO=OA-OE=1/2*BC-OD，解得OD=1/2*BC。

同理可得OE=OF=1/2*BC。

三、结论在等腰三角形中，顶角的三等分线的交点到底边的距离等于底边的一半，并且三等分线的交点为底边的中点。

四、实际应用1. 测量与建筑领域：对于等腰三角形结构的测量和建筑设计中，需要考虑顶角的三等分线与底边的关系，以确保结构的稳定性和准确性。

2. 数学教学：在数学教学中，可以通过等腰三角形顶角的三等分线和底边的关系来引导学生理解几何图形的性质和应用。

三角形三等分角线长度定理三角形是几何学中的重要概念之一，其特点是由三条边和三个角所组成。

在三角形中，角线是指连接三个顶点与对边中点的线段。

本文将讨论三角形的三等分角线长度定理。

三等分角线长度定理，即指在一个任意给定的三角形中，连接一个角的两边中点并延长至对边上的点，该角线与对边之间的距离等于对边长度的一半。

下面我们通过一个实例来说明这个定理。

假设我们有一个三角形ABC，其中AB = 8 cm，BC = 10 cm，AC = 6 cm。

我们需要计算连接角A的两边中点并延长至BC上的点的距离。

首先，我们需要求出BC上的中点，记为D。

根据三角形三边长度关系，我们可以使用以下公式来求得BC上的中点D的坐标：D的x坐标 = (B的x坐标 + C的x坐标) / 2D的y坐标 = (B的y坐标 + C的y坐标) / 2假设B的坐标为(Bx, By) = (0, 0)，C的坐标为(Cx, Cy) = (10, 0)。

代入上述公式，可得到D的坐标为(Dx, Dy) = (5, 0)。

接下来，我们需要计算点D与对边BC之间的距离。

根据两点间距离公式，我们可以使用以下公式来计算：距离= √[(Dx - Cx)² + (Dy - Cy)²]代入已知值，可得到距离= √[(5 - 10)² + (0 - 0)²] = √[25 + 0] =√25 = 5 cm。

根据三等分角线长度定理，我们可以得出结论：在三角形ABC 中，连接角A的两边中点并延长至BC上的点与对边之间的距离等于BC长度的一半，即5 cm。

这个例子说明了三等分角线长度定理在实际问题中的应用。

无论给定的三角形的具体形状和大小如何，只要按照规定的方法求得角线的长度，都可以得出一致的结论。

总结起来，三角形三等分角线长度定理是一个重要的几何定理，它可以帮助我们在解决三角形相关问题时更加便捷地计算角线的长度。

通过理论分析和实例证明，我们可以清晰地理解这一定理的应用方法和实际意义，进而更好地运用于实际生活中的几何问题中。

三等分线段方法一：过线段AB一端点做射线AO，依次截取三段等长线段AM MN NL，连接LB 过M N 做平行与LB直线交AB与 X YX Y为等分点。

方法二：将线段转成一三角形的一条中线再画做AB边的中垂线（这步不用说明吧）交AB 于M，连MC交AO于N（N即是ABC重心），AO=3NO。

方法三：有一种佘氏尺规法。

方法四：线段AB，过A点做直线与AB夹60度，做角平分线AC，角CAB为30度，过B 做垂线交AC与C，平分角ACB交AB于D，则AB=√3DB。

方法五（本人补充）：已知线段AB，以AB为对角线作出平行四边形ACBD，作AC边与BD边的中点E 与F，连接DE与CF，可三等分AB（利用相似，其实做的练习中就有这样的图形）方法六：已知线段AB，过点A与B做一组不与AB重合平行线 j 与 k ，在相似方法做线段等分k 上截取一点E，做为一倍长，在AB与E的异侧直线 j 上，用尺规作图截取2倍BE长度AF，连接FE可三等分AB。

在AB与E的异侧直线 j 上，用尺规作图截取n倍BE长度AF'，连接F'E可（n+1）等分AB。

针对三等分线段不要用这种很大众的解决方法，这个N等分都没关系的，没有针对性以分割AB三等分为列子以AB为边做一个三角形ABC取BC中点D，连接AD取AD中点O,连接CO并延长与AB相交于E取BE中点F这样E、F就是AB的三等分点这个可以被证明的，比做平行线要准的多，方法七：已知线段AB，作射线AP垂直于AB，从点B开始，以3AB长为半径画弧，交AP于点C，连接BC。

∵BC=3AB，∴可以轻易得到BC的三等分点M'，N'。

根据三角形相似原理，如果作M'M⊥AB，N'N⊥AB，那么M和N就是AB的三等分点方法七[1]方法八：1：以线段端点A为圆心，端点B为半径，作圆弧R。

2：将线段AB作二等份，求得线段AB的中点C。

3：作垂直于线段AB，且垂直于C点的直线Y；4：直线Y与圆弧R相交，得交点T；5：连接端点A，端点T，得线段AT；6：连接端点B，端点T，得线段BT；7：将线段AT作二等份，求得线段AT的中点D。

尺规作图三等分线段
-------宋华光三等分线段在生活要运用时，只能选取特殊长度，如3米；3厘米；1.8米等…即长度数量的数能被3除尽的，要么就是取个大概。

下面我有两种方法讲将任意一条线段平分成三段。

由此，可以得到6等分、9等分、12等分等等。

步骤：
1、作线段AB的A端（或B端）的垂线，垂足为B(或A）;
2、在垂线上任意取一点C点，以BC(或AC）为半径、B(或A）点为圆心画弧交垂线于D点；
3、延长（或不延长）AB（或BA），以CD为半径，D点（或C点）为圆心画弧交AB（或BA，或延长线）上一点E，连接DE和CE；得三角形DEC为等边三角形。

4、平移DE，线段DE交AB于A（或B）点，交垂线于G 点；平移CE交AB于A(或B）点，交垂线于F点。

得三角形AGF（BGF）为等边三角形。

作角AGF（BFG）的平分线交AB于H点，再二等分AH;线段AH中点为I点。

这样就将线段AB三等分了，即AI=IH=HB(或AI+IH+HB=AB)。

作法1：
证明：
∵三角形AGF 为等边三角形；线段GH 分别为角AGF 的平分线；直线CD 为AB 的垂线 ∴角BAG= 角AGH=角BGH=30°
AH=GH, BH=1/2GH=1/2AH
∵I 点为AH(BH)的二等分点
∴AI=HI ∴BH=HI=AI
证明：
∵三角形BGF为等边三角形；线段FH分别为角BFG 的平分线；直线CD为AB的垂线
∴角ABG= 角BFH=角AFH=30°
BH=FH , AH=1/2FH=1/2BH
∵I点为BH的二等分点
∴BI=HI
∴AH=HI=IB。

折三等分的方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在日常生活和工作中，我们经常会遇到需要将一段线段等分成三等分的情况，例如在制作手工艺品、建筑设计或数学问题中。

因此，掌握折三等分的方法具有重要的实用意义。

本文将介绍传统方法、利用几何原理的方法和数学推导的方法三种折三等分的方法，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。

通过深入探讨这三种方法，不仅可以拓展我们的思维视野，还可以应用到实际生活和工作中，提高工作效率和解决问题的能力。

1.2 文章结构本文将分为三个部分来讨论折三等分的方法。

首先，我们将介绍传统的折叠方法，即如何通过简单的折叠方式将一段线段折成三等分。

然后，我们将探讨利用几何原理的方法，通过一定的几何知识来实现折三等分。

最后，我们将介绍数学推导的方法，通过数学计算来实现折三等分。

通过这三个部分的介绍，读者将了解到不同的折三等分方法，并能够根据自己的需求选择合适的方法来实现折三等分。

1.3 目的:本文的目的是探讨如何将一条线段折成三等分的方法，通过对传统方法、利用几何原理的方法和数学推导的方法进行对比和分析，希望能够提供读者多种方式来解决这一常见问题。

同时，通过深入研究折三等分的方法，可以帮助读者更加深入理解几何学和数学知识，并在实际生活中应用这些知识。

最终，希望读者能够通过本文对折三等分的方法有一个全面的了解，为解决类似问题提供更多思路和方法。

2.正文2.1 传统方法：在传统方法中，折三等分一条线段的常用方法是使用折纸的方式。

具体步骤如下：1. 在一张纸上画一条边长为a的线段，表示被折叠的线段。

2. 将纸对折，确保线段的一个端点与折痕上的交点对齐。

3. 从线段的另一个端点开始，利用折纸的方式将线段依次三等分。

4. 展开纸，即可得到线段被三等分的点的位置。

这种传统方法比较简单易懂，但是需要纸张和尺子等辅助工具，操作相对繁琐。

在实际应用中，为了更精确地进行三等分，还可以借助工具如尺规等几何仪器来帮助完成操作。

50上海中学数学• 2020年第7_8期有趣的尺规作图：求作给定线段的三等分点200051 上海市娄山中学李正辉摘要：尺规作图对智力训练和逻辑思维能力培养很有用处，但又以其对作图工具的严格限制而产生了许多难题.从现行初中数学教材中，可以挖掘出不少尺规作图的趣味问题.其中.如何求作一条给定线段的三等分点，就充满趣味和挑战.不同类型、多种方法的求作过程，可以生动体现综合运用知识解决问题的创造性，可以使学生充分感受尺规作图的奇思妙想和妙趣横生，使其感受数学学习的创造之美，欣赏数学之美.关键词：尺规作图；给定线段；三等分点―、问题的提出众所周知，尺规作图是起源于古希腊的数学课题.古希腊人规定作图只能使用圆规和无刻度直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.古希腊人尺规作图对作图工具的严格限制，主 要目的在于训练智力，培养逻辑思维能力.正因如此，也就产生了种种有趣的尺规作图难题.其实，若认真阅读现行的初中数学教材中.悉心挖掘教材，可以发现其中隐含着不少尺规作图的趣味问题.我们知道，利用尺规作图可以轻松地将一条给定线段2"等分（《为正整数）.问题能否用尺规作图将一条给定线段A B三 等分？若能，请尝试探究多种不同的求作方法.这个问题学生开始觉得没思路、没方向.再仔细想想.也许能给出一两种作法；但想寻找更多的作法时，会再次感到困难重重，体会到尺规作图的趣味性和挑战性，以及对智力训练和逻辑思维的高要求.如何打开解题思路？从什么地方人手呢？事实 上，既然要求将给定线段三等分，自然的想法就是要紧紧盯住“+”，从所学的知识、定理、例习题结论、典型的几何图形等多种途径关联“f”.巧妙变换不同的思考角度.再创造性地应用到作图上来.这就是解决本问题的突破口.为了简便，先给出本文所需要的尺规作图的九个基本结论:①可求作给定线段的垂直平分线；②过某一点作已知直线的垂线（或作直角）；③过某一点作已知直线的平行线、已知角的平分线；④可求作已知线段的《倍(《为正整数）；⑤可求作已知角的《倍（《为 正整数）；⑥可求作线段的中点；⑦可求作15°、30°、45°、60°、75°的角：⑧可求作给定圆心和半径的圆；⑨可求作等边三角形、正方形等特殊多边形.~~、问题的解决笔者围绕给定线段A B.给出不同类型、多种方法求作的三等分点.(_)利用平行线分线段成比例定理多数人会直观地联想到“平行线分线段成比例定理”，借助熟知的平行线等分线段的相关性质，先 构造某种已知的三等分关系.再把三等分特征转化到线段/V B上.笔者介绍五种代表性的作法.作法1:过点A任意作射线A M,在射线A M上顺次截取A〇=〇P=P Q.联结过点P、C»分别作B Q平行线交A B于D、C两点， 4如图1，容易知道，点C'、D三等分线段A B.作法2:任意作线段B P，过点/\作平行线A M，在平行线A M上截取A O=2B P,联结 O P 交于点C,如图2,容易知道点等分线段A B.作法3:作的平行线段P Q，且£、F三等分图2P Q，联结并延长交于点〇(只需要取的P Q满足即可），联结 〇£、〇F并延长交于点C'、D,如图3,不难由线束定理知必有点C、D三等分线段A B.上面三种作法，由熟悉而简单的知识入手，想法自然朴实，这也是解决问题的图3上海中学数学.2»20年第7 —8期51常规思路和一般方法.进一步研究，拓展此思路，可 得将给定线段〃等分的求作方法.继续深人研究，巧 妙构造常规几何图形并利用其所具有的某些特性，还可得到许多类似的有趣作法.比如，以构造正方形 为例.再给出两种作法.作法4:先作以为对角线的正方形再作中点Q•联结O Q交于点C,如图4,则 点C三等分线段A B.作法5:先作以为边长的正方形A B P O,再作 O P边中点E，联结O B、A£交于点F,过点F作A B 垂线，垂足为点C，如图5,则点r三等分线段〇C B图4 图5作法4与作法5的说理显而易见.当然，我们还 可以利用其他图形的特性继续研究类似作法，比如 构造等边三角形、矩形、平行四边形等，这样的作法还有不少.(二）利用直角三角形性质我们知道，在直角三角形中，内角为30°的角所对的直角边等于斜边的一半，据此是否可以由+关联到士呢？作法6:过点B作垂线，再作Z B A P=30°交前面垂线于点P,再作的角平分线交于点C,如图6•显然有结 论A C=P C=2B C,则点C三等分线段作法7:先作以为底边且底角为30°的等腰A AB P,过点P作P B垂线 A交/\B于点C,如图7,经计算可得B C=2P r=2A C,则点C三等分线段A B.作法8:过点A作/V B垂线.再作Z A B P=30° 交前面垂线于点P,再作Z/V P D=30°,且点D在 B A延长线上，在线段ZVB上截取A C=A D,如图8. 经计算有 B D=2P D=4/\D,故 A B=3/\D =3A C\ 则点C =等分线段A B.作法6、作法7、作法8充分利用直角三角形相关性质巧妙作图，图形简洁优美，计算说理简单易懂.体现了深挖课本知识的重要性.也是深刻理解数学定理和性质应用的典范示例.(三） 利用三角形的重心性质前面，笔者由直角三角形的某种特性将线段三等分，与之类似，三角形的重心将每条中线分为1 : 2两部分.那么.能否利用1: 2这一信息，构 造图形，结合相关性质，将线段三等分呢？笔者 给出两种代表性作法.作法9:以A为中点作线段P O.联结B O并作其中点Q，联结P O交于点C，如图9，则易知点C是△B P O的重心，故点C三等分线段作法10:作以为边长的等边A A B O,作A/V B O的重心P，过点P作平行线交于点如图10,则由重心和平行线性质可知，点C三等分线段A B.利用三角形重心性质来构造图形，将线段三等分.巧妙优美，这类作法还有不少.(四） 利用某些特殊的几何定理结论尺规作图三等分线段问题的解决,促使我们学会思考，关联研究.这正是该问题的挑战及其魅力所在.图10除了上述十种典型方法外，笔者依然盯住“+”这一核心目标.创造性地利用某些特殊的几何定理，可以巧妙地将线段三等分.笔者试着给出三种作法.作法11 (利用三角形内角（外角）平分线定理）：任意作A A P B,满足B P=2A P,且 3A P>/\B，作 A的角平分线交于点r.如图11.由内角平分ran线定理计算可知，点C三等分线段作法12(利用圆的割线定理）：延长A B到/W,使得AiU=3A B,过点A作射线A N,在射线A N上截取A D、A£,使得52上海中学数学• 2020年第7 —8期A£=2A B,联结£从，作£D、£M中垂线交于点0,以O为圆心、〇£长为半径作©〇,交线段于C，如图12,可证明点C三等分线段事实上，由圆的割线定理可得A C•A M=A D • A£，因%A M=3A B,A D=y A B,A E=2A B,代人计算有则点 C三等分线段A B.作法13 (利用梅涅劳斯定理）：任意作线段B P,并作其中点〇,联结A O,并作其中点£，联结P O并延长交于点C，如图13,经计算可知点C三等分线段A B.直线P E C截A A B O，,A C由梅涅劳斯定理可得CBB P OE P O *EAOE :1,作图可知B P=2,EAPO 1，经计算不难得j，故点 C 段A B.:等分线图13回顾上述作法可以看到，依据作图思路，还可以 拓展为将线段》等分.同时，师生还可以借鉴这类作图方法的巧妙构思，依托其他的几何定理如射影定理、圆的切割线定理等，寻找更有趣的作法，体会几何学习的魅力.(五）利用几何例习题的结论在几何学习中，学生应当关注和审视例习题的结论，善于有意识地研究例习题的结论，深人理解例习题所蕴含的知识、方法和数学思想.有时.学生可以借助例习题的结论，逆向思考，打开视野，灵动运 用，从而获得解决方法.不妨来看两个例子.题丨如图14,在等腰1Rt A A B C中，灿=A C，//\\〇Z B A C=90°,BD 是中线，A£1B D 交 于点 £，求 ----\一~\c这是一道八年级的经典几何题，证明方法有多种.观察结论.不难得出线段三等分的一种灵动方法.作法14:以A B为底边作等腰R t A A B E,作B E中点D，联结A D，再过点£作A D的垂线交A B于点C，如图15,结合题1的结论，则点C三等分线段题 2 如图16，在△A B P 中，P D 为中线，M i V//A B，联结 A N、iWD 交于点£,联结交i V T i V、A B于点F、C，求证:AC =}仙_证明：•••M N//A B，•••M N_P M_IW F M N—A B~P A~A C，n A D~M E_M FE D~C D J又•••AB=2A D，.M N=M N=M F"A B_2A D~A CM F2CD即A C=2C D，故 A Cp图16=I A D=I X1A B=+A B'由此结论，得出一种新的作法.作法15:以为一边任作A P A B，在P A上 任取一点M，过M作A B的平行线交P B于点N，作A B中点D，联结/ViV、D M交于点£.联结/^£并延长交A B于点C，如图17,则由题2的证明可知点C三等分线段上述多种方法呈现了尺规作图的奇思妙想和挑战魅力.有些作法出乎意料，妙趣横生，使人们感受到尺规作图中思考和探究的魅力.当然，三等分线段的方法探索永远没有终点，图17还有待继续深人地探索.著名数学家谷超豪先生说过，数学的魅力在于创造.这需要教师在教学中引导学生学会思考.深耕钻研，尝试从不同的思维角度研究，培养学生的发散思维、逆向思维、创造性思维，创造性地综合运用知识解决问题，感受数学学习的创造之美并欣赏数学之美.这是为了培育学生数学核心素养所应该坚持的数学育人观.参考文献[1]李正辉.尺规作图：三等分线段作图方法知多少[A]//学生创新素养培育的实践探索—上海市长宁区初中作业开放性研究成果汇编.上海：学林出版社，2019:67-73.。

90度角三等分原理
90度角三等分原理是指将一个直角（90度角）分成三个相等的角。

在直角三角形中，直角是一个90度角，所以直角三分线也是指将直角角度分成三个相等的角度的线。

直角三分线是指从直角顶点开始，沿着直角两条边的延长线分别作两条相等的线段，使得这两条线段与直角两边的交点构成的两个角与直角相等。

这两个相等的角度即是将直角三等分的角度。

按照直角三分线的定义，可以得出以下结论：
1. 直角三分线在直角两边上的交点与直角顶点之间构成三个相等的线段。

2. 由直角三分线构成的三个角度相等，每个角度为30度。

3. 直角三分线互相垂直，即相互关系为相互垂直。

直角三分线的原理在几何学和三角学中有很多应用，例如划分角度、构造定量角度等。

尺规三等分线段
尺规三等分线段是一种古老的几何问题，也是欧几里得几何学中的一个经典问题。

它的问题是：给定一条线段AB，如何用尺规（直尺和圆规）将它分成三等分？
这个问题在古希腊时期就被许多数学家探索过，但直到19世纪，法国数学家皮卡尔才证明了这个问题的无解性。

换句话说，不能用尺规三等分任意线段。

但是，我们仍然可以用尺规将某些特殊的线段分成三等分。

例如，可以将一个单位线段分成三等分。

具体方法是：以A为圆心，以AB 为半径画一个圆，以B为圆心，以BC为半径画一个圆，将这两个圆的交点记作D，连接AD和BD，将线段AB分成三等分。

除此之外，还有其他一些特殊的线段可以被尺规三等分，但这些都需要一些特殊的条件。

总的来说，尺规三等分线段是一个具有挑战性和深刻意义的问题，它在数学研究和教育中具有重要的地位。

- 1 -。

两个点的三等分点公式
要了解两个点的三等分点公式，首先需要明白什么是三等分。

在几何学中，三等分是指将一条线段或一条弧分成三个相等长度的部分。

对于一条线段AB，假设我们要找到A点和B点的三等分点。

我们可以使用以下的三等分点公式来计算：
令点A的坐标为 (x₁, y₁)，点B的坐标为 (x₂, y₂)。

根据三等分的定义，可以得出A到两个三等分点的距离是整条线段长度的1/3和2/3，而B到两个三等分点的距离也是整条线段长度的1/3和2/3。

根据线段的特性，可以得出以下三等分点公式：
第一个三等分点的坐标为：
x = (2x₁ + x₂) / 3
y = (2y₁ + y₂) / 3
第二个三等分点的坐标为：
x = (x₁ + 2x₂) / 3
y = (y₁ + 2y₂) / 3
这两个公式即为两个点的三等分点公式。

通过这两个公式，我们可以计算出AB线段上的两个三等分点的坐标。

值得注意的是，在使用这些公式时，需要确保输入的两个点A和B的坐标值是有效的。

综上所述，两个点的三等分点公式可以用来计算一条线段上的两个三等分点的坐标。

通过这个公式，我们可以更方便地确定线段上等分点的位置，为解决相关几何问题提供了便利。

三等分点连线围成的小三角形的特点三等分点连线围成的小三角形的特点是指，在一个平面上有三个等距离的点A、B、C，连接这三个点所形成的三条线段AB、AC和BC，这三条线段所围成的小三角形的特点。

三等分点连线围成的小三角形是一个等边三角形，即三条边的长度相等。

因为三个点A、B、C等距离地分布在平面上，所以三条边的长度相等。

等边三角形的特点是三个内角都是60度，三条边的长度相等。

三等分点连线围成的小三角形的内角和为180度。

由于三个点A、B、C等距离地分布在平面上，所以连接这三个点所形成的三条线段AB、AC和BC在平面上是一个三角形，而任何一个三角形的内角和都是180度。

三等分点连线围成的小三角形的外角和为360度。

外角是指一个角的补角，即与其相邻的内角的补角。

对于小三角形ABC来说，它的外角是由三个内角的补角组成的。

由于每个内角都是60度，所以每个外角的补角也是60度，因此三个外角的和为360度。

三等分点连线围成的小三角形的重心与内心重合。

重心是指三角形三条中线的交点，而中线是指连接一个顶点与对边中点的线段。

对于小三角形ABC来说，连接点A与对边BC中点的线段，连接点B 与对边AC中点的线段，连接点C与对边AB中点的线段，这三条线段的交点就是重心。

由于点A、B、C等距离地分布在平面上，所以连接点A与对边BC中点的线段、连接点B与对边AC中点的线段、连接点C与对边AB中点的线段的长度都相等，所以它们的交点就是重心。

而内心是指三角形三条内角的角平分线的交点，由于小三角形ABC是等边三角形，所以三条内角的角平分线相互重合，即内心与重心重合。

三等分点连线围成的小三角形的外接圆和内切圆的半径相等。

外接圆是指可以将三角形的三个顶点放在一个圆上的圆，而内切圆是指可以与三角形的三条边相切的圆。

由于小三角形ABC是等边三角形，所以三个顶点等距离地分布在平面上，所以可以将它们放在一个以重心为圆心、以重心到任意顶点的距离为半径的圆上，即外接圆的半径与内切圆的半径相等。

尺规3等分线段
尺规三等分线段是指使用尺子和直尺的工具，将一段给定的线段分成三等分的过程。

下面是使用尺规三等分线段的步骤：
1. 画一条线段AB，并将其放置在平面上。

2. 使用尺子在AB线段上选择一个任意点C，将尺子的一边放
在点A上，另一边放在点C上。

确保尺子的一边与点A对齐。

3. 使用直尺画一条从点C通过点A的直线，在直线上找到B 点。

4. 使用尺子的另一边测量出AC的长度，并在AB线段上再选
择一个点D，使得AD的长度等于AC。

5. 使用直尺连接点D和B，使得直线DB与AB平行。

6. 使用尺子在线段BD上选取一点E，使得BE的长度等于BD。

7. 使用直尺连接点A和E，使得直线AE与AB平行。

8. 直线AE与线段AB的交点即为三等分线段的一个点。

9. 重复步骤8，再次三等分线段，即可得到三等分线段的另外
两个点。

通过以上步骤，我们可以使用尺规的方法将一段给定的线段分成三等分。

中点和三等分点题目
以下是关于中点和三等分点的详细题目：
1. 题目：如果一条线段的中点和三等分点分别是M和N，那么线段的长度是多少？
解答：根据中点定义，线段MN的中点为P，即PM = PN。

根据三等分点定义，线段MN的三等分点分别为M、P、N，即线段MN被分成了三段，每段长度相等。

因此，线段MN的长度为线段MP的长度加上线段PN的长度，即2PM + 2PN = PM + PN。

由于PM = PN，因此线段MN的长度为线段MN的中点P到两端点M和N的距离之和，即PM + PN = MN。

2. 题目：如果一条线段的中点和三等分点分别为M和N，且线段MN的长度为10厘米，那么线段MN的中点P到端点M的距离是多少？
解答：根据中点定义，线段MN的中点为P，即PM = PN。

根据三等分点定义，线段MN的三等分点分别为M、P、N，即线段MN被分成了三段，每段长度相等。

因此，线段MN的长度为线段MP的长度加上线段PN的长度，即2PM + 2PN = PM + PN。

由于PM = PN，因此线段MN的长度为线段MN的中点P到两端点M和N的距离之和，即PM + PN = MN。

因此，线段MN的中点P到端点M的距离为线段MN 长度的一半，即10厘米的一半，为5厘米。