理论力学6—点的运动学

r r r(t t) r(t) MM r
它表示在△t时间内动点矢径之改变，称为动点在△t时间内的位移。
第一章 点的运动
§1-2 用矢量法表示点的速度和加速度
2. 速 度
比值
MM r r r
v


t t t
M
表示动点在△t时间内的平均速度。 M0
y D
x OA OH AH M⌒H MB
r r sin
C
φ
M
B
OA
H
y AM HB HC BC
x
r r cos
第一章 点的运动
§1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 例题1-3
y
D
E
C
φ
M
B
OA
H
x r r sin y r r cos
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程
1. 自然法
（1）、定义： 以动点的运动轨迹作为一条曲线形式的坐标 轴来确定动点位置的方法称为自然法。
（2）、运动方程：设动点M 沿已知轨迹曲线运动，在轨迹
曲线上任选一定点O作为量取弧长的起点，并规定由原点O向
一方量得的弧长取正值，向另一方量得的弧长取负值。这种
另一方面，有分解式
a axi ay j azk
第一章 点的运动
§1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度 加速度
加速度的矢量表达式 加速度的分解式
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
a axi ay j azk
其中ax，ay，az是加速度a 在固定轴x，y，z上的投影。比较上 列两式，得

例 题 6-1
解：取坐标轴 Ox 如图。由三角形相似关
L A
系，有
l
B
OM BM OL AB
h O
M x
即
x x vt h l
vt
x
从而求得 M 点的直线运动方程
x h vt hl
M 点的速度
v dx h v dt h l
而加速度 a = 0 ，即 M 点作匀速运动。
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第六章 点的运动与刚体的基本运动
例 题 6-6
解：
已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心 在A点 ， 半径是R。选滑道上O' 点作为 弧坐标的原点，并以O'D为正向。则B
+s ω O R -s E φ A
D
C B s
点在任一瞬时的弧坐标
s R
但是，由几何关系知 且 得
θ R O'
2 ，
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
又 v vx i vy j vz k
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第六章 点的运动与刚体的基本运动
dx 故 vx dt
速度大小
dy vy dt
2 2
dz vz dt
2
v v x v y vz vx vy vz 方向 cos( v , i ) cos( v , k ) cos(v , j ) v v v

π sin 2π t ，将其代入上式， 8
π sin 2π t 40
s 2 R
这就是B点的自然形式的运动方程。
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第六章 点的运动与刚体的基本运动

d 2z dt 2
k
a
x
i
ay
jazk
a
a2x a2 y a2z
c
os
(ai
)
ax a
8
§6-3 点的运动的自然坐标法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。
一.弧坐标,自然轴系 1.弧坐标的运动方程 S=S (t)
9
2.自然轴系
二.点的速度
v
lim
t 0
r t
<6> 常数 (圆周运动)
<7> a 0 (匀速运动)
<8> a n 0 (直线运动)
<9> a 0, an 常数 (匀速曲线运动) <10> a 常数, an 常数 (匀变速曲线运动)
14
④点作曲线运动, 画出下列情况下点的加速度方向。
<1>M1点作匀速运动 <2>M2点作加速运动 <3>M3点作减速运动
⑤判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
(加速运动)
(不可能)
(匀速曲线运动) (不可能或改作 直线加速运动)
(不可能) (减速曲线运动)
(不可能或改作 直线减速运动)
15
⑥ <1>点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零 <2>点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否一定为零
dr dt
r
三.加速度
a
Δltim0ΔΔvt

dv dt
d 2r dt 2
r
5
§6-2 点的运动的直角坐标法
一.运动方程轨迹
r xi yj zk

dz dt
z
★点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间
的一阶导数。
点的运动学
速度的大小：
v (dx )2 (dy )2 (dz )2 dt dt dt
(vx )2 (v y )2 (vz )2
速度的方向余弦： cos(v, i )vx源自cos(v ,j)
v vy
v
cos(v ,
k)
vz
v
直角坐标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
O j
y
i
x
xy
点的运动学
3、点的加速度
设： a axi a y j azk
ax
dv x dt
d2 x dt 2
x
ay
dv y dt
d2 y dt 2
y
az
dvz dt
d2z dt 2
z
直角坐 标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
d2r dt 2
r
v(t )
v2 a
M a
r
M
v(t t)
a
加速度 — 描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化O率的力学量。加速度
的方向为v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) 加速度大小等
于矢量 a 的模。
点的运动学
§6-2 直角坐标法
直角坐标法
1、点的运动方程和轨迹方程
不受约束的点在空间有3个自由度，
r (t )
M
r (t )
末端将描绘出一条连续曲线，称为
矢径端图，它就是动点运动的轨迹。 O