变步长梯形公式

第五章 数值积分与数值微分在高等数学中我们学过定积分⎰badx x f )(的计算方法，若找到被积函数)(x f 在],[b a 区间上的一个原函数)(x F ，利用Newton-Leibniz 公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(可以轻易得计算出积分值，但在实际问题中，往往会遇到一些困难。

1) 有些函数虽然能找到原函数, 但表达式过于复杂，例如411)(x x f +=的原函数为 )]12arctan()12[arctan(2211212ln 241)(22-++++-++=x x x x x x x F2) 有些函数找不到初等函数形式的原函数，例如积分⎰⎰-1102,sin dx edx x x x3) 有些情况下，函数值是用表格形式给出的，例如：6.1178.876.651.496.364.275.203.1587654321y x对于以上这些积分问题，解决的方法就是使用数值积分方法。

其实数值积分方法不仅可以解决上述问题，最为重要的优点是对任意被积函数任意积分区间的积分问题都可以采用统一的数值积分公式，非常便于计算机编程实现。

对于微分问题，虽然对每一个初等函数都可以求出其导数，但是不同函数其求导方法依赖于各自不同的求导公式，没有简单、统一的处理方法，而数值微分法却可以对不同的函数使用统一的数值微分公式或数值微分算法。

本章首先介绍一些数值积分公式，最后再简单的介绍数值微分问题。

5.1 数值积分公式1. 数值积分的基本思想我们知道定积分⎰badx x f )(的几何意义就是{})(,0,,x f y y b x a x ====所围成的曲边形面积，而数值积分的基本思想是利用函数)(x f y =在区间],[b a 上某些点处函数值的线性组合来计算其定积分的近似值，把计算定积分这一复杂问题转换为仅仅涉及到函数值的计算问题，而无需考虑函数本身的结构以及函数值的真实来源，这样就很便于计算机编程实现。

1、周长公式
梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：
等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+c+2b 。

2、面积公式
梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：
变形：h=2S÷（a+c）；变形2：a=2s÷h-c；变形3：c=2s÷h-a。

梯形中平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形。

等腰梯形是一种特殊的梯形，其判定方法与等腰三角形判定方法类似。

扩展资料
特殊梯形
1、等腰梯形
定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（isosceles trapezium ）
性质：等腰梯形的两条腰相等；等腰梯形在同一底上的两个底角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线）；等腰梯形的两条对角线相等。

2、直角梯形
定义：一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。

性质：直角梯形其中1个角是直角；有一定的稳定性，但弱于非直角梯形。

梯形模板计算公式
1、周长公式
梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：
等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：
a+c+2b 。

2、面积公式
梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：
变形：h=2S÷（a+c）；变形2：a=2s÷h-c；变形3：
c=2s÷h-a。

梯形中平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形。

等腰梯形是一种特殊的梯形，其判定方法与等腰三角形判定方法类似。

扩展资料
特殊梯形
1、等腰梯形
定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（isosceles trapezium ）
性质：等腰梯形的两条腰相等；等腰梯形在同一底上的两个底角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线）；等腰梯形的两条对角线相等。

2、直角梯形
定义：一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。

性质：直角梯形其中1个角是直角；有一定的稳定性，但弱于非直角梯形。

逐步梯形公式计算方法我以前弄那个逐步梯形公式计算方法的时候呀，简直是一头雾水，完全是瞎摸索。

一开始，我就知道有这么个逐步梯形公式在计算一些数值的时候很好用，可具体怎么用，我是两眼一抹黑。

我就想着，先找些基础的资料看看吧。

我看了好几本关于数学计算方法的书，那些解释哟，感觉每个字我都认识，可连起来就不太明白。

书上说这个逐步梯形公式是一种数值积分方法，就好比是把一个大的、不规则的图形，慢慢地切割成很多个小梯形来计算面积，最后把这些小梯形的面积加起来，大致就是原来图形的面积了。

这就是这个公式的基本原理，可听起来简单，做起来难啊。

我第一次尝试计算的时候，数据都不是很清楚怎么处理。

比如说，我要计算一个函数在某个区间上的积分，我按照公式去套，可是结果完全不对。

后来我才发现，是我的区间划分出了大问题。

就像是我们分蛋糕，要是分得不均匀，每块大小不一样，那最后算出来的总体肯定不对嘛。

然后我又仔细看了看书，觉得理解得差不多了，再试了一次。

这一次我把区间划分得很仔细，可是在计算每个小梯形的面积时，我把公式里的上底和下底的取值又弄错了。

这就好比盖房子，地基没打好，上面怎么建都是歪的呀。

后来我按照函数值在每个区间端点的正确取值，重新计算了每个小梯形的面积。

经过这么多次折腾，我总算有点明白了。

我给你说说这个逐步梯形公式计算步骤的关键部分吧。

首先呢，就是要确定好你要计算积分的那个函数和区间。

这就像是我们要知道在哪块地上种草一样，得先明确区域。

然后就是将这个区间划分成很多个小的子区间，这个划分得均匀合理一些。

之后，按照公式来计算每个小梯形的面积，公式基本上就是（上底+ 下底）×高÷2，这里的上底和下底对应的就是函数在子区间端点的值，高就是子区间的宽度。

最后，把所有小梯形的面积加起来，这个总和就是函数在这个区间上的数值积分近似值啦。

我觉得最重要的就是每一步都要细心，特别是数据的选取和处理，可千万别像我一开始那样粗心大意的。

陕西科技大学机械教改班用C++的积分其实积分的思想就是,微分—>求和—>取极限，如果是用纯手工法那就是先对一个函数微分，再求出它的面积，在取极限，因为我们的计算速度和计算量有限，现在有了计算机这个速度很快的机器，我们可以把微分后的每个小的面积加起来，为了满足精度，我们可以加大分区，即使实现不了微分出无限小的极限情况，我们也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四种不同的积分方法，和一个综合通用程序。

一．积分的基本思想1、思路：微分—>求和—>取极限。

2、Newton —Leibniz 公式 ⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( 其中，)(x F 被积函数)(x f的原函数。

3、用计算机积分的思路在积分区间内“微分—>求和—>控制精度”。

因为计算机求和不可以取极限，也就是不可以无限次的加下去，所以要控制精度。

二．现有的理论1、一阶求积公式---梯形公式⎰=+-=b a T b f a f a b dx x f )]()([2)( 他只能精确计算被积函数为0、1次多项式时的积分。

2、二阶求积分公式——牛顿、科特斯公式 ⎰=+++-=ba Sb f a b f a f a b dx x f )]()2(4)([6)(他只能精确计算被积函数为0、1、2、3次多项式时的积分。

三．四种实现方法1.复化矩形法将积分区间[a,b]等分成n 个子区间:],[],[],[],[],[112322110n n n n x x x x x x x x x x ---、、、 则h=(b-a)/n,区间端点值k x =a+kh)hf(x ))f(x x (x I 11121=-=)()()x (22232x hf x f x I =-=............................)()()(111n ---=-=n n n n x hf x f x x I∑==ni i x hf T 1n )(源程序：#include <iostream.h>#include<math.h>double f(double x) //计算被积函数{double y;y=log(1+x)/(1+x*x); //被积函数return y;}double Tn(double a,double b,int n) //求Tn{double t=0.0;double xk; //区间端点值double t1,t2; //用来判断精度do{double h=(b-a)/n;for(int k=1;k<=n-1;k++) //每一小段的矩形叠加 {t1=t;xk=a+k*h;t+=h*f(xk);t2=t;}n++; //如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求 }while(fabs(t1-t2)<=1e-7); //判断计算精度return t;}void main(){double a=0.0; //积分下线double b=2.0; //积分上限int n=1024; //把区间分为1024段cout<<Tn(a,b,n)<<endl; //输出积分结果}执行结果：2.复化梯形法方法和复化矩形法类似，只是把原来的矩形小面积变成了梯形小面积，但是精确度明显提高了，也就是说达到同样的精度需要的时间少了。

c.2数值积分中复化simpson公式和变步长梯形法内容1. 引言1.1 概述数值积分是数学领域中重要的计算方法之一，广泛应用于工程、物理、经济学等多个学科。

它通过近似求解定积分来解决无法进行解析求解的复杂函数问题。

在数值积分方法中，复化Simpson公式和变步长梯形法都是常见且有效的技术手段。

1.2 文章结构本文将围绕复化Simpson公式和变步长梯形法展开讨论，并对它们进行比较与选择。

文章主要分为引言、复化Simpson公式、变步长梯形法、两者比较与选择以及结论部分。

1.3 目的本文旨在介绍复化Simpson公式和变步长梯形法这两种数值积分方法，探讨它们的基本原理、方法步骤以及在实际应用中的优势和适用场景。

通过对比与选择这两种方法，可以为读者提供更好地理解和运用数值积分技术的指导，并为未来研究方向和改进空间提供一定参考。

2. 复化Simpson公式:2.1 基本原理:复化Simpson公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。

它基于简单的Simpson公式，并将区间等分为若干子区间，在每个子区间上应用Simpson公式来进行积分计算。

2.2 方法步骤:下面是复化Simpson公式的具体步骤：1. 将要积分的区间[a, b]等分为n个子区间，每个子区间宽度为h。

2. 根据Simpson公式，计算每个子区间的积分值。

3. 将所有子区间的积分值相加，得到整个区间[a, b]上的近似积分值。

具体而言，对于每个子区间[x(i-1), x(i)], i从1到n，使用Simpson公式进行积分近似。

即将该子区间均匀地划分为两部分，并以梯形面积和抛物线面积来逼近曲线下面积。

然后将所有n个子区间的近似积分值相加，得到最终的数值积分结果。

2.3 应用和优势:复化Simpson公式在数学和工程领域中广泛应用于需要进行定积分计算的问题。

它的优势包括：1. 相比于简单的Simpson公式，复化Simpson公式可以更准确地近似计算定积分的值。

变步长梯形求积法计算定积分1．原理：变步长求积法的思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n点中的部分项主要公式：T2n=T n/2+(h/2)*Σf(x k+0.5);2．源程序如下：#include"math.h"#include"iostream.h"double f(double x){double s;s=log(x*x);return(s);}double ffts(double a,double b,double eps){int n,k;double fa,fb,h,t1,p,s,x,t;fa=f(a);fb=f(b);n=1;h=b-a;t1=h*(fa+fb)/2;p=eps+1;while(p>=eps){s=0;for(k=0;k<=n-1;k++){x=a+(k+0.5)*h;s=s+f(x);}t=t1/2+h*s/2;p=fabs(t1-t);cout<<"步长n为:"<<n<<"时的"<<"Tn="<<t1<<'\t'<<"T2n="<<t<<'\t'<<"误差变化:"<<p<<endl;t1=t;n=n*2;h=h/2;}return(t);}void main(){double result,a,b,eps;cout<<"需要求解的积分式为f(x)=log(x^2)"<<endl;cout<<"输入边界值a="<<'\t';cin>>a;cout<<"输入边界值b="<<'\t';cin>>b;cout<<"输入误差限"<<'\t';cin>>eps;result=ffts(a,b,eps);cout<<"经过变步长梯形求积法得方程结果为:"<<result<<endl;}3．运行结果：根据程序提示依次输入积分上限和积分下限，然后输入误差限；本程序需要预先在程序中输入需要积分方程的表达式。