数值分析与算法变步长梯形求积法计算定积分

高级语言课程设计——simpson积分公式班级：信息与计算科学（2003070201~3）小组成员：宋亚东200307020126周晓春200307020116瞿子易200307020335指导教师：王玉兰2005年1月12日算法原理:辛卜生积分是一个数值积分，所求的值是近似值。

变步长辛卜生（Simpson）积分求积法是计算定积分S=∫a b f(x)dx的经典方法，其计算步骤如下：1)用梯形公式计算T n=h[f(a)+f(b)]/2，其中n=1，h=b-a,且S n=T n。

2)用变步长梯形法则计算T2n=1/2T n+h/2∑f(x k+h/2)3)用辛卜生求积公式计算S2n=(4T2n-T n)/3若|S2n-S n|≧ε,则令2n=n，h/2=h，转到步骤（2）继续进行计算；否则结束，S2n即为所求积分的近似值。

其中ε为事先给定的求积精度。

设计分析：由分析可将程序分为运算函数和数值输入输出两部分，其重点应为辛卜生积分公式的算法实现。

首先建立一个类函数，其中包括函数的运算对象及其基本运算，然后构造关于梯形计算公式的运算函数。

最后构造关于辛卜生计算公式的函数，根据原理中|S2n-S n|与ε的关系（ε为给定的精度），可以确定一个while函数，设计积分数值的精度与给定精度的关系为判断条件。

用for函数计算各部分和，最后求出积分值。

算法实现：#include<iostream>using namespace std;#include<math.h>class simpsonValue{public:double x_lowValue,x_highValue,epsValue;simpsonValue(double x_lowInitialValue,double x_highInitialValue,double epsInitialValue) {x_lowValue=x_lowInitialValue;x_highValue=x_highInitialValue;epsValue=epsInitialValue;}double Func(double x){return 1+x+x*x;}double getResults(){int n,k;n=1;double h,T1,T2,S1,S2,ep,p,xValue;h=x_highValue-x_lowValue;T1=h*(Func(x_lowValue)+Func(x_highValue))/2.0;S1=T1;ep=epsValue+1.0;while(ep>epsValue){p=0.0;for(k=0;k<=n-1;k++){xValue=x_lowValue+(k+0.5)*h;p=p+Func(xValue);}T2=(T1+h*p)/2.0;S2=(4.0*T2-T1)/3.0;ep=fabs(S2-S1);T1=T2;S1=S2;n=n+n;h=h/2.0;}return S2;}};void main(){double x_low,x_high,eps;cout<<"enter the double x_low number:";cin>>x_low;cout<<"enter the double x_high number(the number you enterd should be greater than x_low):";cin>>x_high;cout<<"enter the double-type ε :";cin>>eps;simpsonValue myResult(x_low,x_high,eps);double results=myResult.getResults();cout<<"the result is : "<<results<<" "<<endl;}结果分析：可以改变ε的精度来得到所想要的积分值的精度，同时，可以改变|4T2n-T n|/3为|6T2n-T n|/5，|8T2n-T n|/7……，增加积分值的精度。

东莞理工学院《数值分析》实验报告实验名称：牛顿插值法系别：计算机学院专业：2013级信息与计算科学班级：1班姓名：学号：实验日期：1、实验内容用不同数值方法计算积分104ln 9x xdx =-⎰。

2、算法说明 梯形求积公式算法：将积分区间[,]a b 划分为n 等份，步长b ah n-=分点为 ,1,2,...,k x a kh k n =+=。

积分10()2nk k k h I x x +==+∑。

辛普森求积公式算法：5(4)012()(4)()390xx h h f x dx y y y f c =++-⎰其中h 为步长。

3、Matlab 软件程序清单梯形求积公式TiXing_quad(a,b,h)：function t = TiXing_quad(a,b,h) %a 为积分下界，b 为积分上界，h 为步长。

format long x = a:h:b;y = sqrt(x).*log(x); y(1) = 0;t = 0;for k=1:(b-a)/h,t=t+y(k)+y(k+1);endt=t*h/2;辛普森求积公式Sinpson_quad(a,b,h)：function s=Sinpson_quad(a,b,h)format longx=a:h:b;y=sqrt(x).*log(x);z=sqrt(x+h/2).*log(x+h/2);y(1)=0;s=0;for k=1:(b-a)/h,s=s+y(k)+y(k+1)+4*z(k);ends=s*h./6;4、运行结果真值I=-4/9=-0.444444444444444次数I（梯形公式）I（辛普森公式）50 -0.441090226387332 -0.443793798301150100 -0.443117905322695 -0.444194********* 200 -0.443925359444891 -0.4443490454521025、分析与思考“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

c.2数值积分中复化simpson公式和变步长梯形法内容1. 引言1.1 概述数值积分是数学领域中重要的计算方法之一，广泛应用于工程、物理、经济学等多个学科。

它通过近似求解定积分来解决无法进行解析求解的复杂函数问题。

在数值积分方法中，复化Simpson公式和变步长梯形法都是常见且有效的技术手段。

1.2 文章结构本文将围绕复化Simpson公式和变步长梯形法展开讨论，并对它们进行比较与选择。

文章主要分为引言、复化Simpson公式、变步长梯形法、两者比较与选择以及结论部分。

1.3 目的本文旨在介绍复化Simpson公式和变步长梯形法这两种数值积分方法，探讨它们的基本原理、方法步骤以及在实际应用中的优势和适用场景。

通过对比与选择这两种方法，可以为读者提供更好地理解和运用数值积分技术的指导，并为未来研究方向和改进空间提供一定参考。

2. 复化Simpson公式:2.1 基本原理:复化Simpson公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。

它基于简单的Simpson公式，并将区间等分为若干子区间，在每个子区间上应用Simpson公式来进行积分计算。

2.2 方法步骤:下面是复化Simpson公式的具体步骤：1. 将要积分的区间[a, b]等分为n个子区间，每个子区间宽度为h。

2. 根据Simpson公式，计算每个子区间的积分值。

3. 将所有子区间的积分值相加，得到整个区间[a, b]上的近似积分值。

具体而言，对于每个子区间[x(i-1), x(i)], i从1到n，使用Simpson公式进行积分近似。

即将该子区间均匀地划分为两部分，并以梯形面积和抛物线面积来逼近曲线下面积。

然后将所有n个子区间的近似积分值相加，得到最终的数值积分结果。

2.3 应用和优势:复化Simpson公式在数学和工程领域中广泛应用于需要进行定积分计算的问题。

它的优势包括：1. 相比于简单的Simpson公式，复化Simpson公式可以更准确地近似计算定积分的值。

变步长梯形求积法计算定积分1．原理：变步长求积法的思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n点中的部分项主要公式：T2n=T n/2+(h/2)*Σf(x k+0.5);2．源程序如下：#include"math.h"#include"iostream.h"double f(double x){double s;s=log(x*x);return(s);}double ffts(double a,double b,double eps){int n,k;double fa,fb,h,t1,p,s,x,t;fa=f(a);fb=f(b);n=1;h=b-a;t1=h*(fa+fb)/2;p=eps+1;while(p>=eps){s=0;for(k=0;k<=n-1;k++){x=a+(k+0.5)*h;s=s+f(x);}t=t1/2+h*s/2;p=fabs(t1-t);cout<<"步长n为:"<<n<<"时的"<<"Tn="<<t1<<'\t'<<"T2n="<<t<<'\t'<<"误差变化:"<<p<<endl;t1=t;n=n*2;h=h/2;}return(t);}void main(){double result,a,b,eps;cout<<"需要求解的积分式为f(x)=log(x^2)"<<endl;cout<<"输入边界值a="<<'\t';cin>>a;cout<<"输入边界值b="<<'\t';cin>>b;cout<<"输入误差限"<<'\t';cin>>eps;result=ffts(a,b,eps);cout<<"经过变步长梯形求积法得方程结果为:"<<result<<endl;}3．运行结果：根据程序提示依次输入积分上限和积分下限，然后输入误差限；本程序需要预先在程序中输入需要积分方程的表达式。

变步长梯形公式变步长梯形公式是数值积分中一种用于近似计算定积分的方法。

在数学中，定积分是一个数学概念，代表了曲线与坐标轴之间的面积。

然而，有些曲线的积分无法通过解析方法进行求解，因此需要使用数值积分方法进行近似计算。

变步长梯形公式是一种数值积分方法，它通过将被积函数的曲线分割成多个小梯形来近似计算定积分的值。

这个方法的核心思想是将整个积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内使用梯形公式来计算面积，并将这些面积相加得到最终的近似值。

变步长梯形公式的具体实现步骤如下：1. 将积分区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。

2. 在每个小区间内，使用梯形公式来计算面积。

梯形公式可以表示为：S = (f(x[i])+f(x[i+1]))*h/2，其中x[i]和x[i+1]分别表示小区间的左边界和右边界，f(x)表示被积函数。

3. 将每个小区间的面积相加得到整个积分区间的近似值：I ≈(f(a)+2f(x1)+2f(x2)+.+2f(x[n-1])+f(b))*h/2。

4. 如果需要提高计算精度，可以通过增加小区间的数量n来减小步长h，进而得到更精确的近似值。

变步长梯形公式的优点是简单易懂、易于实现，适用于一般的函数。

然而，它也存在一些缺点。

首先，当被积函数在积分区间上的变化较大时，梯形公式可能会产生较大的误差。

其次，该方法对积分区间的分割方式较为敏感，不同的分割方式可能会得到不同的近似值。

因此，在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的分割方式和步长。

尽管变步长梯形公式存在一些局限性，但它仍然是一种常用的数值积分方法，广泛应用于科学计算、工程计算等领域。

在实际问题中，可以根据需要选择合适的数值积分方法，以获得更精确的结果。

变步长梯形求积公式好的，以下是为您生成的关于“变步长梯形求积公式”的文章：在咱们数学的奇妙世界里，有这么一个厉害的家伙，叫变步长梯形求积公式。

这玩意儿，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开求解复杂面积问题的大门。

我记得有一次，给一群高中生讲这个知识点的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这变步长梯形求积公式到底有啥用啊？感觉好复杂！”我笑着告诉他：“别急，等你明白了它的妙处，就会觉得它像个贴心的小助手。

”咱先来说说这变步长梯形求积公式到底是啥。

其实啊，它就是把一个要计算面积的图形，切成好多小梯形，然后通过计算这些小梯形面积的和来逼近真实的面积。

想象一下，就像是拼图一样，只不过咱们拼的不是图形，而是面积的数值。

比如说，要计算一个曲线和坐标轴围成的面积。

咱先用大步长划分出几个梯形，算出一个大概的面积。

但这还不够精确，对吧？这时候变步长就发挥作用啦，把步长变小，再划分更多更细的梯形，这样算出来的面积就更接近真实值啦。

这就好比你要估算一下自己家花园的面积。

一开始，你粗略地把它分成几个大块，心里有个大概的数。

但要是想知道更准确的，就得把它分成更小的块来计算。

在实际解题中，变步长梯形求积公式可好用了。

比如计算一个函数在某个区间上的定积分。

咱先用大步长试试水，算出一个结果。

然后逐步减小步长，每次计算的结果都会更精确。

我曾经看到过一个题目，要求计算一个复杂函数在[0, 5]区间上的面积。

一开始，用步长为 1 算出来的结果和真实值相差挺大。

然后把步长变成 0.5，再变成 0.1，每一次的改进都让结果更接近标准答案。

这过程就像在打磨一块宝石，越磨越精细，越接近完美。

而且啊，这变步长梯形求积公式不仅仅在数学里有用，在实际生活中也能派上用场呢。

比如说，工程师要计算某个不规则零件的面积，或者经济学家要估算某种商品的需求曲线下的面积，都能靠它来帮忙。

学习这个公式的过程，就像是一场探险。

有时候会遇到难题，就像在森林里迷路了一样。