点集拓扑学练习题
判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 答案:
理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因
为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（
,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.
2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑
答案:
理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而
∈φ,X 12 T T ⋂；
（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是
X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；
（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的
拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；
综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．
3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）
答案:
理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它
中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的
开集，从而:f X Y →连续.
4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ） 答案:
理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{}p 是X 的开子集，且有{}
{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而
()d A φ=. 5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ） 答案：
理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.
6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ） 答案：
理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.
名词解释(每题2分)
1．同胚映射
答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.
2、集合A 的内点
答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域，则称点x 是集合A 的一个内点.
3、集合A 的内部
答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.
4．拓扑空间(,)T X 的基
答案：设(,)T X 是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并，则称B 是拓扑T 的一个基.
5．闭包
答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包.
7、导集
答案：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.
简答题（每题4分）
1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明
()()
d A d B ⊂. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,
由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂.
2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.
答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的
开集，所以:g f X Z →是连续映射.
3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.
答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.
4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.
答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.
判断（每题4分，判断1分，理由3分）
7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得
,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）
答案：√
理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时有:
()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=
从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.
8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )
答案：√
理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.
