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第 3 章 力学平衡问题

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第3章 静力学平衡问题 (2)

第3章 静力学平衡问题 (2)

例题
（2）再研究轮
FOx FOy FʹB
M
O
(F ) 0
FB cos R M 0
F
F
解得：
x
0
0
FOx FB sin 0
FB cos FOy 0
y
M FP R
FOx FP tg
FOy FP
【负号表示力的方向与图中所设方向相反】
由图示几何关系，在Rt△BFE和 Rt△EDA中
BD=BE+DE=1.2 2+
1.8 2
≈2.97(m)
∑ MA(F) =0 M-FA×BD=0
解得 FA=M/BD=269.36（N） FC=FA=269.36N
B
解法二：以整体作为研究对象， 画出受力图。
C
M FCy
FAx
FCx
列平衡方程
∑ Fx=0 ∑ Fy=0
§3-1 平面力系的平衡条件与平衡方程
例题
M A (F ) 0 : MB (F ) 0 MC (F ) 0
解得：
2 3M FA 3a 3P 3
FC
3 aM 0 2
3 a FA aP M 0 2 2 3 a FB a P M 0 2 2
FAx=FCx=190.48kN
【3-5】为了测定飞机螺旋桨所受的空气阻力偶，可将飞机水平放
置，其一轮搁置在地秤上。当螺旋桨未转动时，测得地秤所受的压
力为4.6 kN；当螺旋桨转动时，测得地秤所受的压力为6.4 kN。已 知两轮间的距离l＝2.5 m。试求螺旋桨所受的空气阻力偶的力偶矩 M 的数值。
B
α
FNC
∑ MB(F) =0

第3章静力学平衡问题习题解

第3章静力学平衡问题习题解
3–5起重架可借绕过滑轮A的绳索将重力的大小G=20kN的物体吊起，滑轮A用不计自重的杆AB和AC支承，不计滑轮的自重和轴承处的摩擦。求系统平衡时杆AB、AC所受力（忽略滑轮的尺寸）。
解：以A为研究对象，受力如图（a）ห้องสมุดไป่ตู้
所示 ，其中：FT=G。
，
，
3–6图示液压夹紧机构中，D为固定铰链，B、C、E为铰链。已知力F，机构平衡时角度如图所示，求此时工件H所受的压紧力。
解：图（a）：ΣMz= 0， ，F=70.95 N
ΣMy= 0， ，FBx=-207N（↓）
ΣFx= 0， ，FAx=-68.4N（↓）
ΣMx= 0， ，FBy=-19.04N
ΣFy= 0， ，FAy=-47.6N
F= 70.95N； N； N
3－25水平轴上装有两个凸轮，凸轮上分别作用已知力F1（大小为800N）和未知力F。如轴平衡，求力F的大小和轴承A、B的约束力。
解：图（a）中，
kN/m
F= 40kN（后轮负重）
ΣMD= 0
l= 1m
即lmax= 1m
3－15图示构架由杆AB、CD、EF和滑轮、绳索等组成，H，G，E处为铰链连接，固连在杆EF上的销钉K放在杆CD的光滑直槽上。已知物块M重力P和水平力Q，尺寸如图所示，若不计其余构件的自重和摩擦，试求固定铰支座A和C的反力以及杆E F上销钉K的约束力。
取节点A为研究对象，受力如图（d）所示。
， ；
， ；
取节点B为研究对象，受力如图（e）所示。
， ；
， ；
取节点C为研究对象，受力如图（f）所示。
， ；
， ；
取节点E为研究对象，受力如图（g）所示。
， ；
（2）取图（b）中桁架为研究对象，求

第三章力系的平衡介绍

第三章力系的平衡介绍

工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学

理论力学-3-力系的平衡

理论力学-3-力系的平衡

z
F2
O
F1
F
z
0
M F 0 M F 0
x y
自然满足，且
M F 0
z
M F 0
O
平面力系平衡方程的一般形式
于是，平面力系平衡 方程的一般形式为： z O y
Fx 0 Fy 0 M F 0 o
其中矩心 O 为力系作用面 内的任意点。
静不定次数：静不定问题中，未知量的个数与独立的平 衡方程数目之差。
多余约束：与静不定次数对应的约束，对于结构保持静 定是多余的，因而称为多余约束。 关于静不定问题的基本解法将在材料力学中介绍。
P A m a B q
解：对象：梁 受力：如图 方程：
C
b
F F
0, FAx P cosq 0, FAx P cosq # FAy FB P sin q 0 1 y 0, M A F 0, m FBa Pa bsinq 0 2
B A
FR FR
x
A
B
FR
A、B 连线不垂直于x 轴
B A
FR
x
3.3 平面力系的平衡方程 “三矩式” M A = 0， MB = 0 , MC = 0。
C B A C B A
FR FR
满足第一式？ 满足第二式？ 满足第三式？
B A
FR
FR
A、B、C 三点不 在同一条直线上
C A
B
M (F ) 0 Fy 0
A
FQ (6 2) FP 2 FB 4 W (12 2) 0
FQ FA FP FB W 0

工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程

工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程

例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
F x0:F A xq b0
P a A
q
b
F y0:F A yP0
P
MA(F)0:
MA
MAPa12q b2 0
FAx
A
FAy
q
解之得：
FAx qb
FAy P
MAPa 1 2qb 2
例2 例2 求图示梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如图。
坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 平行力系的平衡方程为：
O
F2
x
F y 0 ; M O ( F ) 0
平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：
M A ( F ) 0 ; M B ( F ) 0
其中AB连线不能与各力的作用线平行。
[例5] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)， 尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
解： 2．建立平衡方程
Fx＝0
MAF＝ 0
－ F Q 2 l－ F W xF T Blsi＝ n0
FTB＝ FPlxs＋ iF nQ2 l＝ 2FlWxFQ
FAx F TBco ＝ s0
Fy＝0
F A ＝ x 2 F W x l F Q l co＝ s3 3 F lW 0xF 2 Q
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图

工程力学力系平衡

工程力学力系平衡

D
FC
l
A B
l
FP
D
第 三 种 情 形
l
C FA A l FCy l B l FP D
FCx
C
FA A
l
B
l
FP
D
第 三 种 情 形
FCy
FCx C
E
MA ( F ) = 0 : FCx l -FP 2l = 0 MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0 ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
A
F ＝0
x
l －FQ －FW x FTB lsin＝0 2 l FP x＋FQ 2 ＝ 2 FW x F FTB＝ Q lsin l
F ＝0
y
FAx FTB cos＝0 FQ 2 FW x FQl FW FAx＝ x cos30 ＝ 3 l 2 l FAy－FQ－FP＋FTB sin＝0
例题
均质方板由六根杆支 撑于水平位臵，直杆 两端各用球铰链与扳 和地面连接。板重为 P，在A 处作用一水 平 力 F ， 且 F=2P ， 不计杆重。求各杆的 内力。
简单的刚体系统平衡问题
前面实际上已经遇到过一些简单刚体系统 的问题，只不过由于其约束与受力都比较简单， 比较容易分析和处理。 分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理 单个刚体的平衡问题是一致的，但有其特点， 其中很重要的是要正确判断刚体系统的静定性 质，并选择合适的研究对象
平衡方程
根据平衡的充要条件
F1 M1 O
z
F2
M2
y Mn
FR ＝0 ， MO＝0

力学中的平衡问题及解题方法

力学中的平衡问题及解题方法力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和相互作用。

在力学中，平衡是一个关键概念，指的是物体在外力作用下保持静止或者匀速运动的状态。

解决平衡问题是力学学习的基础，本文将重点介绍平衡问题的概念及解题方法。

一、平衡问题概述在力学中，平衡是指物体的合力与合力矩均为零的状态。

合力指的是物体受到的所有力的矢量和，合力矩是指物体受到的所有力矩之和。

当一个物体处于平衡状态时，其合力为零，即物体受到的所有力相互抵消；合力矩也为零，即力矩的总和等于零。

通过解决平衡问题，我们可以推导出物体的受力关系及各个力的大小和方向。

二、解题方法解决平衡问题的思路和方法有很多，下面将介绍几种常用的方法。

1. 通过自由体图分析自由体图是解决平衡问题的重要工具。

通过将物体从整体中分离出来，将作用在物体上的力单独画在一张图上，即可更清晰地分析受力情况。

首先，选择心理上合适的参考点，计算该点的合力和合力矩，然后利用力的平衡条件和力矩的平衡条件，推导出物体的受力关系。

在绘制自由体图时，需要标注各个力的名称、大小和方向，以便更好地进行分析。

2. 利用转动平衡条件解题当物体可以绕某个轴进行转动时，我们可以利用转动平衡条件解题。

转动平衡条件是指物体的合力矩等于零，即物体受力矩的总和等于零。

通过将每个力的力矩与其距离乘积求和，然后令其等于零，我们可以解得物体的未知量。

在利用转动平衡条件解题时，需要注意选择正确的参考点和力臂的方向。

3. 使用迭加法解题迭加法是一种常用的解决力学问题的方法。

对于一个复杂的平衡问题，我们可以将其分解为多个简单的平衡问题来处理。

将物体逐步分解，每次只考虑其中的一部分受力情况，然后根据平衡条件解题。

最后通过迭代计算，得到物体的受力关系和未知量。

4. 运用静摩擦力解决问题在某些平衡问题中，静摩擦力起到重要的作用。

静摩擦力是指物体接触面上的摩擦力，当其超过一定程度时，可以阻止物体发生滑动。

通过利用静摩擦力的性质，我们可以解决涉及摩擦力的平衡问题。

工程力学第三章-力系的平衡


将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。

工程力学第三章静力平衡问题

6
平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：
M
Fx A(F )
0
0
M B (F ) 0
M M
A B
(F (F
) )
0 0
MC (F ) 0
二力矩式
三力矩式
（AB不垂直于x轴) (A、B、C三点不共线)
注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可 写出无数个平衡方程。但只要满足了其中一组，其 余方程均应自动满足，故独立平衡方程只有三个。
矩心取在二未知力交点A 解处：，1力）矩画方整程体中受只力有图一。个未 知量F注C，意可B直C为接二求力解杆。。 2）取坐标，列平衡方程。
Fx=FAx-FCcos30=0
Fy=FAy+FCsin30-F-Fq=0
MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0
FC
y
C
Fq=2q=1 kN
FAy
x
FAx 30
26
讨论：判断下述分析的正误。
FACy FAy
FACx
2a
M
3a
P
F
aA
MA
FAyFAx
FAx
B
B FABy
FABx
C
CP
A
FAx FAy
P
A
FFABAyy
A
FFAABxxFFAACyy
FACxx
FAx =F ; FAy =P ;
MA = M ？
MA = M+Fa-2Pa
固定铰的约束力作用于销钉上。 多杆用同一销钉连接，讨论某杆时， 须考虑各杆与销钉间作用的不同。
5
平面力系的平衡条件
平面一般力系处于平衡，充分和必要条件为力系

第3章 静力学平衡问题

α
FQ Cx FN
习题 3－11b 解图
取节点C为研究对象，见习题3－11b解图，
∑ Fy = 0 : F'BC cosα = FN
∴ FN
=
FP cosα 2 sin α
=
FP 2 tan α
=
3 × 15 2×2
= 11.25kN
3－12 蒸汽机的活塞面积为0.1m2，连杆AB长2m，曲柄BC长0.4m。在图示位置时， 活塞两侧的压力分别为p0=6.0×105Pa, p1=1.0×105Pa， ∠ABC=90D 。试求连杆AB作用于曲柄 上 的 推 力 和 十 字 头 A对 导 轨 的压力(各部件之间均为光滑接触)。
图（b）：ΣMi = 0
∴ 由对称性知
FRB
=
M d
（←）
FRA
=
M d
（→）
FBy = FAy = 0
FBx
=
M d
M
FB
3－10 固定在工作台上的虎钳如图所示，虎钳丝杠将一铅垂力 F=800N 施加于压头上， 且沿着丝杠轴线方向。压头钳紧一段水管。试求压头对管子的压力。
习题 3－10 图
FNB
FNC FN
10
由几何关系得 cosα = 4500 = 0.9 ， 5000
列平衡方程
sin α = 0.436
∑ MO (F ) = 0 : 2FA × 4500 −F Wcosα × 5000 +F Wsinα ×1250 = 0
解得 FA = 27.25 kN
∑ Fx = 0 : FOx = FW sin α = 27.03kN ∑ Fy = 0 : FOy = FW cosα − 2FA = 1.3kN
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例题 3-5 图示平面刚架的支反力。
解：以刚架为研究对象，受 力如图，建立如图坐标。
Fx 0 : FA cos P 0
Fy 0 : FA sin FB 0
P
4m
A
B
8m
y
P
由几何关系
sin 5 , cos 2 5
5
5
A B
x
FA
FB
解得
FA
5 2
P, FB
1 2
P
例题 3-6 利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN
FAx FAy 2a
C a
q 2a a Me FNB 4a 0
4a
解得
(b)
FAx 0,
FN B
1 qa 2
Me 4a
,
FAy
3 q a Me
2
4a
.
Me Bx
D
FNB
例例题1 3-2 求图示刚架的约束反力。
P
a
解：以刚架为研究对象，受力如图。 A
Fx 0 : FAx qb 0
FPl
ql
3l 2
0
由此解得 FAx ql
FAy FP
M
A
M
FPl
3 2
ql 2
二、平面一般力系平衡方程的其它形式
y
F2
F4
F1
M
F3 F5
(a)
x
M
Fx 0 A(F)
0
M
B
(F
)
0
y
F R =0
B A
(b)
x
二力矩式 （AB不垂直于x轴）
y
F2
F4
F1
M
F3 F5
(a)
x
y
F R=0
M
C
FC
Fx 0 Fy 0 MA 0
FBx 0
FBy qa Fc 0
qa
a 2
M
Fc
2a
0
q
M
1、再以AB梁为研究对象 A
C
B
a
a
a
a
Fx 0
MA
FAx
FAy
A
a
FAx FBx 0
q
a
B FB′x F′By
Fy 0 MB 0
FAy qa FBy 0
M
A
qa
3a 2
FBy’
FA
A
A
M1
M1
M2 L
M3
M2 L
M3
B
B
FB
解：取工件为研究对象、画受力图。 解得
由 Mi=0 FA l M1 M2 M3 0
FA FB 200N m
例题 3-9 不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,
它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用 ，转向如图。 问M1与M2的比值为多大，结构才能平衡?
2a
0
FC
qa 4
M 2a
FBy
3qa 4
M 2a
FAy
7qa 4
M 2a
M A 3qa2 M
2-4 物体系统平衡问题
例题 3-11 如图所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此
用铰链A联结，再用铰链B和C固结在两岸桥墩上。每 一部分的重量P1=40 KN，其重心分别在点D和E点。 桥上载荷P=20KN。求A、B、C 三处的约束力。
第 3 章 静力学平衡问题
§3-1 平面力系的平衡条件与平衡方程 §3-2 简单的空间力系平衡问题 §3-3 简单的刚体系统平衡问题 §3-4 考虑摩擦时的平衡问题
§3-1 平面力系平衡条件与平衡方程 一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程
y
F2
F4
F1
y
n
F R
FR Fi
O
i 1
O
F3 F5
(a)
值为M的力偶作用在折杆AB上，求支承处的约束力大小。
2L
B
LM A
解： 由 Mi=0
2L
LM
B FB
A FA
FA l M 0
FA
FB
M l
例题 3-8 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：
M1= M2= 10N·m， M3 =20N·m，固定螺栓A和B的距
离l=200mm。求两光滑螺栓所受的水平力。
Fy 0 : FBC sin 300 FT1 FT 2 cos 300 0
y
4. 联立求解，得
FAB 54.5KN FBC 74.5KN
FAB B
x
30°
FBC FT2 30°FT1
反力FAB 为负值，说明该力实际指向与图上假 定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。
例题 3-7 折杆AB的支承方式如图所示，设有一力矩数
M
C
a
2-4 物体系统平衡问题
研究方法 一: 整体到局部
1.取整体为研究对象
MA
FAy
A
FAx
a
q
B
a
a
M
C
a FC
Fx 0
FAx 0
Fy 0 FAy FC 2qa 0
M A 0 M A FC 4a 2qa2a M 0
2-4 物体系统平衡问题
2. BC 梁为研究
Fx 0
求解力系平衡问题的方法和步骤。 （1）选取研究对象； （2）分析研究对象受力，画受力图；
（3）根据力系的类型列写平衡方程；选取适当的 坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少；尽可 能每个方程中只有一个未知量。
（4）求解未知量，分析和讨论计算结果。
例题 3-1 图示简支梁AB，梁的自重及各处摩擦均
A a
q
B
a
a
q
FBx B FBy
FBx 0
M
C
a
M
C
FC
Fy 0 MB 0
FBy qa Fc 0
பைடு நூலகம்
qa
a 2
M
Fc
2a
0
FC
qa 4
M 2a
FBy
3qa 4
M 2a
FAy
7qa 4
M 2a
M A 3qa2 M
研究方法二: 局部到局部
A a
q
B
a
a
M
C
a
1、 BC 梁为研究
q FBx B FBy
x
MO
n
Mo Mo (Fi )
(b)
x
i 1
平面一般力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一
点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件。 n
n
Fix 0
FR Fi 0 i 1 n
因为
FR
FRx 2 FRy 2
Fix 2 Fiy 2
i 1
n
Fiy 0
i 1
Mo Mo (Fi ) 0 i 1
选整体 为研究 对象画 受力图， 列平衡 方程
选局部为 研究对象 画受力图， 列平衡方 程求解。
检 查 结 果， 验 算
注意：
力偶 M 在任一轴上的投影为零； 力偶对任一点之矩即为M。 选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。
方法二：局部
局部
弄清 题意， 标出 已知 量
选局部 为研究 对象画 受力图， 列平衡 方程
的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆BC 支持于点
B (图(a) )。不计滑轮的自重，试求杆AB 和BC 所受的力。
A
B
30°
30°
C
P
y
FAB B
x
30°
FBC FT2 30° FT1
解：1. 取滑轮B 连同销钉作为研究对象。
2. 画出受力图
3. 列出平衡方程：
Fx 0 : FBC cos 300 FAB FT 2 sin 300 0
P
1m 3m
4m 1m
D
4m
P1
B
A
E
P1
C
10m
P
1m 3m
4m 1m
解：1.取整体为研究对象
D
4m
P1
B
A
E
P1
C
10m
1m 3m P 4m 1m
Fx 0，FBx FCx 0 Fy 0，FBy 2P1 P FCy 0
MB 0 ，
D
A
E
4m
P1
P1
B
FBy
F F Bx 10m Cx
不计。试求A和B处的支座约束力。
y
q
q
Me
A
BA
C
D
2a
a
FAx FAy 2a
C a
4a
4a
(a)
(b)
解：
(1)选AB 梁为研究对象。 (2)画受力图如右图所示。
Me Bx
D
FNB
(4) 列平衡方程
Fx 0 FAx 0
y q
Fy 0 FAy q 2a FNB 0 A
Mo(F) 0
P1 1 4P 9P1 10FCy 0
解得：
C
FCy
FCy 48KN FBy 52KN
P
1m 3m
4m 1m
2.取AC部分为研究对象：
D
4m
P1
B
A
E
P1
C
10m
FAx
A
FAy
E
P1
C
FCx
Fx 0，FAx FCx 0
Fy 0，FAy P1 FCy 0
MA 0 ，
4FCx (4 1)FCy 4P1 0