两个计数原理的排列、组合(含答案)

学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题．

类型一两个计数原理的应用

命题角度1“类中有步”的计数问题

例1电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．

答案28 800

解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果．

反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：

具体意义如下：

从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示．

所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，

“类”与“步”可进一步地理解为：

“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一

件事的完成，“步”缺一不可．

跟踪训练1现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()

A．24种B．30种C．36种D．48种

答案 D

解析将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况．故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.故选D.

命题角度2“步中有类”的计数问题

例2有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)

答案264

解析上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种)；我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目．若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B、C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一，则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种)．

反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：

从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.

完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类．

其中m i(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数．

完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.

以上给出了处理步中有类问题的一般方法．

跟踪训练2如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有()

A．11 B．12 C．20 D．21

答案 D

解析根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，

对于开关1、2，共有2×2＝4(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4－1＝3(种)情况，

对于开关3、4、5，共有2×2×2＝8(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有8－1＝7(种)情况，

则电路接通的情况有3×7＝21(种)．故选D.

类型二有限制条件的排列问题

例33个女生和5个男生排成一排．

(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？

(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？

(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？

(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？

(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？

解(1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A66种不同排法．对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A33种不同的排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同的排法．

(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于5个男生排成一排有A55种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A36种方法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同的排法．

(3)方法一(特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A66种排法，所以共有A25·A66＝14 400(种)不同的排法．

方法二(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A13·A77种排法和女生排在末位的A13·A77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A23·A66种不同的排法，所以共有A88－2A13·A77＋A23·A66＝14 400(种)不同的排法．

方法三(特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A55种不同的排法，所以共有A36·A55＝14 400(种)不同的排法．

(4)方法一因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A15·A77种不同的排法；如果首位排女生，有A13种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A13·A15·A66种不同的排法．

因此共有A15·A77＋A13·A15·A66＝36 000(种)不同的排法．

方法二3个女生和5个男生排成一排有A88种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A23·A66种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A88－A23·A66＝36 000(种)不同的排法．

(5)(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，共有A 88A 22

＝20 160(种)不同的排法． 反思与感悟 (1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)．

(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．

跟踪训练3 用0到9这10个数字：

(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？

(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？

解 (1)可以组成9A 39＝4 536个四位数．适合题意的四位奇数共有A 15·A 18·A 28＝2 240(个)．

(2)0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：

第1类：三位数字全相同，如111,222，…，999，共9个；第2类：三位数字全不同，共有9×9×8＝648(个)，

第3类：由间接法可求出，只含有2个相同数字的三位数，共有900－9－648＝243(个)． 类型三 排列与组合的综合应用 命题角度1 不同元素的排列、组合问题

例4 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？

解 分三类：

第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C 12·C 12·C 12·C 12·A 44种． 第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C 22·C 22·A 44种．

第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C 22·C 22·A 44种．

故满足题意的所有不同的排法种数为C 12·C 12·C 12·C 12·A 44＋2C 22·C 22·A 44＝432.

反思与感悟 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的

元素都选出来，再对元素或位置进行排列．

(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：

①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．

②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．

跟踪训练4从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？

解(1)五位数中不含数字0.

第1步，选出5个数字，共有C35C24种选法．

第2步，排成偶数——先排末位数，有A12种排法，再排其他四位数字，有A44种排法．

所以N1＝C35·C24·A12·A44.

(2)五位数中含有数字0.

第1步，选出5个数字，共有C35·C14种选法．

第2步，排顺序又可分为两小类：

①末位排0，有A11·A44种排列方法；

②末位不排0.这时末位数有C11种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有A13种排法，其余3个数字则有A33种排法．

所以N2＝C35·C14(A11·A44＋A13·A33)．

所以符合条件的偶数个数为

N＝N1＋N2＝C35C24A12A44＋C35C14(A11A44＋A13A33)

＝4 560.

命题角度2含有相同元素的排列、组合问题

例5将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，则共有________种不同的分配方案．

答案15

解析先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额

分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个．

利用“隔板法”可知，共有C26＝15(种)不同的分配方案．

反思与感悟凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用“隔板法”求解：

(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有N＝C m－1

种，即将n个元素中间的n－1个

n－1

空格中加入m－1个“隔板”．

(2)任意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有N＝C m－1

种，即将n

n＋m－1

个相同元素与m－1个相同“隔板”进行排序，在n＋m－1个位置中选m－1个安排“隔板”．跟踪训练5用2,3,4,5,6,7六个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．

答案96

解析用间接法：六个数字能构成的三位数共6×6×6＝216(个)，而无重复数字的三位数共有A36＝6×5×4＝120(个)．

故所求的三位数的个数为216－120＝96.

1．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有()

A．24种B．14种C．10种D．9种

答案 B

解析由题意可得李芳不同的选择方式有4×3＋2＝14(种)．故选B.

2．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为() A．(34,34) B．(43,34)

C．(34,43) D．(A34，A34)

答案 C

解析首先每名学生报名有3种选择，有4名学生，根据分步乘法计数原理知共有34种选择，每项冠军有4种可能的结果，3项冠军根据分步乘法计数原理知共有43种可能结果，故选C. 3．从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是()

A．48 B．50 C．52 D．54

答案 A

解析第一类：从2,4中任取一个数，有C12种取法，同时从1,3,5中取两个数字，有C23种取法，再把三个数全排列，有A33种排法．故有C12C23A33＝36(种)取法．

第二类：从0,2,4中取出0，有C11种取法，从1,3,5三个数字中取出两个数字，有C23种取法，然后把两个非0的数字中的一个先安排在首位，有A12种排法，剩下的两个数字全排列，有A22种排法，共有C11C23A12A22＝12(种)方法．

共有36＋12＝48(种)排法，故选A.

4．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种．

答案36

解析先安排后2个，再安排前3个，由分步乘法计数原理知，共有C12C13A33＝36(种)不同的播放方式．

5．已知x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，则满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为________．

答案90

解析根据题意，∵x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2，x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，

∴x i中有2个1和4个0，或3个1、1个－1和2个0，或4个1和2个－1，共有C26＋C36C23＋C46＝90(个)，∴满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为90.

1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．

2．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．

3．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．

4．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．

课时作业

一、选择题

1．从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有()

A．12种B．19种C．32种D．60种

答案 B

解析分两类：第一类直接到达，甲地到乙地，每天有直达汽车4班共有4种方法；

第二类间接到达，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，共有5×3＝15(种)方法．

根据分类加法计数原理可得4＋15＝19.

2．在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是()

A．120 B．168 C．204 D．216

答案 C

解析由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，

当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2C39＝168(个)，

当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C29＝36(个)，根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选C.

3．用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有()

A．4 320种B．2 880种

C．1 440种D．720种

答案 A

解析第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第五个区域有3种不同的涂色

方法，第六个区域有4种不同的涂色方法．根据分步乘法计数原理知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320(种)涂色方法．

4．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有( )

A ．72种

B ．36种

C ．18种

D ．12种

答案 B

解析 甲乙两人有2种站法，中间恰有一个人，从其余三人中选一人有3种选法，故第一步三人绑定在一起的方法有2×3＝6(种)，将此三人看作一个元素与剩余两人组成三个元素进行排列，排列方法有A 33＝6(种)，

故5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有6×6＝36(种)．

5．在某次数学测验中，学号i (i ＝1,2,3,4)的四位同学的考试成绩f (i )∈{90,92,93,96,98}，且满足f (1)

A ．9

B ．5

C ．23

D ．15

答案 D

解析 从所给的5个成绩中，任意选出4个的一个组合，即可得到四位同学的考试成绩按f (1)

6．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )

A ．30

B ．60

C ．120

D ．240

答案 B

解析 先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有C 24C 22A 22

种，再将余下的6人平均分成两组，有C 36C 33A 22种，然后这四个组自由搭配还有A 22种，故最终分配方法有12A 22×12

C 24C 36＝60(种)． 二、填空题

7．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校只参观一天，那么不同的安排方法有________种． 答案 120

解析 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)，(2,3)，(3,4)，

(4,5)，(5,6)，(6,7)，任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，由分步乘法计数原理可知，共有不同的安排方法C16A25＝120(种)．8．小明、小红等4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格，则每所大学恰有两位同学申请，且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有________种．

答案 4

解析设小明、小红等4位同学分别为A，B，C，D，小明、小红没有申请同一所大学，则组合为(AC，BD)与(AD，BC)．若AC选甲学校，则BD选乙学校，若AC选乙学校，则BD 选甲学校；若AD选甲学校，则BC选乙学校，若AD选乙学校，则BC选甲学校．故共有4种方法．

9．将A，B，C，D，E五个不同的文件放入一排编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件．若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内满足条件的所有不同的方法有________种．

答案96

解析利用“捆绑法”，AB、CD分别捆在一起，此时问题相当于把3个不同文件放入4个不同的抽屉内，每个抽屉至多放一个文件，则有A34(A22·A22)＝96(种)．

10．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有________个．

答案120

解析1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有A33A34＝144(个)，若4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有2C13C12A22＝24(个)，∴所求六位数共有120个．

11．连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体．

答案12

解析从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C46种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成C46－3＝12(个)四面体．

12．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．

答案336

解析根据题意，每级台阶最多站2人，所以，分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，

共有C23A27种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A37种不同的站法．根据分类加法计数原理，得共有C23A27＋A37＝336(种)不同的站法．

三、解答题

13．4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？

解本题分两种情况讨论．

(1)如果4位同学中有2人选甲，2人选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有C24A22A22＝24(种)不同的情况．

(2)如果4位同学都选甲或者都选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有C12C24C22＝12(种)不同的情况．

综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况．

四、探究与拓展

14．巴蜀中学第七周将安排高二年级的5名学生会干部去食堂维持秩序，要求星期一到星期五每天只安排一人，每人只安排一天，其中甲同学不能安排在星期一，乙同学不能安排在星期五，丙同学不能和甲同学安排在相邻的两天，则满足要求的不同安排方法的种数为() A．46 B．62 C．72 D．96

答案 A

解析若甲安排在星期五，丙从星期一到星期三选一天，剩下的三人任意安排，故有A13A33＝18(种)，

若甲不安排在星期五，丙安排在星期五，则甲排在星期二或星期三，其余三人任意排，有A12 A33＝12(种)，

若甲不安排在星期五，丙安排在星期四，则甲排在星期二，再从其余两人(不含乙)中选一人排在星期五，其余任意，有A12A22＝4(种)，

若甲不安排在星期五，丙安排在星期二，则甲排在星期四，再从其余两人(不含乙)中选一人排在星期五，其余任意，有A12A22＝4(种)，

若甲不安排在星期五，丙安排在星期一，则甲排在星期三或星期四，再从其余两人(不含乙)

基本计数原理和排列组合

附 录 一.两个基本计数原理分类加法计数原理：做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的办法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这 件事情共有N＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法。 分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有m 1种不同的方法，做第二个步骤有m 2种不同的办法……做第n 个步骤有m n 种不同的方法，那么完成这件 事情共有N＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法。考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。如果完成一件事情有n 类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理。 二.排列 以下陈述中如无特别说明，n、m 都表示正整数。一般的，从n 个不同的元素中任取m （m ≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。如果要求排列中诸元素互不相同，则称为选排列；反之，若排列中的元素可以有相同时，则称为可重复排列。可重复排列在生活中比较常见，如电话号码、证件号码、汽车牌照，等等。从n 个不同的元素中任取m（m ≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的排列数。用符号m n A 。为导出m n A 的计算公式，注意到对任一选排列，其第一位（从左到右计）可以放置编号1到n 的n 个元素的任意一个，共有n 种可能的结果；对于第一位的每一种放置结果，第二位可以放置剩下的n-1个元素中的任意一个，共有n-1种可能的结果；...,对于第m-1位的每一种放置结果，第m 位可以放置最后剩下的n-m+1个元素中的任何一个，共有n-m+1种可能结果。因此，根据乘法计数原理，有排列数公式： ) 1()2)(1(+---=m n n n n A m n （1.3）从n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，记作n n A ，也记之 为!n 。根据排列数的公式有 .12)1(!????-?=n n n （1.4）

计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理： 2、分步计数原理： 特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类） 如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型1:计数原理 例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。 例2（1）如图为一电路图，从A 到B 共有 条不同的线路可通电。 例3: 把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？ 例4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，问共有多少种不同的取法？ 例6、（1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? （2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A

两个计数原理与排列组合知识点与例题

两个计数原理与排列组合知识点及例题 两个计数原理内容 1、分类计数原理： 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法. 2、分步计数原理： 完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法. 例题分析 例1某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种？ 分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择 第二步配一个素菜有5种选择 第三步配一个汤有2种选择 共有N=3×5×2=30（种） 例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？ （1）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算。 解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择 第二类从下层取一本书有4种选择 共有N=5+4=9（种） （2）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择 第二步从下层取一本书有4种选择 共有N=5×4=20（种） 例3、有1、2、3、4、5五个数字. （1）可以组成多少个不同的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？ （1）分析： 1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 略解：N=5×5×5=125（个）

小学奥数计数练习题：排列与组合

小学奥数计数练习题：排列与组合经典的排列与组合奥数题及答案 问题：小明所在的班级要选出4名中队长，要求每位同学在选票上写上名字，也能够写自己的名字。结果全班的每位同学都在自己的选票上写了4个互不相同的名字。当小明把同学们的选票收集后发现一个有趣的现象：就是任意取出2张选票，一定有且只有一个人的名字同时出现在2张选票上。请问：小明所在的班级共有多少人? 总体逻辑思路：首先，假设题目所说的情况存有。然后，得出班级人数。最后，构造出一个例子，说明确实存有这种情况。 我们先来证明这个班每个人都恰好都被选了4次。 思路简介：我们首先用反证法证明没有人被选了4次以上。因为平均每人被选了4次，既然没有人被选了4次以上，肯定也不存有被选了4次以下的人。所以，能够得到每个人恰好被选了4次。 首先证明没有人被选了4次以上，我们用反证法。 假设有一个人被选了4次以上(因为很容易证明这个班的人数肯定很多于7人，所以我们能够假设有一个人被选了4次以上)，我们设这个人为A同学。接下来我们来证明这种情况不存有。 把所有选择A同学的选票集中到一起，有5张或5张以上。方便起见，我们把这些选票编号，记为A1选票，A2选票，A3选票，A4选票，A5选票，…。意思就是选择A同学的第1张选票，选择A同学的第2张选票，…。 这些选票都选择了A同学。因为任意2张选票有且只有1个人相同，所以这些选票上除了A同学外，其他都是不同的人。 我们还能够证明，这些并不是全部的选票，不是太难，就不证明了。

既然这些(所有选A同学的选票)不是全部的选票，我们再拿一张没有选择A同学的选票。方便起见，称之为B选票。 根据任意2张选票有且只有1个人相同，A1选票上必有一个人和B选票上的一个人是相同的，而且这个人不是A同学。 同样道理，第A2、A3、A4、A5、…上也必有一个人和B选票上的一个人是相同的，而且这个人不是A同学。 因为B选票上只有4个不同的人，而A1、A2、…，的数量大于4.所以，A1、A2、A3、…选票中至少有2张选票，除了A同学外还有一个共同的候选人。根据任意2张选票有且只有1个人相同，我们知道这是不能够的。 所以，没有人被选了4次以上。 因为平均每人被选4次，既然没有人被选4次以上，当然也就不可能有人被选4次以下。 所以，每个人恰好被选了4次!

排列组合与计数原理

排列组合与计数原理 【复习目标】1.能熟练的判断利用加法原理和乘法原理。简单的排列组合组合数公式。 【复习重难点】加法原理和乘法原理公式的计算及应用。 1.高三（1），（2），（3）班分别有学生52,48,50人。 （1）从中选1人当学生代表的不同方法有____________种； （2）从每班选1人组成演讲队的不同方法有____________种； （3）从这150名学生中选4人参加学代会的不同方法有____________种； （4）从这150名学生中选4人参加数理化三个课外活动小组，共有不同方法有__________种。 2.假设在200件产品中有三件次品，现在从中任意抽取5件，期中至少有2件次品的抽法有__________种。 3.若,64 3n n C A 则n=___________。 例1．在1到20这20个整数中，任取两个数相加，使其和大于20，共有________种取法。 变式训练：从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为_______。 例2．从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有______________种. 例3．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有_______ . 变式训练：要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，现有5人，每人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有_______ 种不同的排法.

计数原理-排列组合

排列组合 知识点 一、排列 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中 取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示 对排列定义的理解： 定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列” 相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc 与acb 是两个不同的排列 描述排列的基本方法：树状图 排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-???--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!??????-?-?=n n n n ，并规定1!0=。 全排列数公式可写成!n A n n =. 由此，排列数公式可以写成阶乘式： )!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -= +-???--=（主要用于化简、证明等） 二、组合 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；组合数用符号m n C 表示 对组合定义的理解： 取出的m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点. 只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合 排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。 组合数公式： ),()!(!!!)1()2)(1(n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n ≤∈-=+-???--==*，且 变式：),,()! ()1()2)(1()!(!!n m N m n C m n m n n n m n m n C m n n m n ≤∈=-+???--=-= *-且

两个计数原理、排列与组合

全国卷五年考情图解高考命题规律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制1道 小题或者1道解答题，分 值占5～17分. 2.考查内容 计数原理常与古典概型综 合考查；对二项式定理的 考查主要是利用通项公式 求特定项；对正态分布的 考查，可能单独考查也可 能在解答题中出现；以实 际问题为背景，考查分布 列、期望等是高考的热点 题型. 3.备考策略 从2019年高考试题可以 看出，概率统计试题的阅 读量和信息量都有所加 强，考查角度趋向于应用 概率统计知识对实际问题 作出决策. 第一节两个计数原理、排列与组合 [最新考纲] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念

及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 1．两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有两类不同方案，在 第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法 结论 完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法 完成这件事共有N ＝mn 种不同的方法 排列的定义 从n 个不同元素中取出 m (m ≤n )个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义 合成一组 排列数 组合数 定义 从n 个不同元素中取出 m (m ≤n )个元素的所有不同排 列的个数 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数 公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋ 1)＝ n ！ (n －m )！ C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！ 性质 A n n ＝n ！，0！＝1 C m n ＝C n －m n ，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． ( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．

计数原理与排列组合

计数原理与排列组合 计数原理一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事ｎ类办法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事分成ｎ个步骤，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法. 二、经典例题导讲[例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种 分析：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种. ∴应选D ． [例3]三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）. 解：解法一 第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有3 2＝8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×1＝6个不同的三位数. [例5] 用0，1,2，3,4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？ （3）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？ 解：（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个. （3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个. （4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个 四、典型习题导练 1．将4个不同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有（ ） A ．43种 B ．3 4种 C ．18种 D ．36种

两个计数原理与排列组合知识点及例题

两个计数原理与排列组合知识点及例题两个计数原理内容 1、分类计数原理： 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法. 2、分步计数原理： 完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法. 例题分析 例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种？ 分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择 第二步配一个素菜有5种选择 第三步配一个汤有2种选择 共有N=3×5×2=30（种） 例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？ （1）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算。 解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择 第二类从下层取一本书有4种选择 共有N=5+4=9（种） （2）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择 第二步从下层取一本书有4种选择 共有N=5×4=20（种） 例3、有1、2、3、4、5五个数字. （1）可以组成多少个不同的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？ （1）分析： 1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 略解：N=5×5×5=125（个） 【例题解析】 1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？

12.1计数原理与简单排列组合问题

第十二章 计数原理 本章知识结构图 第一节 计数原理与简单排列组合问题 考纲解读 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 3.理解排列、组合的概念. 4.能用计数原理推导排列数、组合数公式. 命题趋势探究 1.本节为高考必考内容，一般有1~2道选择题或填空题. 2.题目主要以实际应用题形式出现. 3.试题的解法具有多样性，一般根据计数重复或遗漏来设计错误选项，在解答选择题时可通过正向（分类相加）和反向（总数减去对立数）互相检验，也可以通过排除法筛选正确选项. 知识点精讲 基本概念 1.分类加法计数原理 ○ 1有n 类方法 完成一件事 ○ 2任两类无公共方法（互斥） 共有N = ○ 3每类中每法可单独做好这件事 12n m m m ++???+ 种不同方法.如图12-1所示.

计 计 A 计计计计1 计计1 计计2 计计 m1 计计计计n 计计1 计计2 计计 m n m1计 m n计 计计计计A计计 m1+m2+m3+···+m n计计计计计计 图12-1 2.分步乘法计数原理 ○1必须走完n步，才能完成任务 完成一件事○2前一步怎么走对后一步怎么共有N 走无影响（独立） 12n m m m =??????种不同方法.如图12-2所示. m1计m n计 计计计计B计计m1×m2×m3×···×m n计计计计计 计 m2计m i计 图12-2 两个原理及其区别. 分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有n类办法，这n类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理. 分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有n个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理. 当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法. 3.排列与排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个（不同）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中选取m个元素(n≥m)的排列个数 共有A m n . ()()() A121 m n n n n n m =--???-+ g g g g (m个连续正整数之积，n为最大数). ()() A12321! n n n n n n =--???= g g g g g g 注

计数问题与排列组合问题

计数问题与排列组合问题 一、北京考题特征分析: (05)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚 三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ） A ．4841212 14C C C B ．4841212 14A A C C ．33484121214A C C C D ．33 484121214A C C C 分步计数原理，易错选D. 这种错点训练应当从怎样算完成一件事情分析起，对于错的应当举例说明为什么错. (06年未考) (07理)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不 排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 以相邻与位置受限相结合(两个条件)基础，有原型略高于简单原型 启发：对基本型适度组 合命题 (07文)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的 牌照号码共有（ ） Ａ．()2142610C A 个 Ｂ．242610A A 个 Ｃ．()2142610C 个 Ｄ．242610A 个 考察分步计算原理与可重复，不可重复问题结合，考察全面，学生审题能力. (08年未考) 但在概率解答题中涉及到. (09理)7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648 (2010年)（4）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C (2011年) (12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 __________个。（用数字作答） 北京的考题的确重在凸现两个基本原理，在每一类或是每一步计数考虑正确用排列数或 是组合数来表示。教学时始终抓住完成一件事情需要分为几类或是几步来完成. 教学时注意控制层次，首先学生要能列出符合条件的，不重不漏的列出；能够正确的用 排列数、组合数来表示一个计数问题.

计数原理与排列组合(教师用)

姓名学生姓名填写时间2016-12-7学科数学年级高三教材版本人教版阶段第（ 48 ）周观察期：□维护期：□ 课题 名称排列组合课时计划 第（）课时 共（）课时 上课时间2016-12-8 教学目标大纲教学目标 1、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用 问题． 2、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解 决一些简单的应用问题． 个性化教学目标体会分类讨论的思想 教学重点1、正确区分排列与组合,熟练排列数与组合数公式 2、能熟练利用排列数与组合数公式进行求值和证明. 教学 难点 分类讨论思想的灵活应用 教学过程问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法 说明：1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数. 第一部分：计数原理

又称乘法原理

一、问题引入 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法 问题2：从1、2、3、4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数 问题1和2的共同点是什么 二、排列 1、对排列定义的理解. 定义：一般地，从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 2、相同排列. 如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. 3、排列数. 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同的排列的个数，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.用符号 m n A 表示. 且有：n n A 第二部分：排列

专题十 计数原理第三十讲 排列与组合 (1)

专题十 计数原理 第三十讲 排列与组合 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥 德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115 D ．118 2．（2017新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人 完成，则不同的安排方式共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 3．（2017山东）从分别标有1，2，???，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取 1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．518 B ．49 C ．59 D ．79 4．(2016年全国II)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 5．（2016四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24 B ．48 C ．60 D ．72 6．（2015四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的 偶数共有 A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 7．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周 日都有同学参加公益活动的概率为 A ． 18 B ．38 C ．58 D ．78 8．（2014广东）设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A ．60 B ．90 C ．120 D ．130 9．（2014安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60?的共

高二数学计数原理与排列组合当堂检测

计数原理与排列组合随堂检测（含答案）当堂检测（时量：10分钟） 1．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有() A．36种B．48种C．72种D．96种2．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有() A．6个B．9个C．18个D．36个3．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有() A．45种B．36种C．28种D．25种4．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有() A．24种B．36种C．38种D．108种5．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有() A．50种B．60种C．120种D．210种6．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答) 7．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，

分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)． 8．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．

答案：1(C)、2(C)、3(C)、4(B)、5(C)、6(1260)、7(1080)、8(72)

计数排列与组合

计数排列与组合 一.排列 1.相邻问题——捆绑法 5名男生、2名女生站成一排，求以下情况下不同站法 （1）2名女生相邻 （2）男生相邻 （3）男生站一起，女生站一起 6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的种数为（ ） A.66A B 333A . C.3333A A D.3344A A 7人站成一排,其中甲、乙相邻且丙丁相邻,共有不同的排数为________. 由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数中,含数学2,52,5且相邻的四位数的个数 是_________.232332 ,:C A A 一取二排 2.不相邻问题——插空法 5名男生、2名女生站成一排，求以下情况下不同站法 （1）甲、乙不相邻 （2）女生不相邻 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ） A.2988A A B 2988C A . C.2788A A D.2788C A 有数学书3本，语文书2本，物理书1本，若将其并排摆放在书架的同一层上，则同类书都不相邻的放法数为_______.120 在5,4,3,2,1的任一排列中,使相邻两数都互质的排列方式共有________种. 某班班会准备从含甲、乙的8名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时的顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（ ） A.960 B.1040 C.1140 D.1320 (分析:分两类:①甲、乙中只有1人参加发言.此类无特殊要求故134264960C C A = ②甲、乙2人都参加发言.此类有”不相邻”要求故222623180C A A =)

两个计数原理、排列与组合

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 1.计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题． (2)理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． (3)理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． (4)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 2．概率 (1)事件与概率 ①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别． ②了解两个互斥事件的概率加法公式． (2)古典概型 ①理解古典概型及其概率计算公式． ②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． (3)随机数与几何概型 ①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ②了解几何概型的意义． 3．概率与统计 (1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列． (2)了解超几何分布，并能进行简单应用． (3)了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题． (4)理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题． (5)借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 10．1两个计数原理、排列与组合 1．分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．

计数原理、排列与组合

第十篇 计数原理与概率、随机变量及其分布(必修3、选修2-3) 第1节计数原理、排列与组合 课时训练练题感提知能 【选题明细表】 一、选择题 1.已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为( C ) (A)16 (B)13 (C)12 (D)10 解析:由分步乘法计数原理可知,走法总数为4×3=12.故选C. 2. 如图所示,在A、B间有四个焊接点1、2、3、4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A、B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有( C ) (A)9种(B)11种(C)13种(D)15种

解析:按照焊接点脱落的个数进行分类. 若脱落1个,则有(1),(4)共2种; 若脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3)共6种; 若脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4种; 若脱落4个,有(1,2,3,4)共1种.综上共有2+6+4+1=13(种)焊接点脱落的情况.故选C. 3.(2013河南省三市)现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检,每校分配1名医生和2名护士,则不同的分配方法共有 ( B ) (A)6种(B)12种(C)18种(D)24种 解析:只需让第一所学校选取即可. 先从2名医生中选取1名,不同的选法有=2(种); 再从4名护士中选取2名,不同的选法有=6(种). 由分步乘法计数原理可得,不同的分配方案有 2×6=12(种). 故选B. 4.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( C ) (A)3×3! (B)3×(3!)3 (C)(3!)4(D)9! 解析:9个座位坐3个三口之家,每家人坐在一起,用捆绑法,不同的坐 法种数为()=(3!)4.故选C.

排列组合第一讲分类加法与分步乘法计数原理

两个计数原理 【知识网络】 【典型例题】 题型一、分类加法计数原理 例1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（） A.6 B.5 C.3 D.2 例2、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个? 【变式练习】 1.若a，b∈N*，且a＋b≤5，则在直角坐标平面内的点(a，b)共有________个． 2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？

例3、有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（） A．21种 B．315种 C．143种 D．153种 例4、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )． A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 方法总结 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理 【变式练习】 1．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（） A．120 B．98 C．63 D．56 2．某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（） A.5 B.6 C.7 D.8 3．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个． 4．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有( )．A．238个 B．232个 C．174个 D．168个 例5、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) A．10 B.11 C.12 D.15

计数原理及排列组合典型问题 -(含答案)

计数原理及排列组合典型问题 一、 计数原理： 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如 右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相 邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______ 种.（以数字作答） 【答案】 120 二、 排列问题： 1、限定顺序问题： (1) 7位同学站成一排．甲必须站在乙的左边? 【答案】7722=2520A A (2) 7位同学站成一排．甲、乙和丙三个同学由左到右排列? 【答案】84033 77=A A （3）7位同学站成一排．甲和乙在丙的同侧？ 【答案】3360 2、相邻问题：7位同学站成一排，甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起排法共有多少种？ 【答案】将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：（种） 3、不相邻问题：7位同学站成一排，甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ 【答案】先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再 将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有＝1440种． 4、限制位置问题：7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 【答案】将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元 素，若丙站在排头或排尾有2种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法 342342288A A A =44A 35A 44A 35 A 55A 654 321

有 三、组合问题： 1、等分问题： （1）今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法? 【答案】62221064233 =3150C C C C A （2）今有10件不同奖品, 从中选6件分给甲乙丙三人,每人2件, 有几种分法? 【答案】622210642=18900C C C C 2、不等分问题： （1）今有10件不同奖品, 从中选6件分给三份,其中1份一件，1份二件，1份三件, 有多少种分法? 【答案】612310653=12600C C C C （2）今有10件不同奖品, 从中选6件分给甲乙丙三人,其中1人一件，1人二件，1人三件, 有多少种分法? 【答案】61233106533=75600C C C C A 3、元素相同问题： 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法? 【答案】529=118755C 960)2(225566=?-A A A

计数原理-10.2 排列与组合(教案)

329 响水二中高三数学（理）一轮复习 教案 第十编 计数原理 主备人 张灵芝 总第52期 §10.2 排列与组合 基础自测 1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 个. 答案 54 2.（2008·福建理）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案共有 种. 答案 14 3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有 种.（用式子表示） 答案 A 88 4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是 （用式子表示）. 答案 3100C -394C 5.（2007·天津理）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）. 答案 390 例题精讲 例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （1）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲、乙站在两端； （6）甲不站左端，乙不站右端. 解 （1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A 14种站法，然后其余 5人在另外5个位置上作全排列有A 55种站法，根据分步计数原理，共有站法：A 14·A 55=480（种）. 方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A 2 5种站法，然后中间人有A 44种站法，根据分步计数原理，共有站法：A 25·A 4 4=480（种）. 方法三 若对甲没有限制条件共有A 66种站法，甲在两端共有2A 5 5 种站法，从总数中减去这两种