放缩法证明数列不等式
主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n
-=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214
n n n n n n n <===--+--+-
2. ==>=
==<=
=<=
=
= |
4.
=<
=
= 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n ---<==-------- 6.
111
22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+⋅+⋅⋅+⋅
|
例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ，
且n c =（1）求n c ；（2）证明：
4444123111174
n c c c c ++++
<
！
例2.证明：1611780
<+
+<
. 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a +
=，*n N ∈； （1）求证：数列{}
2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++⋅+>-
（3）记312311112,n n n n b
s T b b b b =
=
++++，证明：312n T <<
(
例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2
12n na +++<
@
例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-；
（1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-<
，
例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22
n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n
n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162
n c c c c ≤++++<
|
例7. 已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s 满足：1,6(1)(2)n n n n s s a a >=++； —
（1）求n a ；
（2）设数列{}n b 满足(21)1,n b n a -=并记123n n T b b b b =++++，
求证：(3)231log n a n T ++>（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）
`
例8. 已知正项数列{}n a 满足：111
(1)1,1n n n n na n a a a a +++==+ ， 记2111222231111,[](2)n n b a b n a n a a a -==+
+++≥。 （1）求n a ；
（2）证明：1231111(1)(1)(1)(1)4n
b b b b ++++<
