当前位置：文档之家 › 不等式解题技巧

不等式解题技巧

  • 格式：docx
  • 大小：462.83 KB
  • 文档页数：13

下载文档原格式

  / 13

合集下载

不等式最值的解题方法与技巧

不等式最值的解题方法与技巧

不等式最值的解题方法与技巧
不等式最值的解题方法与技巧如下：
(一)利用基本不等式。

在原不等式中，把"1"的表达式与所求最值的表达式相乘
或相除，进而构造和或积为定值的形式，再利用基本不等式求解。

(二)轮换对称法。

确认对称，确认最值，取等解方程。

(三)常数代换法。

常数代换法求最值的步骤：
1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
2)把确定的定值（常数）变形为1；
3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的
形式；
4)利用基本不等式求解最值。

高中数学解不等式问题的技巧

高中数学解不等式问题的技巧

高中数学解不等式问题的技巧在高中数学中，解不等式是一个重要的内容。

不等式是数学中的一种关系式，它告诉我们一个数与另一个数之间的大小关系。

解不等式的过程需要运用一些技巧和方法，下面我将介绍一些解不等式问题的技巧，希望对高中学生和他们的父母有所帮助。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最基础的不等式类型，其形式为ax + b > 0（或 < 0）或ax +b ≥ 0（或≤ 0），其中a和b为已知实数，x为未知数。

解这类不等式的关键在于确定x的取值范围。

例如，解不等式2x + 3 > 5。

首先，我们将不等式转化为等价的形式：2x > 2。

然后，将x的系数2移到不等号右边，并将不等号改为等号：x > 1。

最后，得到不等式的解集为x > 1。

对于不等式ax + b ≥ 0，我们需要注意当a > 0时，解集为x ≥ -b/a；当a < 0时，解集为x ≤ -b/a。

这个结论可以帮助我们更快地确定不等式的解集。

二、一元二次不等式一元二次不等式的形式为ax^2 + bx + c > 0（或 < 0）或ax^2 + bx + c ≥ 0（或≤ 0），其中a、b和c为已知实数，x为未知数。

解这类不等式的关键在于找到二次函数的图像与x轴的交点。

例如，解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。

首先，我们可以将不等式转化为等价的形式：(x - 1)(x - 3) > 0。

然后，我们绘制出二次函数y = x^2 - 4x + 3的图像，通过观察图像与x轴的交点，可以确定不等式的解集。

在这个例子中，我们可以看到当x < 1或x > 3时，不等式成立，因此解集为x < 1或x > 3。

对于一元二次不等式，我们还可以利用判别式来确定解集的性质。

当判别式Δ = b^2 - 4ac > 0时，解集为两个不相等的实数；当Δ = b^2 - 4ac = 0时，解集为两个相等的实数；当Δ = b^2 - 4ac < 0时，解集为空集。

高中数学不等式的解题方法与技巧

高中数学不等式的解题方法与技巧

高中数学不等式的解题方法与技巧
高中数学不等式的解题方法与技巧有以下几点：
1. 确定不等式的范围：首先要确定不等式的变量范围，例如确
定变量为正数、自然数等，以便后续的推导和计算。

2. 利用基本不等式：基本不等式是指常见的数学不等式，例如
平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均方根不等式等。

通过运用这些
基本不等式，可以简化和推导复杂的不等式。

3. 分析不等式的性质：通过观察不等式的形式和特点，可以得
出不等式的一些性质。

例如，不等式是否对称、是否单调递增等，这些性质可以为解题提供线索。

4. 使用增减法：对于复杂的不等式，可以通过增减法将不等式
变换成简单的形式。

增减法是指在不等式两边同时加减相同的数，从而改变不等式的形式。

通过多次的增减操作，可以逐步简化不等式的形式。

5. 运用数学归纳法：对于涉及自然数的不等式，可以使用数学
归纳法进行证明。

数学归纳法是通过证明某个命题对于自然数n成立，然后再证明对于n+1也成立，从而得出该命题对于所有自然数成立的结论。

6. 剖析复杂不等式：对于特别复杂的不等式，可以使用分段函数、图像、积分等方法进行剖析。

这些方法可以将不等式转化为求解函数的最值或积分的问题，进而求解不等式。

总之，解决高中数学不等式需要灵活运用各种方法和技巧，通过
观察、推导和计算，找到合适的途径来简化不等式、得出结论。

掌握了这些解题方法与技巧，可以提高解决数学不等式问题的能力。

不等式基本解题技巧梳理

不等式基本解题技巧梳理

不等式基本解题技巧梳理技巧一： 配凑法对加法型，两个因式的未知数部分凑成倒数关系，配凑成符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。

技巧二： 分离常数法1.已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；2. 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；3. 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果. 技巧三： 对勾函数法：用基本不等式求解时，若遇等号取不到的情况1.运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；2.结合函数()a f x x x =+的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可； 技巧1 配凑法【例1】（2021·广西河池市）函数19()(1)41f x x x x =+>-的最小值为（ ） A ．134 B ．3C ．72D ．94 【举一反三】1．已知2244x y +=，则2211x y +的最小值为（ ） A ．52 B ．9 C ．1 D ．942．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 3．若正实数a ，b 满足111122a b +=++，则ab a b ++的最小值为_______． 技巧2 分类常数法 【例2】已知52x ≥，则2332x x y x -+=-有（ ） A ．最大值1B ．最小值1C ．最大值3D ．最小值3【举一反三】 1．函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-12．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则a =（ ）A ．1+B ．2C ．4D ．63．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值24．已知函数()2sin sin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1技巧3 对勾函数【例3】函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【举一反三】1．函数2y =的最小值为（ ）A ．2B ．52 C ．1 D ．不存在2．函数()ln 22ln xf x x =+，(]1,e x ∈的最小值为________.3．设(0,)x π∈，则函数sin 22sin =+xy x 的最小值是___________．巩固练习一、单选题1．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz -的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32．已知x y R +∈，，若不等式110232mx y x y x y ++≥+++恒成立，则实数m 的最值情况为（） A ．有最小值4- B ．有最大值4- C ．有最小值4 D ．有最大值43.已知0a >，0b >，若不等式122ma b a b +≥+恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．74．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8 5．若对任意满足8a b +=的正数a ，b 都有14111x a b x ++≥+-成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[)0,1 B ．()1,+∞ C ．(](),01,-∞+∞ D ．()(),01,-∞⋃+∞6．已知0x >，0y >，若2288yx ym m x y ++>-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．19m -<< B ．91m -<< C ．9m ≥或1m ≤- D ．m 1≥或9m ≤- 7．当104x <<时，不等式11014m x x +-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．已知0,0x y >>且111211x y +=++，则x y +的最小值为________.9．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则11aba b +--的最小值为____________.10．函数2221()0sin cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值是________.11．当0x >时，函数231x x y x ++=+的最小值为_________.12．函数2(2)2x y x x =>-的最小值为_______________13．若实数,x y 满足22321x xy y --=，则2252x yx xy y +++的最大值为___________.14．求()271011x x y x x ++=>-+的最小值______.15．()21147x x x x ->-+的最大值为______.16．已知()()23601x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是________．。

基本不等式的解题技巧

基本不等式的解题技巧

基本不等式的解题技巧
解基本不等式的关键是要确定不等号的方向，并对变量进行适当的操作以便得到解。

以下是解基本不等式的一些常用技巧：
1. 如果不等式的形式是 "ax + b > 0" 或 "ax + b < 0"，则可以通
过将方程两边同时减去 b，再除以 a 来得到 x 的解。

例如：对于不等式 3x + 4 > 0，可以将其转化为 3x > -4，然后
将两边都除以 3，得到 x > -4/3。

2. 如果不等式的形式是"ax + b ≥ 0" 或"ax + b ≤ 0"，则需要考
虑等号的情况。

当不等号加上一个等号时，解的范围会发生改变。

例如：对于不等式 2x - 5 ≥ 3，可以通过将其转化为2x ≥ 8，然后将两边都除以 2，得到x ≥ 4。

3. 如果不等式中包含绝对值表达式 |ax + b|，则需要分别讨论 x + b ≥ 0 和 x + b < 0 两种情况。

例如：对于不等式 |2x - 3| < 5，可以将其分解为两个不等式 2x - 3 < 5 和 2x - 3 > -5，然后求解这两个不等式得到的解的交集。

4. 如果不等式中有多个变量，则可以尝试通过移项和因式分解的方法来化简不等式。

例如：对于不等式 x^2 + 4x - 12 > 0，可以将其转化为 (x + 6)(x - 2) > 0，然后使用符号代表法来求解。

这些是解基本不等式常用的技巧，具体问题需要根据具体情况进行分析和求解。

高考数学中的解不等式题技巧

高考数学中的解不等式题技巧

高考数学中的解不等式题技巧高中数学中的解不等式是一个常见、重要而又复杂的话题，这也是每年高考必考的内容之一。

为了在高考中拿到更高的数学成绩，解不等式题的优秀技巧和方法就是必不可少的。

本文将为大家详细介绍高考数学中的解不等式题技巧。

一、确定不等式类型解不等式首先要确定不等式的类型，例如一次不等式、二次不等式以及一次不等式与二次不等式混合形式。

不同类型的不等式可能需要不同的解题方法和工具，所以正确地区分不同类型的不等式是解题的第一要素。

二、移项变号不等式中的每项都可以加上或减去相同的数，也可以乘以或除以相同的数，但是要注意判断是不是乘以负数。

在移项变号的过程中，必须保证不等式的方向不变，因为在不等式两侧同时加上一个正数，不等式转化成一个更大的不等式，而在不等式两侧同时加上一个负数，不等式转化成一个更小的不等式。

三、化简如果一个不等式的系数较复杂或有分数，可以通过合并同类项、约分、通分等等化简的方式，使其变得更简单明了，从而更方便地应用解不等式的技巧。

四、双边平方在处理二次不等式时，我们可以使用“双边平方”的方式将其化简成一次不等式，并继续应用一次不等式的解题方法。

不过，需要注意的是，双边平方的过程会使原不等式一些根号项的变化，并且有时会引入不合法解。

因此，在解二次不等式时，需要先判断根号里面的内容的正负，再进行双边平方，确定解的范围，并得出正确的解。

五、裂项在解不等式时，有时我们发现一个不等式的系数和项数都很复杂，难以应用一般的解题方法，这时候可以尝试使用“裂项”的方法，将不等式分解成几个部分，然后分别处理每个部分，最后得到整个不等式的解。

裂项方法的使用需要观察不等式的因式分解式，找到化简的方法，并找出合理的间隔点以及分段条件。

六、代入对于较复杂的不等式，我们可以先猜测一个解，然后代入验证是否成立，从而快速或全面地解出不等式的解。

这种方法的优点是简单易行，而且针对某些形式的不等式，代入还可以直接得到答案，缩短解题时间。

数学高一基本不等式解题技巧

数学高一基本不等式解题技巧

数学高一基本不等式解题技巧
数学基本不等式解题技巧如下：
1、作差∶作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。

2、作商（常用于分数指数幂的代数式)﹔分析法﹔平方法;分子（或分母）有理化；利用函数的单调性﹔寻找中间里或放缩法﹔)图象法。

3、其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

注意事项：
一、符号：
1、不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。

2、不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。

二、解集：
1、比两个值都大，就比大的还大(同大取大)。

2、比两个值都小，就比小的还小(同小取小)。

3、比大的大，比小的小，无解(大大小小取不了)。

4、比小的大，比大的小，有解在中间(小大大小取中间)。

5、三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。

三、数轴法：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。

有几个就要几个。

在确定一元二次不等式时，a>0，Δ=b^2-4ac>0时，不等式解集可用"大于取两边，小于取中间"求出。

大招三 基本不等式的十大解题技巧(教师版)

大招三 基本不等式的十大解题技巧(教师版)

1 x
+
9 y
=
1，求 x + y 的最小值
.
【答案】16
10.
已知非负实数
x,y
满足
x
+
y
=
1，则
x
1 +
1
+
y
4 +
1
的最小值为
3
.
【答案】3
技巧七、化归
11. 已知正数 x,y 满足 xy = x + y + 3，试求 xy、x + y 的最小值 .
【答案】9；6
23 12. 若正实数 x,y 满足 x2 + y2 + xy = 1，则 x + y 的最大值是 3 .
(x
>
-1)
的最小值
.
【答案】9
7.
已知实数 x,y 满足
x
>
y
>
0，且
x+
y
=
1 2
，则
x
2 + 3y
+
x1 -yFra bibliotek的最小值为
3+2
2
.
【答案】3 + 2 2
技巧五、利用对勾函数的单调性
8. 求函数 y = x2 + 5 的最小值 x2 + 4
【答案】52
技巧六、整体代换
9.
已知 x
>
0,y
> 0，且
【答案】92
技巧三、分离
4.
函数 y =
x2 + 5x + 15 x+2
(x ≥ 0) 的最小值为 ___________.

解不等式的方法与技巧

解不等式的方法与技巧

解不等式的方法与技巧在数学中，不等式是比较两个数或两个式子大小关系的一种数学表达式。

解不等式的过程就是寻找满足不等式条件的变量取值范围。

本文将介绍解一元不等式的常用方法与技巧。

一、一元一次不等式的解法一元一次不等式通常具有形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0 的形式，其中a 和b 是实数，x 是变量。

解这类不等式的方法如下：1. 求解步骤：a. 将不等式转化为等价的形式：ax + b = 0，即找到临界点。

b. 根据临界点将数轴分为几个区间。

c. 分别选取每个区间内的一个点代入不等式，判断是否满足不等式，得出最终解的范围。

2. 解题要点：a. 当 a > 0 时，解集为临界点右侧的一段区间。

b. 当 a < 0 时，解集为临界点左侧的一段区间。

c. 当 a = 0 时，解集为b ≠ 0 时的全部实数。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式通常具有形如 ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 的形式，其中 a、b 和 c 是实数，x 是变量。

解这类不等式的方法如下：1. 求解步骤：a. 将不等式转化为等价的形式：ax² + bx + c = 0，即找到临界点。

b. 根据临界点将数轴分为几个区间。

c. 分别选取每个区间内的一个点代入不等式，判断是否满足不等式，得出最终解的范围。

2. 解题要点：a. 当 a > 0 时，解集为临界点两侧的区间的并集。

b. 当 a < 0 时，解集为临界点两侧的区间的交集。

三、常见不等式的特殊解法除了一元一次和一元二次不等式外，还存在一些特殊形式的不等式，可以通过特殊的方法来解决，如以下几种情况：1. 绝对值不等式：a. |f(x)| < c：解集为 -c < f(x) < c。

b. |f(x)| > c：解集为 f(x) < -c 或 f(x) > c。

高考数学不等式解题方法技巧

高考数学不等式解题方法技巧

不等式应试技巧总结1不等式的性质：（1 ）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减 a -c >b -d ）,但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2） 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除； 异向不等式可以相除，但不能相乘：若a ba b 0,c d 0 ,则 ac bd （右 a b 0,0 ：： c ： d ,贝U）；C d（3） 左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a b ∙ O ,则a n ■ b n 或：a ■ nb ； （4）若ab 0 , a b , 1 1 1 1 则 ；若 ab ：： 0 , a b ,则 a b a b【例】（1）对于实数a,b,c 中，给出下列命题：①若a b,则ac 2 bc 2 ；②若ac 2 bc 2,则a b ；2 21 1 b a ③ 若 a ：： b ：： 0,则 a ab b ； ④ 若 a ：：： b ：：： 0,则；⑤ 若 a ：：：b ：：： 0,则a ba bab1 1⑥若a cb vθ,则a > b ;⑦若c >a >b >0,则 ------- >——；⑧若a >b,—> —,贝U a>O,b cθ。

其中正确的c-a c-b a b命题是 ______ （答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知一1兰x + y 兰1 , 1兰x-yW3 ,贝U 3x — y 的取值范围是 __ （答：1兰3x — y 兰7 ）；C（ I >（3）已知a>bnc ,且a+b+c=O,则—的取值范围是 ________________ （答： —2_丄Ib a I ' 2 丿2. 不等式大小比较的常用方法 ：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幕的代数 式） ； （ 3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 （8）图象法。

不等式题的解题技巧

不等式题的解题技巧

不等式题的解题技巧不等式是数学中的一个重要概念，它可以描述数值之间的大小关系。

解不等式是数学习题和考试中经常遇到的问题。

在解不等式的过程中，我们需要灵活运用一些解题技巧来简化问题和推导出正确的解。

首先，我们来了解一些基本的符号和概念。

在不等式中，比较大小的符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。

不等式中的变量可以是任意实数，我们的目标是找出使不等式成立的可行解集。

接下来，我们将介绍一些常见的不等式类型及其解题技巧。

1. 一元一次不等式：这是最简单的不等式类型，形如ax + b > c或ax + b < c。

解这种不等式的关键是将不等式转化为等价的形式。

例如，对于不等式2x + 3 > 5，我们可以将其转化为2x > 5 - 3，最终得到x > 1。

类似地，对于不等式2x + 3 < 5，我们可以得到x < 1。

2. 一元二次不等式：这种不等式包含了变量的平方，形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。

解这种不等式的方法是找到其对应的二次函数的图像，通过分析函数的凹凸性来确定函数的正负和零点的位置。

例如，对于不等式x^2 - 4 > 0，我们可以将其转化为(x - 2)(x + 2) > 0，然后根据二次函数图像的特征可以得到x < -2 或 x > 2。

3. 绝对值不等式：对于形如|ax + b| < c的绝对值不等式，我们可以将其转化为两个不等式，分别对应于绝对值内部取正负两种情况。

例如，对于不等式|2x + 3| < 5，我们可以得到-5 < 2x + 3 < 5，然后通过求解这两个不等式来确定可行解集。

4. 分式不等式：对于形如f(x)/g(x) > 0或f(x)/g(x) < 0的分式不等式，我们需要考虑两个条件：分母不为零且分子与分母同号或异号。

数学复习：基本不等式的十大解题技巧

数学复习：基本不等式的十大解题技巧

运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式，运用基本不等式并检验其
等号成立的条件，若等号取不到则，结合函数 y = x + a (a 0) 单调性，并运用其图像与性 x
质求出其函数的最值即可。
【例5】（★★★）函数 y = x2 + 5 的值域为
.
x2 + 4
【答案】
5 2
,
+
【解析】令 x2 + 4 = t(t 2) , 则 y = x2 + 3 = x2 + 4 + 1 = t + 1 (t 2) .
数学复习：基本不等式的十大解题技巧
1. 基本不等式原始形式
(1)若 a,b R ,则 a2 + b2 2ab .
(2)若 a,b R ,则 ab a2 + b2 . 2
2.基本不等式一般形式(均值不等式)
若 a 0,b 0 ,则 a + b 2 ab .
3. 基本不等式的两个重要变形
(1)若 a 0,b 0 则 a + b ab (当且仅当 a = b 时取“ = ”). 2
【答案】 2 3 3
【解析】由 x2 + y2 + xy = 1,得1 = (x + y)2 − xy, (x + y)2 = 1+ xy 1+ (x + y)2 ,解得 4
− 2 3 x + y 2 3 ,又 x 0, y 0 ,所以 0 x + y 2 3 ,因此 x + y 的最大值为 2 3
【例2】（★★）已知 0 x 4 时,则 y = x(8 − 2x) 的最大值为
【答案】8

解答不等式问题的几个技巧

解答不等式问题的几个技巧

解题宝典不等式问题侧重于考查同学们的分析与逻辑推理能力.常见的不等式问题有：（1）比较两个代数式的大小；（2）证明某个不等式成立；（3）由含参不等式恒成立求参数的取值范围.下面结合几道例题，谈一谈解答不等式问题的几个技巧.一、作差运用作差法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相减，并将所得到的差与0进行比较.有时所得的差式较为复杂，此时需采用移项、分解因式、通分、约分、平方等方式，将差式简化，以快速比较出其与零的大小.例1.设a,b为实数，比较a2+b2与ab+a+b-1的大小.解：将a2+b2与ab+a+b-1相减得，a2+b2-(ab+a+b-1)=12(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)=12[](a-b)2+(a-1)2+(b-1)2，因为(a-b)2≥0,(a-1)2≥0,(b-1)2≥0，所以a2+b2-(ab+a+b-1)≥0，所以a2+b2≥ab+a+b-1，当且仅当a=b=1时取等号.将要比较的两式作差，并运用完全平方公式进行配方，即可运用作差法快速比较出两个代数式的大小.在解题时，要注意取等号的情形，确保取等号时的条件成立且满足题意.二、作商运用作商法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相除，并将所得到的商与1进行比较.在作商之前，要对两个代数式的正负进行讨论，只有在两式同号时，才能将其作商，运用作商法来比较二者的大小.若分母有可能为零，则要注意对此特殊情况进行单独讨论.例2.已知a=1816,b=1618,试比较a与b的大小关系.解：∵a=1816>0,b=1618>0，∴a b=18161618=(1816)16×1162=(98)1616=16<1，∴a<b.作商法适合于比较两个单项式的大小.在化简商式时，要选择合适的公式、运算法则，如指数幂运算法则、换底公式等进行运算，以将商式化为便于和1比较的形式.三、放缩放缩法是解答不等式问题的一种重要方法.若已知关系式与目标式之间的差异较大，则需将其中一个式子进行适当的放缩，如扩大分子、缩小分母、去掉部分项、增加常数项等，使其与另一个式子靠拢，从而解答问题.有时需找到一个合适的中间量，以利用不等式的传递性建立已知关系式和目标式之间的联系.例3.若a>b>0,c<d<0，|b|>|c|，证明：b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.证明：因为b+c>0，0<1(a-c)2<1(b-d)2,所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2，因为0<b+c<a+d,1(b-d)2>0,所以b+c(b-d)2<a+d(b-d)2，所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2<a+d(a-c)2，即b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.不等号前后的两个式子之间的差异较大，但是结构一致，于是分别根据已知条件和不等式的性质将不等式左右两边的式子b+c(a-c)2、a+d(b-d)2放缩，使得b+c(a-c)2<b+c(b-d)2、b+c(b-d）2<a+d(b-d)2，再根据不等式的传递性证明结论.四、利用几何法运用几何法解答不等式问题，往往要挖掘代数式的几何意义，如将代数式x2看作抛物线，将ax2+by2看作圆，将ax+by看作同一条直线.画出几何图形，通过分析图形中点、直线、曲线的位置及其关系，找到使不等式成立的点的集合，即可解题.例4.证明：x12+y12+x22+y22≥(x1-x2)2+(y1-y2)2证明：设点A(x1,y1),B(x2,y2),则AO=x12+y12,BO=x22+y22,AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2，因为三角形中两边之和大于第三边，即|AO|+|BO| >|AB|，周元祥38解题宝典所以x 12+y 12+x 22+y 22>(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，当A ,B ,O 三点共线时，x 12+y 12+x 22+y 22=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，所以x 12+y 12+x 22+y 22≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.我们由该根式可联想到两点间的距离公式，于是设出A 、B 两点的坐标，即可将问题转化为证明|AO |+|BO |>|AB |，根据三角形两边之和大于第三边的性质来解题.运用几何法解题，需进行数形互化，结合几何图形来分析问题.五、运用基本不等式若a ,b >0a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式叫做基本不等式.在解答不等式问题时，可以根据不等式的结构特征进行适当的变形，如凑系数、常数代换、添项、去项等，以配凑出两式的和或积，以便能利用基本不等式证明不等式.运用基本不等式时，要确保“一正”“二定”“三相等”的条件成立.例5.已知正实数x ,y 满足2x +5y =20，若不等式10x +1y≥m 2+4m恒成立，求实数m 的取值范围.解:在2x +5y =20的左右同除以20，得x 10+y4=1，则10x +1y =æèçöø÷10x +1y æèçöø÷x 10+y 4=54+5y2x +x 10y ≥94，当且仅当x =203,y =43取等号.则m 2+4m ≤94，解得-92≤m ≤12.由于10x +1y 为分式，所以将已知关系式变形为x 10+1y=1，即可通过常数代换，将10x +1y 化为和式54+5y 2x +x10y .而5y 2x 、x 10y的积为定值，这样便可运用基本不等式求得10x +1y 的最小值，从而求得m 的取值范围.解答不等式问题的方法很多，我们需根据不等式的结构特征进行变形、代换，联系相关的公式、性质、定理等将问题转化为几何问题、最值问题、运算问题等，并选用合适的方法进行求解.（作者单位：安徽省宣城中学）二面角问题的常见命题形式有：（1）求二面角的大小或范围；（2）证明两个平面互相垂直；（3）根据二面角的大小求参数的取值范围.这类问题主要考查同学们的空间想象能力和运算能力.那么，解答这类问题有哪些方法呢？下面结合实例进行归纳总结.一、直接法直接法是指直接从题目的条件出发，通过合理的运算和严密的推理，得出正确的结果.我们知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，关键是求其平面角的大小.在求二面角时，需先仔细审题，明确题目中点、线、面的位置关系，灵活运用三垂线定理、勾股定理、正余弦定理、夹角公式，根据二面角以及平面角的定义，作出并求出平面角，即可运用直接法快速求得问题的答案.例1.如图1，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直且平分SC ，分别交AC ，SC 于点D ，E ，且SA =AB ，SB =BC ，求二面角E -BD -C的大小.解：∵SB =BC ，E 是SC 的中点，∴SC ⊥BE ，∵SC ⊥DE ，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴SC ⊥BD ，∵SA ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，又∵SC ⋂SA =S ，SC ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC ，又∵DC ⊂平面SAC ，DE ⊂平面SAC ，∴DC ⊥BD ，DE ⊥BD ，∴∠DEC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，设SA =2，得AB =2，BC =SB =22，∵AB⊥BC ，∴AC =23，∴∠ACS =30°，又∵DE ⊥SC ，∴∠EDC =60°，林菊芳图139。

如何熟练使用不等式性质和技巧

如何熟练使用不等式性质和技巧

如何熟练使用不等式性质和技巧不等式在数学中扮演着重要的角色，它们用于比较和描述数值大小关系。

熟练运用不等式性质和技巧，不仅可以帮助我们解决各种数学问题，还可以提升我们的逻辑思维和问题解决能力。

本文将介绍一些常用的不等式性质和技巧，帮助读者更好地掌握不等式的应用。

1. 利用等式转化法简化不等式等式转化法是解决不等式问题的一种常用方法，它通过等式的性质将不等式转化为更简单的形式。

例如，对于不等式 \(a^2 - b^2 > 0\) ，我们可以将其化简为 \((a - b)(a + b) > 0\) ，然后通过分析 \(a - b\) 和 \(a + b\) 的正负关系得出最终解。

2. 利用加减法法则加强不等式加减法法则是指对不等式两侧同时加或者减相同的数，不等式的方向保持不变。

例如，对于不等式 \(a > b\) ，如果我们在两侧同时加上一个正数 c ，那么得到的新不等式为 \(a + c > b + c\) 。

这个技巧可以帮助我们通过适当的加减操作，将不等式变成更容易处理的形式。

3. 利用乘法法则改变不等式的方向乘法法则是指对不等式两侧同时乘以相同的正数或者负数，不等式的方向会相应改变。

例如，对于不等式 \(a > b\) ，如果我们在两侧同时乘以一个正数 c ，那么得到的新不等式为 \(ac > bc\) 。

但是需要注意的是，如果乘以一个负数，那么不等式的方向也会发生改变。

4. 利用绝对值性质化简不等式绝对值函数常常出现在不等式中，它的性质可以用来简化不等式。

例如，对于不等式 |x| > a ，根据绝对值的定义可以将其拆分成两个不等式 x > a 和 x < -a ，进一步求解得到解集。

5. 利用平均值不等式求解问题平均值不等式是一种常用的不等式技巧，它可以帮助我们找到不等式中的最大值或者最小值。

例如，对于一组正数 \(a_1, a_2, ..., a_n\) ，它们的算术平均值为 \(\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}\) ，根据平均值不等式，我们可以得到 \(a_1 + a_2 + ... + a_n \geq n \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}\) 。

基本不等式十大解题技巧

基本不等式十大解题技巧

基本不等式十大解题技巧
基本不等式是数学中的一个重要概念，也是高中数学中的重点和难点之一。

以下是基本不等式解题的十大技巧：
1. 均值不等式法：利用算术平均值与几何平均值的关系，将不等式中的变量转化为平均值的形式，然后利用均值不等式进行证明。

2. 柯西不等式法：利用柯西不等式，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。

3. 均值不等式的逆推法：利用均值不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为和的形式，然后利用均值不等式进行证明。

4. 几何平均值不等于算术平均值法：利用几何平均值与算术平均值的关系，将不等式中的变量转化为几何平均值的形式，然后利用不等式进行证明。

5. 利用三角不等式法：利用三角不等式，将不等式中的变量转化为三角形的三边长度，然后利用三角不等式进行证明。

6. 利用柯西不等式的逆推法：利用柯西不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。

7. 利用平均不等式法：利用平均不等式，将不等式中的
变量转化为平均值的形式，然后利用不等式进行证明。

8. 利用柯西不等式法的逆推法：利用柯西不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。

9. 利用均值不等式的逆推法：利用均值不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为和的形式，然后利用均值不等式进行证明。

10. 利用几何平均值不等于算术平均值法的逆推法：利用几何平均值与算术平均值的关系，将不等式中的变量转化为几何平均值的形式，然后利用不等式进行证明。

以上是基本不等式解题的十大技巧，掌握这些技巧可以帮助学生更好地理解和应用基本不等式。

不等式的解题方法与技巧

不等式的解题方法与技巧

不等式的解题方法与技巧
解不等式的方法和技巧有很多种。

下面将介绍一些常见的解不等式的方法和技巧，请注意无重复标题。

1. 移项法：通过移项将不等式转化为形如x < a或x > a的简单不等式。

要注意当移项时改变不等式的方向。

2. 合并同类项法：利用合并同类项的性质，将不等式中的项进行合并，化简为更简单的形式。

3. 乘除法：当不等式中的系数为正数时，可以利用乘除法来消除系数。

需要注意当乘或除以负数时要改变不等式的方向。

4. 绝对值不等式：当不等式中含有绝对值时，可以根据绝对值的性质进行分类讨论，分别解出不等式的解集。

5. 平方根法：当不等式中含有平方根时，可以通过平方根的性质来解不等式。

6. 图像法：可以通过绘制不等式所对应的方程的图像来找出不等式的解集。

7. 区间法：将不等式转化为区间表示的形式，根据不等式的性质来找出满足条件的区间。

除了以上提到的方法外，还有一些高级的解不等式方法，如二次函数法、导数法等，更适用于复杂的不等式问题。

解不等式
时，需要注意不等式的性质和变量的范围限制，合理选择合适的解题方法和技巧。

不等式知识点及其解题技巧

不等式知识点及其解题技巧

不等式知识点及其解题技巧不等式知识点及其解题技巧不等式的性质：1.同向不等式可以相加；异向不等式可以相减。

例如，若a>b,c>d，则a+c>b+d（若a>b,cb-d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2.左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘。

例如，若a>b>0,c>d>0，则ac>bd（若a>b>0,0<c<d，则ab<cd）；3.左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方。

例如，若a>b>0，则a>b或ad>0，则c>d或c<d；4.若a>b>0,c>d>0，则a+c>b+d；若a>b>0,0b-d；5.若ab或ab；6.若ab；若a<b<0，则a<b；7.若c>a>b>d，则c-d>a-b；若a>b,0b。

例如：1.对于实数a,b,c中，给出下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若ac>bc，则a>b；③若ab>c；④若a<b<c，则a<c；⑤若ab；⑥若ab；⑦若c>a>b>d，则c-d>a-b；⑧若a>b,0b。

其中正确的命题是②③⑥⑦⑧。

2.已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，则3x-y的取值范围是1≤3x-y≤7.3.已知a>b>c，且a+b+c=1，则$\frac{c-2a}{2a}$的取值范围是$(-2,-1)$。

不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2.作商（常用于分数指数幂的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。

解不等式的基本方法与技巧

解不等式的基本方法与技巧

解不等式的基本方法与技巧不等式是数学中常见的一种表示形式，它在描述数值大小的关系上起着重要的作用。

解不等式是数学学习的基础，掌握解不等式的基本方法和技巧对于学生来说至关重要。

本文将介绍解不等式的基本思路和常用的解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。

一、基本思路解不等式的基本思路是寻找数轴上使得不等式成立的数值范围。

具体而言，可以通过以下几个步骤来解不等式：1. 确定不等式类型：不等式可以分为三种类型，即大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）四种。

在解题之前，需要先确定不等式的类型。

2. 化简不等式：将不等式进行化简，使得变量单独一边，并将不等式符号保持不变。

例如，对于不等式2x + 3 > 7，可以将其化简为2x > 4。

3. 解方程：将化简后的不等式转化为等式，求解方程。

在解方程时，需要注意保持不等号方向和类型的一致性。

例如，在解不等式2x > 4时，可先将其化简为2x = 4，然后解方程得到x = 2。

4. 绘制数轴：在数轴上标出解的区域。

根据解得到的数值范围，可以确定数轴上的标记点，并用虚线或实线表示解的区间。

5. 检验解：在选择解的区间后，需要将解带入不等式中进行检验，确保所选解满足原始不等式的要求。

通过上述基本思路，可以解决一般的不等式问题。

但是在具体问题中，也会遇到一些特殊情况和复杂的题型，需要运用一些特定的解题技巧。

二、常用解题技巧1. 移项法：当不等式中含有多项式时，可以利用移项原则将变量移到一侧，将常数移到另一侧。

例如，对于不等式3x + 4 > 2x + 6，可以通过移项将其化简为x > 2。

2. 分类讨论法：当不等式中含有绝对值符号时，可以根据绝对值的性质进行分类讨论。

例如，对于不等式|2x - 1| < 3，可以分别讨论2x -1的正值和负值情况，得到-1 < x < 2。

3. 乘除法不等式：当不等式中含有乘法或除法运算时，需要注意分母不为零的情况，并通过正负号的变化来确定解的范围。

数学不等式解题技巧

数学不等式解题技巧

数学不等式解题技巧数学不等式解题技巧1. 基本概念•不等式是数学中一种常见的表达形式，比较了两个数或两个式子的大小关系。

•不等式的解是使不等式成立的数的集合。

•不等式解题的目标是确定使不等式成立的数的范围或具体的数值。

2. 解不等式的基本方法•图像法：可以将不等式转化为图像，通过观察图像来得出解的范围。

•换元法：通过引入新的变量，将复杂的不等式转化为简单的形式，然后再进行解题。

•分析法：通过对不等式进行分析，找出其中的特点和规律，得出解的范围或具体的数值。

•代入法：将待求的解代入不等式，验证是否成立，进而确定是否为解。

3. 常见的不等式类型及解题技巧一次不等式•形如ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式。

•解题思路：根据不等式的符号关系，将未知数x的系数提出，进行分析和计算，得出解的范围。

二次不等式•形如ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0的不等式。

•解题思路：通过求解方程ax^2 + bx + c = 0 的根的位置和二次函数的凹凸性来确定解的范围。

绝对值不等式•形如|ax + b| > c 或 |ax + b| < c的不等式。

•解题思路：根据绝对值的性质，将绝对值不等式拆分为条件式，并分别进行求解得出解的范围。

分式不等式•形如f(x)/g(x) > 0 或 f(x)/g(x) < 0的不等式。

•解题思路：通过不等式左右两边的符号判断，以及分式函数的定义域和零点位置，得出解的范围。

4. 注意事项•在解不等式的过程中，需要注意以下问题：–对不等式两边同时加减或乘除一个正数时，不等号的方向保持不变；–对不等式两边同时加减或乘除一个负数时，不等号的方向发生改变；–在进行平方根运算时，需要注意正负解的区别；–在进行分式运算时，需要考虑分母为0的情况。

5. 总结•解不等式是数学学习中的重要环节，掌握一定的解题技巧能够帮助我们更好地理解数学不等式的概念和性质。

不等式解题技巧-推荐下载

不等式解题技巧-推荐下载

2
（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可
以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
2 （3）熟悉一个重要的不等式链： 1 1
ab
ab a b 2
【技巧讲解】
技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造 条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）
5

4x

5
1 4x

x

3

1 时，
2

3
ymax

1
1。
当
，即 x＝2 时取等号 当 x＝2 时， y x(8 2x) 的最大值为 8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本
不等式求最大值。
3、解：∵ 0 x 3 ∴ 3 2x 0 ∴ y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 2 2x 3 2x 2 9
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

不等式解题技巧【基本知识】1、若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2、(1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）3、0x >若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 4、，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a =b =c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.5、若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a + 【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1、 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

2、当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值。

3、设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

5、已知0>x ,0>y ，且满足1223=+y x ，求y x lg lg +的最大值.6、已知x ，y 为正实数，且1222=+y x ，求21y x +的最大值.7 、若a 、b 、c 0>且324)(-=+++bc c b a a ,求c b a ++2的最小值 .技巧一答案：1、解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

2、解析：由40<<x 知，028>-x ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

3、解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

4、解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-3211131222(1)x x x --≥⋅⋅-312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

5、分析xy y x lg lg lg =+ , xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y +是否定值， 而已知是x 3与y 2的和为定值12，故应先配系数，即将xy 变形为623yx ⋅，再用均值不等式.220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当y x 23=，即2=x ，3=y 时，等号成立. 所以y x lg lg +的最大值是6lg .6、分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22。

同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为 12， x 1＋y 2＝x2·1＋y22＝ 2x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y22分别看成两个因式： x ·12 ＋y22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x1＋y 2＝2 ·x 12 ＋y 22 ≤ 3427、这是一个三元式的最值问题，无法利用2a b ab +≥+b 来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值423-，于是就可以利用均值不等式了.2,,0,2()()2()()22423232,,31.223 2.a b c a b c a b a c a b a c a ab ac bc b c b c a a b c >++=+++≥++=+++=-=-===--++-解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为技巧二： 分离或裂项1、求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

2、求函数1+=1+2x y x x （）（）的值域.1、解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当,即时,421)591y x x ≥+⨯=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

2、解：可将上式转化为所以值域为：-)22-322+3∞⋃∞（，技巧三：换元1、求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

2、求函数522++=x x y 的最大值.3、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。

4、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值.2+1[1-1][1+2(x+1-1)]+11 ==12+1-3(1++21+-3+1x y x x x x x x =++（）（）（）（））1（）（）>-1+1>01+21+y +122-3<-1-+1>11+21+=-+2-1--,+1--122+3x x x x x x x x y x x ≥≤≤≥当时，（）2，此时（）当时，（）0（）（（））22此时（）（）参考答案：1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t =时,4259y t t≥⨯=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

2分析 2x t +=，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.222,0,2,(0)2100;120141222122=.232,24x t t x t t y t t t y t y t t t t t t t x +=≥=-=≥+==>=≤=+⋅==-则当时，当时，当且仅当，即所以时3、解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 22822sin cos x y x x+=+2222228csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++22102(8cot )(2tan )x x ≥+⋅18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18。

技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）1、已知正数x 、y 满足118=+yx ，求2x y +的最小值。

2、已知a ，b 为正实数，302=++a ab b ，求函数aby 1=的最小值.3、设x 、y 、z 为正实数，032=+-z y x ，则xzy 2的最小值是.解析： 1、解法：（消元法） 由811x y+=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=。

当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。

2、法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t≥2t ·16t＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

3、分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32x zy +=，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为技巧五：整体代换(条件不等式) 1：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

2、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。

1．错解．．：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。