基本不等式中的母题及解题技巧

基本不等式的解题方法
基本不等式的解题方法如下：
1. 读懂题目：首先要仔细阅读题目，理解不等式的条件和要求。

2. 将不等式化为标准形式：将不等式进行变形，使得不等号的右边等于零，并且左边只含有一个未知数。

3. 找出未知数的范围：根据题目中给出的条件，确定未知数的范围。

4. 求解不等式：根据不等号的方向，找出未知数满足不等式的取值范围。

5. 检验解的有效性：将解代入原不等式中验证。

需要注意的是，在求解过程中可能会遇到以下几种特殊情况：
- 当不等号为>或<时，解是一个开区间；
- 当不等号为≥或≤时，解是一个闭区间；
- 当不等号两边同时乘以一个负数时，不等号的方向需要取反；
- 当不等号两边同时除以一个负数时，不等号的方向不变。

综上所述，以上是解题基本步骤，但针对不同类型的不等式，解题方法可能会有所不同。

因此，在解题过程中还需要根据具体情况选择合适的解题方法。

求解基本不等式技巧解不等式是我们在数学学习过程中经常会遇到的一种问题，它在代数学、函数学、几何学等各个数学领域中都有广泛的应用。

解不等式的技巧主要涉及到代数计算与性质推导，下面将介绍一些常用的基本不等式解法技巧。

1. 利用性质：不等式解法中可以利用不等式的性质进行转化、合并等操作。

例如，可以利用不等式的加法性质、乘法性质，对不等式的两边做加法、减法、乘法、除法等运算，从而得到一个更简单的不等式。

常用的性质有： - 加法性质：若$a<b$，则$a+c<b+c$- 乘法性质：若$a<b$且$c>0$，则$ac<bc$- 反号性质：若$a<b$，则$-a>-b$- 绝对值性质：$|a-b|\\geq 0$，若$a-b<0$，则$|a-b|=-(a-b)$2. 利用不等式的对称性：不等式的对称性质有以下两种。

- 交换律：若$a<b$，则$b>a$- 传递律：若$a<b$且$b<c$，则$a<c$3. 利用平方意义：对于不等式中的平方项，可以利用平方的非负性，进行分析与转化。

例如，对于一元二次不等式$a(x-h)^2+k\\geq 0$，若$k<0$，则不等式左边的平方项一定大于0，不等式成立；若$k\\geq 0$，则通过对平方项进行求根可以得到$x$的取值范围。

4. 利用倒数意义：对于不等式中的倒数项，可以利用倒数的性质进行分析与转化。

例如，对于不等式$\\frac{1}{x}>k$，其中$k>0$，通过分析倒数项可以得到$x$的取值范围。

5. 利用中值不等式：中值不等式是一类常用的不等式，它可以大大简化解不等式的过程。

常用的中值不等式有： - 算术平均-几何平均不等式(AM-GM不等式)：对于非负实数$a_1,a_2,\\ldots,a_n$，有$\\frac{a_1+a_2+\\ldots+a_n}{n}\\geq\\sqrt[n]{a_1a_2\\ldots a_n}$- 柯西-施瓦茨不等式：对于实数$a_1,a_2,\\ldots,a_n$与$b_1,b_2,\\ldots,b_n$，有$(a_1^2+a_2^2+\\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\\ldo ts+b_n^2)\\geq (a_1b_1+a_2b_2+\\ldots+a_nb_n)^2$ - 三角函数不等式：对于角度为$\\theta$的三角函数$\\sin\\theta,\\cos\\theta,\\tan\\theta$，有$\\sin\\theta\\leq \\theta\\leq \\tan\\theta$，$-\\frac{\\pi}{2}\\leq \\theta\\leq \\frac{\\pi}{2}$6. 利用数轴分割：对于一元不等式，可以通过画数轴、确定不等式两边区间的取值范围，然后进行分析与合并，来得到不等式的解集。

高一基本不等式题型及解题方法一、基本不等式的概念和性质基本不等式是高一数学的重要内容之一，也是数学中的基本概念之一。

在学习基本不等式时，首先要了解不等式的概念和性质。

不等式是数学中的一种等式变种，它是用不等号表示的数学关系式。

不等式具有反身性、传递性和对称性等性质。

在解决不等式问题时，首先要理解其性质，然后根据不等式的性质来解题。

二、基本不等式的类型基本不等式可分为线性不等式、一元二次不等式和高次不等式等类型。

下面来分别介绍这几种不等式及其解题方法。

1.线性不等式线性不等式是最基本的不等式类型，它可以表示为ax+b>0或ax+b<0的形式。

解决线性不等式问题时，可以通过移项、交叉乘除、取绝对值、分情况讨论等方法进行求解。

例如，要解决不等式2x+5>7，则可以通过移项得到2x>2，再除以2得到x>1，这样就得到了不等式的解集{x|x>1}。

2.一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的形式。

解决一元二次不等式问题时，可以通过因式分解、配方法、求导数等方法进行求解。

例如，要解决不等式x^2-4x+3<0，则可以通过因式分解得到(x-1)(x-3)<0，再通过分情况讨论得到不等式的解集1<x<3。

3.高次不等式高次不等式是包括二次以上的多项式不等式，它可以表示为f(x)>0或f(x)<0的形式。

解决高次不等式问题时，可以通过因式分解、分情况讨论、取对数等方法进行求解。

例如，要解决不等式x^3-3x^2+2x>0，则可以通过因式分解得到x(x-1)(x-2)>0，再通过分情况讨论得到不等式的解集{x|x<0或1<x<2}。

三、基本不等式的解题方法解决基本不等式问题时，首先要理解不等式的类型和性质，然后根据不等式的性质来选择合适的解题方法。

不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳．1．基本不等式ab ≤a ＋b2基本不等式的使用条件：① 一正：a ＞0，b ＞0，即：所求最值的各项必须都是正值；② 二定：ab 或a ＋b 为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； ③ 三相等：当且仅当a ＝b 时取等号；即：等号能否取得．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．由公式a 2＋b 2≥2ab 和ab ≤a ＋b2可以引申出的常用结论 (1)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (2)b a ＋ab ≤－2(a ，b 异号)； (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)(或ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ＞0，y ＞0，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P ．(简记：“积定和最小”) (2)如果x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24．(简记：“和定积最大”)此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．解答技巧一：直接应用【变式】1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4【解析】∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．【答案】C2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( ) A ．13B ．12C ．34D ．23【解析】∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0．∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝34．当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．【答案】C3．(2014·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝3x ，若f (a ＋b )＝9，则f (ab )的最大值为__________．【解析】∵3a ＋b ＝9，∴a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，∴f (ab )＝3ab ≤3．【答案】34．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．【解析】依题意得a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20．【答案】20此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小．解答技巧二：拆项解答技巧三：凑项【变式】1．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2【解析】∵x >1，∴x －1>0．∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝⎛⎭⎫3x －1＋2＝23＋2．当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．【答案】A2．当x ＞1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________．【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0．又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立．则a ≤3，所以a 的最大值为3．【答案】33．(2014·潍坊一模)已知a ＞b ＞0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．【解析】a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝(a －b )2＋2a －b ＝(a －b )＋2a －b ≥22．当且仅当a －b ＝2时，取等号．【答案】2 24．已知函数f (x )＝2xx 2＋6．(1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＜－2}，求k 的值； (2)对任意x ＜0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 【解】(1)f (x )＜k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0．由已知{x |x ＜－3，或x ＜－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2． 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25．(2)因为x ＜0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x ≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫66，＋∞．利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．技巧五：换衣(“1”)(或整体代换)【变式】1．本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9．当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 【答案】92．本例的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b 的最小值为________．【解析】由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b ＝1．∴a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ＋a4b ＝1．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．【答案】13．若本例条件变为：已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．【解析】由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83．当且仅当a ＝2b ＝32时，取等号．【答案】834．本例的条件变为：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．【解析】∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋ca ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9．当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． 【答案】95．若本例变为：已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．【解析】设公比为q (q ＞0)，由a 7＝a 6＋2a 5⇒a 5q 2＝a 5q ＋2a 5⇒q 2－q －2＝0(q ＞0)⇒q ＝2．a m ·a n ＝22a 1⇒a 12m－1·a 12n－1＝8a 21⇒2m－1·2n－1＝8⇒m ＋n －2＝3⇒m ＋n ＝5，则1m ＋4n ＝15⎝⎛⎭⎫1m ＋4n (m ＋n )＝15⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥15(5＋24)＝95，当且仅当n ＝2m ＝103时等号成立．【答案】956．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【解析】∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1．∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)． 【答案】57．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8【解析】(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ，∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立，故a ＋1≥3，a ≥4．【答案】B技巧六：构造一元二次不等式在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．思考方式还能以保留“和(a ＋b )”还是“积(ab )”来确定公式的运用方向．【变式】1．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【解析】依题意，得2xy ＝－(x ＋2y )＋8≤⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，∴x ＋2y 的最小值是4．【答案】B2．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A ．23 B ．223C ．33D ．233【解析】对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当2x 3＝13x，即x ＝22时等号成立)． 【答案】B3．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．【解析】x 2＋y 2＋xy ＝1⇔(x ＋y )2－xy ＝1⇔(x ＋y )2－1＝xy ≤(x ＋y 2)2，解得－233≤x ＋y ≤233．【答案】2331．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．【解析】设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x ，y 2＝0.8x ．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x ≥20.8x ·20x＝8，当且仅当0．8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立．【答案】52．(创新题)规定记号“⊙”表示一种运算，即a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊙k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊙xx的最小值为________．【解析】1⊙k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1． f (x )＝k ⊙x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立． 【答案】1；33．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．92C ．8D ．9【解析】∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →， ∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a ×2a b ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立． 【答案】D4．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C ．94D ．3【解析】由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)，则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1． 【答案】B5．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y 恒成立．由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t ．设f (t )＝t ＋1t ，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，376． 【答案】⎝⎛⎦⎤－∞，376 【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用对勾函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性．1．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ．∵a ＜b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab ．又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a ． 【答案】A2．函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值是( )A ．2 3B ．2C ．3D ．5【解析】y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1＝(x 2＋1)2＋(x 2＋1)＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋1≥2＋1＝3，当且仅当(x 2＋1)＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号． 【答案】C3．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 【解析】⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时，等号成立．【答案】94．(2014·贵阳适应性监测)已知向量m ＝(2,1)，n ＝(1－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为__________．【解析】依题意得2a ＝1－b ，即2a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)，因此1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤18，当且仅当2a ＝b ＝12时取等号，因此ab 的最大值是18．【答案】185．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．【解】(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． ∴xy 的最小值为64．(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8yx＝18． 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18．1．(2012·福建)下列不等式一定成立的是 ( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．1x 2＋1＞1(x ∈R )【解析】当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】C2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A ．72B ．4C ．92D ．5【解析】依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92．【答案】C3．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是 ( )A ．43B ．53C ．2D ．54【解析】由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2．【答案】C4．已知a ＞b ＞0，则a 2＋16b (a －b )的最小值是________．【解析】∵a >b >0，∴b (a －b )≤⎝⎛⎭⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b (a －b )取得最小值16．【答案】165．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000， 因为x ∈[400,600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．1．函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值是( )A ．9B ．2 3C ．10D ．2【解析】∵x ＞－1，∴x ＋1＞0．∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)⎝⎛⎭⎫4x ＋1＋5＝9．当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．【答案】A2．(2015·金华十校模拟)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4．【答案】B3．(2015·西安模拟)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2B ．32C ．1D ．12【解析】由a x ＝b y ＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，则1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝lg a ＋lg b lg 3＝lg ab lg 3．又a ＞1，b＞1，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝3，所以lg ab ≤lg 3，从而1x ＋1y ≤lg 3lg 3＝1，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．【答案】C4．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y 的最小值是_____________．【解析】∵1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4xy ≥4＋2y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝12，x ＝14时，等号成立． 【答案】C5．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20． (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．【解】(1)∵x ＞0，y ＞0，由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy ．∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10．∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1．∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1．(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020．1．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【解析】依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，即x ＋2y ≥4．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立． ∴x ＋2y 的最小值是4．【答案】B2．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0B ．1C ．2D ．52【解析】∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0．lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1．当且仅当a ＝b ＝10时取等号．【答案】B3．已知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m ＋1n的最小值为( ) A ．4 2 B ．8 C ．9D ．12【解析】易知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n的最小值为9． 【答案】C4．(2014·成都诊断)函数f (x )＝lgx 2－x，若f (a )＋f (b )＝0，则3a ＋1b 的最小值为_________．【解析】依题意得0＜a ＜2，0＜b ＜2，且lg ⎝⎛⎭⎫a 2－a ·b 2－b ＝0，即ab ＝(2－a )(2－b )，a ＋b 2＝1，3a ＋1b ＝a ＋b 2⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫4＋3b a ＋a b ≥12(4＋23)＝2＋3，当且仅当3b a ＝ab ，即a ＝3－3，b ＝3－1时取等号，因此3a ＋1b的最小值是2＋3． 【答案】2＋ 35．(2014·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋52．而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， 而19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时等号成立， 即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．1．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b ＞2abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2＞2ab【解析】∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0．由基本不等式得b a ＋a b ≥2，当且仅当b a ＝ab ，即a ＝b 时等号成立．【答案】C2． 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1．所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4mn ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．【答案】C3．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．【解析】由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2－1≤(x ＋y )24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时等号成立，所以x ＋y 的最大值为233．【答案】2334．已知x ＞0，y ＞0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4时取等号． 【答案】35．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是__________．【解析】由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·(4a ＋3b )＝7＋(3a b ＋4ba)≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号． 【答案】7＋4 3。

基本不等式的题型和解题技巧基本不等式的题型和解题技巧什么是基本不等式基本不等式是数学中的一个重要概念，用于描述数的大小关系。

通过基本不等式的运用，可以解决各种实际问题和数学题目。

不等式的种类一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，可以用来表示一个变量的取值范围。

解这种不等式时，可以通过加减乘除等运算来推导出结果。

一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程在不等式形式下的表达。

解这种不等式时，可以先通过求解一元二次方程来找到其零点，然后根据零点的位置和曲线的凹凸性判断不等式的解集。

绝对值不等式绝对值不等式是以绝对值符号“| |”表示的不等式。

解这种不等式时，需要根据绝对值的性质将不等式分解成两个不等式，并分别求解。

分式不等式分式不等式是分子和分母中含有变量，并以不等式形式给出的不等式。

解这种不等式时，可以通过通分和分类讨论的方法，求解满足不等式的变量范围。

不等式解题的技巧画数轴对于一元一次不等式和一元二次不等式，可以画出数轴来帮助理解和解题。

将不等式中的变量取值范围标记在数轴上，可以更直观地找到不等式的解集。

利用性质不等式有许多性质，如加法性、乘法性、绝对值性质等，可以利用这些性质简化不等式的求解过程。

例如，对于一元一次不等式，可以通过加或减一个数使其变为一个已知的不等式，从而求解。

分类讨论对于复杂的不等式，可以将其分解成几个简单的不等式，并分别求解。

然后根据每个简单不等式的解集，确定整个不等式的解集。

图像法对于一元二次不等式，可以通过绘制抛物线的图像，根据抛物线的凹凸性和与x轴的交点来判断不等式的解集。

反证法如果无法直接求解不等式，可以尝试使用反证法。

假设不等式的解集存在某种矛盾，然后通过推理得出与已知条件矛盾的结论，从而可以得到正确的解集。

总结不等式是数学中重要的概念之一，掌握解不等式的技巧对于解决实际问题和应付各种数学题目都非常重要。

通过运用画数轴、利用性质、分类讨论、图像法和反证法等技巧，我们可以更轻松地解决各种类型的基本不等式题目。

基本不等式的解题技巧
解基本不等式的关键是要确定不等号的方向，并对变量进行适当的操作以便得到解。

以下是解基本不等式的一些常用技巧：
1. 如果不等式的形式是 "ax + b > 0" 或 "ax + b < 0"，则可以通
过将方程两边同时减去 b，再除以 a 来得到 x 的解。

例如：对于不等式 3x + 4 > 0，可以将其转化为 3x > -4，然后
将两边都除以 3，得到 x > -4/3。

2. 如果不等式的形式是"ax + b ≥ 0" 或"ax + b ≤ 0"，则需要考
虑等号的情况。

当不等号加上一个等号时，解的范围会发生改变。

例如：对于不等式 2x - 5 ≥ 3，可以通过将其转化为2x ≥ 8，然后将两边都除以 2，得到x ≥ 4。

3. 如果不等式中包含绝对值表达式 |ax + b|，则需要分别讨论 x + b ≥ 0 和 x + b < 0 两种情况。

例如：对于不等式 |2x - 3| < 5，可以将其分解为两个不等式 2x - 3 < 5 和 2x - 3 > -5，然后求解这两个不等式得到的解的交集。

4. 如果不等式中有多个变量，则可以尝试通过移项和因式分解的方法来化简不等式。

例如：对于不等式 x^2 + 4x - 12 > 0，可以将其转化为 (x + 6)(x - 2) > 0，然后使用符号代表法来求解。

这些是解基本不等式常用的技巧，具体问题需要根据具体情况进行分析和求解。

基本不等式技巧和题型一、基本不等式的常用结论1、⑴若R b a ∈,，则ab b a 222≥+；⑵若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取=） ⑶若R b a ∈,，则22)(222b a b a +≥+（当且仅当b a =时取=） 2、⑴若+∈R b a ,，则ab b a ≥+2；⑵若+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取=）⑶若+∈R b a ,，则2)2(b a ab +≤（当且仅当b a =时取=） 3、若0>x ，则21≥+x x （当且仅当1=x 时取=），若0<x ，则21-≤+xx （当且仅当1-=x 时取=），若0≠x ，则2|1|≥+xx （当且仅当1||=x 时取=） 4、若0>ab ，则2≥+ba ab （当且仅当b a =时取=） 若0≠ab ，则2||≥+ba ab （当且仅当b a =时取=） 注意：利用基本不等式的条件“一正二定三相等”；两正数乘积一定时，和有最小值；两正数之和一定时，积有最大值.二、解题技巧技巧一：凑项例1 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值. 解：因为054<-x ，所以 首先要“调整”符号，又541)24(-⋅-x x 不是常数，所以对要进行拆、凑项，∵ 054<-x ，∴ 045>-x ，∴ 1323)45145(54124=+-≤+-+--=-+-=x x x x y ，当且仅当x x 4514-5-=，即1=x 时，等号成立，故1=x 时，1max =y .评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为常数.技巧二：凑系数例2 当40<<x 时，求)28(x x y -=的最大值.解析：由40<<x 可知028>-x ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

基本不等式一、基础知识1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+；（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）． 2．（1）若00a ,b >>，则ab b a ≥+2； （2）若00a ,b >>，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）；（3）若00a ,b >>，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）． 3．若0x >，则12x x +≥（当且仅当1x =时取“=”）； 若0x <，则12x x+≤-（当且仅当1x =-时取“=”）； 若0x ≠，则12x x+≥，即12x x +≥或12x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）． 4．若0>ab ，则2≥+ab b a （当且仅当b a =时取“=”）； 若0ab ≠，则2a b b a +≥，即2a b b a +≥或2a b b a+≤-（当且仅当b a =时取“=”）． 5．若R b a ∈,，则22222b a b a +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+（当且仅当b a =时取“=”）． 二、拓展1．一个重要的不等式链：2221122a b a b ab a b ++≤≤≤+． 2．函数()()0,0b f x ax a b x=+>>图象及性质 （1）函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如右图所示： （2）函数()0)(>+=b a x bax x f 、性质： ①值域：()22,ab ab,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣；②单调递增区间：,,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；单调递减区间：0,,,0b b a a ⎛⎤⎡⎫- ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 注： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的 最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．三、基本类型对称性：“1”的代换：四、利用基本不等式求最值常用技巧技巧一：凑项已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值．技巧二：凑系数当04x <<时，求()82y x x =-的最大值．技巧三： 分离求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域．技巧四：换元已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值．技巧五：整体代换已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值．技巧六：取平方已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值．技巧七：构造要求一个目标函数),(y x f 的最值，我们利用基本不等式构造一个以),(y x f 为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得),(y x f 的最值．已知0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为技巧八：添加参数 若已知0,,>c b a ，则bcab c b a 2222+++的最小值为 ．。

基本不等式解题方法总结基本不等式解题方法总结：解决基本不等式问题是数学学习中的一项重要内容。

基本不等式解题方法总结如下：1. 对称性原理：在一般情况下，给定一个不等式，如果将不等号两边颠倒，不等式的方向也要颠倒。

例如，如果不等式是$a>b$，那么不等式$b<a$也是成立的。

2. 加减法原理：对于不等式$a>b$，如果两边同时加或减一个常数$c$，则不等式的方向不发生改变。

也就是说，$a+c>b+c$和$a-c>b-c$也成立。

3. 乘除法原理：对于不等式$a>b$，如果两边同时乘（或除）一个正数$c$，则不等式的方向不发生改变。

但是如果乘（或除）一个负数时，不等式的方向会发生改变。

也就是说，当$c>0$时，$ac>bc$和$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$也成立；当$c<0$时，$ac<bc$和$\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$成立。

4. 累加原理：对于不等式$a>b$，如果两边都累加一个正数$c$，则不等式的方向不改变。

也就是说，如果$a_1+b_1>a_2+b_2$，则$a_1+bc_1>a_2+bc_2$也成立。

5. 平方根原理：如果一个数的平方大于另一个数的平方，那么这两个数的大小关系与原来的大小关系一致。

也就是说，如果$a^2>b^2$，则$a>b$或$a<-b$。

基本不等式解题方法的总结希望对您在解决这类问题时有所帮助。

在解题中，应根据具体的不等式特点进行灵活应用，推导出准确的结果。

同时，通过多做习题巩固所学方法，加强对基本不等式解题的掌握。

高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模、解决实际问题的基础。

学好基本不等式需要掌握一定的方法和技巧，下面我们来详细介绍高一基本不等式的题型及解题方法。

一、绝对值不等式1. |x|<a或|x|>a当绝对值小于a时，解集是(-a,a)的补集，即x<-a或x>a；当绝对值大于a时，解集是(-∞,-a)并(-a,a)的并集，以及(a,+∞)的并集。

一般来说，解绝对值不等式的步骤是：（1）首先分情况讨论|x|的取值范围，即|x|<a或|x|>a。

（2）接着用|x|号内的式子可以得到两个不等式，分别求解。

（3）最后将所得的解合并，得到最终的解集。

例如：求不等式|3x-2|<4的解集。

由不等式|3x-2|<4可以得到两个不等式：3x-2<4和3x-2>-4解得x<2和x>-2，最终合并得到解集为-2<x<2。

2. |ax+b|<c类似于上面的绝对值不等式，也是需分情况讨论|x|的判断条件，然后解方程。

例如：求不等式|3x+2|<10的解集。

同样首先得到两个不等式：3x+2<10和3x+2>-10解得x<8/3和x>-12/3，最终合并得到解集为-4<x<8/3。

3. |ax+b|>c同样可以按照上面的方法求解，即分情况讨论判断条件，然后解方程。

例如：求不等式|3x+2|>10的解集。

首先得到两个不等式：3x+2>10或3x+2<-10解得x>8/3或x<-12/3，最终合并得到解集为x<-4或x>8/3。

绝对值不等式是基本不等式的重要内容，解题时需要根据不等式的形式来分情况讨论，并运用代数知识进行解答，所以掌握绝对值不等式的方法是非常重要的。

二、一元二次不等式一元二次不等式是高中不等式中的重要内容，经常在不同的数学题型中出现，解题时可以分为以下几种情况：1. ax^2+bx+c>0，ax^2+bx+c<0对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，首先要求出二次函数对应的二次方程的零点，然后根据二次函数的开口方向判断解集。

高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中非常重要的一个概念，通过学习基本不等式可以帮助学生建立正确的数学思维和解题方法。

下面我们将介绍高一基本不等式的题型及解题方法，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。

一、基本不等式的定义基本不等式是指在数学中常见的一种不等式形式，通常是指关于未知数的一种关系式，其特点是不等式的左边和右边可以通过一定的运算关系来进行比较。

在高中数学中，我们通常会遇到一元一次不等式、一元二次不等式以及多项式不等式等基本不等式的形式。

二、一元一次不等式题型及解题方法1.解一元一次不等式的基本步骤：（1）将不等式化为一元一次不等式；（2）合并同类项，消去括号；（3）进行移项操作；（4）化简不等式，解得不等式的解集。

2.举例说明一元一次不等式的解题方法：解不等式：2x+3 < 5x-2解：（1）将不等式化为一元一次不等式：2x - 5x + 3 + 2 < 0 （2）合并同类项，消去括号：-3x + 5 < 0（3）进行移项操作：-3x < -5 + 3（4）化简不等式，解得不等式的解集：x > 2/3三、一元二次不等式题型及解题方法1.解一元二次不等式的基本步骤：（1）将不等式化为一元二次不等式；（2）将不等式化为标准形式；（3）确定不等式的开口方向和位置；（4）求出不等式的解集。

解不等式：x^2 - 4x + 3 > 0解：（1）将不等式化为一元二次不等式：x^2 - 4x + 3 > 0（2）将不等式化为标准形式：(x-1)(x-3) > 0（3）确定不等式的开口方向和位置：不等式开口向上，开口在1和3的位置；（4）求出不等式的解集：x<1或x>3四、多项式不等式题型及解题方法1.解多项式不等式的基本步骤：（1）将多项式不等式化为标准形式；（2）确定多项式的零点和不等式的区间；（3）确定区间内的符号变化；（4）求出不等式的解集。

基本不等式十大解题技巧
基本不等式是数学中的一个重要概念，也是高中数学中的重点和难点之一。

以下是基本不等式解题的十大技巧：
1. 均值不等式法：利用算术平均值与几何平均值的关系，将不等式中的变量转化为平均值的形式，然后利用均值不等式进行证明。

2. 柯西不等式法：利用柯西不等式，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。

3. 均值不等式的逆推法：利用均值不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为和的形式，然后利用均值不等式进行证明。

4. 几何平均值不等于算术平均值法：利用几何平均值与算术平均值的关系，将不等式中的变量转化为几何平均值的形式，然后利用不等式进行证明。

5. 利用三角不等式法：利用三角不等式，将不等式中的变量转化为三角形的三边长度，然后利用三角不等式进行证明。

6. 利用柯西不等式的逆推法：利用柯西不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。

7. 利用平均不等式法：利用平均不等式，将不等式中的
变量转化为平均值的形式，然后利用不等式进行证明。

8. 利用柯西不等式法的逆推法：利用柯西不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。

9. 利用均值不等式的逆推法：利用均值不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为和的形式，然后利用均值不等式进行证明。

10. 利用几何平均值不等于算术平均值法的逆推法：利用几何平均值与算术平均值的关系，将不等式中的变量转化为几何平均值的形式，然后利用不等式进行证明。

以上是基本不等式解题的十大技巧，掌握这些技巧可以帮助学生更好地理解和应用基本不等式。

【基本不等式解题技巧】基本不等式中的母题及其解答技巧基本不等式中的母题及其解答技巧不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳．1．基本不等式ab≤a＋b2基本不等式的使用条件：①一正：a＞0，b＞0，即：所求最值的各项必须都是正值；②二定：ab或a＋b为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数；③三相等：当且仅当a＝b时取等号；即：等号能否取得．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．由公式a2＋b2≥2abab≤ba(1)≥2(a，b同号)；abba(2)≤－2(a，b异号)；aba＋b(3)ab≤112ab2a＋ba＋b2a2＋b2?a＞0，b＞0)(或ab≤2?2≤2a＞0，b＞0)．23．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x＞0，y＞0，且xy＝P(定值)．那么当x＝y时，x＋y有最小值2P．(简记：“积定和最小”)S2(2)如果x＞0，y＞0，且x＋y＝S(定值)．那么当x＝y时，xy有最大值．(简记：“和定积最大”)4此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．解答技巧一：直接应用【变式】11．已知f(x)＝x2(x＜0)，则f(x)有()xa．最大值为0c．最大值为－4B．最小值为0d．最小值为－41?1??－x?【解析】∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝即x＝－1时取等?－x???－x号．【答案】c2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()133c．41B．22d．3x＋1－x231＝．当x＝1－x，即x＝时取2?24【解析】∵0＜x＜1，∴1－x＞0．∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3?等号．【答案】c3．(20XX·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝3x，若f(a ＋b)＝9，则f(ab)的最大值为__________．【解析】∵3ab＝9，∴a＋b＝2≥2，得ab≤1，∴f(ab)＝3ab≤3．＋【答案】34．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．【解析】依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2|a|·|2b|＝2|ab|＝100＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20．【答案】20此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小．解答技巧二：拆项解答技巧三：凑项【变式】x2＋21．函数y(x＞1)的最小值是()x－1a．23＋2c．23B．23－2d．2x2＋2x2－2x＋2x＋2x2－2x＋1＋2?x－1?＋3?x－1?2＋2?x－1?＋3 【解析】∵x>1，∴x－1>0．∴y＝＝x－1x－1x－1x－13＝x－1＋2≥x－1【答案】a12．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．x－111【解析】∵x＞1，∴x－1＞0．又x＋＝x－1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．则x－1x－1a≤3，所以a的最大值为3．【答案】3a2＋b23．(20XX·潍坊一模)已知a＞b＞0，ab＝1，则________．a－ba2＋b2?a－b?2＋2ab?a－b?2＋22【解析】＝＝(a－b)≥2．当且仅当a－b＝2时，取等号．a－ba－ba－ba－b【答案】222x4．已知函数f(x)＝．x＋6(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＜－2}，求k的值；(2)对任意x＜0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．【解】(1)f(x)＜k?kx2－2x＋6k＜0．33?x－1??x－1＋2＝3＋2．当且仅当x－1＝x＝1＋3时，取等号．??x－1由已知{x|x＜－3，或x＜－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2．22由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－．k52x226(2)因为x＜0，f(x)＝＝＝，当且仅当x6时取等号．6266x＋6x＋x由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．技巧五：换衣(“1”)(或整体代换)【变式】111＋??1的最小值为________．1．本例的条件不变，则??a??b11baa＋b??a＋b??b?a?1＋??1＝?12＋·2＋＝5＋2?≥5＋4＝9．当且仅当a＝b【解析】?＝1b??a??b??aba??b??a?1＝2【答案】9112．本例的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0＝4，则a＋b的最小值为________．ab11?11111ba1(a＋b)＋≥2【解析】由＝4，得＋＝1．∴a＋b ＝??4a4b?ab4a4b24a4b21仅当a＝b＝时取等号．2【答案】1＋1．当且4a4b6，即t的取值范围是?，＋∞?．6?6?213．若本例条件变为：已知a>0，b>0，a＋2b＝3＋的最小值为________．ab122112??214a4b4＋b＋＝＋≥＋2【解析】由a＋2b＝3得a＋＝1，∴＝?33ab?33??ab33b3a33仅当a＝2b＝时，取等号．28【答案】31114．本例的条件变为：已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝()1，则＋________．abc111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋cbc【解析】∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝3＋＋abcabcaaba?ca?cbacab1＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9．当且仅当a＝b＝c＝＋＝3＋??ab?ac?bcbbcc3【答案】95．若本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，mn＝1422a1，则＋________．mn【解析】设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5?a5q2＝a5q＋2a5?q2－q －2＝0(q＞0)?q＝2am·an＝22a1?a12m－18＝．当且3b3a3·a12n－1m＝8a21?2－1·2n－1141141(m＋n)＝＝8?m＋n－2＝3?m＋n＝5，则＋＝?mn5?mn5?5＋?n4m?≥1(5＋4)9，当且仅当n＝2m＝10时等号成立．??mn?5539【答案】56．(20XX·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()24a．5c．528B．5d．61131?13?1?3x4＋912y＝＝1．【解析】∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得?∴3x＋4yx＋4y)x?yx?5?y5?yx5131?3x12y131＋x≥55255?y【答案】51a?7．已知不等式(x＋y)??xy?≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是()a．2c．6B．4d．8＝5(当且仅当x＝2y时取等号)．yx1a?yax＝1＋a＋＋≥1＋a＋a，【解析】(x＋y)?∴当1＋a＋a≥9时不等式恒成立，故a＋1≥3，?xy?xya≥4．【答案】B下页基本不等式中的母题及其解答技巧技巧六：构造一元二次不等式在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b2a＋ba＋b?2≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤?22?2?(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．思考方式还能以保留“和(a＋b)”还是“积(ab)”来确定公式的运用方向．【变式】1．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()a．39 c．2B．411d．2?x＝2y，?x＝2，??x＋2y2，当且仅当?即?时等号成?2??x＋2y＋2xy＝8，y＝1??【解析】依题意，得2xy＝－(x＋2y)＋8≤?立．∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)，∴x＋2y的最小值是4．【答案】B2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是()a．c．23332B．33d．3222x1，即x9333x112x1【解析】对于x2＋3xy－1＝0可得y＝(x)，∴x＋y＝＋≥3x33x＝2时等号成立)．2【答案】B3．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．x＋y2－2323【解析】x2＋y2＋xy＝1?(x＋y)2－xy＝1?(x＋y)2－1＝xy≤()，x＋y．23323【答案】31．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．2020【解析】设x为仓库与车站距离，由已知y1，y2＝0.8x．费用之和y ＝y1＋y2＝0.8x＋xx20＝8，当且仅当0．8x＝，即x＝5时“＝”成立．x【答案】52．?创新题?规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙bab＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊙k＝3，则kk⊙x的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．x【解析】1⊙k＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1．f(x)＝k⊙xx＋x＋111＝1x＋1＋2＝3，当且仅当x＝x＝1时等号成立．xxxx200.8xx【答案】1；3→→→3．设oa＝(1，－2)，oB＝(a，－1)，oc＝(－b，0)(a＞0，b＞0，o为坐标原点)，若a，B，c三点21的最小值是()aba．4c．89B．2d．9→→→→→→→→【解析】∵aB＝oB－oa＝(a－1,1)，ac＝oc－oa＝(－b－1,2)．若a，B，c三点共线，则有aB∥ac，2121?2b2a·∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴?(2a ＋b)＝5＋＋5＋ab?ab?ab2b2a??a＝b，1＝9，当且仅当?即a＝b时等号成立．ab3??2a＋b＝1，【答案】dxy2124．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当＋的最大值为()zxyza．09c．4B．1d．32xyxy1【解析】由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)，则＝1，当且仅当x＝2y时取等号，zx－3xy＋4yx4y＋3yx1?2212111把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝－??y1?＋1≤1．xyzyyy 【答案】B5．已知x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．1【解析】要使(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则有(x＋y)2＋1≥a(x ＋y)，即a≤(x＋y)．x＋y由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤?x＋y2，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．?21111设t＝x＋y，则t≥6，(x＋y)t＋设f(t)＝t＋则在t≥6时，f(t)单调递增，所以f(t)＝t＋tttx＋y3713737－∞，?．小值为6＋，所以a，即实数a的取值范围是?6??66637－∞，【答案】?6?m【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用对勾函数y＝x＋(m>0)的单调性．x1．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(aB．vaba＋bd．v＝22sab2ab2ab＝＝＜＝ab．又v－ass?a＋b?sa＋babab2sa＋bc．ab＜v＜2【解析】设甲、乙两地之间的距离为s．∵a＜b，∴vab－a2a2－a22ab ＝－a＝＞0，∴v＞a．a＋ba＋ba＋b【答案】ax4＋3x2＋32．函数y＝的最小值是()x＋1a．23c．3B．2d．5x4＋3x2＋3(x2＋1)2＋(x2＋1)＋11【解析】y＝＝＝(x2＋1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当(x2＋1)＝x＋1x ＋1x＋11x＝0时，取等号．x＋1【答案】c1?12?x2＋·＋4y的最小值为________．3．(20XX·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则?y?x??111。

基本不等式技巧窍门一、基本不等式的概念和基本类型1.算术平均数和几何平均数的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：(a+b)/2 >= sqrt(ab)2.算术平均数和谐均值的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：(a+b)/2 >= 2ab/(a+b)3.几何平均数和谐均值的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：sqrt(ab) >= 2ab/(a+b)根据这些基本不等式，可以进一步推导一系列其他类型的不等式。

二、基本不等式的应用实例1.求函数的极值：当函数的取值范围为非负数时，可以通过基本不等式推导出函数的最大值或最小值。

2.解决几何问题：例如，求解三角形的最大面积或最短边长等问题时，可以利用基本不等式来推导和证明相关的不等式。

3.证明数学定理：基本不等式可以作为证明数学定理的重要工具，例如，证明柯西-施瓦茨不等式和霍尔德不等式等。

三、基本不等式的技巧和窍门1.设想数学模型：在使用基本不等式时，可以通过设想合适的数学模型来降低问题的复杂性，从而更容易利用基本不等式进行推导和证明。

2.利用对称性和等价变形：基本不等式通常具有对称性和等价变形的特点，可以根据这些特点对给定的问题进行适当的变形，从而使得不等式的应用更为简单和直观。

3.运用递归和数学归纳法：对于一些复杂的不等式问题，可以通过递归和数学归纳法的思想，将复杂问题分解为简单的基本情况，然后利用基本不等式进行递推和证明。

4.运用等比数列的性质：在一些涉及等比数列的不等式问题中，可以通过运用基本不等式的几何平均数和谐均值不等式来简化问题，从而得到更简洁的推导和证明过程。

总结起来，基本不等式是一种重要的数学工具，能够帮助解决各种求极值的问题。

在应用基本不等式时，需要灵活运用各种技巧和窍门，根据具体的问题和数学模型进行变形和推导。

通过学习和掌握基本不等式的应用，可以提高解决数学问题的能力和思维能力。