中考数学秘籍-几何巧画辅助线的技巧,建议收藏

中考数学秘籍| 几何巧画辅助线的技巧，建议收藏基本图形的辅助线的画法1三角形问题添加辅助线方法（1）有关三角形中线的题目，常将中线加倍。

含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

（2）含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

（3）结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

（4）结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线；（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

3梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。

它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。

辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰；（2）梯形外平移一腰；（3）梯形内平移两腰；（4）延长两腰；（5）过梯形上底的两端点向下底作高；（6）平移对角线；（7）连接梯形一顶点及一腰的中点；（8）过一腰的中点作另一腰的平行线；（9）作中位线。

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。

通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

4圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

（1）见弦作弦心距。

有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。

（2）见直径作圆周角。

在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。

（3）见切线作半径。

命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线。

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

（5）两圆相交作公共弦。

对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =-+的图象大致是( )A. B. C. D.2．小明参加射击比赛，10次射击的成绩如表： 环数 6 7 8 9 10 次数31213若小明再射击2次，分别命中7环、9环，与前10次相比，小明12次射击的成绩( ) A ．平均数变大，方差不变 B ．平均数不变，方差不变 C ．平均数不变，方差变大D ．平均数不变，方差变小3．2019年3月5日，第十三届全国人民代表大会第二次会议的《政府工作报告》中指出，我国经济运行保持在合理区间．城镇新增就业13610000、调查失业率稳定在5%左右的较低水平，数字13610000科学记数法表示为（ ） A ．1.361×104B ．1.361×105C ．1.361×106D ．1.361×1074．甲、乙两人参加射击比赛，每人射击五次，命中的环数如下表： 次序第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中的环数(环) 6 7 8 6 8 乙命中的环数(环)510767根据以上数据，下列说法正确的是( ) A.甲的平均成绩大于乙 B.甲、乙成绩的中位数不同 C.甲、乙成绩的众数相同D.甲的成绩更稳定5．请你估计一下，22222222222(21)(31)(41)(991)(1001)123499100-----∙∙±∙∙ 的值应该最接近于（ ） A.1B.12C.1100D.12006．如图，正方形ABCD 内接于圆O ，4AB =，则图中阴影部分的面积是（ ）.A ．416π-B ．3216π-C ．1632π-D ．816π-7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.8．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是( )A ．12B ．13 C ．14 D ．16 9．若（2，k ）是双曲线y ＝2x上的一点，则函数y ＝（k ﹣2）x 的图象经过（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限10．关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1x =，则a =( )A.1B.3C.-1D.-311．如图，已知AB=A 1B ，A 1C=A 1A 2，A 2D=A 2A 3，A 3E=A 3A 4，若∠B=20°，则∠A=_____,4A ∠=______.（ ）A ．80°,40°B ．80°,30°C ．80°,20°D ．80°,10°12．在实数范围内把二次三项式x 2+x ﹣1分解因式正确的是（ ） A ．（x ﹣152-）（x ﹣152+） B ．（x ﹣152-）（x+152+） C ．（x+152-）（x ﹣152+） D ．（x+152-）（x+152+） 二、填空题13．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m ，将0.00000004用科学记数法表示为_____．14．已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．15．计算＝ ．16．如图．在△ABC 中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长是_____．17．如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，点E 是BC 的中点，连结DE ,且6AB =，10AC =，则DE =____ .18．若关于x 的方程226111k x x x -=+--有增根，则k 的值为_____． 三、解答题19．2019年4月23日是“第二十四个世界读书日”，我市某中学发起了“读好书”活动．为了解九年级学生阅读“艺术类、科普类、文学类、军事类“这四类书籍的情况，数学老师随机抽查了该年级学生课外阅读的数量，绘制了下面不完整的条形图和扇形图．（1）求本次抽查中阅读科普类书籍的人数，并补充完整条形图；（2）小明要从这四类书籍中任选两类来阅读，请你用列表法或树状图求小明刚好选择科普类和军事类书籍的概率．20．已知直线l ：y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）与函数y=2x的图象交于点A （-1，m ） （1）求m ；（2）当k=______时，则直线l 经过第一、三、四象限（任写一个符合题意的值即可）； （3）求（2）中的直线l 的解析式和它与两坐标轴围成的三角形面积． 21．如图，四边形ABCD 是矩形（1）尺规作图：在图8中，求作AB 的中点E （保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CE ，DE,若2,3AB AD ==, 求证：CE 平分∠BED22．如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+2x+3的图象与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，连接AC ，BC ．该函数在第一象限内的图象上是否存在一点D ，使得CB 平分∠ACD ？若存在，求点D 的坐标，若不存在，说明理由．23．某体育健身中心为市民推出两种健身活动付费方式，第一种方式：办会员证，每张会员证300元，只限本人当年使用，凭证进入健身中心每次再付费20元；第二种方式：不办会员证，每次进入健身中心付费25元设小芳计划今年进入健身中心活动的次数为x （x 为正整数）．第一种方式的总费用为y 1元，第二种方式的总费用为y 2元（1）直接写出两种方式的总费用y 1、y 2分别与x 的函数关系式；若小芳计划今年进入健身中心活动的总费用为1700元，选择哪种付费方式，她进入健身中心活动的次数比较多． （2）当x ＞50时，小芳选择哪种付费方式更合算？并说明理由24．我国为了实现到2020年达到全面小康社会的目标，近几年加大了扶贫工作的力度，合肥市某知名企业为了帮助某小型企业脱贫，投产一种书包，每个书包制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y(万个)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看作一次函数y ＝kx+b ，据统计当售价定为30元/个时，每月销售40万个，当售价定为35元/个时，每月销售30万个． (1)请求出k 、b 的值．(2)写出每月的利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数解析式．(3)该小型企业在经营中，每月销售单价始终保持在25≤x≤36元之间，求该小型企业每月获得利润w(万元)的范围．25．小张前往某精密仪器厂应聘，公司承诺工资待遇如下.工资待遇：每月工资至少3000元，每天工作8小时，每月工作25天，加工1件A 型零件计酬16元，加工1件B 型零件计酬12元，月工资=底薪（800元）+计件工资 .进厂后小张发现：加工1件A 型零件和3件B 型零件需要5小时；加工2件A 型零件和5件B 型零件需9小时.（1）小张加工1件A 型零件和1件B 型零件各需要多少小时？（2）若公司规定：小张每月必须加工A B、两种型号的零件，且加工B型的数量不大于A型零件数量的2倍，设小张每月加工A零件a件，工资总额为W元，请你运用所学知识判断该公司颁布执行此规定后是否违背了工资待遇承诺？【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D D D D B D C D B D D D二、填空题13．4×10﹣814．415．16．3 217．218．3三、解答题19．（1）阅读科普类书籍的人数为18人，补全图形见解析；（2）小明刚好选择科普类和军事类书籍的概率为16．【解析】【分析】（1）根据阅读文学类的人数除以占的百分比得到调查的总学生数，进而求出阅读科普类的人数，补全条形统计图即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出小明刚好选择科普类和军事类书籍的情况，即可求出所求的概率．【详解】（1）由题意可得：12÷25%＝48（人），故阅读科普类书籍的人数为：48﹣10﹣12﹣8＝18（人），补全图形得：；（2）列表或画出树状图得：艺术科普文学军事艺术（科，艺）（文，艺）（军，艺）科普（艺，科）（文，科）（军，科）文学（艺，文）（科，文）（军，文）军事（艺，军）（科，军）（文，军）由表格数据可得：一共有12种情况，小明刚好选择科普类和军事类书籍的有2种，故小明刚好选择科普类和军事类书籍的概率为：21 126．【点睛】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（1）m=-2；（2）1；（3）y=x-1，12.【解析】【分析】（1）把A（-1，m）代入y=2x中，便可求得m的值；（2）先把A点的坐标代入y=kx+b中，用k的代数式表示b，再根据直线直线l经过第一、三、四象限，必须满足k＞0，b＜0，列出k的不等式组，求得k的取值范围，便可在此取值范围中任写一个k值；（3）求出直线l与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式便可求得结果．【详解】解：（1）把A（-1，m）代入y=2x中，得m=-2；（2）由（1）知，m=-2，∴A（-1，-2），把A（-1，-2）代入y=kx+b中，得-2=-k+b，∴b=k-2，∵直线l经过第一、三、四象限，∴0 kb⎧⎨⎩＞＜，∴20 kk>⎧⎨-<⎩，解得，0＜k＜2，∴k可以取1，故答案为：1；（3）由（2）知，k=1，b=k-2=-1，∴直线l的解析式为：y=x-1，∴直线l与坐标轴的交点坐标为B（0，-1），A（1，0），如图所示，∴OA=1，OB=1，∴111122 OABS∆=⨯⨯=．【点睛】本题是一次函数与反比例函数图象的交点问题，考查了待定系数法，一次函数的图象与性质，关键是熟记性质，数形结合．21．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线即可得到AB的中点E，E点即为所求;(2)先利用勾股定理求出DE=2，再利用平行线的性质可得出结果.【详解】如图，四边形ABCD是矩形了（1）正确作出AB的垂直平分线下结论：点E为所求（2）∵E是AB的中点∴AE=11 2AB=∵四边形ABCD是矩形∴∠A=90°AB=CD=2∴222DE AD AE=+=∴DE=DC∴∠DEC=∠DCE∵AB∥CD∴∠CEB=∠DCE∴∠CEB=∠DEC∴CE平分∠BED【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．22．存在，532,39D⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】【分析】过点C作CE⊥y轴，交抛物线于点E，过点D作DH⊥CE于H，证明∠1＝∠2，由tan∠2＝tan∠1得DH CH的值，进而设D（m，﹣m2+2m+3），列出m的方程求得m便可．【详解】存在．理由如下：如图，过点C作CE⊥y轴，交抛物线于点E，过点D作DH⊥CE于H，当x＝0时，y＝3，则C（0，3），当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，∴x＝﹣1或3，则A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝∠ECB＝45°，∵∠ACB＝∠DCB，∴∠1＝∠2，所以tan∠2＝tan∠1＝13，即13 DH CH=设D（m，﹣m2+2m+3），则2213m mm-+=，解得m1＝0（舍去），m2＝53，所以D（532,39）．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，解直角三角形，求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，等腰直角三角形，角平分线的性质，有一定的难度，构造直角三角形是本题的突破口，关键是由∠1与∠2的函数关系式建立m的方程．23．（1）y1＝20x+300，y2＝25x；选择第一种付费方式，她进入健身中心活动的次数比较多；（2）当50＜x＜60时，选择第二种付费方式更合算；当x＞60，选择第一种付费方式更合算．【解析】【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；再把y＝1700分别代入函数关系式即可求解；（2）根据（1）中的函数关系式列不等式即可得到结论．【详解】解：（1）根据题意得y1＝20x+300，y2＝25x；第一种方式：20x+300＝1700，解得x＝70，即她进入健身中心活动的次数为70次；第二种方式：25x＝1700，解得x＝68，即她进入健身中心活动的次数为68次；所以选择第一种付费方式，她进入健身中心活动的次数比较多；（2）当y1＞y2，即20x+300＞25x时，解得x＜60，此时选择第二种付费方式更合算；当y1＝y2，即20x+300＝25x时，解得x＝60，此时选择两种付费方式一样；当y1＜y2，即20x+300＜25x时，解得x＞60，此时选择第一种付费方式更合算．所以当50＜x＜60时，选择第二种付费方式更合算；当x＞60，选择第一种付费方式更合算．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．24．(1)k的值为﹣2，b的值为100；(2)w＝﹣2x2+136x﹣1800；(3)该小型企业每月获得利润w(万元)的范围是350≤w≤512．【解析】【分析】（1）待定系数法求出k和b的值即可；（2）利用（售价-成本）乘以销售量等于利润可列式求解；（3）根据二次函数的顶点值，及顶点左右两侧增减变化的性质来求解即可． 【详解】解：(1)由题意得：30403530k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得2100k b =-⎧⎨=⎩．答：k 的值为﹣2，b 的值为100；(2)由题意得w ＝(x ﹣18)(﹣2x+100)＝﹣2x 2+136x ﹣1800， 答：函数解析式为：w ＝﹣2x 2+136x ﹣1800； (3)∵w ＝﹣2x 2+136x ﹣1800＝﹣2(x ﹣34)2+512， ∴当x ＝34时，w 取最大值，最大值为512； 当x ＜34时，w 随着x 的增大而增大； 当x ＞34时，w 随着x 的增大而减小． ∵当x ＝25时，w ＝﹣2×252+136×25﹣1800＝350； 当x ＝36时，w ＝﹣2×362+136×36﹣1800＝504． 综上，w 的范围为350≤w≤512．答：该小型企业每月获得利润w(万元)的范围是350≤w≤512． 【点睛】本题属于二次函数的应用题，解题时需要明确利润与成本及销量的关系，求符合要求的值时需要结合二次函数对称轴左右两侧函数值的变化性质综合考虑求解．25．（1）小张加工1件A 型零件需要2小时，加工1件B 型零件需要1小时（2）该公司执行后违背了在工资待遇方面的承诺 【解析】 【分析】（1）设小张加工1件A 型零件需要x 小时，加工1件B 型零件需要y 小时，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）表示出小张每月加工的零件件数，进而列出W 与a 的函数，利用一次函数性质确定出最大值，即可作出判断． 【详解】（1）设小张加工1件A 型零件需要x 小时，加工1件B 型零件需要y 小时；根据题意得：35259x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩，则小张加工1件A 型零件需要2小时，加工1件B 型零件需要1小时；（2）由（1）可得小张每月加工A 型零件a 件时，还可以加工B 型零件（8×25-2a ）件，根据题意得：W=16a+12×（8×25-2a）+800=-8a+3200，∵-8＜0，∴W随a的增大而减小，由题意：8×25-2a≤2a，∴a≥50，当a=50时，W最大值为2800，∵2800＜3000，∴该公司执行后违背了在工资待遇方面的承诺．【点睛】此题考查了一次函数的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题中的数量关系是解本题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若函数22y x x b =-+的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( )A.1b <且0b ≠B.1b >C.01b <<D.1b <2．如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 边上一点，若AE ：AD ＝1：3，则S △AEF ：S △CDF ＝( )A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：93．利用计算器求值时，小明将按键顺序为的显示结果为a ，的显示结果为b ，则a 与b 的乘积为（ ）A.﹣16B.16C.﹣9D.94．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，在以下四个结论中，正确的是（ ）A.abc ＞0B.4a+2b+c ＜0C.a ﹣b+c ＞0D.a+b ＞05．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )A. B. C. D.6．如图，将正五边形ABCDE 沿逆时针方向绕其顶点A 旋转，若使点B 落在AE 边所在的直线上，则旋转的角度可以是（ ）A ．72°B ．54°C ．45°D ．36°7．为落实“垃圾分类”，换位部门将某住宅小区的垃圾箱设置为,,A B C 三类。