初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型地构造(倍长中线法;构造中位线法)

八年级数学下册《构造中位线》5种常用方法一：连接两点构造三角形的中位线1．如图，点B为A C上一点，分别以A B，B C为边在A C同侧作等边三角形A B D和等边三角形B C E，点P，M，N分别为A C，A D，C E的中点．(1)求证：P M＝P N；解：证明：如图，连接C D，A E.由三角形中位线定理可得P M綊1/2C D，P N綊1/2A E.∵△A B D和△B C E是等边三角形，∴A B＝D B，B E＝B C，∠A B D＝∠C B E＝60°，∴∠A B E＝∠D B C.∴△A B E≌△D B C，∴A E＝D C.∴P M＝P N.(2)求∠M P N的度数．解：如图，设P M交A E于F，P N交C D于G，A E交C D于H.由(1)知△A B E≌△D B C，∴∠B A E＝∠B D C.∴∠A H D＝∠A B D＝60°，∴∠F H G＝120°.易证四边形P F H G为平行四边形，∴∠M P N＝120°.二：利用角平分线＋垂直构造中位线2．如图在△A B C中，点M为B C的中点，A D为△A B C的外角平分线，且A D⊥B D，若A B＝12，A C＝18，求D M的长．解：如图，延长B D，C A交于N.在△A N D和△A B D中，∠A D N＝∠A D B＝90°，∴△A N D≌△A B D(A S A)．∴D N＝D B，A N＝A B.∴D M＝1/2N C＝1/2(A N＋A C)＝1/2(A B＋A C)＝15.3．如图，在△A B C中，已知A B＝6，A C＝10，A D平分∠B A C，B D⊥A D于点D，点E为B C的中点，求D E的长．解：如图，延长B D交A C于点F，∵A D平分∠B A C，∴∠B A D＝∠C A D.∵B D⊥A D，∴∠A D B＝∠A D F，又∵A D＝A D，∴△A D B≌△A D F(A S A)．∴A F＝A B＝6，B D＝F D.∵A C＝10，∴C F＝A C－A F＝10－6＝4.∵E为B C的中点，∴D E是△B C F的中位线．∴D E＝1/2C F＝1/2×4＝2.三：倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△A B C中，∠A B C＝90°，B A＝B C，△B E F为等腰直角三角形，∠B E F＝90°，M为A F的中点，求证：M E＝1/2C F.解：证明：如图，延长F E至N，使E N＝E F，连接B N，A N.易得M E＝1/2A N.∵E F＝E N，∠B E F＝90°，∴B E垂直平分F N.∴B F＝B N.∴∠B N F＝∠B F N.∵△B E F为等腰直角三角形，∠B E F＝90°，∴∠B F N＝45°.∴∠B N F＝45°，∴∠F B N＝90°，即∠F B A＋∠A B N＝90°.又∵∠F B A＋∠C B F＝90°，∴∠C B F＝∠A B N.在△B C F和△B A N中,B C＝B A∴△B C F≌△B A N.∴C F＝A N.∴M E＝1/2A N＝1/2C F.四：已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5．如图，在四边形A B C D中，M、N分别是A D、B C的中点，若A B ＝10，C D＝8，求M N长度的取值范围．解：如图，取B D的中点P，连接P M，P N.解：证明：如图，取A B的中点H，连接M H，N H，则M H＝1/2B F，N H＝1/2A E.解：证明：如图，取N C的中点H，连接D H，过点H作H E∥A D，交B N的延长线于E.∵A B＝A C，A D⊥B C，∴D为B C的中点．又∵H为N C的中点，∴D H∥B N.又∵P D∥E H，∴四边形P D H E是平行四边形．∴H E＝P D.又∵P为A D的中点，∴A P＝P D.∴A P＝E H，易证△A P N≌△H E N，∴A N＝N H.∴A N＝N H＝H C，∴A N=1/2A C.。

中点四大模型模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②图①图构造全等倍长类中线倍长中线DCBAFF ACABCDCA模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．模型实例如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．FECA1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．BA解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC与△EDB中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DEADBDEADCCDBD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC＝20，根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12，∴4＜AD＜16，故AD的取值范围为4＜AD＜16．2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝41(AB2＋AC2)．NMD CA证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．∵BD ＝DC ， ∴ED ＝DN ．在△BED 与△CND 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ∴△BED ≌△CND （SAS ）． ∴BE ＝NC ． ∵∠MDN ＝90°，∴MD 为EN 的中垂线． ∴EM ＝MN ．∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2， ∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°． ∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(21BC )2＝41（AB 2＋AC 2）．模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．ABCDDCBA模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”． 模型实例如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，求MN 的长度．NM CB A解答： 连接AM ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝21BC ＝3． ∵AB ＝5， ∴AM ＝4352222=-=-BM AB ．∵MN ⊥AC ，∴S △ANC ＝21MC ·AM ＝21AC ·MN ． 即：21×3×4＝21×5×MN ．∴MN ＝512跟踪练习1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．F证明：连结AD ，∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，⎩⎨⎧==ADAD AFAB ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ） ∴∠ADE ＝∠ADF ， ∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDC ．2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图ABDEFACDDCA解：（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点， ∴∠B ＝45°，∠DCE ＝21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝21AB ＝BD ， ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝21S △ABC ； （2）不成立；S △DEF −S △C EF ＝21S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135° ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ， ＝S △CFE ＋S △DBC ，＝S △CFE ＋21S △ABC ， ∴S △DEF －S △CFE ＝21S △ABC ．∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝21S △ABC ． 21ABCDE模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理构造中位线取另一边中点EDDA模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDCBA解答如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ． ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点， ∴FH ＝21AB ，FH ∥AB ，HE ＝21DC ，HE ∥NC ． 又∵AB ＝CD ，∴HE ＝HF ．∴∠HFE ＝∠HEF ． ∵FH ∥MB ，HE ∥NC ，∴∠BME ＝∠HFE ，∠CNE ＝∠FEH ． ∴∠BME ＝∠CNE ．练习：1.（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，连接DE ，求证：DE ∥BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？ （3）如图3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.E D CBA图1G FEDCBA图2FED CBA图31.解答（1）如图①，分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌ △BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK .又∵HK =BK +BC +CH =AB +BC +AC . ∴DE =12（AB +AC +BC ）.（2）猜想结果：图②结论为DE =12（AB +AC -BC ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK . 又∵HK =BK +CH -BC =AB +AC -BC∴DE =12（AB +AC -BC ）GABCDEKHF 图2（3）图③的结论为DE =12（BC +AC -AB ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 或延长线于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12KH . 又∵HK =BH -BK =BC +CH -BK =BC +AC -AB∴DE =12（BC +AC -AB ）.ABCD EKHF图32.问题一：如图①，在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.问题二：如图②，在△ABC 中，AC >AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.图1NMO F E DC BAE图2G ABCDF2.证明（1）等腰三角形（提示：取AC 中点H ，连接FH ，EH ，如图①）（2）△AGD 是直角三角形如图②，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF ，HE . ∵F 是AD 的中点， ∴HF ∥AB ，HF =12AB . ∴∠1=∠3.同理，HE ∥CD ，HE =12CD ， ∴∠2=∠EFC ， ∴AB =CD ， ∴HF =HE . ∴∠1=∠2.∵∠EFC =60°，∴∠3=∠EFC =∠AFG =60°. ∴△AGF 是等边三角形. ∴AF =FG . ∴GF =FD .∴∠FGD =∠FDG =30°.∴∠AGD =90°，即△AGD 是直角三角形.图2321G A BCDF H模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线DCBA模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .M FEDCBA证明连接DE ，DF .BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DF =12BC ，DE =12BC .DF =DE ，即△DEF 是等腰三角形. DM ⊥EF ，点M 是EF 的中点，即FM =EM .ABCDEFM练习：1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.1.解答取AB 中点N ，连接DN ，MN .在Rt △ADB 中，N 是斜边AB 上的中点， ∴DN =12AB =BN =5.∴∠NDB =∠B .在△ABC 中，M ，N 分别是BC ，AB 的中点， ∴MN ∥AC∴∠NMB =∠C ，又∵∠NDB 是△NDM 的外角， ∴∠NDB =∠NMD +∠DNM .即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM . 又∵∠B =2∠C ，∴∠DNM =∠C =∠NMD . ∴DM =DN . ∴DM =5.N MD CBA2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MEDCBA2.证明延长BM 交CE 于G ，∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形， ∴CE ∥BD .∴∠BDM =∠GEM .又∵M 是DE 中点，即DM =EM ， 且∠BMD =∠GME ， ∴△BMD ≌△GME . ∴BM =MG .∴M 是BG 的中点，∴在Rt △CBG 中，BM =CM .3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 . 问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他 条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MF DCBA图2ABCDE FM图3ABCDF M3.解答∵（1）AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是AB 的中点， ∴DE =12AB ，DF =12AB .∴DE =DF . ∵DE =KDF ， ∴k =1. （2）∵CB =CA ， ∴∠CBA =∠CAB . ∵∠MAC =∠MBC ，∴∠CBA -∠MBC =∠CAB -∠MAC ，即∠ABM =∠BAM . ∴AM =BM .∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ， ∴∠MEB =∠MF A =90°. 又∵∠MBE =∠MAF ，∴△MEB ≌△MF A （AAS ） ∴BE =AF .∵D 是AB 的中点，即BD =AD ， 又∵∠DBE =∠DAF ，∴△DBE ≌△DAF （SAS ） ∴DE =DF .（3）DE =DF .图1M F E DCB A如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH. ∵点D是边AB的中点，∴DG∥BM，DG=12 BM.同理可得：DH∥AM，DH=12AM.∵ME⊥BC于E，H是BM的中点.∴在Rt△BEM中，HE=12BM=BH.∴∠HBE=∠HEB.∴∠MHE=2∠HBE.又∵DG=12BM，HE=12BM，∴DG=HE.同理可得：DH=FG. ∠MGF=2∠MAC.∵DG∥BM，DH∥GM，∴四边形DHMG是平行四边形.∴∠DGM=∠DHM.∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，∠MBC=∠MAC，∴∠MGF=∠MHE.∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.∴∠DGF=∠DHE.在△DHE与△FGD中DG HEDGF DHEDH FG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHE≌△FGD（SAS）∴DE=DF.图2AB CDEFM。

中考数学几何添加辅助线：倍长中线中线或中点是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。

此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角进而用“SAS”证明对应边之间的关系。

常规的倍长中线可以出全等，但需要证明“三点共线”，遇到“中点+平行”，我们“延长出全等”，而非“倍长出全等”. 用“倍长中线法”作辅助线解几何题，是一种重要的技巧套路。

它可以有效地生发出全等、平行等基本条件，关联好多基本图形，帮助解题，大家务必好好掌握。

也给我们解题的启示：抓住核心，找到关键，才能快速解题。

逢中点，便倍长，全等观，平行现.倍长中线法:是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造“8字形”的全等三角形。

在与中点有关的线段尤其是涉及线段的等量关系时，倍长中线应用较常见，常见添加如图（AD是底边中线）典例1．已知：AD是ΔABC的中线，AE=EF．求证：AC=BF．名师指点：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可．满分解答：证明：延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 中线，∴CD ＝BD ，∵在△ADC 和△MDB 中，{CD ＝BD∠ADC ＝∠MDB AD ＝DM，∴△ADC ≌△MDB （SAS ），∴BM ＝AC ，∠CAD ＝∠M ，∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE ，∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠CAD ＝∠M ，∴BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF ．名师点评：倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角、线段的代换是解决问题的关键． 1．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠。

中考数学专题之中点辅助线做法在河南省中考中，与中点辅助线做法相关的题目考察是较多.经常出在填空题，四边形证明和类比探究。

且分值占比较重，是初中阶段必须攻克的问题之一。

中考中，对于中点辅助线做法考察常有四种：①倍长中线（类倍长）②三线合一③斜边中线④中位线对于不同题目，需要根据题干特点选择适合的辅助线做法。

有中线，做倍长，这是在全等三角形中常遇到的；等腰三角形中经常遇到三线合一的性质；直角三角形中如果出现斜边中点，常连接斜边中线，从而产生等腰三角形和一半特征；多中点问题构造中位线，一般在四边形和类比探究证明中出现，需要结合逆相似或轨迹解决问题。

在九年级学习圆的知识之后，看到弦的中点，考虑的是垂径定理，其实可算作等腰三角形三线合一的性质，所以不再单独介绍。

接下来，我们来逐个说明这四种辅助线做法。

1.倍长中线—利用中点构造全等2.特殊三角形的中点（三线合一与斜边中线）3.多中点类型（中位线）文档讲解视频已在本小店上传，请及时查看。

E DCBAEDC BADCB ADCBAEDC B AGFEDCBA典型例题1.如图，在△ABC 中，AB=9，AC =6，D 为边BC 的中点，求AD 的取值范围.2.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．3.如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF =2AD .DCBAF EDCBA FEDCBA4.如图，△ABC 中，BD =DC =AC ，E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.5.如图，在直角梯形ABCD 中，E 为AB 边的中点，若AD =2，BC =4，∠DEC =90°，则CD 的长为_______.6.已知△ABC ，AB =AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE =CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG =GF ．EDCB AED CBAE F GCBA7.如图，在ABC ∆中，AD 是高线，CE 是中线，CD CE = DF CE ⊥于点F ，求证：F 是CE 的中点.8.如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE AB ⊥于点E ，F 为AD 的中点，若54AEF ∠=︒，则B ∠为多少度？9.如图，M 是ABC ∆的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，BN AN ⊥于点N ，若AB =10，BC =15，MN =3，则ABC ∆的周长为多少？FEDCBAFE DCBA NMCBA10.已知ABC ∆中，2B C ∠=∠，M 是BC 的中点，AD BC ⊥于D ，求证：12DM AB =11.如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB =5，CD =3，则EF 多长？12.如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ，BC 的延长线分别与EF 的延长线交于点H ，点G ，求证：AHE BGE ∠=∠.CBFE D CB AGH FEDCB A13.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且AC =BD ，求证：OM =ON .14.如图，在ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且BD =CE ，M ，N 分别是BE ，CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP =AQ .NMF EDCBANMQ PED C BA15.如图以ABC ∆的AB ，AC 边为斜边向外做Rt ABD ∆和Rt ACE ∆，其中ADB ∠和AEC ∠为直角，并且满足ABD ACE ∠=∠，点M 是BC 的中点，连接DM ，ME .求证：DM ME =.【河南中考】16．如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值．MEDCBA。

中点模型的构造知识点睛在几何图形中，与线段中点有关的问题很多，中点问题是中考的必考题型，一般地说，遇到中点问题，我们主要从以下几方面进行解读。

1.还原中心对称图形（倍长中线、“8”字型全等）由于线段本身是中心对称图形，而中点就是它的对称中心，所以遇到线段中点问题，依托中点借助辅助线还原中心对称图形，这样就能将分散的条件巧妙地集中起来，这是解决中点问题最常采用的方法。

2.构造中位线因为三角形中位线在位置关系和数量关系两方面将三角形中的有关线段沟通起来，能将三角形中分散的条件集中起来，或者使图形中隐藏的条件显露出来，所以借助三角形中位线也是解决中点问题的另一个有力武器。

当图形中有中点时，常考虑三角形中位线，必要时还可以作辅助线构造三角形的中位线。

3.与等面积相关的图形变换线段中点的本意，在研究三角形的面积问题时，往往提供了底边相等的条件。

4.等腰三角形形中的“三线合一”“三线合一”是初中阶段平面几何中一个非常重要的结论和解题工具，运用得好往往会使我们的思考过程“柳暗花明”。

5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其与圆的结合例题精讲 例1在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？例2如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA变式1如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，BE=AC 延长BE 交AC 于F ，，求证：AF EF =．FEDC BA变式2如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．F GE DCBA例3在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？F EDCBA变式1已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FE AB D C变式2如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．NMDCBA例4如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点求证：MN⊥DEC例5已知:如图，过△ABC顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作射线的垂线BP、CQ，P、Q为垂足；又M为BC的中点．求证：MP=MQ．B M ACP Q已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆ 的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．F图3图2图1F N MDCE B ANMDCE BAHF (N )DM C E BA⑴ 如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMF BNE ∠=∠(不需证明)．⑵ 当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．例7如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．EDCB A例8如图所示，P 是ABC ∆内的一点，PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证DM DL =．LPMD CBA牛刀小试1、已知：如图，∠C=90°，BC=AC ，D 、E 分别在BC 和AC 上，且DM ⊥EM ，M 是AB 的中点，若AE=4，BD=3求DE 的长。

一、中点模型1．倍长中线条件：AD 为△ABC 的中线辅助线：延长AD 到点E ，使得AD =DE结论：△ADC ≌△EDB ，AC ∥BE2．连中点构造中位线条件：点D 、E 为AB 、AC 的中点辅助线：连接DE 结论：12DE BC DE BC =，∥3．倍长一边构造中位线条件：点D 为AB 的中点辅助线：延长AC 到点E ，使得AC =CE ，连接BE 结论：12DC BE DC BE =，∥4．构造三线合一条件：AB =AC辅助线：取BC 的中点D ，连接AD结论：AD ⊥BC ，∠BAD =∠CADB5．构造斜边中线条件：∠ABC =90°辅助线：取AC 的中点D ，连接BD 结论：12BD AC AD CD ===二、角平分线模型6．往角两边作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F结论：△ADE ≌△ADF7．在角的两边截取等长线段条件：AD 平分∠BAC辅助线：在AB 、AC 上取点E 、F ，满足AE =AF ，连接DE 、DF 结论：△ADE ≌△ADF8．过角平分线上一点作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作EF ⊥AD ，交AB 、AC 于点E 、FD CBB CCC结论：△ADE ≌△ADF三、双角平分线模型9．内内模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 结论：1902D A ∠=︒+∠10．内外模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACE 结论：12D A ∠=∠11．外外模型条件：BD 、CD 平分∠CBE 、∠BCF 结论：1902D A ∠=︒-∠四、平行线模型12．猪蹄模型CA BCC ED条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D =∠BED13．铅笔头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D +∠BED =360°14．鸟头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠D +∠BED =∠B15．平行线+角平分线模型条件：AB ∥CD ，CE 平分∠ACD结论：AC =AE五、等积模型16．等底等高条件：AD ∥BCFAFBC结论：ABC DBC S S =，ADB ADC S S =17．等高模型条件：B 、C 、D 共线结论：::ABD ADC S S BD CD =18．等底模型条件：AE 、DE 为△ABC 、△DBC 边BC 上的高结论：::ABC DBC S S AE DE =六、对称半角模型19．对称半角模型-含45°角的三角形条件：∠BAC =45°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等腰直角三角形20．对称半角模型-含30°角的三角形B CB C DED条件：∠BAC =30°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等边三角形七、旋转半角模型21．旋转半角模型-等腰直角三角形条件：AB =AC ，∠BAC =90°，∠MAN =45°辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACM ＇ 结论：ANM ANM '≌，222BM CN MN +=22．旋转半角模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°， ∠MDN =60°辅助线：将△BDM 绕点D 顺时针旋转120°，得到△DCM ＇ 结论：NDM NDM '≌，BM CN MN +=23．旋转半角模型-正方形条件：正方形ABCD ，∠MAN =45°，FEAM'M CAB辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ＇ 结论：NAM NAM '≌，BM DN MN +=八、自旋转模型24．自旋转模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，点P 为其内任意一点辅助线：将△BAP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BCP ＇ 结论：△BPP ＇是等边三角形25．自旋转模型-等腰直角三角形条件：△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为△ABC 内任 意一点辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰直角三角形26．自旋转模型-等腰三角形条件：△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点，∠BAC =α 辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转α，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰三角形M'DNCBAB九、手拉手模型29．手拉手模型-等边三角形条件：△ABC和△CDE都是等边三角形结论：△ACE≌△BCD27．手拉手模型-等腰直角三角形条件：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形结论：△ACE≌△BCD，AE⊥BDEE28．手拉手模型-等腰三角形条件：△ABC 和△CDE 都是等腰三角形，CA =CB ， CD =CE ，且∠ACB =∠DCE结论：△ACE ≌△BCD30．手拉手模型-正方形条件：四边形ABCD 和AEFH 都是正方形结论：△ABE ≌△ADH ，BE ⊥DH十、最短路程模型31．直线同侧两线段之和最小（将军饮马）条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作点A 关于直线l 的对称点A ＇，连接A ＇B 结论：点P 为A ＇B 和l 交点时，AP +BP 最小C32．直线异侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 异侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小33．直线同侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小34．过桥模型（将军饮马）条件：A 、B 为定点，l 1∥l 2，MN 为定长线段且MN ⊥l 1 辅助线：将点A 向上平移MN 的长度得到A ＇，连接A ＇B 结论：点N 为A ＇B 与l 1交点时，AM +MN +BN 最小35．四边形周长最小（将军饮马）条件：A 、B 为定点，M 、N 为角两边上的动点辅助线：作点A 、B 关于角两边的对称点A ＇、B ＇，连接 lAlAll 1l 2A＇B＇结论：M、N为A＇B＇与角两边交点时，四边形ABMN的周长最小B'36．三角形周长最小（将军饮马）条件：A为定点，B、C为角两边上的动点辅助线：作点A关于角两边的对称点A＇、A＂，连接A＇A＂结论：B、C为A＇A＂与角两边交点时，△ABC的周长最小37．旋转类最短路程模型条件：线段OA=a，OB=b（a＞b），OB绕点O在平面内旋转结论：点B与点N重合时，AB最小；点B与点M重合时，AB最大十一、基本相似模型38．A字型条件：BC∥DE结论：△ABC∽△ADE条件：∠ABC =∠ADE结论：△ABC ∽△ADE39．8字型条件：AB ∥CD结论：△AOB ∽△DOC条件：∠BAO =∠DCO结论：△AOB ∽△COD40．母子型条件：△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB结论：△ABC ∽△ACD ∽△CBD41．一线三等角模型条件：∠B =∠D =∠ACE结论：△ABC ∽△CDECBCC A42．手拉手相似模型条件：△ABC ∽△ADE结论：△ACE ∽△ABD十二、对角互补模型43．对角互补模型-90°全等型条件：∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OEOC ，212OECD S OC 四边形CB ACE AB D CDD44．对角互补模型-120°全等型条件：∠AOB =120°，∠DCE =60°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OE =OC ，24OECD S =四边形45．对角互补模型-任意角全等型条件：∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，2cos OD OE OC α+=⋅， 2sin cos OEC OCD S S OC αα+=⋅46．邻边相等的对角互补模型条件：四边形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC +∠ADC =180°D BAN E OB辅助线：延长CD 到E ，使得DE =BC ，连接AE结论：△ABC ≌△ADE ，CA 平分∠BCD十三、隐圆模型47．动点定长模型条件：AB =AC =AP ，点P 为动点结论：点B 、C 、P 三点共圆，点A 为圆心，AB 为半径48．直角圆周角模型条件：点C 为动点，∠ACB =90°结论：点A 、B 、C 三点共圆，线段AB 的中点为圆心，线段 AB 为直径49．定弦定长模型条件：点P 为动点，固定线段AB 所对的动角∠APB 为定值 结论：点A 、B 、P 三点共圆，线段AB 和BP 的中垂线的交点 为圆心BA50．四点共圆模型①条件：点A 、C 为动点，∠BAD +∠BCD =180°结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心当∠BAD =∠BCD =90°，BD 为直径51．四点共圆模型②条件：线段AB 为固定长度，点D 为动点，∠C =∠D结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心CCA当∠C=∠D=90°，AB为直径。

【中考专题】中点模型（通关篇）—三种⽅法以微课堂⾼中版奥数国家级教练与四位⾼中特级教师联⼿打造，⾼中精品微课堂。

35篇原创内容公众号线段中点是⼏何部分⼀个⾮常重要的概念，和后⾯学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在⼏何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三⾓形三线合⼀；直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平⾏线间夹中点，延长中线交平⾏的应⽤。

建⽴模型模型⼀倍长中线如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种⽅法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进⽽得到AC=BE且AC//BE.模型⼆平⾏线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.平⾏线间夹中点.处理这种情况的⼀般⽅法是：延长过中点的线段和平⾏线我们把这种情况叫做平⾏线间夹中点相交.即“延长中线交平⾏”此时，易证△BEF≌△CED模型三中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另⼀边AC的中点，构造三⾓形中位线.如下图所⽰：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型运⽤例1、如图，在平⾏四边形ABCD中，AD=2AB，点E是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数.分析：本题的证明⽅法有很多，⽐如利⽤“双平等腰”模型等（前⽂已对这种做法做过讲解，不再赘述.链接：课本例题引出的基本图形——双平等腰模型），这⾥主要讲⼀下平⾏线间夹中点的做法.根据平⾏四边形的性质可知，AB//CD，⼜点E是BC中点，构成了平⾏线间夹中点.当题中出现这些条件时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就⼀定会得到全等三⾓形，进⽽得到我们需要的结果.证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F.∵四边形ABCD是平⾏四边形∴AB//CD，即AB//DF∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE⼜∵点E是BC中点∴BE=CE∴△ABE≌△FCE∴CF=AB=CD，AE=FE∴DF=2CD, ⼜∵AD=2CD∴AD=DF,⼜因为点E是AF的中点∴DE⊥AF即∠AED=90°.反思：对于本题，还可以延长AE⾄点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE≌△FCE得到AB//CF,利⽤经过直线外⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF 是等腰三⾓形，利⽤等腰三⾓形三线合⼀得到结论.对于第⼆种⽅法，同学们可以⾃⼰尝试.例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上⼀点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满⾜平⾏线间夹中点，所以可将DG延长与BF 相交.证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是正⽅形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF⼜∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等腰直⾓三⾓形∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°∴△DAH是等腰直⾓三⾓形，⼜∵点G是DH的中点∴AG=DG且AG⊥DG.反思：若将正⽅形绕点C旋转任意⾓度，在旋转的过程中，上述结论还成⽴吗？试试看动画链接：/svg.html#posts/16428（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）(2)AG⊥DG，AG=√3DG如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是菱形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF⼜∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等边三⾓形∴AB=AC,∠ACD=180°-60°-60°=60°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=60°∴△DAH是等边三⾓形，⼜∵点G是DH的中点∴AG⊥DG.∠DAG=1/2∠DAH=30°∴AG=√3DG动画链接：/svg.html#posts/16429（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2)证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形CDEF是菱形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，∵G是BE的中点，∴BG=EG，∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2，∴∠ABC=∠ACD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∴∠BAC=∠HAD=α；∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2，∴tan∠DAG=tan(α/2)，∴DG=AGtan（α/2）．动画链接：/svg.html#posts/16430（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）反思：在本题的证明中，我们结合题⽬中给出的平⾏线间夹中点这⼀条件，将DG进⾏延长和BC相交，通过全等使问题得证.对于本题我们也可以采⽤倍长中线法进⾏证明.下⾯⽤倍长中线法对第⼀种情况加以证明.证明：如图，延长AG⾄点H，使GH=AG.连接EH，AD，DH.在△ABG和△HEG中BG=EG,∠AGB=∠HGE，AG=HG∴△ABG≌△HEG∴AB=HE，∠ABG=∠HEG∵AB=AC∴AC=HE∵DE//BC∴∠DEG=∠EBC∴∠HED=∠HEB+∠DEG=∠ABG+∠EBC=∠ABC=45°⼜∠ACD=180°-45°-90°=45°∴∠ACD=∠HED在△ACD和△HED中AC=HE，∠ACD=∠HED，DC=DE∴△ACD≌△HEDDA=DH，∠ADC=∠HDE∴∠ADC-∠HDC=∠HDE-∠HDC即∠ADH=∠CDE=90°所以△ADH是等腰直⾓三⾓形⼜因为点G是AH的中点所以DG=AG，DG⊥AG.上⾯我们⽤倍长中线证明了第⼀种情况，请你对第⼆三问加以证明.反思：在本题的证明过程中，容易犯的⼀个错误是，许多同学看到HE经过点C，就说∠HED=45°.⽽这⼀结论是需要证明的.⼩试⾝⼿如图1，在正⽅形ABCD的边AB上任取⼀点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所⽰，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所⽰，则线段EG和CG⼜有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.（3）将△BEF绕点B旋转⼀个任意⾓度α，如图4所⽰，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.前两问较简单，请同学们⾃⾏完成，这⾥只给出第三问的⼏种解法，仅供⼤家参考.解法⼀：如图，延长EG⾄点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHDEF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：因为EB⊥EF，⽽EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.⼜∠BMK=∠CMD.根据三⾓形的内⾓和，可得∠KBM=∠MDC.所以∠EBC=∠HDC.⼜EB=HD，BC=DC所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直⾓三⾓形，⼜因为点G是斜边EB的中点，所以CG⊥GE且CG=GE.⽹址链接：/svg.html#posts/16284（选中并打开⽹址看动态图）解法⼆：如图，延长CG⾄点N，是GN=CG.连接FN，EN，EC.以下过程可参照解法⼀⾃⾏完成解法三：延长FE⾄点P使得EP=EF，连接BP；延长DC⾄点Q，使得CQ=CD，连接BQ.连接FQ，DP。

倍长中线模型，全等三角形搭桥，难题分析讲解三角形是初中数学里最基本的几何图形，而其边上，又是很常见的条件。

当涉及三角形问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法，实现角和线段的转化，以此来作辅助线解题。

好处是通过此法构造全等三角形继而得到平行，也可以证明三角形全等，可将分散的条件集中在一个三角形内解题，常常出奇制胜，化腐朽为神奇。

且看模型，和模型产生的基本结论.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（其中有对顶角相等）例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。

分析：延长AD 至E ，使ED=AD ，连接BE ，见模型1，可证△ABD 与△ECD 全等，把AB 边转移到EC 上了，再看△AEC ，用第三边大于两边之差小于两边之和可解。

【归纳总结】1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．例 2：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF延长ED 至G ，使GD=ED ，利用SAS 可证△BED与△CGD 全等，把BE 转移到GC 上，∠G=∠1，由已知BE=AC ，得到GC=AC ，由等腰三角形性质可知∠G=∠3，通过∠G 传递，得到∠2=∠3，得证AF=EF例3：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DE=AC ，求证：AE 平分∠BAC证明：如图，延长FE 到G ，使EG=EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，∵ ，∴△DEF ≌△CEG ． ∴DF=GC ，∠DFE=∠G ．∵DF ∥AB ，∴∠DFE=∠BAE ．∵DF=AC ，∴GC=AC ．∴∠G=∠CAE ．∴∠BAE=∠CAE ．即AE 平分∠BAC⎪⎩⎪⎨⎧==FG FE CEG ＝∠DEF ∠EC ED例4：如图；在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE，求证：CD=2CE证明：延长CE至F，使EF＝CE，则CF＝2CE易证△ACE≌△BFE，∴AC＝BF＝AB＝BD，∠ABF＝∠BAC∴∠DBC＝∠ACB+∠BAC＝∠ABC+∠ABF＝∠FBC∴△BCF≌△BCD（SAS）∴CD＝CF＝2CE【融会贯通】1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

巧添辅助线 解证几何题在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决;值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关;下面我们分别举例加以说明;例题解析一、倍角问题 例1：如图1,在△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D;求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C,可利用三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系; 证法一：∵在△ABC 中,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=12180°-∠BAC=90°-12∠BAC; ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-90°-12∠BAC= 12∠BAC 即∠DBC=12∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把½∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解;证法二：如图2,作AE ⊥BC 于E,则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC 同角的余角相等即∠DBC=12∠BAC;证法三：如图3,在AD 上取一点E,使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=12∠BAC 说明：例1也可以取BC 中点为E,连接DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三例2、如图4,在△ABC 中,∠A=2∠B求证：BC 2=AC 2+AC •AB分析：由BC 2=AC 2+AC •AB= ACAC+AB,启发我们构建两个相似的三角形,且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知, 构建以AB 为腰的等腰三角形;证明：延长CA 到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA ∵∠BAC 是△ABD 的一个外角 ∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D ∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C ∴△ABC ∽△BDC ∴AC BCBC CD=∴BC 2=AC •CD AD=AB∴BC 2= ACAC+AB=AC 2+AC •AB二、 中点问题例3．已知：如图,△ABC 中,AB=AC,在AB 上取一点D,在AC的延长线上取一点E,连接DE 交BC 于点F,若F 是DE 的中点;求证：BD=CE分析：由于BD 、CE 的形成与D 、E 两点有关,但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形,所以 关系不明显,由于条件F 是DE 的中点,如何利用这个中点条件,把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键; 由已知AB=AC,联系到当过D 点或E 点作平行线,就可以形成新 的图形关系——构成等腰三角形,也就是相当于先把BD 或CE 移动一下位置,从而使问题得解;证明：证法一：过点D 作DG ∥AC,交BC 于点G 如上图 ∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠DGB ∴BD=DG ∵F 是DE 的中点 ∴DF=EF在△DF G 和△DEFC 中,DFG= EFC DGF= FCE DF=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△DF G ≌EFC∴DG=CE ∴BD=CEABCEGDFCAB证法二：如图,在AC 上取一点H,使CH=CE,连接DH ∵F 是DE 的中点∴CF 是△EDH 的中位线 ∴DH ∥BC∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA ∵AB=AC ∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD ∴AD=AH ∴AB-AD=AC-AH ∴BD=HC∴BD=CE说明：本题信息特征是“线段中点”;也可以过E 作EM ∥BC,交AB 延长线于点G,仿照证法二求解;例4．如图,已知AB ∥CD,AE 平分∠BAD,且E 是BC 的中点 求证：AD=AB+CD证法一：延长AE 交DC 延长线于F ∵AB ∥CD ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF ∵E 是BC 的中点 ∴BE=CE 在△ABE 和△CEF 中BAE= F B= ECF BE=CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABE ≌△CEF ∴AB=CF∵AE 平分∠ABD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠DAE=∠F ∴AD=DF ∵DF=DC+CF CF=AB ∴AD=AB+DC证法二：取AD 中点F,连接EF ∵AB ∥CD,E 是BC 的中点 ∴EF 是梯形ABCD 的中位线∴EF ∥AB , EF=12AB+CD∴∠BAE=∠AEF ∵AE 平分∠BAD ∴∠BAE=∠FAE ∴∠AEF=∠FAE ∴AF=EF ∵AF=DF∴EF=AF=FD=12AD ∴12 AB+CD= 12ADAB CD HEF A B CEFDA BCEF三．角平分线问题例5．如图1,OP 是∠MON 的平分线,请你利用图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形;请你参考这个全等三角形的方法,解答下列问题;（1） 如图2,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE相交于点F,请你判断并写出EF 与FD 之间的数量关系;（2） 如图3,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而1中的其他条件不变,请问,你在1中所得的结论是否仍然成立 若成立,请证明；若不成立,请说明理由;（3）分析：本题属于学习性题型;这类题型的特点是描述一种方法,要求学生按照指定的方法解题;指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形;解：1EF=FD2答：1结论EF=FD 仍然成立理由：如图3,在AC 上截取AG=AE,连接FG 在△AEF 和△AGF 中,AE=AG EAF= FAG AF=AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF ≌△AGF由∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC ∠BCA 的平分线 可得∠FAG+∠FCA=60° ∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60° ∴∠GFC=60°在△CFG 和△CFD 中GFC= DFC CF=CF DCE= ACE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CFG ≌△CFD ∴FG=FD 又因为EF=GF ∴EF=FD说明：学习性问题是新课程下的新型题,意在考查学生现场学习能力和自学能力;抛开本题要求从角平分线的角度想,本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的;解法二：2答1中的结论EF=FD 仍然成立;理由：作FG ⊥AB 于G,FH ⊥AC 于H,FM ⊥BC 于M ∵∠EAD=∠DAC ∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE ∴FH=FG∵∠B=60° ∴∠DAC+∠ACE=60° ∴∠EFD=∠AFC=180°- 60°=120°在四边形BEFD 中 ∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180° ∴∠FDC =∠BEF 在△EFG 和△DFM 中FDC = BEF EGF= DMF=90FG=FM ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴EFG ≌△DFM ∴EF=DF四、线段的和差问题例6 如图,在△ABC 中,AB=AC,点P 是边BC 上一点,PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M,试探究线段PD 、PE 、CM 的数量关系,并说明理由;分析：判断三条线断的关系,一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系,通过测量猜想PD+PE=CM.分析：在CM 上截取MQ=PD,得□PQMD,再证明CQ=PE 答：PD+PE=CM证法一：在CM 上截取MQ=PD,连接PQ. ∵CM ⊥AB 于M, PD ⊥AB 于D∴∠CMB=∠PDB=90°∴CM ∥DP∴PQ ∥AB∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B ∵AB=AC ∴∠B=∠ECP ∴∠QPC=∠ECP ∵PE ⊥AC 于E ∴∠PEC=90°在△PQC 和△PEC 中PQC= PEC QPC= ECP PC=PC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△PQC ≌△PEC ∴QC=PE ∵MQ=PD ∴MQ+QC=PD+PE ∴PD+PE=CM分析2：延长DF 到N 使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM, 再证明PN=PE证法2：延长DF 到N,使DN=CM,连接CN同证法一得平行四边形DNCM,及△PNC ≌△PEC ∴PN=PE ∴PD+PE=CM分析3：本题中含有AB=AC 及三条垂线段PD 、DE 、CM, 且PABPACABCSSS+=,所以可以用面积法求解;证法三：连接AP,∵PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M ∠PQC=∠PEC ∠QPC=∠ECP PC=PC ∴121212ABPACPABCS AB PD S AC PE SAB CM =•=•=• ∵AB=AC 且PABPACABCSSS+=∴1112220AB PD AB PE AB CM AB PD PE CM•+•=•≠∴+= 说明：当题目中含有两条以上垂线段时,可以考虑面积法求解;FEDCBA五、垂线段问题例7 在平行四边形ABCD 中,P 是对角线BD 上一点,且,,PE AB PF BC ⊥⊥垂足分别是E 、F求证：AB PF BC PE=分析：将比例式AB PF BC PE=转化为等积式AB PE BC PF •=•,联想到AB PE BC PF•=•1122, 即△PAB 与△PBC 的面积相等,从而用面积法达到证明的目的;证明：连接AC 与BD 交于点O,连接PA 、PC 在平行四边形ABCD 中,AO=COAOBBOCSS∴=同理,AOPCOP AOBAOPBOCCOPPAB PBCS S SS SSSS=∴-=-=∵,,PE AB PF BC ⊥⊥,11221122PAB PBC SAB PE S BC PF AB PE BC PF AB PE BC PF AB PFBC PE∴=•=•∴•=•∴•=•∴=例8求证：三角形三条边上的中线相交于一点;分析：这是一个文字叙述的命题;要证明文字命题,需要根据题意画出图形,再根据题意、结合图形写出已知、求证;已知：△ABC 中,AF 、BD 、CE 是其中线; 求证：AF 、BD 、CG 相交于一点;分析：要证三线交于一点,只要证明第三条线经过另两条线的交点即可;FED CBAP,ABDCBDAGDCGD AGBCGBCGBAGCAGBAGCAD DC SSSSS S SSSS=∴==∴==∴=同理，作BM ⊥AF ,于M,CN ⊥AF ,于N则,11221122AGB AGC SAG BM S AG CN AG BM AG CN BM CN=•=•∴•=•∴= 在△BMF ,和△CNF ,中 BF MCF N BMF CNF BM CN ''∠=∠⎧⎪''∠=∠⎨⎪=⎩∴△BMF ≌△CNF ∴''BF CF =∴AF ,是BC 边上的中线 又∵AF 时BC 边上的中线∴AF 与AF ,重合 即AF 经过点D∴AF 、BD 、CE 三线相交于点G因此三角形三边上的中线相交于一点;六、梯形问题例9．以线段a=16,b=13为梯形的两底,以c=10为一腰,则另一腰长d 的取值范围是＿ 分析：如图,梯形ABCD 中,上底b=13,下底a=16,腰AD= c=10,过B 作BE ∥AD,得到平行四边形ABED,从而得AD=BE=10,AB=DE=13 所以EC=DC-DE=16-13=3. 所以另一腰d 的取值范围是 10-3＜d ＜10+3 答案：7＜d ＜13例10．如图,已知梯形ABCD 中,AB ∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD 的面积;分析：已知条件中给出两条对角线的长,但对角线位置交错,条件一时用不上;另外,求梯形面积只要求出上、下底的和即可,不一定求出上、下底的长,所以考虑平移腰;解：解法一：如图,过A 作AF ∥BD,交CD 延长线于FD CE B A//,AB FCFD AB AF BD FC AB DCAE FC AEF AEC ∴∴===∴=+⊥∴∠=∠=ABDF 1590。

几何综合题型一：中点模型的构造中点模型①中线（点）：倍长（类）中线②两中点：中位线③等腰三角形底边中点：三线合一④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半构造两等腰⑤中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线.典题精练E，若/ EMD = 3 / MEA .求证：BC=2AB.【解析】证法一：如右图(a),延长EM交CD的长线于点E，连结CMT AB // CD ,•••/ ME'D = / MEA .又AM = DM，/ AME = / DME'•△ AFM 也厶DE M .•EM =EM•/ AB // CD , CE丄AB,•EC 丄CD .•CM是Rt△ ECE斜边EE的中线，•ME =MC .•ME D E CM ,•/ EMC=2 ME D =2 / AEM .•••/ EMD =3 / MEA ,•/ CMD=/DCM,•MD=CD .•/ AD = 2DM , AB=CD , AD=BC ,•BC=2AB .【例1】如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点(a)1 / 7证法二：如右图（b）,过点M作MM // AB交BC于M，过点M作M E // ME交AB的延长线于点E，连接EM ••••点M 是BC 的中点，EE AB，E BM EAM，M E B MEA , M MD EAM E BM•••点M是Rt△ EBC斜边BC的中点，•M E BM , • BEM M BE ••- E BM 180 BEM ••••/ EMD = 3 / MEA , • M MD 2 MEA,• E BM 2 M EB1•- 180 BEM 2 M E B , M E B 90 — BEM •2• E EM E • • EM EE , • BM AB ••BC = 2AB.【例2】如图所示，分别以厶ABC的边AB、AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中点，⑴ 求证：AM丄EG ;(2)求证：EG=2AM .【解析】⑴ 如图所示，延长AM到N，使MN= AM,延长MA交EG于点P,连接BN、NC.•/ BM = CM ,•四边形ABNC是平行四边形.•BN = AC = AG .•••/ EAG + / BAC = 180 ,/ ABN +/ BAC = 180 ,•/ EAG = / ABN.•/ AE = AB,•△EAG◎△ ABN. •/ AEG =Z BAN.又•••/ EAB = 90 ,•/ EAP + / BAN = 90 .•/ AEP + / EAP = 90 .•MA丄EG.⑵ 证明：T △ EAG^A ABN , • EG = AN = 2AM .FEF题型二：平移及等积变换3 / 7典题精练【例3】已知：如图，正方形ABCD中, ⑴求证：FG = DE .⑵求证：FD + BG > . '2FG .【解析】延长GC到点P,使得GP = DF，连接EP, DP . ⑴••• DF // GP , GP = DF•••四边形DFGP为平行四边形••• FG = DP, FG // DP又••• FG 丄DE ,• DP 丄DE•••/ ADE = / CDP在厶ADE和厶CDP中DAE DCPDA DCADE CDP•△ ADE ◎△ CDP•DE = DP = FG⑵由⑴知道△ DEP为等腰直角三角形• EP 2DE 2FG在厶EGP 中，EG + DF = EG + GP > PE = 2 FG当EG // FD时，取到等号【例4】如下图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若△ PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差.E是AB上一点，FG丄DE于点H【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当如右图, 连接CP、AP.可得:BCP ADP1ABCD2ABPS^ BDP ADP—S ABC D2所以BCD S^ ABP S^ BDP题型三：旋转典题精练【例5】已知△ ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，/ABC=Z ADE=90。

数学模型-倍长中线模型模型分析：倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，给出中线，通过延长辅助线的方法证明三角形全等及其他，达到解题的目的．其主要的图形特征和证明方法如下图：已知：在三角形ABC 中，O 为BC 边中点，辅助线：延长AO 到点D 使AO=DO ，结论：△AOB ≌△DOC证明：延长AO 到点D 使AO=DO ，由中点可知，OB=OC ，在△AOB 和△DOC 中OA ODAOB DOC OB OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△DOC同理下图中仍能得到△AOB ≌△DOC规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS 的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．补充：关于倍长中线的其他模型①向中线做垂直，易证△BEO ≌△CDO步骤：延长AO 到点D ，过点B ，C 分别向AD 作垂线，垂足为E ，D ，易证△BEO ≌△CDO(AAS)②过中线做任意三角形证明全等，易证△BDO ≌△CEO步骤：AC 上任意选取一点E ，连接EO 并延长到点D ，使EO=DO ，连接BD ， 易证△BDO ≌△CEO(SAS)实例精练：1. 如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A. 4BF =B. 2ABC ABF ∠>∠C. ED BC EB +=D. 2DEBC EFB S S =四边形【答案】D【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可以得到228CD AD BC ===，且F 为DC 的中点，所以4CF BC ==,由此可判断A 选项；再结合平行线的性质可以得到CFB FBA ∠=∠，由此可判断B 选项；同时延长EF 和BC 交于点P ，,,DF CF DFE PFC D FCP =∠=∠∠=∠ 可以证得DFE CFP ≅，所以ED BC CP BC BP +=+= 由此可以判断C 选项；由于DFE CFP ≅，所以BEP DEBC S S =四边形，由此可以判断D 选项； 【详解】四边形ABCD 是平行四边形∴ 228CD AD BC ===∴ 4CF BC ==由于条件不足，所以无法证明4BF =,故A 选项错误；4CF BC ==∴ CFB FBC ∠=∠DC AB ∥∴ CFB FBC FBA ∠=∠=∠∴ 2ABC ABF ∠=∠故B 选项错误；同时延长EF 和BC 交于点PAD BP∴ D FCP ∠=∠∴ 在DFE △和CFP 中：()DF CF DFE PFC D FCP ASA ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ DFE CFP ≅∴ ED BC CP BC BP +=+=由于条件不足，并不能证明BP BE =，故C 选项错误；DFE CFP ≅∴ BEP DEBC S S =四边形F 为DC 的中点∴ 2BEP BEF DEBC S S S ==四边形故D 选项正确；故选：D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.2. 如图，901,2,AB CD BCD AB BC CD E ∠=︒===，，为AD 上的中点，则BE ＝______．【解析】 【分析】延长BE 交CD 于点F ，证ABE DFE ≌，则BE=EF=12BF ，故再在直角三角形BCF 中运用勾股定理求出BF 长即可.【详解】解：延长BE 交CD 于点F∵AB 平行CD ，则∠A=∠EDC ，∠ABE=∠DFE ，又E 为AD 上的中点，∴BE=EF,所以ABE DFE ≌. ∴1,12BE EF BF AB DF ==== ∴1CF =在直角三角形BCF 中，∴12BE BF ==. 【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.3. 如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F ，BE AC =，且9BF =，6CF =，那么AF 的长度为__．【答案】32； 【解析】【分析】延长AD 至G 使AD DG =，连接BG ，得出ACD GBD ∆≅∆ 得出AC BG BE ==，所以得出AEF ∆是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．【详解】如图：延长AD 至G 使AD DG =，连接BG在ACD ∆和GBD ∆中：CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD GBD ∆≅∆∴,CAD G AC BG ∠=∠=∵BE AC =∴BE BG =∴G BEG ∠=∠∵BEG AEF ∠=∠∴AEF EAF ∠=∠∴EF AF =∴AF CF BF EF +=-即69AF EF +=- ∴32AF = 【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键． 4. 如图，平行四边形ABCD 中，CE AD ⊥于E ，点F 为边AB 中点，12AD CD =，40CEF ∠=︒，则AFE ∠=_________【答案】30【解析】【分析】延长EF 、CB 交于点G ，连接FC ，先依据全等的判定和性质得到FE FG =，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到FC FE FG ==，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到BF BC =，依据三角形等边对等角得到50FCG G ∠=∠=︒、50BFC FCG ∠=∠=︒，依据三角形内角和得到GFC ∠，通过作差即得所求.【详解】解：延长EF 、CB 交于点G ，连接FC ，∵平行四边形ABCD 中，∴//AD BC ，AB CD =,AD BC =,∴A GBF ∠=∠，AFE BFG ∠=∠，90GCE CED ∠==︒又∵点F 为边AB 中点，得12A FB A BF ==, ∴AFE △≌BFG (ASA)，0509C G EF ∠∠-==︒︒，∴FE FG =，∴FC FE FG ==，∴50FCG G ∠=∠=︒,∴18080GFC FCG G ∠=︒-∠-∠=︒, ∵12BF AB =,12AD CD = AB CD =,AD BC =, ∴BF BC =,∴50BFC FCG ∠=∠=︒,∴30BFG GFC BFC ∠=∠-∠=︒,∴30BFG AFE ∠∠==︒,故答案为：30.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.5. 已知：如图所示，AD平分BAC，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E．求证：BE=CF．【答案】见解析.【解析】【分析】过B作BN∥AC交EM延长线于N点，易证△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD，AD平分∠BAC可得∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∠BEM ＝∠N，所以BE＝BN＝CF.【详解】证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，∵BN∥AC，BM＝CM，∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F，∴△BMN≌△CMF，∴CF＝BN，又∵MF//AD，AD平分∠BAC，∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∴∠BEM＝∠N，∴BE＝BN＝CF.【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．6. 如图所示，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的平分线.【答案】见解析【解析】【分析】延长FE ，截取EH =EG ，连接CH ，可证∴BEG ≌△CEH ，即可求得∠F =∠FGA ，即可求得∠CAD =∠BAD ，即可解题．【详解】证明：延长FE ，截取EH =EG ，连接CH ，∵E 是BC 中点，∴BE =CE ，∴∠BEG =∠CEH ，在∴BEG 和∴CEH 中，BE CE BEG CEH GE EH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BEG ≌△CEH （SAS ），∴∠BGE =∠H ，∴∠BGE =∠FGA =∠H ，∴BG =CH ，∵CF =BG ，∴CH =CF ，∴∠F =∠H =∠FGA ，∵EF ∥AD ，∴∠F =∠CAD ，∠BAD =∠FGA ，∴∠CAD =∠BAD ，∴AD 平分∠BAC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证∴BEG ≌△CEH 是解题的关键．7. 已知：如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC =，求证：AF EF = ．【答案】详见解析【解析】【分析】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到BDE CDG ∆∆≌，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．【详解】证明：延长ED 至G ，使DG DE =，连结GC ，∵在ABC ∆中，AD 为中线，∴BD=CD ，在△ADC 和△GDB 中，BD CD BDE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDG ∆∆≌，BE CG ∴=，BED CGD ∠=∠，BE AC =，AC GC ∴=，AGC CAG ∴∠=．又BED AEF ∠=∠，∴AEF EAF ∠=∠，∴AF EF =.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．8. 如图所示，AD 为ABC ∆的角平分线，,E F 分别在,BD AD 上，DC DE =，若EF AB ∥．求证：EF AC =．【答案】详见解析【解析】【分析】延长FD 至G ，使DG DF =，连结CG ，可证DEF DCG ∆∆≌，则EF=CG ，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得GAC AGC ∠=∠ ，根据等角对等边得AC=CG ，即可得出结论.【详解】证明：延长FD 至G ，使DG DF =，连结CG ，∵DC=DE ，∠EDF=∠CDG ，DG DF =∴DEF DCG ∆∆≌，EF CG ∴=，EFG CGD ∠=∠EF AB ∥，EFG BAD ∴∠=∠，又BAD CAD ∠=∠，GAC AGC ∴∠=∠，AC GC ∴=，EF AC ∴=.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等． 9. 如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，90,2BAD AB AD ∠==，求DAC ∠的度数．【答案】45°【解析】【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，则ADB EDC ∆∆≌，根据全等三角形的性质得EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，由AB=2AD 可得EC=AE ，可得△AEC 是等腰直角三角形，即可得∠DAC 的度数．【详解】解：延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，∵BD=CD ，∠ADB=∠EDC∴ADB EDC ∆∆≌，∴EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，∵AB=2AD ，DE AD =∴AB=AE=EC∴△AEC 是等腰直角三角形，∴∠DAC=45°.故答案为45°.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.10. 已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD ⊥于D .求证：222AE BF EF +=.【答案】详见解析【解析】【分析】通过倍长线段DE ，将AE 、BF 、EF 转化到BGF ∆中，再证BGF ∆为直角三角形.=，连结BG、FG，【详解】延长ED至G，使DG DE∠=∠，=，ADE BDGAD BD∴∆≅∆，ADE BDG∴=，A DBG∠=∠，AE BG∴，AC BG∴∠=︒，FBGC FBG180∴∠+∠=︒，90222∴+=，BG BF GF=，又ED FD⊥，ED GD∴=，EF GF222∴+=.AE BF EF【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.11. 阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC ＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：以进一步证得∠G＝∠F AE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图∴，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠F AE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（1）∴思路一的辅助线的作法是：；∴思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【答案】（1）∴延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；∴作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析【解析】【分析】（1）∴依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠F AE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．∴作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠F AE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．【详解】解：（1）∴延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图∴，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，=AD DGADC GD CD BDB ⎧=∠⎪∠⎪⎨⎩＝，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EF A，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；∴作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图∴．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EF A，∵∠EF A＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图∴所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EF A，∵∠BFG＝∠EF A，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．12. 阅读∴1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=10∴AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD 绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB∴AC∴2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是________∴∴2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D∴DE交AB于点E∴DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF∴EF∴∴3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°∴CB=CD∴∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB∴AD于E∴F两点，连接EF，探索线段BE∴DF∴EF之间的数量关系，并加以证明．【答案】∴1∴2∴AD∴8∴∴2）证明见解析；（3∴BE+DF=EF；理由见解析.【解析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明∴ACD∴∴EBD，得出BE=AC=6，【分析】在∴ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得∴BMD∴∴CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在∴BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∴NBC=∴D，由SAS证明∴NBC∴∴FDC，得出CN=CF，∴NCB=∴FCD，证出∴ECN=70°=∴ECF，再由SAS 证明∴NCE∴∴FCE，得出EN=EF，即可得出结论．【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图∴所示：∴AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在∴BDE和∴CDA中，BD=CD，∴BDE=∴CDA，DE=AD，∴∴BDE∴∴CDA（SAS），∴BE=AC=6，在∴ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为2＜AD＜8；（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图∴所示：同（1）得：∴BMD∴∴CFD（SAS），∴BM=CF，∴DE∴DF，DM=DF，∴EM=EF，在∴BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∴∴ABC+∴D=180°，∴NBC+∴ABC=180°，∴∴NBC=∴D，在∴NBC和∴FDC中，BN=DF，∴NBC =∴D，BC=DC，∴∴NBC∴∴FDC（SAS），∴CN=CF，∴NCB=∴FCD，∴∴BCD=140°，∴ECF=70°，∴∴BCE+∴FCD=70°，∴∴ECN=70°=∴ECF，在∴NCE和∴FCE中，CN=CF，∴ECN=∴ECF，CE=CE，∴∴NCE∴∴FCE（SAS），∴EN=EF，∴BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理.13. 如图，在∴ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE∴AD于点E，取BE的中点F，连接AF．(1)若，求BE的长；(2)在（1）的条件下，如果∴D=45°，求∴ABD的面积．(3)若∴BAC=∴DAF，求证：2AF=AD；【答案】（1）（2）9；（3）见详解【解析】【分析】（1）在Rt △AEB 中，利用勾股定理即可解决问题；（2）由∠D ＝45°可证得BE ＝DE ，再利用三角的面积公式计算即可；（3）如图，延长AF 至M 点，使AF ＝MF ，连接BM ，首先证明△AEF ≌△MFB ，再证明△ABM ≌△ACD 即可．【详解】（1）解：∵AB ＝AC ，AC∴AB∵BE ⊥AD ，AE，∴在Rt △AEB中，BE ===；（2）解：∵BE ⊥AD ，∠D ＝45°，∴∠EBD ＝∠D ＝45°，∴BE ＝DE＝∴AD ＝AE+DE=∴11922ABD S AD BE =⋅=⨯=； （3）证明：如图，延长AF 至M 点，使AF ＝MF ，连接BM ，∵点F 为BE 的中点，∴EF ＝BF ，在△AEF 和△MBF 中，AF FM AFE BFM EF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△MBF （SAS ），∴∠F AE ＝∠FMB ，∴AE ∥MB ，∴∠EAB +∠ABM ＝180°，∴∠ABM ＝180°﹣∠BAD ，又∵AB ＝AC ，DB ＝DA ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAD ，∴∠ACD ＝180°﹣∠ACB ，∴∠ABM ＝∠ACD ．又∵∠BAC ＝∠DAF ，∴∠BAC ﹣∠MAC ＝∠DAF ﹣∠MAC ，∴∠1＝∠2．在△ABM 和△ACD 中，12AB ACABM ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABM ≌△ACD （ASA ），∴AM ＝AD ，又∴AM ＝AF +MF ＝2AF ，∴2AF ＝AD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型．14. 阅读材料，解答下列问题．如图1，已知△ABC 中，AD 为中线．延长AD 至点E ，使 DE =AD ．在△ADC 和△EDB 中，AD =DE ，∠ADC =∠EDB ，BD =CD ，所以，△ACD ≌△EBD ，进一步可得到AC =BE ，AC //BE 等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC 中，AD 是三角形的中线，点F 为AD 上一点，且BF =AC ，连结并延长BF 交AC 于点E ，求证：AE =EF ．【答案】详见解析【解析】【分析】延长AD 到M ，使DM=AD ，连接BM ，根据SAS 推出△BDM ≌△CDA ，根据全等三角形的性质得出BM=AC ，∠CAD=∠M ，根据BF=AC 可得BF=BM ，推出∠BFM=∠M ，求出∠AFE=∠EAF 即可．【详解】如图，延长AD 至点M ，使得MD AD =，并连结BM ，∵AD 是三角形的中线，∴BD CD =，在MDB △和ADC △中，,,,BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MDB ADC △≌△，∴AC MB =，BMD CAD ∠=∠，∵BF AC =，∴BF BM =，∴BMD BFD ∠=∠，∵BFD EFA ∠=∠，BMD CAD ∠=∠，∴EFA EAF ∠=∠，即AE EF =．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．。

中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段出现两个或三个中点考虑三角形中线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：∆ADC ≌∆EDB。

作用：转移线段和角。

（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：∆BED ≌∆CFD。

作用：转移线段和角。

（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。

如下图，在Rt ∆ABC 中，A C B 90∠=︒，D 为AB 中点，则有：12CD AD BD AB ===（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。

在∆ABC 中:（1）AC=BC ；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=BD ，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。

（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。

几何模型02——倍长中线法当线段出现一个中点时，特别是三角形中，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法：△ABC 中AD 是BC 边中线方式1： 延长AD 到E ， 使DE=AD ，连接BE例1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB +AC ＞2AD ．证明：延长AD 到M ，使DM ＝AD ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝DC ，∵AD ＝DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM ＝AC ，在△ABM 中，AB +BM ＞AM ，即AB +AC ＞2AD ．例2.已知，如图△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，则中线AD 的取值范围是 ． 解：延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝EC ，在△AEC 中，AC +EC ＞AE ， 且EC ﹣AC ＜AE ，即AB +AC ＞2AD ，AB ﹣AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4，故答案为：1＜AD ＜4．E D A B C练习1.如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是．例3.如图，△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，试求EF的长．解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠DBG+∠ABC＝90°，即∠ABG＝90°，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝＝5．练习2.如图，已知AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB交AB于点E，DF平分∠ADC交AC于点F．求证：BE+CF＞EF．练习3.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．练习4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD 的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB中点，延长AB到D，使BD＝BA，延长CE至F，使得EF＝CE．求证：CD＝2CE．证明：方法一：如右图1，取AC的中点H，连接BH，∵BD＝BA，∴BH是△ACD的中位线，∴CD＝2BH，又∵E是AB的中点，AB＝AC，∴AE＝AH＝AB，在△ABH和△ACE中，，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴CE＝BH，∴CD＝2CE．方法二：∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，在△BEF和△AEC中，，∴△BEF≌△AEC（SAS），∴BF＝AC，∠EBF＝∠A，∵AB＝AC＝BD，∴∠ACB＝∠ABC，BF＝BD，∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBD＝∠CBF，在△CBD和△CBF中，，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF，∴CF＝2CE，∴CD＝2CE．练习5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点．求证：CD＝2CE练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AD是∠EAC的平分线．例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD 交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG＝CF．证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．练习8.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D 作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．例6.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF＝2AD．证明：延长AD至点G，使得AD＝DG，连接BG，CG，∵AD＝DG，BD＝CD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC＝AF＝BG，AB＝AE＝CG，∠BAC+∠ABG＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABG，在△EAF和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF＝AG，∵AG＝2AD，∴EF＝2AD．练习9.如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC中点，连接P A交EF于点Q，试探究AP与EF的数量和位置关系，并证明你的结论．方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN例7.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．证明：如图，过点D 作DG ∥AE ，交BC 于点G ；则△DGF ≌△ECF ，∴DG ＝CE ；∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ；∵DG ∥AE ，∴∠DGB ＝∠ACB ，∴∠DBG ＝∠DGB ，∴DG ＝BD ，∴BD ＝CE ．练习9.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，BD ＝CE ，DE 交BC 于点F ，DF ＝EF ，DP ∥AE 交BC 于点P ，求证：AB ＝AC ．F E D C B A N D C B A M课后练习1、如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD．（1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．（2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．3.如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：（1）AE平分∠DAB；（2）AB+CD＝AD．4.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），证明：EG＝CG且EG⊥CG．（2）如图（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，证明：EG＝CG且EG⊥CG．5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FC的长．6.如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，求证：AM⊥CD．7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．。

中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交【模型2】遇多个中点,构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中,/ ABC = 60°, G是DF的中点,连接GC、GE.(1)如图1,当点E在BC边上时,假设AB=10, BF = 4,求GE的长；(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,线段GE、GC有怎样的数量和位置关系,写出你的猜测,并给予证实；(3)如图3,当点F在CB的延长线上时,(2)问中的关系还成立吗？写出你的猜测,并给予证实.【解答】(1)延长EG交CD于点H易证实△ CHG^ACEG,那么GE = iV3D H CA B J(2)延长CG交AB于点I,易证实△ BCE^A FIE,那么^ CEI是等边三角形,GED C1、 A I B F(3)D CJ F【例2】如图,在菱形ABCD中,点E、F分别是E =/ BAF.(1)求证：CE=CF;(2)假设/ ABC=120°,点G是线段AF的中点,连接.e—类似的为什么要延长CG呢,可以延长EG Q吗？=73 GC,且GEXGC,々什么是证实△ BCE C 04FIE你理解吗？、)厂厂你能写出解题思二号* 路和过程吗?3C、CD 上一点,连接DE、EF,且AE=AF, / DAEDG、EG,求证：DG^EG.A DB E C【解答】(1)证实△ ABE^A ADF 即可；(2)延长DG与AB相交于点H,连接HE,证实△ HBE^A EFD即可【例3】如图,在凹四边形ABCD中,AB=CD, E、F分别为BC、AD的中点,BA交EF延长线于G点, CD 交EF 于H 点,求证：/ BGE=Z CHE.B C【解答】取BD中点可证,如下图:角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图,平行四边形ABCD中,AE平分/ BAD交BC边于E, EFXAE交边CD于F点,交AD边于H ,延长BA 至ij G点,使AG=CF,连接GF.假设BC=7, DF = 3, EH = 3AE,那么GF的长为.【解答】延长FE、AB 交于点I ,易得CE = CF, BA= BE,设CE= x,贝U BA=CD = 3+x, BE=7-x, 3+x=7-x, x=2, AB=BE=5, AE= 710,作AJXBC,连接AC,求得GF = AC=312手拉手模型【条件】OA=OB, OC=OD, /AOB = /COD【结论】 △OAC^^OBD, Z AEB = Z AOB = Z COD 〔即都是旋转角〕；OE 平分/ AEDABCD 的边长为6,点O 是对角线 AC 、BD 的交点,【答案】6/5 5于F,交BC 于点G,求/ DFG .【答案】45CD 上,且DE2CE ,连接BE.过点C 作CFXBE,垂足是F,连接OF,那么OF 的长为【例6】如图, △ ABC 中,/ BAC= 90°, AB = AC, AD ,BC 于点 D,点 E 在 AC 边上,连接 BE, AGXBE【例5】〔2021重庆市A 卷〕如图,正方形 导角核心图形：八字形AD【例71〔2021重庆B卷〕如图,在边长为6#的正方形ABCD中,E是AB边上一点, 一点,BE = DG,连接EG, CF,EG交EG于点H,交AD于点F,连接CE、BH.【答案】5 .2G是AD延长线假设BH= 8,那么FGA邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图,四边形ABCD 中,AB=AD, Z BAD + Z BCD = Z ABC + Z ADC= 180 【结论】AC平分/ BCDA【模型2】【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD, Z BAD = Z BCD = 90°【结论】① / ACB = /ACD = 45°; ② BC+CD=j2AC［例8］如图,矩形ABCD中,AB=6, AD = 5, G为CD中点,DE=DG, 56,8£于5,贝U DF为A B［例9］如图,正方形 ABCD 的边长为3,延长CB 至点M,使BM = 1 ,连接AM,过点B 作BNLAM, 垂足为N, O 是对角线AC 、BD 的交点,连结 ON,那么ON 的长为.【答案】473+4【例10］如图,正方形 ABCD 的面积为64, 那么DG 的长为.△ BCE 是等边三角形, F 是CE 的中点,AE 、BF 交于点G,模型又来了!半角模型【模型1】【条件】如图,四边形ABCD 中,AB=AD, Z BAD + Z BCD = Z ABC + Z ADC=180°, / EAF =1 B BAD, 点E在直线BC上,点F在直线CD上2【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系【模型2】【条件】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,且满足/ EAF = 45°, AE、AF分别与对角线BD交于点M、N.【结论】① BE + DF = EF;②S ABE S ADF S AEF；③ AH = AB;④C ECF 2AB;⑤ BM2+DN2= MN2;⑥△ ANM S^D NF S^ BEMs^AEFs^ BNAs^ DAM 〔由AO: AH=AO: AB=1: 应可得到△ ANM 和AAEF 相似比为1:应〕⑦ S AMN S四边形MNFE；AOM ADF ; △ AON S^ ABE;⑨△ AEN为等腰直角三角形,/ AEN = 45°, AAFM为等腰直角三角形,/ AFM =45°;⑩A、M、F、D四点共圆, A、B、E、N四点共圆,M、N、F、C、E五点共圆.【模型2变形】【条件】在正方形 ABCD 中,E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的点,且满足/ EAF = 45 【结论】BE + EF=DF【模型2变形】【条件】在正方形 ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点,且满足/ EAF=45° 【结论】DF + EF = BE【例11］如图,4ABC 和△ DEF 是两个全等的等腰直角三角形, / BAC=/ EDF = 90° , ADEF 的顶点E与4ABC 的斜边BC 的中点重合,将^ DEF 绕点E 旋转,旋转过程中,线段 DE 与线段AB 相交于点P, 射线EF 与线段AB 相交于点G,与射线CA 相交于点Q.假设AQ=12, BP= 3,那么PG =.【解答】连接AE,题目中有一线三等角模型和半角模型 设 AC = x,由△ BPCs^CEQ 得c, /上 上 一 3/ ( x) = 2 x/(x+12),解得 x=12 设 PG = y,由 AG 2+BP 2=PG 2 得 32+(12 —3 —x)2=x 2,解得 x= 5BP BE -=TTCE CQ如图,在菱形 ABCD 中,AB=BD,点E 、F 在AB 、AD 上,且 AE=DF.连接BF 与DE 交于点 CG 与BD 交于点 H ,假设CG = 1 ,那么S 四边形BCDQ =.【例12】 G,连接【解答】一线三等角模型【条件】/ EDF =ZB=ZC,且DE = DF【结论】△BDE^ACFDAB D C【例13］如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点,EB=3, GC = 4,连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形,那么正方形的边为.【解答】如图,构造一线三等角模型,△ EFH^AFGI那么BC=BF+CF = HF- BH+FI-CI =GI-BH + HE-CI =和A DH B F C I弦图模型正方形内或外互相垂直的四条线段新构成了同心的正方形【例14】如图,点E为正方形ABCD边AB上一点,点F在DE的延长线上,G, / FAB的平分线交FG于点DG= . H,过点D作HA的垂线交HA的延长线于点AF = AB, AC与FD交于点I.假设AH = 3AI, FH = 2\f2,那么IDAB【例15］如图,△ ABC中,/ BAC=90° , AB = AC, AD,BC于点D,点E是AC中点,连接BE,作AG LBE于F,交BC 于点G,连接EG,求证：AG+EG=BE.【解答】过点C作CH,AC交AG的延长线于点H ,易证H【例16］如图,矩形ABCD 是一个长为1000米,宽为600米的货场,A 、D 是入口,现拟在货场内建一 个收费站P,在铁路线BC 段上建一个发货站台 H,设铺设公路 AP 、DP 以及PH 之长度和为1,求l 的最 小值.最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马A.・BT /1\ * 1---------- P.2、费马点【两边之差小于第三【解答】600 500J3,点线为最短.【例17］如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE= DF ,连接CF交BD于G,连接BE交AG于H,假设正方形的边长为2,那么线段DH长度的最小值为 .【解答】如图,取AB中点P,连接PH、PD,易证PH>PD- PH 即DH > <5 -1 .【例18］如下图,在矩形ABCD中,AB=4, AD = 4<2 , E是线段AB的中点,F是线段BC上的动点,△ BEF沿直线EF翻折到△ B EF ,连接DB , DB最短为【解答】4哪个点是圆心？应该将圆心与哪个点相连？用谁减去谁呢？【例19］如图1, DABCD中,AELBC于E, AE=AD, EGXAB于G,延长GE、DC交于点F,连接AF .(1)假设BE= 2EC, AB= J13 ,求AD 的长；(2)求证：EG=BG+FC;(3)如图2,假设AF = 5<2 , EF = 2,点M是线段AG上一动点,连接ME ,将^ GME沿ME翻折到△ G ME ,连接DG ,试求当DG取得最小值时GM的JA DB E<VC B图1 FE【解答】(1) 3(2)如下图A DH F(3)当DG最小时D、E、G三点共线A D4/B E y CFA _D A D E W CB E W C到2 F备用图F、y0 为什么这样做辅助线？还后同他方法吗？-L. ._T-为什么为什么为什么？](自己去算吧！！！JT*~ _______ A. > ---------课后练习题【练习1】如图,以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 知AE 、BE 的长分别为3、5,求三角形 OBE 的面积.【练习2】1问题1:如图1,在等腰梯形 ABCD 中,AD // BC, AB=BC = CD,点M, N 分别在 AD , CD 上,/ MBN —2/ABC,试探究线段 MN, AM, CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜测；问题2:如图2,在四边形 ABCD 中,AB=BC, / ABC + / ADC = 180° ,点 M, N 分别在DA, CD 延长 线,假设/ MBN= 1 / ABC 仍然成立,请你进一步探究线段MN, AM, CN 又有怎么样的关量关系？写出你2 的猜测,并给予证实.图1图2【解答】 问题一 方法一：如下图解得GM GN MN3 17 3ABE, / AEB=90° , AC 、BD 交于 O.已方法二：如下图问题二方法一方法【练习3】：如图1,正方形ABCD中,为对角线BD上一点,过E点作EFXBD交BC于F,连接DF , G为DF中点,连接EG, CG .(1)求证：EG=CG 且EGLCG;(2)将图1中4BEF绕B逆时针旋转45°,如图2所示,取DF中点G,连接EG, CG,问(1)中的结论是否仍然成立？假设成立,请给出证实；假设不成立,请说明理由.(3)将图1中4BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立？【解答】(1)略(2)方法一：如下图方法二：如下图方法。

初中数学常见辅助线的做法一、中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.(2)三角形中位线定理.2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一二4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点, 等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.二、角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型.已知。

是4MON平分线上一点，(1)若以_L 0M于点4 ,如图1,可以过户点作PB1ON于点&则与二以.可记为“图中有角平分线, 可向两边作垂线”.(2)若点4是射线0M上任意一点，如图2,可以在ON上截取(用=0/1 ,连接/7人构造△()*?三△ /%.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现二⑶若翼妆舔踹嚼鼠3耳以黠部交0N于点从周造A4 0H基尊健三角形/是底边4加勺中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看二(4)若过P点作PQ//0N交0M于点0,如图4,可以构造△P0Q是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现二三、轴对称模型的构造下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.(1 )线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的儿种题型及解题作图方法如下表所示.四、圆中辅助线构造在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对.提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

开场：1•行礼；2•晨读；3•检查作业；4•填写表格
为BC边上中点，FA的延长线交DE于点G,求证：①DE二2AF;©FG丄DE.
7•如图所示,在RfABC中,zBAC二90°,点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED丄FD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形，或者是钝角三角形？
C
8•四边形ABCD是矩形，E是BC边上的中点〃ABE沿着直线AE翻折，点B落在点F处,直线AF与直线CD 交于点G，请探究线段AB、AG、GC之间的关系.
2•已知，如图，四边形ABCD中,AC、BD相交于点0,且AC二BD,E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于点M、N.求证：OM二0N.
3.BD、CE分别是的MBC外角平分线，过A作AF丄BD,AG丄CE,垂足分别是F、G,易证
FG二1
(AB+BC+AC)。

2
(1)若BD、CE分别是MBC的内角平分线，FG与MBC三边有怎样的数量关系？画出图形
3•如图“ABC中，AB二BC.ABC二90°,点E、F分别在AB、AC上，且AE二EF,点0、M分别为AF、CE的中点•求证：(1)OM二2CE;(2)OB二肿OM.
4.如图，/DBC二zBCE二90°,M为DE的中点，求证：MB二MC.
hr
教
学
后
记
学生签名：家长签名：。