浅谈线性规划问题的灵敏度分析符龙飞2016年5月15日摘要线性规划是运筹学的一个重要的分支，本文主要讨论有关线性规划问题的灵敏度分析，灵敏度分析顾名思义就是指对事物或者使整个系统因为其自身周围环境条件变化而表现出来的敏感程度的分析，在线性规划问题中，我们都假定技术数据、资源数据和价值数据向量或者矩阵中元素为已知常数，但是在实际的问题工作中这些数据往往只是一些预测的数据和估计值，在处理实际问题的建立线性规划模型时，这些数据并不是不会变化的，不是很精确,有可能进行了修改.因此本文讨论在实际问题中当技术系数、资源系数、价值系数以及增加一个变量和增加一个约束条件时，原问题最优解的变化，对原线性规划问题进行灵敏度分析.关键词：线性规划；灵敏度；最优解AbstractLinear programming is an important branch of operational research, this paper mainly discusses the sensitivity analysis of linear programming, sensitivity analysis of the definition refers to the analysis of the sensitivity of its own because of changes in ambient conditions and displayed on things or to make the whole system of linear programming problems, we assume that the technology of data resources the data value and data vector or matrix elements in the known constant, but in the actual problems in these data are just some forecast data and estimates, the establishment of a linear programming model to deal with practical problems, will not change the data, is not very accurate, may be modified in this paper.When discussing technical factors, in the actual problem of resource factor, value factor and add a variable and add a constraint condition, the original problem of optimal solution Sensitivity analysis of the original linear programming problem.Keywords: Linear programming; sensitivity; optimal solution目录第一章前言 (1)1.1 线性规划问题及线性规划发展史 (1)1.2 灵敏度分析的概念 (1)1.3线性规划模型 (1)1.4灵敏度分析的方法及步骤 (2)1.5 符号说明 (2)第二章技术系数a的变化分析 (3)ij2.1 非基变量系数列向量发生变化 (3)2.2 基变量系数列向量发生变化 (4)第三章资源系数b的变化分析 (7)ic的变化分析 (10)第四章价值系数i4.1 非基变量价值系数变化 (10)4.2基变量价值系数变化 (11)第五章增加新的变量的变化分析 (13)第六章增加新约束条件的变化分析 (16)总结 (18)[参考文献] (19)第一章前言1.1 线性规划问题及线性规划发展史线性规划是我们研究运筹学最基本的也是最重要的问题之一，是运筹学中相对比较成熟的一个重要分支.线性规划是近几十年发展起来的一种数学规划的方法，它主要研究在给定的线性不等式或者线性方程约束条件下，对所求的目标函数在一定意义下的极值问题，使其线性指标最优.它广泛应用于工、商、农、军事、交通运输、经济管理以及计划等各个领域.具有应用广泛、适应性强、计算技术比较简单等特点，线性规划在理论上已经也来越成熟，其应用也越来越广泛和深入[1].线性规划的发展是运筹学史上几代人智慧的结晶.1939年，原苏联数学家康托洛维奇发表了《生产组织与计划中的数学方法》学术报告，首次提出了线性规划问题，但是他没有找到一个统一的求解这类问题的方法，1941年美国学者希奇柯克独立的提出了运输问题这样一类特殊的线性规划问题，1947年，美国学者丹捷格提出求解线性规划的单纯形法和许多相关的理论，为线性规划奠定了理论基础，推动了线性规划的发展.自此以后线性规划在计算上趋向成熟，应用也更加广泛深入[2].1.2 灵敏度分析的概念灵敏度分析顾名思义就是指对事物或者使整个系统因为其自身周围环境条件变化而表现出来的敏感程度的分析.在线性规划问题中，我们都假定技术数据、资源数据和价值数据向量或者矩阵中元素为已知常数，但是在实际的问题工作中这些数据往往只是一些预测的数据和估计值，在处理实际问题的建立线性规划模型时，这些数据并不是不会变化的，不是很精确,有可能进行了修改.如果市场条件发生了变动，价值系数的值就会发生变化，技术系数会随着工艺技术条件的变化而变化，同样，在资源投入量发生变化时，资源系数也会随之发生变化，它的值会根据资源投入后能产出多大经济效果来决定的一种决策选择.因此，当这些数据发生变化时，线性规划的最优目标值或者最优解会发生怎样的变化？或者是不是这些参数在一定的范围内其线性规划问题的最优解不会发生变化？这就是本文我们研究线性规划问题的灵敏度分析所要解决的问题.1.3线性规划模型线性规划模型的标准形式如下：max z CX(0)0AX b b X =≥⎧⎨≥⎩我们在求解线性规划问题时首先就应该把数学模型转化成标准形式.1.4灵敏度分析的方法及步骤要进行灵敏度分析，首先要弄明白的就是上述问题：①当系数发生变化时，最优解或者最优目标值发生变化，我们如何简便地求出新的最优目标值和最优解；②当系数在什么一定范围内，线性规划的最优解是不变的.我们可以将灵敏度度分析归纳为：（1）将参数的改变计算反映到最终单纯形表上来，具体的计算方法是按下列公式计算出由技术参数、资源参数和价值参数的变化引起的最终单纯形表上有关数字的变化，即*1b B b -∆=∆*1j j P B P -∆=∆()()*1mj j j j ij i i c z c z a y =∆-=∆--∑（2）检查原问题是否仍为可行解； （3）检查对偶问题是否仍为可行解.（4）我们可以按照下表1-1所列出的情况得出结论或者得出继续计算的步骤[3].表1-1原问题 对偶问题 结论或者继续计算的步骤 可行解 可行解 表中的解仍为最优解 可行解 非可行解 用单纯法继续迭代求最优解 非可行解 可行解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 非可行解非可行解引入人工变量，编制新的的单纯形表，求最优解1.5 符号说明①ij a 技术数据； ②i b 资源数据； ③j c 价值数据； ④B 最优基； ⑤s .t . 约束条件.第二章 技术系数ij a 的变化分析2.1 非基变量系数列向量发生变化如果我们用最优基B 来说，当非基变量j x 的系数列向量j A 改变为'j j jA A A =+∆就会有变化后的检验数为()'1j j B j j j j c C B A A Y A σσ-=-++∆=+∆ ()1,2,,j n =[4]在这里，对偶可行解为1B Y C B -=，我们要使原来的线性规划最优基B 仍然保持不变的话，必须有'0j σ≥，即j j Y A σ∆≥- ()1,2,,j n =而当()0,,,,0Tj ij P a ∆=∆时，则由上式可得()10,,0im i ij j ij y y y y a a σ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∆≥-∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们可以导出 当0i y >时，有jij ja y σ∆≥-；当0i y <时，有jij ja y σ∆≤-.例1已知线性规划问题12345max 2300Z x x x x x =---++s .t .()12341234347901,2,3,4,5j x x x x x x x x x j ⎧+++=⎪⎪+++=⎨⎪≥=⎪⎩ 23a 怎样变化时最优解保持不变？解：最终单纯形表如下表2-1j c2- 3- 1-0 0bB C B X 1x2x3x 4x5x2-1x 1 0 1-43 13- 1 3-2x0 1 2 13- 13 2j σ353138Z =-由此表可得[]133323234113312,311331233B cC B p a a σ-⎡⎤-⎢⎥⎡⎤=-=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=+ 32323120233a a σ=+≥⇒≥-所以[232,)a ∈-+∞原最优解保持不变.2.2 基变量系数列向量发生变化仍然对于最优基B 来说，当基变量j x 的系数列向量j A 发生变化的时候，对于基向量B 和它的逆矩阵1B -都会有一定的影响，则线性规划的解的可行性、最优性以及它的最优目标值都会随之发生变化.我们要求出一个一般公式是很难的，因此，我们会用单纯形法重新求解变化后的线性规划问题.对于重新的求解可以在原来的单纯形终表上变换数据后进行迭代[5].例2已知线性规划问题1234max 534Z x x x x =+++s .t .()123412341234232800543412003453100001,2,3,4jx x x x x x x x x x x x x j +++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥=⎩如果非基变量3x 的系数由135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦变为141⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么原线性规划的最优解是否还是最优？如果不是求出最优.解:由3110431154A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦则330115110,,114444Y A σ⎡⎤⎛⎫⎢⎥∆==-<-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦因此不满足j j Y A σ∆≥-，那么原线性规划的最优解就不再是最优解了，根据灵敏度分析的步骤，求新的最优解我们应该先求出新的检验数'1'3330130,,111044B c C B A σ-⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-+=-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦所以可以取3x 为进基变量，然后计算1'311111401143312014B A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦用它去替换原线性规划最优单纯形表表2-1的第3列，从而得到表2-2，继续迭代可以得到表2-3，如下表2-1 原线性规划最优单纯形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 100 140 134- 0 1 141- 4x20022-111-2x100 34-1 114 0 0 34-1 1300134114141表2-2 改变后的单纯形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 100 140 1 0 1 141- 4x 200 20 31 0 11-2x100 34-1 2- 0 0 34-1 13001341-141表2-3 迭代后的单形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 1003 512- 0 0 13- 1 112-23- 4x 2003 23 0 1 13 0 13 13- 2x7003 712 1 0 23 0 112- 13 41003471213712 23我们由上表就可以看得出来，求得的最优解*7002001000,,,0,,0,0333X ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及改变后的最优值*41003z =.第三章 资源系数i b 的变化分析我们知道，资源系数发生变化的问题关键就是怎样把i b 的变化直接的反映到原来线性规划问题的最终单纯形表，对于单纯形法的迭代过程，其实就是矩阵的初等变换过程，用所学的知识我们知道，对于分块矩阵[]BI我们进行初等变换时，把矩阵B 变成单位矩阵I ,会有单位矩阵I 变成矩阵1B -，即1IB -⎡⎤⎣⎦因此我们可以知道，若在已知的最终单纯形表中基可行解所对应的基“B ”（最终单纯形表中的基变量在初始单纯形表中的列向量所构成的矩阵），即可在最终单纯形表中找到“1B -”（初始单纯形表中的单位矩阵I 在最终单纯形表中所对应的矩阵），我们可以有'1b B b -=[6].例3对于线性规划问题12max 2z x x =+s .t .212121251562245,0x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩ 如果把第二个约束条件的右端项增大到32，那么分析一下最优解如何让变化.解：由最终单纯形表表3-1表3-1 最终单纯形表1x2x3x4x5x3x 152 0 0 1 54 152- 1x 72 1 0 0 14 12- 2x32114- 32i i z c -0 0 014 12因为003224880b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由*1b B b -∆=∆，得*51514201011082420213042b ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦将其加到表3-1一列数字上的最终单纯形表的基变量解，得表3-2.表3-21x2x3x4x5x3x 352 0 0 1 54 152- 1x 112 1 0 0 14 12- 2x12- 0 1 0 14- 32 i i z c -1412又因为上表中原问题是非可行解，因此我们需继续计算，采用对偶单纯形法可以得到表3-3表3-31x2x3x4x5x3x 15 0 5 1 0 0 1x 5 1 10 0 12x20 4-0 1 6-i i z c -12从表中我们可以看出新的最优解15x =，*2510z =⨯=.第四章 价值系数i c 的变化分析4.1 非基变量价值系数变化假设()12n A p p p =.若j j j c c c =+∆，j N ∈,则1T j j B j j j c c B p c σσ-=-=+∆如果使最优基不变，则必须有0j σ≤，因此非基变量价值系数j c ，j N ∈的变动范围应该满足j j c σ∆≤-例4已知线性规划问题123max 234Z x x x =---s .t .123412341234523234,,,,0x x x x x x x x x x x x x ---+=-⎧⎪-+-+=-⎨⎪≥⎩求解价值系数在什么范围变化时，最优解不变.解：表4-1是最终单纯形表表4-1j c →2-3- 4- 0 0b cB X b1x2x3x4x5x3-2x 25 0 0 15- 25- 15 2-1x1151 0 75 15- 25- j σ95- 85- 15- 由单纯形法计算可得表4-2表4-2j c →2-3-34c -+∆0 0b cb x b1x2x3x4x5x3-2x 25 0 0 15- 25- 15 2-1x115175 15- 25- j σ0 0395c -+∆85- 15- 从表4-2中我们可以看出当395c ∆≤时，最优解不变. 4.2基变量价值系数变化如果B B B c c c =+∆,则对于j N ∀∈,11TT B j j j j B j c c B p c B p σσ--=-=-∆这时，若保持最优基不变，一定要使得0j σ≥，j N ∀∈.所以基变量价值系数Bc 满足不等式组的取值范围为1T B j jc B p j N σ-∆≤∀∈例5已知线性规划问题123max 2z x x x =-++s .t .1231241234624,,,0x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪≥⎩当1c 变为4时，求新问题的最优解.解：这个线性规划模型的最终单纯形表为表4-3 .表4-31x2x3x4x2x 6 1 1 1 0 4x1030 11 i i 1c 是非基变量的系数，则()1133,132c c ∆≤--=≤-+=所以，1c 在12c ≤的范围内变化时，最优解不变.当1c 变为4时，超出范围，则重新计算()()1'1241144,42,003TB j c B p c c p σ-⎛⎫=-=-=-> ⎪⎝⎭把表4-3中13σ=-变为2，选择1x 为入基变量，4x 为出基变量，进行迭代，得到的最终单纯形表，表4-4表4-41x2x3x 4x2x83 0123 13- 4x 1031 013 13 i i c z - 0 053- 23- 新的最优解为：1234108,,033x x x x ====；最优值：*563z =.第五章 增加新的变量的变化分析增加一个新的变量实际上就是在单纯形表中增加一列，假如增加一个新的变量1n x +，1n c +是它所对应的价值系数，()111211,,,Tn n n mn A a a a ++++=是它在约束矩阵中的对应系数列向量，则增加一列'11'''2111'1n n n n mn a a A B A a +++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其检验数1111n n B n c C B A σ-+++=-+那么就得到了新问题的单纯形表，如果10n σ+≥，则原线性规划问题的最优解不变.我们通过具体例题来讨论增加新的约束条件.例6某生产加工厂计划用两种不同的原料生产四种商品，四种商品的收益和消耗的原料数以及消耗的原料定量如表5-1表5-1产品（万件）/原料（kg ）甲 乙 丙 丁 提供量 第一种原料3 2 104 18 第二种原料 0 0 2 1/2 3 求：如果增加第一种原料，增加多少原最优基不变？解：设生产甲、乙、丙、丁四种产品各1x ，2x ，3x ，4x 万件，则线性规划模型为1234max 985019Z x x x x =+++s .t .()1234343210418123201,2,3,4j x x x x x x x j ⎧+++≤⎪⎪+≤⎨⎪⎪≥=⎩增加第一种原料时，1b 就会发生变化，设1118b b =+∆，1(18,3)b b =+∆，则1111210221833314311636b b B b b -⎡⎤⎡⎤-+∆⎢⎥⎢⎥+∆⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则需满足12203b +∆≥，11106b -∆≥原最优基不变，得136b -≤∆≤，即11524b ≤≤.函数1112(0,0,1,2)63t X b b =-∆+∆，113883Z b =+∆是1b ∆最优值和最优解，当16b ∆>，13b ∆<-时，原来的最优基就会改变，原问题的最优基如下表表5-2.表5-2j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 243 0 1 23 103-2 503x12- 13- 1 0 16- 43 1j σ4- 23- 0133- 103- 88Z =当16b ∆>时，情形如下，常数项用111223116b B b b -⎡⎤+∆⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-∆⎢⎥⎣⎦代替，用对偶单纯法得表5-3.表5-3j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 243 0 1 23 103-1223b +∆503x12- 13- 116- 43 1116b -∆j σ4-23- 0 0133- 103-113883Z b =+∆用对偶单纯形法求解，第二行需乘以3-,第一行加上第二行乘以43-,可以得到单纯形表表5-4.表5-4j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 00 41 02683x321 3-0 124-1132b ∆- j σ3- 02- 04-6-1904Z b =+∆当11302b ∆-≥，即16b ∆>，新的最优基42(,)B P P =,最优解为11(0,3,0,6)2b ∆-，最大收益为1904b +∆万元.第六章 增加新约束条件的变化分析我们在处理实际问题时，往往会遇到在其问题的基础上增加新的约束条件，如果新添加的约束条件能够使原来的最优解得到满足，那么它的最优解一定不变，反之，则需对问题继续进行分析.例7对于线性规划问题 12max 2z x x =+s .t .212121251562245,0x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩增加一个新的约束条件123212x x +≤，分析最优解的变化.解：把原来线性规划问题最优解带入新的约束条件中，因为 73273212222⨯+⨯=> 则约束条件可以写成1263212x x x ++=，6x 为基变量，反映到表3-1中得表6-1.表6-11x2x 3x 4x5x6x 0 3x 152 0 0 1 54 152- 0 2 1x 72 1 0 0 14 12- 0 1 2x 320 1 0 14- 320 06x12 3 2 0 01 i i c z -14121将1x ，2x 列系数变为单位向量，用对偶单纯法进行迭代，得最终单纯形表，表6-2.表6-21x2x 3x 4x5x 6x0 3x 15 0 0 1 52 0 5-2 1x 4 1 0 0 13 0 13-1 2x 0 0 1 0 12- 0 16x13 2 0 16 1 23- i i c z -16- 013-则新的最优解为*124,0,8x x z ===.总结从本文中讨论我们可以看出，在线性规划问题中，一些数据发生变化时，特别是当数据变化的幅度较小时，用灵敏度分析新的问题要比从头求解新问题简便的多，因此我们要学会掌握线性规划问题的灵敏度分析并加以推广.[参考文献][1] 李小光.线性规划中的灵敏度分析[J].2000,20(3),15-20.[2] 张伯声．运筹学[M]．北京：科学出版社，2008，65-75．[3] 党耀国，李邦义．运筹学[M]．北京：科学出版社，2009，61-73．[4] 施泉生.运筹学[M].北京：中国电力出版社，2004，44-50.[5] 孙麟平.运筹学[M].北京：科学出版社，2005，32-38.[6] 吕蓬，潘志.运筹学数学规划篇[M].北京：清华大学出版社，2011，32-40.。
