人教A版高中数学高二选修2-1学案四种命题间的相互关系

专题：命题及其关系与充分、必要条件※知识要点1．命题(1)概念：用语言、符号或式子表达的，可以叫做命题，其中判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做．(2)一般形式：若/如果，则/那么.2．四种命题及其关系(1)四种命题若用p和q分别表示原命题的条件和结论，四种命题的形式是：①原命题：若则或；①逆命题：若则或；①否命题：若则或；①逆否命题：若则或．注意：命题p的否定是指，记作；(2)四种命题间的关系：(3)四种命题的真假性关系①两个命题互为逆否命题，它们的真假性；①两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性．3．充分条件与必要条件(1)若p①q，则p是q的条件，q是p的条件；(2)若p①q，则p是q的条件，q是p的条件；(3)若p①q，q /p，则p是q的条件，同时，q是p的条件；(4)若p q，q /p，则p是q的条件，同时，q是p的条件；注意：充分条件与必要条件的具备以下两个特征：①对称性：若“p⇒q”，则“”；②传递性：若“p⇒q且q⇒r”，则p与r的关系是．※题型讲练【例1】判断下列命题的正误：(1)“x2＋2x－3<0”是命题()(2)“sin 45°＝1”是真命题()(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真()变式训练1：1．按要求写出下列命题的相关命题并判断其真假：(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题；(2)命题“若x＝4，则x2＋3x－4≥0”的否命题；(3)命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；(4)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题；【例2】在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．变式训练2：1．给下列命题选择合适的条件：A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC①BD”的；(2)若命题p：φ＝π2＋kπ，k①Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的；(3)已知命题p：m<－2，命题q：方程x2－x－m＝0无实根，则命题p是q的；(4)给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则命题p是¬q的．2．已知p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；①p是q的充分条件而不是必要条件；①r是q的必要条件而不是充分条件；①￢p 是￢s 的必要条件而不是充分条件； ①r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是 ．【例3】设x ，y ①R ，求证：|x +y |=|x |+|y |的充要条件是xy ≥0．变式训练3：1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1)， 求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.【例4】已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，根据下列条件，分别求实数m 的取值范围： (1)若x ①P 是x ①S 的必要条件；(2)若¬P 是¬S 的必要不充分条件． 变式训练4：1．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C ．12<a <1 D ．a ≤0或a >12．若命题“x <m －1或x >m ＋1”是命题“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．3．设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． ※课后练习1．命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．“若x <y ，则x 2<y 2” B ．“若x >y ，则x 2>y 2” C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2” D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2” 2．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则命题“m ＝－3”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．给定两个命题p 、q ，若¬p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p的必要而不充分条件，则a 的取值范围是( )A ．(4,＋∞)B ．(－∞,－4)C ．(－∞,－4]D ．[4,＋∞) 5．命题“任意x ①[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤56．命题“如果x 、y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的否命题是 ． 7．给下列命题选择合适的条件：A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (1)“a ＝2”是“{1，2}⊆{1，a ，b }”的 ；(2)“m <14”是“方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的_______；(3)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的_______； (4)“a ＝1”是“直线x －2ay ＝1和ax －2y ＝1平行”的_____； 8．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是 ____ ．9．已知集合A ＝{x |12<2x <8，x ∈R}，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________．10．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.11．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．。

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【互动探究】若题2(2)的命题变为: 若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的 真假? 【解析】命题“若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根” 的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则 a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命 题是真命题.
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它们之间的关系为:
互逆命题
互否命题
互为逆否命题
原命题与逆命题 原命题与否命题 原命题与逆否命题 否命题与逆否命题 逆命题与逆否命题 逆命题与否命题
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2.对四种命题真假关系的两点说明
(1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中
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有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶
【变式训练】判断下列命题的真假,并说明理由: (1)不内接于圆的四边形的对角不互补. (2)若a+b<0,则a,b至少有一个小于0. 【解析】(1)“不内接于圆的四边形的对角不互补”的逆否命 题为“对角互补的四边形内接于圆”,真命题,所以原命题是真 命题. (2)“若a+b<0,则a,b至少有一个小于0”的逆否命题为“若 a≥0,b≥0,则a+b≥0”,真命题,所以原命题是真命题.
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提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命 题也没有. (2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真 假性相同,为等价命题. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若0<x<1, 则x>1,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1)× (2)√ (3)√

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名师点拨 四种命题之间共有互逆、互否、互为逆否三种关系:(1) 互逆关系:原命题与逆命题;否命题与逆否命题;(2)互否关系:原命题 与否命题;逆命题与逆否命题;(3)互为逆否关系(等价关系):原命题 与逆否命题;逆命题与否命题.
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做一做2】 给出以下命题:
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1.四种命题 (1)逆命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别为另一个命题的
结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题,其中一个 叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.如果原命题为“若p,则q”, 则其逆命题为“若q,则p”.
(2)否命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别为另一个命题的 条件的否定和结论的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互否命 题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的否命题.如果原命题 为“若p,则q”,那么其否命题为“若¬p,则¬q”.
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(3)逆否命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别为另一个命题的 结论的否定和条件的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互为逆 否命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆否命题.如果 原命题为“若p,则q”,那么其逆否命题为“若¬q,则¬p”. 名师点拨 1.四种命题中的任何一个都可以作为原命题,即命题的 四种形式中,原命题是不确定的. 2.“互为逆否命题”与“逆否命题”是不同的,互为逆否命题指的是 两个命题之间的关系,具有双向性,而逆否命题指的是一个命题,具 有单向性.
“等边三角形有两边相等”的逆命题.其中真命题的个数是( )

1．1.2 & 1.1.3四种命题四种命题间的相互关系预习课本P4～8，思考并完成以下问题1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？2．什么样的两个命题有相同的真假性？3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？[新知初探]1．四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．2．四种命题结构3．四种命题之间的关系4．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性( ) (2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系( ) 答案：(1)√ (2)√2．已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( )A ．若a 2＋b 2<12，则a ＋b ≠1B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2<12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1答案：C3．若a ≠0，则ab ≠0的逆命题是________． 答案：若ab ≠0，则a ≠04．命题p ：若a ＝1，则a 2＝1；命题q ：若a 2＝1，则a ＝1，则命题p 与q 的关系是________． 答案：互逆命题四种命题的概念[典例] 否命题．(1)全等三角形的对应边相等； (2)当x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0.[解] (1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等； 逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等； 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等； 逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等． (2)原命题：若x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0； 逆命题：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2；否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．[活学活用]写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0.解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.四种命题真假的判断[典例(1)“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题．(2)“正三角形都相似”的逆命题．(3)“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．[解](1)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．(2)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题．(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．因为方程x2＋x－m＝0无实根，所以判别式Δ＝1＋4m<0，解得m<－1 4，故m≤0，为真命题．[一题多变]1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？解：原命题的逆命题为“若x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．因为方程x 2＋x －m ＝0有实根，所以判别式Δ＝1＋4m ≥0，所以m ≥－14，故逆命题为假命题．2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m >0，则mx 2＋x －1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若mx 2＋x －1＝0无实根，则m ≤0”． 因为方程mx 2＋x －1＝0无实根，则m ≠0， 所以判别式Δ＝1＋4m <0，则m <－14，故m ≤0，为真命题．解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．等价命题的应用[典例] b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.[证明] 法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )． ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．[活学活用]证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．由于m＋n>2，则m2＋n2≥12(m＋n)2>12×22＝2，所以m2＋n2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．层级一学业水平达标1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题解析：选C因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是() A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：选A a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，能被3整除解析：选B即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C ．互为逆否命题D ．以上都不正确解析：选A 设p 为“若A ，则B ”，那么q 为“若綈A ，则綈B ”，r 为“若綈B ，则綈A ”．故q 与r 为互逆命题．5．原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.6．命题“若x ≠1，则x 2－1≠0”的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x 2－1＝0，则x ＝1”，因为x 2－1＝0，x ＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2. 答案：[1,2] 8．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________． 解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤ 9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．(1)等高的两个三角形是全等三角形；(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x ＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．层级二应试能力达标1．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个解析：选C若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题解析：选A由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选A.3．原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是()A．原命题是真命题B．逆命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题解析：选C 原命题是假命题，所以逆否命题是假命题，逆命题“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题是真命题，故选C.4．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C 正确．5．命题“若x >1，则x >0”的逆命题是________________，逆否命题是________________． 答案：若x >0，则x >1 若x ≤0，则x ≤16．在原命题“若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠B ”； 否命题为“若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ”； 逆否命题为“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”； 全为真命题． 答案：47．已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都不小于13，则a ＋b ＋c ≥1.由条件a ≥13，b ≥13，c ≥13，三式相加得a ＋b ＋c ≥1， 显然逆否命题为真命题． 所以原命题也为真命题．即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1， 则a ，b ，c 中至少有一个小于13.8．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，若命题：对于任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[－1,2]使f (x 1)＝g (x 2)为真命题，求实数a 的取值范围．解：对于任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[－1,2]使f (x 1)＝g (x 2)，则{f (x )|x ∈[－1,2]}⊆{g (x )|x ∈[－1,2]}．又f (x )＝x 2－2x 在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以－1≤f (x )≤3.因为g (x )＝ax ＋2(a >0)在[－1,2]上单调递增，所以－a ＋2≤g (x )≤2a ＋2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≤－1，2a ＋2≥3，即a ≥3. 故实数a 的取值范围为[3，＋∞)．。