数项级数收敛性判别法

函数项级数一致收敛性判别法归纳

函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳

一定义

引言

设函数列

nf与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正数N，

使得当Nn时，对一切Dx，都有

xfxf

n

则称函数列

nf在上一致收敛于

xf，记作



xfxf

n



n，Dx

设

xu

n是定义在数集E上的一个函数列，表达式



,

21xuxuxu

nEx)1(

称为定义在E上的函数项级数,简记为

xu

nn

1或

xu

n

；称



xuxSn

kkn



1,Ex,,2,1n)2(

为函数项级数)1(的部分和函数列．

设数集D为函数项级数

1)(

nnxu的收敛域，则对每个Dx，记



1)()(

nnxuxS，即

DxxSxS

n

n

),()(lim，称)(xS为函数项级数

1)(

nnxu的和函数，称)()()(xSxSxR

nn

为函数项级数)(xu

n的余项．

定义1]1[设

)(xS

n是函数项级数)(xu

n的部分和函数列，若

)(xS

n在数集D上一

致收敛于函数)(xS，或称函数项级数)(xu

n在D上一致收敛于)(xS，或称)(xu

n在D上

一致收敛．

由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义．

定义2]1[设

)(xS

n是函数项级数)(xu

n的部分和函数列，函数列

)(xS

n，和函数

)(xS都是定义在同一数集D上，若对于任给的正数，总存在某一正整数N，使得当Nn

时，对一切Dx，都有)()(xSxS

n，则称函数项级数)(xu

n在D上一致收敛于函数

)(xS，或称)(xu

n在D上一致收敛．同时由)()()(xSxSxR

nn，故)(xR

n在Dx上一致收敛于0．

定义3设函数项级数)(xu

n在区间D上收敛，其和函数为



1)()(

nnxuxS，部分和

函数列

n

knnxuxS

函数项级数一致收敛的判别

专业名称：数学与应用数学

年级班别： 2009级1班

姓名：张庆明

指导教师：左红亮

2013年04月河南师范大学新联学院

本科毕业论文函数项级数一致收敛的判别

摘要：函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题。

本文则在数项级数的基础上, 分析函数项级数的收敛性定义及其判定, 函数项级数的分析性质和函数的一致收敛有关。而因此本论文中提出了函数级数一致收敛的定义, 柯西一致收敛准则, 魏尔斯特拉斯判别法(M判别法), 狄利克雷判别法,

阿贝尔判别法, 余项判别法, 积分判别法。本文对函数项级数一致收敛的判别法进行推广, 主要归纳总结出了对数判别法, 导数判别法, 连续性判别法, 逼敛性判别法以及M判别法的推论等几种判别法, 同时并应用函数项级数一致敛的定义,

重要判别法及其充要条件给出了论文中一些结论的证明。

关键词：函数项级数；一致收敛性；判别法。

Discrimination of uniform convergence of

function

series

Abstract: The uniform convergence of function series is the concept

of

series of functions are the most basic and most important problem. In this paper,

on the basis of a number of series, the definitions of convergence

of function

series and its decision, uniform convergence analysis of properties

级数收敛的判别方法

1. 比较判别法：若级数的通项与一个已知的收敛级数或发散级数之间存在比较关系，通过比较它们的大小可以判断级数的收敛性。

2. 极限判别法：对于正项级数，若其通项在n趋于无穷大时的极限存在且非零，那么级数收敛；若极限为零或不存在，则级数发散。

3. 比值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的比值的极限，若极限小于1，则级数收敛；大于1，则级数发散；等于1，则判别不出结果，可能为发散也可能为收敛。

4. 高斯判别法：对于形如an = f(n)g(n)的级数，若函数f(n)和g(n)满足一定的条件，那么级数收敛。

5. 绝对收敛和条件收敛：若级数的绝对值级数收敛，则原级数也收敛，否则原级数发散。条件收敛是指原级数在绝对收敛的前提下仍然收敛。

6. 积分判别法：对于正项级数，将通项进行积分，若积分级数收敛，则原级数收敛；若积分级数发散，则原级数发散。

7. Ratio Test：For a series with positive terms, if the ratio of

consecutive terms has a limit less than 1, then the series converges.

If the limit is greater than 1 or does not exist, the series diverges.

8. Root Test：For a series with positive terms, if the nth root of the

absolute value of each term has a limit less than 1, then the series

converges. If the limit is greater than 1 or does not exist, the series

diverges.

正项级数收敛性的微分判别法

年月无锡教育学院学报飞

正项级数收敛性的微分判别法

邵益新

无锡教育学院江苏无锡

摘要本文探讨将二竺生

“表成的形态再利用的徽分性质来判断相应级数的敛散性有时使用起来很

方便同时也将某些利别法做了统一处理

关健词正项级数效散性徽分判别法

文章编号一一一

微分判别法

设有正项级数

习表

一三些

配一生,一一

易

妙又日入丁」户二万下,不一下又

二二、

卞尹有二上

“一十万只”

。

一一又

,,二

一一一二‘

一尸

一

议有止伙驭狱山“

衣妥二不万一万少

如河了相胜俐少

仕“」上有一盯哥狱则白

或且时原级数收敛

或且镇时原级数发散

证明因为在〔才〕上存在二阶导数所以,。

,。

六“了。“

取。

一只“

材一

与一尸生一

上十

—十二万一

乙矛一矛氨一

其中一

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当或且’时取尹则必有

乙一一尹一,一

—

—门厂

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—少丁

—勺片

—

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且当十

—少一夕一八。

州广

—州广一一只

—一气门

—少万

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充分大时有

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“卜卫一、户

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以田比牛父笋万祖丈户收域

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故当充分大时有

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一十只万二芝岌十一十下

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收稿日期一一

邵益新正项级数收敛性的微分判别法

上式最后不等式的成立是由于

一一一

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石下万万户石一

平久反

由可知兰止三

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函数项级数一致收敛的判别

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