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数项级数敛散性的判别方法综述
作者：胡嘉琪 钱耀飞
来源：《现代职业教育·职业培训》2017年第05期
[关 键 词] 数项级数；收敛性；判别方法
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）15-0124-01
一、理论
1.定义：如果我们有这样的u1+u2+…+un+…的数项级数，它的部分和数列{Sn}，当n趋于无穷时，收敛到S，那么我们就称数项级数是收敛的。
2.级数收敛的柯西准则：？坌？着>0，？埚N，？坌n>N，P∈N有Sn+p-Sn
3.比式判别法的极限形式：设■un为正项级数，且■■=q，则：（1）当q1时，级数■un发散；（3）当q=1时，级数■un可能收敛，也可能发散。
4.根式判别法的极限形式：设■un为正项级数，且■■=l，则：（1）当l1时，级数■un发散；（3）当l=1时，级数■un可能收敛，也可能发散。
5.积分判别法：设f（x）是在[1，+∞）上的非负递减的函数，那么反常积分■f（x）dx收敛时，正项级数■un也收敛；反常积分■f（x）dx发散的时候，正项级数■un也发散.
6.莱布尼茨判别法：如果交错级数■（-1）n-1un满足如下两个条件：（1）数列{un}单调递减；（2）■{un}，则级数收敛。
7.狄利克雷判别法：如果{an}是单调递减的数列，并且当n趋于无穷时an趋于0，并且级数■bn的部分和数列是有界的，那么可以得到级数■anbn是收敛的。
8.阿贝尔判别法：若{an}为单调有界数列，且级数■bn，则级数■anbn收敛。
二、应用方法
（一）运用极限的思想来解决数项级数的敛散性问题
数项级数和数列极限是同一个问题的不同形式，所以用求极限的方法来解决数项级数的敛散性就成为最直接的方法。 龙源期刊网
第５卷第１期 ２００７年２月 福建工程学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆｕｊｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｖ０１．５ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．２ｏ０７ 文章编号：１６７２—４３４８（２００７）０１—００５３—０４ 正项级数敛散性判别法的源与流 李林 （福建工程学院数理系，福建福州３５００１４） 摘要：利用正项级数的比较判别法这个源头，通过不同的后台级数尝试着揭示许多判别法的发现过 程，从中发现了一种普遍的方法和规律，即利用标准级数的适＂－３组合及其参数判另ｑ敛散性，再用一般 级数代替加以验证，并将这种规律进行拓展与创新获得２种新的判别法，即若正项级数∑ｕ ，有 ．１ｉｒａ １ｏ ｎ －１）】＝ｐ （ 一 ）… 时，ｎ主＝ｌ ｕ 时，ｎ妻＝ｌ ｕ 发散。 关键词：正项级数；收敛；发散 中图分类号：Ｏ１７３ 文献标识码：Ａ Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｓｔ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｔｅｒｍｓ ｂ Ｌｉｎ ．（Ｍａｔｈｅｍａ．ｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｆｕｊｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｆｕｚｈｏｕ ３５００１４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｔｅｓｔ ｏｆ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｔｅｒｍｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｖａｒｉｏｕｓ ｔｅｓｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｓｅｒｉｅｓ，ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｏｌｅ ｏｆ ｔｅｓｔｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒ— ｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｂｙ ｐｒｏｐｅｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｓｅｒｉｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ｔｅｓｔｉｆｙ— ｉｎｇ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｎｏｒｍａｌ ｓｅｒｉｅｓ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｗｏ ｎｅｗ ｔｅｓｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｖｉａ ｅｘｔｅｎ— ｓｉｏ 山ｅ ｓ ｏｒｐｏｓｉｔｉｖｅ ｔｅｍｓ ｓａｔ岫ｅｓ 【 （ 一－）】＝ ｐａｎｄ ｌｉｍ． ｎ（ ＂／－１－一１） ｉｆｐ＞ｌ，ｔｈｅｎ Ｅ ｕｎ ｃｏｎｖｅｒ ｂｕｔ ｉｆｐ＜ｌ＇ｔｈｅｎ ｕ￣ｄｉｖｅｒｇｅｓ＿ Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｔｅｒｍｓ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ 正项级数敛散性的判别法多如牛毛，诸如 Ｄ’Ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法，Ｃａｕｃｈｙ判别法，Ｃａｕｃｈｙ积分 判别法，对数判别法，Ｒａａｂｅ判别法，Ｂｅｒｔｒａｎｄ判别 法，Ｇａｕｓｓ判别法等等¨ 】。本文受文献［４，５］启 发，利用正项级数的比较判别法这个源头，来探讨 这些判别法的发现过程，进而发现新的判别法。 １比较判别法（极限形式） 设正项级数 ｕ ，ｔ妻ｔ＝１ ，若Ａ＝一ｌｉｍ。ｕ ＊，则当 ０＜Ａ＜＋∞时，∑ｕ ，∑ 同敛散；当Ａ＝ｏ时， ＾＝１ ＾＝１ 收稿日期：２００６—０９—２５ 基金项目：福建省自然科学基金资助项目（Ｚ０５１１０４４） 作者简介：李林（１９６９一），男（汉），福建福鼎人，讲师，硕士，从事生物数学研究．
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常数项级数敛散性判别法总结
作者：李娜
来源：《山东工业技术》2014年第24期
摘 要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点
无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念
给定一个数列{un}，称
u1+u2+…+un+… （1）
为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|
2 正项级数敛散性判别法
若级数各项均为非负数，则称该级数为正项级数。正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。正项级数有以下几种常用判别法：
第３ｌ卷第３期 ２０１５年３月 贵州师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕｉｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｖｏ１．３１．Ｎｏ．３ Ｍ８１＂．２０１５ 正项级数敛散性判别法的推广及应用 汪皎月 （凯里学院数学科学学院，贵州凯里５５６６００） 摘要：级数敛散性一直是研究的热点，正项级数作为级数的一个特殊类型，其敛散性的判别方法有比式 判别法、根式判别法、拉贝尔判别法、高斯判别法等．在阅读大量文献的基础上，给出了比式判别法与拉贝尔 判别法的推广与应用． 关键词：正项级数；敛散性；比式判别法；拉贝尔判别法 中图分类号：０１７３．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—７７９８（２０１５）０３一ＯＯ０６—０４ Ｐｒｏｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｅｒｉｅｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ＷＡＮＧ Ｊｉａｏ ｙｕｅ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｋａｉｌｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋａｉｌｉ，Ｇｕｉｚｈｏｕ，５５６６００） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｓｅｒｉｅｓ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｔｈｅ ｆｏｃｕｓ ｏｆ ｒｅｓｅａｒｃｈ．Ａｓ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｔｙｐｅ ｏｆ ｓｅｒｉｅｓ，ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｔｅｒｍｓ ｈａｖｅ ｍａｎｙ ｄｉｓｅｒｉｍｉｎａｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ，ｓｕｃｈ ａ８ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｔｅｓｔ，ｔｈｅ ｒｏｏｔ ｔｅｓｔ，Ｒａａｂｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ，ａｎｄ Ｇａｕｓｓ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｇｉｖｅ ｓｏｍｅ ｐｒｏｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｔｅｓｔ ａｎｄ ｔｈｅ Ｒａａｂｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｔｅｒｍｓ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｔｅｓｔ；Ｒａａｂｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ １ 引言 级数理论是数学分析中一个非常重要的理 论，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具．而正项级数在各种级数中是最 基本的，同时也是十分重要的一种级数．判别正项 级数敛散性是研究正项级数的主要问题．对正项 级数敛散性的判别方法也有别于一般的级数，除 适用于一般级数的敛散性判别法外，还有许多专 门针对正项级数的敛散性判别法，常见的有比较 判别法、柯西判别法（或称根式判别法）、达朗贝 尔判别法（或称比式判别法）、高斯判别法、拉贝 尔判别法等＿ｌ ］．本文对比式判别法与拉贝尔判 别法作了简单地推广，能够方便我们解决一些比 较特殊的正项级数收敛问题． ２预备知识 引理１… （比较原则）设∑ｕ 和∑ 是 两个正项级数，如果存在某正数Ⅳ，对一切ｎ＞Ｎ 都有 Ⅱ ≤ ，则 （ｉ）若级数∑ 收敛，则级数∑ 收敛； （ｉｉ）若级数∑“ 发散，则级数∑ 发散． 引理２ｔ‘１ （达朗贝尔判别法，或称比式判别 法）设∑“ 为正项级数，且存在某正整数Ｎｏ及 常数ｑ（０＜ｑ＜１）． （ｉ）若对一切ｎ＞Ⅳ０，成立不等式 ≤ｑ． 则级数∑ 收敛． 收稿日期：２０１４—１２—１０ 基金项目：贵州省专业综合改革试点建设项目（黔教高发［２０１２１４２６号）；贵州凯里学院基础数学重点学科建设项目（ＫＺＤ２００９００１）。 作者简介：汪皎月（１９７２一），女，江苏金坛人，贵州凯里学院数学科学学院副教授，研究方向：微分方程理论及其应用。 一
