3.4《基本不等式》(1)教案

教师学科教案[20-20学年度第一学期]任教学科：______________任教年级：______________任教老师：______________XX市实验学校课题：基本不等式（第1课时）学校：北京市顺义牛栏山第一中学学科：数学姓名：***一、指导思想与理论依据布鲁姆将教育目标划分为认知领域、情感领域和操作领域三个领域，共同构成教育目标体系•认知目标又分类为：记忆、理解、应用、分析、评价、创造，每个层次的要求各不相同，因此教学目标的确定应结合课程内容和学生的实际情况,符合学生的认知规律.学生是课堂中的主体，教学设计一定要从学生的认知水平出发，充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点，立足于学生的"最近发展区”；用学生的眼光看数学，学生在理解的基础上，由浅入深，由感性到理性地设计问题，才能真正引导和帮助学生思考问题、分析问题和解决问题.同时《高中数学学科德育指导纲要》指出，在高中数学教学中加强德育，对于全面推进素质教育，培养社会主义的建设者和接班人具有重要意义.因此在教学中要关注学生的情感、态度和价值观，渗透德育内容.教学活动是师生积极参与、交流互动、共同发展的过程.有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一.《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……"、“还应注重提高学生的数学思维能力”.本节课从学生的最近发展区出发，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，亲身经历、体验发现规律的过程，学会如何去研究问题的方法，体会蕴含在其中的数学思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，培养学生交流合作的意识.二、教学背景分析（一）教学内容分析本节课的内容是人教A版《数学（必修5）》第三章3.4基本不等式：J^≤土^的第1课时.“基本不等式”在教学中安排3课时，第1课时的内容是基本不等式的形成、证明及其几何解释，正确把握基本不等式的结构和等号成立的条件；第2课时的内容是能用基本不等式求简单的最值问题，并理解其应用条件“正、定、等”；第3课时的内容是从实际问题中抽象出具体的基本不等式问题，并应用基本不等式处理最值问题，也就是将基本不等式作为处理优化问题的一种模型.基本不等式反映了实数的两种基本运算(即加法和乘法)所引出的大小变化.这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量.这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。

基本不等式教学设计（第一课时）阮 晓 锋一、教学目标1.知识与技能目标： 学会推证基本不等式，了解基本不等式的应用。

2.过程与方法目标：通过代数、几何背景探究抽象出基本不等式；3．情感与价值目标：通过学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索其证明过程； 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．设置情景，引入新课如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。

探究一：在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗？问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？结论：一般地，对于正实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+当且仅当a=b 时等号成立.2．代数证明，推出结论问题2：你能给出它的代数证明吗？（请同学们用代数方法给出这个不等式的证明．）证明（作差法）：∵，当时取等号． （在该过程中，可发现a,b 取值可以是全体实数）问题3：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？重要不等式：对任意实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时等号成立）特别地，若a>0且b>0可得ab b a ≥+，即ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 基本不等式:若a>0且b>0，则ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 深化认识：(1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)若称2b a +为a 、b 的算术平均数,称ab 为它们的几何平均数，则基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．动手操作、几何证明，相见益彰探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a >），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？（通过学生动手操作，探索发现）探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．根据射影定理可得：ab BC AC CD =⨯=由于RtCOD 中斜边OD 大于直角边CD ，于是有ab b a ≥+2当且仅当点C 与圆心O 重合时，即a=b 时等号成立. （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固新知例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲析，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 方法：一般地，对于R y x +∈,我们有：（1）若xy=p （p 为定值），则当且仅当a=b 时，x+y 有最小值xy 2； （2）若x+y=s （s 为定值），则当且仅当a=b 时，xy 有最大值2s 41． 上述应用基本不等式求最值的方法可简记为：在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。

3．4基本不等式（第一课时）来宾高中数学组：卢红兰教学目标一、知识目标1、探索并了解基本不等式的证明过程；2、了解基本不等式的几何背景；3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

二、能力目标通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。

三、情感目标通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。

教学重、难点重点：1、数形结合的思想理解基本不等式；2、基本不等式成立的条件及应用。

难点：基本不等式成立的条件及应用。

教学过程一、创设情境，引入课题探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计；将右图中的“风车”抽象成下图，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，大正方形的面积为222b a S +=。

由图可知12S S >，即ab b a 222>+．思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？（当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=）2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?总结：重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。

你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？ 引导：为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？结论：a b +≥)0,0(>>b a ，当且仅当b a =时取等号. 你能给出证明吗？二、数形结合，深化认识展示课题内容:重要不等式．．．．．：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 基本不等式．．．．．：若,0a b >，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）此环节学生提出疑惑，小组解答三、辨析质疑（小组活动）例1. 若0x >，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？练1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？小结1：当ab 为定值P 时，a b +有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？变式1：若0x <，1x x+有最值吗？如果有，请你求出最值. 变式2：你会求1x x +的最值吗？试一试.例2. 若02x <<，当x 取什么值？(2)x x -值最大？最小值是多少？练2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？小结2：当a b + 为定值S 时，ab 有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？四、小结：1、222a b ab +≥当且仅当a b =时“=”成立2、2a b +≥0,0a b >>）当且仅当a b =时“=”成立 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想五、作业设计1、基本作业：（1）判断下列推理是否正确：① 函数22(0)y x x x=+>的最小值是（ ）② 函数y =的最大值是5. （ ）③ 函数1sin sin y x x=+的最小值是2. （ ）（2）完成同步课时作业2、拓展作业：到阅览室或网上查找基本不等式的几何解释，整理并相互交流．六、板书设计3．4基本不等式1、重要不等式：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）2、基本不等式：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想。

就本节地位与作用而言，“基本不等式”是在学生学习了“不等式性质”的基础上对不等式的进一步研究与拓展，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。

基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、和归纳，是培养学生数学核心素养的良好载体。

就本节教材编写而言,教材一开始以北京召开的第24届国际数学家大会的会标为问题背景，意图让学生从中抽象出基本不等式，并在此基础上分别从代数和几何的角度引导学生认识基本不等式，并设计了两个实际问题，让学生感受基本不等式的应用价值。

本节课是基本不等式的第一课时，主要应为基本不等式的形成与证明，并为下课时的应用奠定基础。

问题一：你还记得利用“赵爽弦图”证明勾股定理的过程吗？问题二：你能在弦图中找出面积间的不等关系吗？
归纳：对于两直角边a、
探究四：抽象归纳、几何证明
D 篱笆最短，最短的篱笆是多少？
总结：和定积最大，积定和最小
探究六：反思总结、形成方法
问题：我们本节课学习了哪些知识与方法？预设结论：
1、重要不等式
基本不等式。

黑龙江省七台河市第二中学王世艳教材：人教版高中数学必修5第三章一、教学内容解析本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。

在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。

二、教学目标设置1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。

三、学生学情分析对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。

四、教学策略分析在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。

在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点五、教学过程：（一）情景引入下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。

通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。

探究一：观察上面的会标。

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。

3.4《基本不等式》教案赵晓雪1、本节教材的地位和作用“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。

它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。

求最值又是高考的热点。

同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

２、教学目标（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。

（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。

（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

３、教学重点、难点根据课程标准制定如下的教学重点、难点重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。

难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。

二、教法说明本节课借助平板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。

通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。

让学生爱学、乐学、会学、学会。

三、教学设计◆运用2002年国际数学家大会会标引入◆运用分析法证明基本不等式◆不等式的几何解释◆基本不等式的应用1、运用2002年国际数学家大会会标引入如图，这是在北京召开的第２４届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

（展示风车）正方形ABCD 中,AE ⊥BE,BF ⊥CF,CG ⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=＿＿，Rt △ABE,Rt △BCF,Rt △CDG,Rt △ADH 是全等三角形，它们的面积之和是S ’=＿从图形中易得，s ≥s ’,即 问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？问题2：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）一般地，对于任意实数a 、b ，我们有 当且仅当（重点强调）a=b 时，等号成立（合情推理）问题3：你能给出它的证明吗？（让学生独立证明） Ａ ＢＣ Ｅ Ｄ Ｇ Ｆ a Ｈ b 22a +b 222a b ab+≥222a b ab+≥设计意图（1）运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。

3.4基本不等式（第一课时）教学目标1．引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2ba ab +≤ 的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式． 教学过程：一．知识回顾，助力新知初中的时候我们学习过完全平方公式，我们知道0)(2222≥-=-+b a ab b a当且仅当b a =时取等号二．创设情境，导入新课对于任意实数a,b, 是什么关系呢？何时取等号？ 学生探究，可以用具体数代入.ab b a 22 2 与 +教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论，则ab b a 222≥+．当且仅当b a =时取等号三、师生互助，探究新知如果用,去替换a 2+b 2≥2ab 中的a , b,能得到什么结论? a , b 必须要满足什么条件?基本不等式:2b a ab +≤（a>0,b>0当且仅当b a =时，等号成立）深化认识：称ab 为b a ,的几何平均数；称2b a +为b a ,的算术平均数 基本不等式2b a ab +≤又可叙述为： 代数意义:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 探究：几何解释：如图，AB 是圆O 的直径，点C a AC =，b BC =．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接BD AD ,根据射影定理可得：ab BC AC CD =⋅=由于Rt COD ∆中直角边<CD 斜边OD ，（几何画板展示）于是有2ba ab +<当且仅当点C 与圆心O 重合时，即b a =时等号成立．故而再次证明：当0,0>>b a 时，2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）b ∈ R b a , a A B综上,我们得到：2ba ab +≤注意：（1）范围：（2）当且仅当______时取等号（3）公式变形：例：若a >0, b >0, ab =16, 则a +b ≥当且仅当a =b =___时，等号成立.若a >0, b >0, a +b =18, 则ab ≤当且仅当a =b =___时，等号成立.（通过例题的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）四．例题分析，运用新知小组讨论，代表展示例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，进一步强化利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）例2.求)0(1≠+=x xx y 的值域． 变式1. 若2>x ，求21-+x x 的最小值． 在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示)0(1≠+=x x x y 的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想．并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式2ba ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．5．课堂小结，巩固新知（1）基本不等式注意：①公式条件： a >0, b >0②公式 “=”的成立条件： a=b .2.不等式的简单应用：主要在于求最值.两个结论: (1)两个正数积为定值，和有最小值.(2)两个正数和为定值，积有最大值.6.课后练习，强化新知2.（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？最小值是多少？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？最大值是多少？7． 布置作业，课后延拓基本作业：课本P100习题A 组1、2题思考题（1）已知x >1, 求 x + x 11- 的最小值.（2）已知0<x <1, 求x (1-x )的最大值（3）.已知 x >0, y >0, x y +52=1, 求x+y 的最小值 x x+x11.x >0,当取什么值时，的值最小？最小值是多少？。

3.4《基本不等式》教学设计柳州高中 高路一．教学目标：（1）通过探究实例，引导学生从几何图形中获得重要不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想，并从代数角度给出证明；（2）进一步提炼出基本不等式，在小题中熟悉公式；（3）利用基本不等式求最大值和最小值.二.教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程； 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三.教学过程（一）热身活动：（二）创设情景；右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

（三）探究新知，提出问题:设正方形中直角三角形的两直角边长分别为,a b :1. 正方形ABCD ：边长AD = ，面积S= ，2. 四个直角三角形的面积和SS ‘=3. S 与SS ‘的大小关系如何？4.由此你发现了什么不等式？5. 如何证明上述不等式？6.若,00a b >>,a b 的，可得 .（四）小试身手，公式应用一:（1）10+x x x>≥若，则 ，当且仅当 时，等号成立。

（2）0x >≥若 ，当且仅当 时，等号成立。

（3）若230,y x xy x y>+≥则 ，当且仅当 时，等号成立。

10x x x x >+若，当取什么值时，的值最小？ 最小值是多少？（五）公式应用二：变式1：四.小结：五.作业：1.判断正误.2.课本P100课后练习；3.选做题： 10例1.若，当取什么值时，的值最小？ 最小值是多少？x x x x >+10+1若，当取什么值时，2的值最小？最小值是多少？x x y x x >=+,.23311x x x y x ++>−=+已知求的最小值12.-1+1变式若，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？x x y x x >=+()1001000sin 20sin 20.sin sin （2）若，则由得的最小值是x x x x x π<<+≥+()()1011若，则又因为当且仅当时，等号成立，所以+1的最小值为2.x x x x >+≥=。

§3.4基本不等式：2b a ab +≤ (教学设计) (第一课时)教学目标：1．知识与技能：学会推导基本不等式2a b ab +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式2a b ab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

教学重点：掌握基本不等式2a b ab +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值。

教学难点：利用此不等式求函数的最大、最小值。

教学过程：一、知识回顾：填空：1.;02≥a2. ;0)(2≥-b a3. .2)(222b ab a b a +-=- 问题1：通过2与3可以得到什么结论？结论：.2 022222ab b a b ab a ≥+≥+-即问题2：上述三个式子1、2中什么时候等号成立？学生：1式中只有a=0时等号成立；2式中只有a=b 时等号成立。

二、新课讲解：一般的,对于任意的实数a,b ,我们有.222ab b a ≥+，当且仅当b a =时,等号成立. 思考：如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替ab b a 222≥+中的b a 、, 可得ab b a 2≥+，我们通常把上式写成）（0,02>>+≤b a b a ab （当且仅当b a =时，等号成立。

）概念扩展：若两个数a,b , 且00a ,b >>,2b a + 叫做a,b 的算术平均数， ab 叫做a,b 的几何平均数，思考：如何证明？（做差法） 证明：0)(22≥-=-+b a ab b a.2ab b a ≥+∴.2b a +≤ab 即当且仅当b a =时等号成立。

重要不等式：),( 222R b a ab b a ∈≥+，(当且仅当b a =时，等号成立)。

普安县第五届中小学优质课评选授课教案【课题】3．4 基本不等式（1）【执教人】吴应艳【上课时间】2013、12、【教学方法】探究学习、学案导学【教学手段】投影仪、彩笔【课型】新授课【总课时数】1课时【教学内容分析】本节课是必修5第3章第4节的内容，内容安排在实数的性质与不等式性质之后，所以对于不等式的证明不存在太大难度。

本节课内容的应用又十分广泛，因此引导学生学习好本节内容显得十分重要。

【学生学习情况分析】授课的班级学生程度不太高，基础差不多，学习的知识结构较为合理。

因此设计时也注重对探究能力的培养，同时也注意对基本不等式的应用教学。

【教学目标】知识目标：1、使学生了解基本不等式及其证明；2、让学生感知与基本不等式相近的一些不等式的证明与几何背景。

能力目标：1、通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2、让学生初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力与逻辑思维能力情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇于探索精神及灌输问题教学法。

【教学重点与难点】重点：应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程，并能说明基本不等式的意义难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式 一、教学过程 (一)情景设置【探究】右图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

现将图中的“风车”抽象成下图，这个会标中含有怎样的几何图形？你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？问题1:我们把“风车”造型抽象成图一.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.如果设直角三角形的两直角边长为ａ、ｂ，你能用ａ、ｂ表示哪些图形的面积，这些面积有什么关系？那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？4个直角三角形的面积和是多少呢？（由学生回答，培养学生独立思考问题的能力）（22a b +，22a b +、2ab ）问题2：比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不等关系？（根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可容易得到一个不等式， >(a ≠b)） 图一22ba +ab 2问题3：什么时候这两部分面积相等呢？（让学生直接回答，老师黑板板演，或借助多媒体投影，提高学生的数学表达和交流能力。

3．4．1基本不等式<1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义，并掌握定理中地不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节地学习，体会数学来源于生活，提高学习数学地兴趣【教学重点】应用数形结合地思想理解不等式，并从不同角度探索不等式地证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式地几何背景：探究：如图是在北京召开地第24界国际数学家大会地会标，会标是根据中国古代数学家赵爽地弦图设计地，颜色地明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.2 合作探究<1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？<教师引导学生从面积地关系去找相等关系或不等关.系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等地直角三角形.设直角三角形地长为、，那么正方形地边长为多少？面积为多少呢？生答：，提问3：那4个直角三角形地面积和呢？生答：提问4：好，根据观察4个直角三角形地面积和正方形地面积，我们可得容易得到一个不等式，.什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有结论：<板书）一般地，对于任意实数、，我们有，当且仅当时，等号成立.提问5：你能给出它地证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书>证明:所以注意强调当且仅当时,(2>特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式地性质推导(板书,请学生上台板演>:要证:①即证②要证②,只要证③要证③,只要证 (->④显然, ④是成立地,当且仅当时, ④地等号成立(3>观察图形3.4-3,得到不等式①地几何解释两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数探究：课本中地“探究”在右图中，AB是圆地直径，点C是AB上地一点，AC=a,BC=b.过点C 作垂直于AB地弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式地几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆地半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b地等差中项，看作是正数a、b地等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数地等差中项不小于它们地等比中项.即学即练:1若且，则下列四个数中最大地是< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a2 a,b是正数，则三个数地大小顺序是<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案 B C例题分析：(1>＝2即≥2.(2>x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0∴<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥８x3y3.变式训练：Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少解读：因为Ｘ＞0，Ｘ+≥2=2当且仅当Ｘ=时即x=1时有最小值2点评：此题恰好符合基本不等式地用法，1正2定3相等可以具体解释每一项地意思.当堂检测：1.下列叙述中正确地是< ）.<A）两个数地算术平均数不小于它们地几何平均数<B）两个不等正数地算术平均数大于它们地几何平均数<C）若两个数地和为常数，则它们地积有最大值<D）若两个数地积为常数，则它们地和有最小值12下面给出地解答中，正确地是< ）.<A）y＝x＋错误!≥2错误!＝2，∴y有最小值2<B）y＝|sin x|＋错误!≥2错误!＝4，∴y有最小值4<C）y＝x<－2x＋3）≤错误!＝错误!，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值错误!＝1<D）y＝3－错误!－错误!≤3－2错误!＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，则x＋错误!＋3地最小值为< ）.<A）4 <B）7 <C）8 <D）114.设函数f<x）＝2x＋错误!－1<x＜0），则f<x）< ）.<A）有最大值<B）有最小值 <C）是增函数 <D）是减函数1 B 2.D 3 B 4 .A基本不等式第一课时课前预习学案一、预习目标不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义，并掌握定理.二、预习内容一般地，对于任意实数、，我们有，当，等号成立.两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数，字母表示：.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案教学目标，不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义教学重点】应用数形结合地思想理解不等式，并从不同角度探索不等式地证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件合作探究 1 证;强调：当且仅当时,特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式地性质推导证明:结论：两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数探究2：课本中地“探究”在右图中，AB是圆地直径，点C是AB上地一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB地弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式地几何解释练习1若且，则下列四个数中最大地是< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a2 a,b是正数，则三个数地大小顺序是<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案 B C例题分析：已知x、y都是正数，求证：(1>≥2；( 2）Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少分析：，注意条件a、b均为正数，结合不等式地性质(把握好每条性质成立地条件>，进行变形.1正2定3相等变式训练：1已知x＜错误!，则函数f<x）＝4x＋错误!地最大值是多少？2 证明：<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥８x3y3.分析：注意凑位法地使用.注意基本不等式地用法.当堂检测：1.下列叙述中正确地是< ）.<A）两个数地算术平均数不小于它们地几何平均数<B）两个不等正数地算术平均数大于它们地几何平均数<C）若两个数地和为常数，则它们地积有最大值<D）若两个数地积为常数，则它们地和有最小值2下面给出地解答中，正确地是< ）.<A）y＝x＋错误!≥2错误!＝2，∴y有最小值2<B）y＝|sin x|＋错误!≥2错误!＝4，∴y有最小值4<C）y＝x<－2x＋3）≤错误!＝错误!，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值错误!＝1<D）y＝3－错误!－错误!≤3－2错误!＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，则x＋错误!＋3地最小值为< ）.<A）4 <B）7 <C）8 <D）114.设函数f<x）＝2x＋错误!－1<x＜0），则f<x）< ）.<A）有最大值<B）有最小值 <C）是增函数 <D）是减函数答案 1 B 2.D 3 B 4.A课后练习与提高1 已知①如果积②如果和[拓展探究]2.设a, b, c且a+b+c=1，求证：答案：1略2 提示可用a+b+c换里面地1 ，然后化简利用基本不等式.§3.4.2 基本不等式地应用【教学目标】1 会应用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题；2 本节课是基本不等式应用举例.整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单地实际问题教学难点：注意运用不等式求最大<小）值地条件教学过程：一、创设情景，引入课题提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数地算术平均数，把叫做正数地几何平均数.今天我们就生活中地实际例子研究它地重用作用.讲解：已知都是正数，①如果是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值二、探求新知，质疑答辩，排难解惑1、新课讲授例1、<1）用篱笆围一个面积为100地矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，所用地篱笆最短，最短地篱笆是多少？<2）一段长为36地篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，菜园地面积最大.最大面积是多少？分析： <1）当长和宽地乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和地最小值<2）当长和宽地和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：<1）设矩形菜园地长为m,宽为 m,则篱笆地长为2<）由，可得2<）等号当且仅当，因此，这个矩形地长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m(2>设矩形菜园地长为m,宽为 m,则2<）=36，=18，矩形菜园地面积为，由可得,可得等号当且仅当点评：此题用到了如果是定值，那么当时，和有最小值；如果和是定值，那么当时，积有最大值变式训练：用长为地铁丝围成矩形，怎样才能使所围地矩形面积最大？解：设矩形地长为，则宽为，矩形面，且．由．<当且近当，即时取等号），由此可知，当时，有最大值．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积．例2<教材例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2地造价为150元，池壁每1m2地造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数地最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边地长度为，水池地总造价为元，根据题意，得当因此，当水池地底面是边长为40m地正方形时，水池地总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中地应用，应注意数学语言地应用即函数解读式地建立，又是不等式性质在求最值中地应用，应注意不等式性质地适用条件.变题：某工厂要制造一批无盖地圆柱形桶，它地容积是立方分M，用来做底地金属每平方分M价值3元，做侧面地金属每平方M价值2元，按着怎样地尺寸制造，才能使圆桶地成本最低.解：设圆桶地底半径为分M，高为分M，圆桶地成本为元，则3求桶成本最低，即是求在、取什么值时最小.将代入地解读式，得=当且仅当时，取“=”号.∴当1<分M），<分M）时，圆桶地成本最低为9<元）.点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，归纳整理，整体认识1．求最值常用地不等式：，，．2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．3.建立不等式模型解决实际问题当堂检测：1下列函数中，最小值为4地是：<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.设地最小值是( >A. 10B.C.D.3函数地最大值为.4建造一个容积为18m3, 深为2m地长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2地造价为200元和150元，那么池地最低造价为元.5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉地价格为1800元，面粉地保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付地总费用最少？答案：1C 2 D 3 4 3600 5时，有最小值，基本不等式地应用课前预习学案一、预习目标会应用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题二、预习内容1如果是定值，那么当时，和有最2如果和是定值，那么当时，积有最3若，则=_____时,有最小值，最小值为_____.4.若实数a、b满足a+b＝2,则3a+3b地最小值是_____.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案一、学习目标1 用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题.2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单地实际问题教学难点：注意运用不等式求最大<小）值地条件二、学习过程例题分析：例1、<1）用篱笆围一个面积为100地矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，所用地篱笆最短，最短地篱笆是多少？<2）一段长为36地篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，菜园地面积最大.最大面积是多少？分析： <1）当长和宽地乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和地最小值<2）当长和宽地和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：变式训练：1用长为地铁丝围成矩形，怎样才能使所围地矩形面积最大？2一份印刷品地排版面积<矩形）为它地两边都留有宽为地空白，顶部和底部都留有宽为地空白，如何选择纸张地尺寸，才能使用纸量最少？变式训练答案 1 时面积最大. 2此时纸张长和宽分别是和．例2：）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2地造价为150元，池壁每1m2地造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数地最值，其中用到了均值不等式定理.答案：底面一边长为40时，总造价最低2976000.变式训练：建造一个容积为18m3, 深为2m地长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2地造价为200元和150元，那么池地最低造价为元.答案：3600当堂检测：1若x, y是正数，且，则xy有<3）Ａ．最大值16Ｂ．最小值Ｃ．最小值16Ｄ．最大值2已知且满足,求地最小值.4Ａ．16Ｂ20．Ｃ．14Ｄ．183 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉地价格为1800元，面粉地保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付地总费用最少？答案:1 C 2 D 3 时，有最小值，课后复习学案1已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy地最大值及此时x、y地值．2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车地购车费用是10万元，每年使用地保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元.问这种汽车使用多少年时，它地年平均费用最小？最小值是多少？3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站地距离成反比，而每月库存货物地运费y2与到车站地距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处?申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

教学计划：《基本不等式》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握算术平均数与几何平均数之间的关系，理解并掌握基本不等式（如均值不等式、平方和不等式等）的概念、性质及证明方法，能够熟练运用基本不等式解决简单问题。

2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生发现基本不等式的规律，培养学生的探究能力和逻辑推理能力；通过例题讲解和练习，提高学生应用基本不等式解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度，让学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。

二、教学重点和难点●教学重点：基本不等式的概念、性质及证明方法；算术平均数与几何平均数之间的关系。

●教学难点：理解基本不等式的本质，掌握其证明过程，并能灵活运用基本不等式解决实际问题。

三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例引入：通过生活中常见的分配问题（如分苹果、分蛋糕等），引导学生思考如何公平分配，从而引出算术平均数与几何平均数的概念，为学习基本不等式做好铺垫。

●提出问题：设问“算术平均数总是大于或等于几何平均数吗？”引发学生思考，激发学生探索的兴趣。

●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握基本不等式的概念、性质及证明方法，并能运用其解决实际问题。

2. 讲授新知（约15分钟）●概念讲解：详细讲解算术平均数与几何平均数的定义，通过具体例子说明两者的区别与联系。

●不等式呈现：给出基本不等式的数学表达式，结合实例解释其含义，让学生初步感受不等式的性质。

●证明过程：通过代数方法或几何直观证明基本不等式，注重证明过程的逻辑性和条理性，让学生理解不等式的来源和依据。

3. 深入探究（约10分钟）●性质探讨：引导学生探讨基本不等式的性质，如对称性、传递性等，加深对不等式的理解。

●案例分析：选取典型例题，分析如何运用基本不等式解决问题，强调解题思路和步骤。

●学生讨论：组织学生进行小组讨论，分享自己对基本不等式的理解和应用心得，促进思维的碰撞和融合。

《基本不等式》教学设计张中华教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。

就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。

本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。

基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。

本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式a 2+ b 2 > 2 ab （a, b G R）。

在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。

其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。

这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。

二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。

三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。

根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

3.4:基本不等式：2ba ab +≤一：教学重点 1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式； 2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路. 二：教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探索证明； 三：三维目标（1）知识与技能1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由 结论到条件。

（2）过程与方法1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教 学。

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们 的数学学习兴趣。

（3）情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣. 四：新课导入同学们，前面我们已经学习了不等关系与不等式，一元二次不等式及其解法，以及简单 的线性规划问题。

那么，今天我们来学习一个新的不等式定理——基本不等式：)0,0(2>>+≤b a ba ab 五：讲授新课（一）感受几何图形，引入课题。

问题1：如图，是24届国际数学大会的会标，也是我国古代很著名的赵爽弦图，这其中蕴 了一个很重要的不等式定理，大家能不能通过图形的不等关系找到他呢？师生互动：带着这个问题让学生阅读课本3—5分钟，找出答案，老师在黑板上画出图形并作出字母标注。