新版高中数学北师大版必修1习题：第二章函数 4.2.1
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1 4.2 二次函数的性质
第1课时 二次函数的性质
课时过关·能力提升
1函数y=-x2+4x的递增区间是( )
A.[-2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,-2] D.(-∞,2]
解析:函数y=-x2+4x=-(x-2)2+4,则其图像的对称轴是x=2,所以当x≤2时,函数是增加的.
答案:D
2已知m>2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图像上,则( )
A.y1 C.y3 解析:∵m>2,∴m+1>m>m-1>1, 又y=x2-2x在[1,+∞)上是增加的, ∴y3>y2>y1. 答案:A 3已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0 A.f(x1) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定 解析:二次函数的图像开口向上,对称轴为直线x=-1, 因为0 所以x1+x2=1-a∈(-2,1), - . 又因为x1 答案:A 4已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对任一实数x,f(x)与g(x)至少有一个为正数,则实数m的取值范围是( ) A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(-∞,0) 解析:当m≤0时,显然不符合题意; 2 当m>0时,因为f(0)=1>0,若- - ≥0, 即0 若- - <0时,只要Δ=4(4-m)2-8m=4(m-8)(m-2)<0即可, 故4 答案:B 5某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售了15辆车,则能获得的最大利润为( ) A.45.606万元 B.45.56万元 C.45.6万元 D.45.51万元 解析:设该公司获得的利润为y万元,在甲地销售了x辆,则在乙地销售了(15-x)辆, 则y=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(0≤x≤15,x∈N), 此二次函数的对称轴为x=10.2, 所以当x=10时,y有最大值45.6. 故所求最大利润为45.6万元. 答案:C 6二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(4,0),且过点(0,2),则abc等于 . 解析:由题意知, - - 解得 - 所以abc= ×(-1)×2=- . 答案:- 7若f(x)=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于x=1对称,则b= . 解析:若f(x)=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于x=1对称,则a+b=2,- =1.∴a=-4,b=2-a=6. 答案:6 8已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图像如图,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根为 . 3 解析:由题图知,二次函数图像的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标是(3,0),所以这个函数图像与x轴的另一个交点坐标是(-1,0). 所以关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根为x1=-1,x2=3. 答案:x1=-1,x2=3 9已知函数f(x)=3x2-6x+1. (1)求这个函数图像的对称轴和顶点坐标; (2)已知f(-1)=10,不计算函数值,求f(3); (3)不直接计算函数值,试比较f - 与f 的大小. 分析:本题中已知二次函数f(x)的解析式,故可考虑用配方法将f(x)化成顶点式,进而确定对称轴和顶点坐标,然后结合图像的对称性求f(3)及比较f - 与f 的大小. 解:f(x)=3x2-6x+1=3(x-1)2-2, ∵x2项的系数为正数, ∴函数f(x)的图像开口向上. (1)顶点坐标为(1,-2),对称轴方程为x=1. (2)∵f(-1)=10,又|-1-1|=2,|3-1|=2, ∴由二次函数图像的对称性可知, f(3)=f(-1)=10. (3)∵f(x)=3(x-1)2-2的图像开口向上,且对称轴为直线x=1, ∴离对称轴越远,函数值越大. 又 - - - , ∴f - >f . 10已知函数f(x)=x2-x+a+1. (1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围; (2)若f(x)在区间[a,a+1]上是单调函数,求a的取值范围. 解:因为f(x)=x2-x+a+1= - +a+ ,所以f(x)min=a+ . (1)若f(x)≥0对一切x∈R恒成立, 4 则a+ ≥0,所以a≥- . (2)f(x)在区间[a,a+1]上是单调函数, 所以满足a≥ 或a+1≤ . 即a≥ 或a≤- .
