当前位置：文档之家 › 北师大版高一必修1数学第二章 函数

北师大版高一必修1数学第二章 函数

  • 格式：docx
  • 大小：427.62 KB
  • 文档页数：14

1 第二章 函数

知识点一 函数定义域

例题1：求函数xxy712的定义域。

例题2：（1）已知函数xfy的定义域为【-2，3】，求函数y =f（2x-3）的定义域；

（2）已知函数32xfy的的定义域是[-2,3]，求函数2xfy的定义域。

知识点二：函数值及其值域

求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：

（1）观察法∶通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；

（2）配方法∶若函数是二次函数，即可化为cbxaxy2（a≠0）型的函数，则可通过配方并结合二次函数性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最大（小）值的求法；

（3）换元法∶通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化为几个简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域；

（4）分离常数法∶此方法主要是针对有理分式.即将有理分式转化为"反比例函数"的形式，便于求值域。

例题：求下列函数的值域∶

(1) y=x+1,x{1,2,3,4,5}；

(2) y=x2-2x+3,[0,3)；

(3)312xxy

(4)12xxy

2 变式练习：

求下列函数的值域。

（1）f(x)=(x-1)2+1,x{-1,0，1,2,3}；

(2)f(x)=x2-2x+2；

(3)145xxy

(4)1xxy

能力提升练习题：

1、若函数213222xaxaaxf的定义域和值城都是R，则a的值为（ ）。

A.3 或-1 B.3 C.-1 D.不确定

2、已知定义在R上的函数xf满足xyyfxfyxf4，11f，则2f（ ）

A、-2 B、2 C、6 D、10

3、函数613122xaxaxf

（1）若f(x)的定义城为【-2，1】，求实数a的值；

（2）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围。

3 知识点3：函数解析式的求法

1.已知函数f（x）的类型，求f（x）的解析式时，可用待定系数法∶根据函数类型先设出函数解析式，再利用条件列出方程（组），解方程（组）求出待定系数，最后代入函数解析式即可。

2.未知函数f（x）的类型，求f（x）的解析式时，要根据条件的特点选择不同的方法进行求解，常见的方法有：换元法、配凑法、方程组法等。

例1：（1）已知f（x）是一次函数，且f(f（x））=16x-25，则函数f(x)的解析式为 。

（2）已知f(x）是二次函数且满足f(0）=1，f(x+1）-f（x）=2x，则函数f（x）的解析式为 。

例2：（1）已知xxxxxf11122，求xf；

（2）已知xxxf21，求xf；

（3）已知xxxfxf2)(22，求xf。

4 变式练习：

1、已知函数f(x）满足af（x）+f（-x）=bx，其中a≠±1，求函数f（x）的解析式。

2、根据下列条件，求f（x）的解析式。

（1）34xxff，其中f（x）为一次函数；

（2）)0(12xxxfxf

知识点4：如何解决分段函数问题

分段函数问题的解决方法是分段思考，即根据自变量所在定义域内的不同范围，选择不同的解析式，利用此解析式解决问题，最后还要由自变量所在范围检验。

例题3：（1）已知实数0a，函数1,21,2xaxxaxxf若f（1-a）=f（1+a），则a的值为____；

（2）已知11,111,xxxxxxf或，若41xf，则x的取值范围是 。

5 变式练习：

1、已知函数3,3,313xaxxxxf的定义域与值域相同，则常数a=（ ）。

A.3 B.-3 C、31 D、-31

2、已知函数2,1222,22,12xxxxxxxxf

（1）求f(-5),3f,25ff的值；

（2）若3af，求实数a的值。

3、已知函数)2(,5)21(,33)1(,5xxxxxxxf

（1）解不等式f(x)>1；

（2）若f(x)+t<0对任意实数x都成立，求实数t的取值范围。

6 知识点5：函数图像及其应用

画函数图像的一般方法：

（1）直接法∶当函数解析式（或变形后的解析式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点，直接作出图像；

（2）图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，并注意平移变换与伸缩变换的顺序对解析式的影响。

例：做出下列函数的图像：

（1）112xxy；

（2）1||22xxy；

（3）|34|2xxy

变式练习：

1、已知函数1,0,10,1,12xxxxxf 则下列函数图像正确的是（ ）

知识点六：函数的单调性

1、在函数y=f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意的x1，x2A，且x1x2

（1）若02121xxxfxf或02121xxxfxf，则函数y=f(x)在区间A上递增；

若02121xxxfxf或02121xxxfxf，则函数y=f(x)在区间A上递减。 7 例1：求函数3||22xxy的单调递增区间。

2、函数单调性的判定与证明方法：

①运用定义证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上，任取x1，x2，且在x1

单调性的判定可用图像法等手段。

②复合函数的单调性判定∶

（1）若y=f(u)，u=g（x）在公共区间上的单调性相同，则y=f(g（x））为增函数；y=f（u），u=g（x）在公共区间上的单调性相反，则y=f（g（x））为减函数（如下表），

y=f（u） 增 增 减 减

u=g（x） 增 减 增 减

y=f(g（x） 增 减 减 增

即内、外函数单调性相同时为增函数，相反时为减函数。此规律可简单记为"同增异减"。

（2）求复合函数的单调区间，利用"同增异减"的判断法则时，要特别注意对函数定义域的确定，不要忽略了"函数的单调区间是函数定义域的子集"这一前提条件。

例2：已知函数xbaxxf的图像经过点A（1,1），B（2，-1）。

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）判断函数f(x)在(0,+)上的单调性，并用定义证明。

8 3、含参数的函数单调性问题的解法

含参数的函数单调性问题常见的解法∶

（1）常见函数的单调性;一次函数的单调性取决于一次项系数，二次函数的单调性取决于二次项系数与其图像的对称轴，反比例函数的单调性取决于定义域与分子。解题时可结合图像解决问题。

（2）分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要考虑分段点处的单调问题。另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的。

例3：已知函数)1()1(52xxaxaxxxf是R上的增函数，则a的取值范围是？

例4：已知函数322axxxf在区间[1,2]上单调，求实数a的取值范围。

变式练习：

1、已知)()(axaxxxf

（1）若a=-2，试证明f(x)在（-，-2）上单调递增；

（2）若a>0，且f(x)、在（1，+）内单调递减，求a的取值范围。

合集下载

高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

第二章基本初等函数知识点整理

〖2.1〗指数函数

2.1.1指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a．

③根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时， (0)|| (0) nnaaaaaa．

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①(0,,)rsrsaaaarsR ②()(0,,)rsrsaaarsR ③()(0,0,)rrrabababrR

2.1.2指数函数及其性质

（4）指数函数

函数名称 指数函数

定义 函数(0xyaa且1)a叫做指数函数

图象 1a 01a

定义域 R

值域 （0,+∞）

过定点 图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．

奇偶性 非奇非偶

单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 xayxy(0,1)O1yxayxy(0,1)O1y函数值的

变化情况 y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0) y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0)

a变化对

图象的影

响 在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y轴；

在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x轴． 在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y轴；

人教版高一数学必修一第二章指幂对数函数学生

人教版高一数学必修一第二章指幂对数函数学生

学邦教育一对一辅导教案

学生姓名 性别 年级 高一 学科 数学

授课教师 马福政 上课时间 年 月 日 第（ ）次课

共（ ）次课 课时：课时

教学课题 对数与对数的运算、对数函数的图像和性质

教学目标 1. 切实掌握对数运算公式及性质，熟练进行基本的对数运算。

2.掌握对数运算的规律、技巧和方法。

重点难点 掌握对数的计算与技巧。

一、对数的概念

1、定义：一般地，如果 1,0aaa的b次幂等于N, 就是 Nab，那么数 b叫做 以a为底 N的对数，记作 bNalog，a叫做对数的底数，N叫做真数

2、★底数的取值范围：),1()1,0(；★真数的取值范围),0(

3、指数式与对数式的互化：

例如：1642  216log4 ; 1001022100log10

2421 212log4 ; 01.0102201.0log10

注意：（1）负数与零没有对数

4、几个重要性质：(1)01loga，(2)1logaa

(3)对数恒等式:如果把 Nab 中的 b写成 Nalog, 则有 NaNalog

5、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N的常用对数N10log简记作lgN

例如：5log10简记作lg5 ; 5.3log10简记作lg3.5.

6、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数Nelog简记作lnN

例如：3loge简记作ln3 ; 10loge简记作ln10

二、对数的运算法则：

1、log()loglogaaaMNMN 2、log()loglogaaaMMNN 3、loglognmaamMMn

高一数学必修1第二章函数 测试题

高一数学必修1第二章函数 测试题

- 1 - 高一数学必修1第二章测试题

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，）

1. 若()1fxx，则(3)f（ ）

A、2 B、4 C、22 D、10

2．下列各组函数是同一函数的是 （ ）

①3()2fxx与()2gxxx；②()fxx与2()gxx；

③0()fxx与01()gxx； ④2()21fxxx与2()21gttt。

A、①② B、①③ C、②④ D、①④

3.二次函数245yxmx的对称轴为2x，则当1x时，y的值为 （ ）

A、7 B、1 C、17 D、25

4. 若:fAB能构成映射，下列说法正确的有 （ ）

（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一（2）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；

（3）B中的元素可以在A中无原像；（4）像的集合就是集合B。

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

5．设函数()(21)fxaxb是R上的减函数，则有 （ ）

A、12a B、12a C、12a≥ D、12a≤

6.如果函数2()2(1)2fxxax在区间,4上是减函数，那么实数a的取值范围是

A、3a≤ B、3a≥ C、a≤5 D、a≥5

7．)(xf是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确．．．的是( )

A、()()0fxfx B、()()2()fxfxfx C()()0fxfx≤ D、()1()fxfx

第二章 函数 期末综合复习测评卷高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

第二章 函数 期末综合复习测评卷高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

试卷第1页，共5页 第二章 函数 期末综合复习测评卷

一、单选题

1．函数22()xxgxx的定义域为（ ）

A．(2,0)(0,1) B．[2,0)(0,1] C．(1,0)(0,1] D．[1,0)(0,2]

2．已知(),()fxgx都是定义在R上的函数，下列两个命题：

①若()fx、()gx都不是单调函数，则(())fgx不是增函数．

①若()fx、()gx都是非奇非偶函数，则(())fgx不是偶函数．

则（ ）

A．①①都正确 B．①正确①错误 C．①错误①正确 D．①①都错误

3．设()fx为定义在R上的奇函数，且满足()(4)fxfx，(1)1f，则(1)(8)ff（ ）

A．2 B．1 C．0 D．1

4．设函数17,0()2,0xxfxxx，若()1fa，则实数a的取值范围是（ ）

A．(,3) B．(1,) C．(3,1) D．(,3)(1,)

5．函数fx在,单调递减，且为奇函数，若21f，则满足111fx的x的取值范围为（ ）

A．22, B．1,3 C．1,3 D．1,1

6．函数y＝331xx的图象大致是( )

A．B．C．D．

7．已知函数fxxx，其中x表示不超过x的最大整数，如1,81，1,82.下面说法错误的是（ ）

A．当0,1x时，fxx；

B．函数yfx的值域是0,1；

C．函数yfx与函数14yx的图象有4个交点； 试卷第2页，共5页 D．方程40fxx根的个数为7个.

8．黎曼函数Rx是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，Rx在0,1上的定义为：当qxp（pq，且p，q为互质的正整数）时，1Rxp；当0x或1x或x为0,1内的无理数时，0Rx.已知a，b，0,1ab，则（ ）注：p，q为互质的正整数pq，即qp为已约分的最简真分数.