高中数学必修2直线与圆的方程
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1 直线与圆的方程
【基础知识归纳】
1．直线方程 (略)
4. 圆的方程
(2)圆的方程
标准式
一般式：220xyDxEyF（2240DEF）.其中圆心为
,22DE，半径为22142DEF 参数方程:cossinxryr，cos(sinxarybr是参数）.
5. 点与圆的位置关系
判断点(,)Pxy与圆2()xa22()ybr的位置关系代入方程看符号.
6.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.有两种判断方法：
（1）代数法：（判别式法）0,0,0时分别相离、相交、相切.（2）几何法：圆心到直线的距离
,,drdrdr时相离、相交、相切.
7．弦长求法
（1）几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则2222ldr ．（2）解析法：用韦达定理，弦长公式.
8．圆与圆的位置关系
看|O1O2|与22rr和|22rr|的大小关系.
【典型例题解析】
题型2
：直线的斜率
【例2】（安徽卷）若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 （ ）
A．[3,3] B．(3,3) C．33,33 D．33,33 【答案】C
题型3
直线的方程
【例3】（浙江）直线210xy关于直线1x对称的直线方程是 （ ）
Ａ．210xy Ｂ．210xy
Ｃ．230xy Ｄ．230xy 【答案】D
题型4：直线方程的综合题
【例4】（江苏）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：11110xybcpa，请你求OF的方程： ___________________.
【答案】11110xycbpa
【解析】直线AB的方程为1aybx ①直线CP的方程为1pycx ②
②-①得11110xycbpa，
直线AB与CF的交点F坐标满足此方程，原点O的坐标也满足此方程，所以OF的方程为11110xycbpa.
若敢于类比猜想，交换x的系数中b、c的位置，便很快可得结果.
题型5：直线与直线的位置关系
【例5】（福建）已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则a等于 ( )
A．2 B．1 C．0 D．1【答案】 D
题型6：点与直线的位置关系
【例6】（湖南）圆224xyx4100y上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是 ( ) y
x O B A
F E P
C 2 A．36 B. 18 C. 26
D.
25【答案】C
题型7：平行线间的距离
【例7】（四川）如图，1l、2l、3l是同一平面内的三条平行直线，1l与2l间的距离是1，2l与3l间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在1l、2l、3l上，则△ABC的边长是 ( )
A．23 B．364 C．3174 D．2213 【答案】D
【解析】过点Ｃ作2l的垂线
4l，以2l、4l为x轴、y轴建立平面直角坐标系．设(,1)Aa、(,0)Bb、(0,2)C，
由ABBCAC知222()149abba边长2，检验A：222()14912abba，无解；
检验B：22()14abb23293a，无解；检验D：22()14abb22893a，正确.
题型8：动点的轨迹方程
【例8】（四川）已知O的方程是2220xy，'O的方程是22xy
8100x，由动点P向O和'O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_________________【答案】32x
【解析】O：圆心(0,0)O，半径2r；'O：圆心'(4,0)O，半径'6r．设(,)Pxy，由切线长相等得222xy2238102xyxx．
【例9】（上海）如图9-1-4，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点()Pxy，、点()Pxy，满足xx≤且yy≥，则称P优于P．如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 ( )
Ａ．弧AB
B．弧BC
C．弧CD
D．弧DA 【答案】D
【解析】分别在弧AB、弧BC、弧CD、弧DA上任意取一点Q，只有在弧DA上的点Q满足不存在中的其它点优于Q，故选D．
【例10】（北京）平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是 ( )
A．一条直线 B．一个圆C．一个椭圆 D．双曲线的一支
【答案】A
【解析】如图9-1-5所示，因为过定点A的动直线l与AB垂直，直线l绕定点A旋转形成一个平面，这个平面与平面相交，有一条交线，点C在这条交线上，所以点C的轨迹是这条交线．故选A．
题型9：圆的方程
【例11】(重庆)以点（2，－1）为圆心且与直线3450xy相切的圆的方程为 （ ）
A．22(2)(1)3xy B．22(2)(1)3xy
C．22(2)(1)9xy D．22(2)(1)3xy
【答案】C
【例12】（福建)若直线3x+4y+m=0与圆
sin2cos1yx（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是 .
题型10：直线与圆的位置关系
【例13】（辽宁）已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为 （ ）
A.22(1)(1)2xy B.22(1)(1)2xy
C. 22(1)(1)2xy D. 22(1)(1)2xy【答案】B
题型11：圆与圆的位置关系
【例14】（山东）与直线xy20和曲线221212540xyxy都相切的半径最小的圆的标准方程是_____ A
B
C D
O x y
CBA 3 【答案】22(2)(2)2xy【解析】曲线化为22(6)(6)18xy，其圆心到直线20xy的距离为
66252.2d所求的最小圆的圆心在直线yx上，其到直线的距离为2，圆心坐标为(2,2).标准方程为22(2)(2)2xy.
【重点方法提炼】
（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围．
（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m＞0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解．
（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．
（4）有关圆的问题解答时，应注意利用圆的平面几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆相切的性质，这样可以使问题简化．
（5）对本章中介绍的独特的数学方法——坐标法要引起足够重视．要注意学习如何借助于坐标系，用代数方法来研究几何问题，体会这种数形结合的思想．
（6）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终．
【实战演习】
一．选择题
1．（湖南重点中学联考）过定点2,1P作直线l分别交x轴、y轴正向于A、B两点，若使△ABC（O为坐标原点）的面积最小，则l的方程是 （ ）
A.30xy B.350xy C.250xy D.240xy2．（湖北重点中学联考）若P（2，－1）为圆（x－1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 （ ）
A.x－y－3=0 B.2x+y－3=0 C.x+y－1=0 D.2x－y－5=0
3.（陕西）过原点且倾斜角为60的直线被圆学2240xyy所截得的弦长为（ ）
A.3 B.2 C.6 D.23
4.（宁夏海南）已知圆1C：2(1)x+2(1)y=1，圆2C与圆1C关于直线10xy对称，则圆2C的方程为 ( )
A.2(2)x+2(2)y=1 B.2(2)x+2(2)y=1 C.2(2)x+2(2)y=1 D.2(2)x+2(2)y=1
5.（重庆）直线1yx与圆221xy的位置关系为 （ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离
6.（重庆）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 （ ）
A．22(2)1xy B．22(2)1xy C．22(1)(3)1xy D．22(3)1xy
7．（湖北）过点(11,2)A作圆22241640xyxy的弦，其中弦长为整数的共有 （ ）
A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条
8．（北京）过直线yx上的一点作圆22(5)(1)2xy的两条切线12ll，，当直线12ll，关于yx对称时，它们之间的夹角为 （ ）A．30 B．45 C．60 D．90
二．填空题
9．（上海）已知1:210lxmy与2:31lyx，若两直线平行，则m的值为____________.
