(新教材)2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案:6.3利用导数解决实际问题含解析
- 格式:doc
- 大小:319.50 KB
- 文档页数:11
6.3 利用导数解决实际问题
新版课程标准学业水平要求
利用导数解决与函数有关的问题1.借助教材实例进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用.(数学运算)
2.能利用导数解决简单的实际问题.(数学运算)
关键能力·素养形成
类型一函数的图象问题
【典例】给定函数f=e x -x.
(1)判断函数f的单调性,并求出f的值域;
(2)画出函数f的大致图象;
(3)求出方程f=m在区间[-1,2]的解的个数. 【思维·引】(1)求导数、求极值后确定最值,得到值域;
(2)利用函数的单调性,增长趋势作图;
(3)利用图象的交点个数判断解的个数.
【解析】(1)函数的定义域为R.
f′=e x-1,令f′=0,解得x=0.
f′,f的变化情况如表所示:
x 0
f′- 0 +
f单调递减 1 单调递增
所以,f在区间上单调递减,在区间上单调递增.当x=0时,f的极小值f=1.
也是最小值,故函数f的值域为.
(2)由(1)可知,函数的最小值为1.
函数的图象经过特殊点f=+1,f=e2-2,f=1,
当x→+∞时,f→+∞,f′→+∞;
当x→-∞时,指数函数y=e x越来越小,趋向于0,因此函数f图象上的点逐渐趋向于直线y=-x.根据上述信息,画出函数f的大致图象如图所示.
(3)截取函数f在区间[-1,2]上的图象如图所示.
由图象得:当f 即m∈时,方程f=m在区间上恰有两个不同的实根; 同理,当m=1或+1 当m<1或m>e2-2时,方程f=m在区间上无实根. 【内化·悟】 作函数的图象时需要关注哪些方面? 提示:定义域、单调性、极值、最值以及图象的变化趋势等. 【类题·通】 作函数f图象的步骤 (1)求出函数的定义域; (2)求导数f′及函数f′的零点; (3)用f′的零点将f的定义域划分为若干个区间,列表给出f′在各个区间上的正负,并得出f的单调性与极值; (4)确定f的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势; (5)画出f的大致图象. 【习练·破】 函数f(x)=(x2+tx)e x(实数t为常数,且t<0)的图象大致是 ( ) 【解析】选B.由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函数f(x)有两个零点,排除A,C, 函数的导数f′(x)=(2x+t)e x+(x2+tx)e x=[x2+(t+2)x+t]e x, 当x→-∞时,f′(x)>0,即在x轴最左侧,函数f(x)为增函数,排除D. 类型二实际生活中的最值问题 【典例】(2020·泰州高二检测)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件. (1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x); (2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值. 【思维·引】(1)利润=每件商品的利润×销售量;(2)利用导数求最值. 【解析】(1)该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)= (x-4-a)(10-x)2,x∈[8,9]. (2)L′(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x) =(10-x)(18+2a-3x), 令L′(x)=0,得x =6+a或x=10(舍去). 因为1≤a≤3,所以≤6+a≤8. 所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减,故L(x)max=L(8)=(8-4-a)(10-8)2=16-4a. 当每件商品的售价为8元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为(16-4a)万元. 【类题·通】 解决实际优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域; (2)一般地,通过函数的极值来求函数的最值.如果函数在给定区间上只有一个极值点,则根据所求即可判断该值是最大值还是最小值. 【习练·破】 (2020·焦作高二检测)欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐(无盖),为能使所用的材料最省,它的底面半径应为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选C.设圆柱的底面半径为r,高为h,表面积为y, 则由题意有πr2h=V,所以h=. 蓄水罐的表面积y=πr2+2πrh=πr2+2πr=πr2+(r>0). 令y′=2πr-==0,得r=. 检验得,当r=时表面积取得最小值,即所用的材料最省. 类型三利用导数研究函数的问题 角度1 恒成立问题 【典例】(2020·龙凤高二检测)函数f(x)=e x-kx,当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则k的取值范围是( ) A.k≤1 B.k≤2 C.k≤e D.k≤ 【思维·引】转化为最值问题. 【解析】选C.依题意,e x-kx≥0在(0,+∞)上恒成立, 即k≤在(0,+∞)上恒成立, 令g(x)=(x>0),则g′(x)==, 当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,所以k≤e. 【素养·探】 将恒成立问题转化为最值问题用到了核心素养中的逻辑推理. 将本例改为在区间上存在x,使f(x)≥0成立,试求k的取值范围. 【解析】在区间上存在x,使f(x)≥0成立,即在区间上存在x,使k≤成立.令g(x)=(x>0),则g′(x)==, 因为当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e, 又g=2,g=e3,所以g(x)max=g=e3. 所以k≤e3.