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7.4.1 二项分布本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，本节课主本节课主要学习二项分布前面学生已经掌握了有关概率的基础知识等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率和相互独立事件概率的求法、也学习了分布列的有关内容。
二项分布是一种应用广泛的概率模型，是对前面所学知识的综合应用。
节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。
重点：n 重伯努利实验，二项分布及其数字特征； 难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.多媒体问题由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得P(X =0)=P(A 1A 2A 3)=0.23, P (X =1)=P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)=3×0.8×0.2P(X =2)=P(A 1A 2A 3)+P(A 1A 2A 3)+P(A 1A 2A 3)=3×0.82×P(X=3)=P(A 1A 2A 3)=0.83.为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3解：设A=“向右下落”，则A=“向左下落球最后落入格子的号码X等于事件过程中共碰撞小木钉10次，所以列为P(X=k)=C10k×0.510，kX的概率分布图如下图所示：课后通过对教学过程的反思与研究, 才能不断完善教学设计中的不足, 才能提升教材分析的能力和课堂教学实效..1. 多元展示, 多方评价. 在教学过程中我借问题牵引，保证了课堂教学的顺利实施；而在整个过程中，我对学生所作练习、疑问及时解析评价；学生之间、小组之间的互相评价补充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标.2. 创造性的使用教材. 有别于教材，我在教学中,让学生考察了分别考察了两类题型之后再引导学生进行归纳, 这样更贴近学生的认知水平，学生课后反馈，效果较为理想.。
《二项分布》教学设计【教学内容】本节内容是人教A版选择性必修三第七章《随机变量及其分布》的第四节《二项分布与超几何分布》的第一节课。
在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。
本节课是从生活实际入手，了解伯努利试验和n重伯努利试验的特点，通过由特殊到一般的方法推导出二项分布的概率模型及其数字特征。
发展学生数学抽象、逻辑推理及数学运算的素养。
本节内容是对前边所学知识的综合应用，是对已有知识的“再创造”与“整合”的过程；是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。
要鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，从而体会数学的科学价值和应用价值。
【教学目标】1.学生通过具体实例，理解n次伯努利试验的特点，并会判断一个具体问题是否服从二项分布;2.学生通过独立思考、相互交流，并借助由特殊到一般的方法，能归纳出二项分布的概率模型，从中体会数学的理性与严谨，提升数学抽象、逻辑推理与数学运算的素养。
3.学生经历实际问题的对比分析，归纳提炼，树立普遍联系的概念；在问题的解决过程中感悟数学与生活的和谐之美，体会数学的文化价值和应用价值。
【重点难点】教学重点：n重伯努利试验，二项分布的概率模型及简单应用。
教学难点：在实际问题中抽象出模型的特征，并应用二项分布的概率模型解决实际问题。
【学情分析】通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法及分布列有关内容。
但是对于从实际问题中抽象出数学模型还是有些困难的，需要老师启发引导，在老师的启发引导下，学生能从抛硬币的试验中抽象出n重伯努利试验的概念，从掷图钉的试验中归纳出二项分布的概率模型。
【教学策略】本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示。
为了让学生归纳探究出二项分布的概率模型，课堂应为学生创造积极探究的平台。
二项分布说课稿一、教材分析：1．教材的地位和作用本节内容是新教材选择性必修三第七章«随机变量及其分布»的第四节«二项与超几何分布»。
通过前面的学习，学生差不多学习把握了有关概率和统计的基础知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、以及离散型随机变量分布列有关内容。
二项分布是一应用广泛的概率模型。
在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也专门重要。
2．教学目标：知识目标：高中数学新课标明确指出本节课需达到的知识目标：在了解条件概率，离散型随机变量分布列概念的前提下，明白得n重伯努利试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
同时，渗透由特殊到一般，由具体到抽象,观看、分析、类比、归纳的数学思想方法。
能力目标：培养学生的自主学习能力、数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
德育目标：培养学生对新知识的科学态度，勇于探究和敢于创新的精神。
让学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想。
情感目标：通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探究的乐趣与成功的欢乐，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。
3．教学重点、难点：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际咨询题的过程，是数学学习的一种新的方式，它为学生提供自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际咨询题中的价值和作用。
教学重点:独立重复试验、二项分布的明白得及应用二项分布模型解决一些简单的实际咨询题。
教学难点:二项分布模型的构建。
重难点的突破将在教学程序分析中详述。
二、教法探讨：我在课堂教学中做到以学生的自主学习为中心，给学生提供尽可能多的摸索、探究、发觉、想象、创新的时刻和空间。
另一方面，从学生的认知结构，预备知识的把握情形由此，本节课要紧采取〝自主探究式〞的教学方法：即学生在老师引导下，观看发觉、自主探究、合作交流、由专门到一样、由感性到理性主动建构新知识。
课 题： 7.4.1 二项分布(1) 课型： 新授课 课程标准： 1.理解伯努利试验与n 重伯努利试验2.掌握二项分布及其数字特征3.会利用二项分布解决简单的实际问题 学科素养： 数学抽象、数学建模、逻辑推理、数据分析 重 点： 掌握二项分布及其数字特征 难 点： 利用二项分布解决简单的实际问题 教学过程：一、复习回顾1.离散型随机变量的均值：11221()n n n i i i E X x p x p x p x p ==+++=∑ 2.离散型随机变量的方差：2221()(())()(())n i i i D X x E X p E X E X ==-=-∑3.均值的性质：()()()()()()E X b E X b E aX aE X E aX b aE X b +=+⎧⎪=⎨⎪+=+⎩方差的性质：22()()()()()()D X b D X D aX a D X D aX b a D X +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩二、新课讲授1.伯努利试验与n 重伯努利试验(1)伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(2)n 重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 次重伯努利试验特点：①同一个伯努利试验重复做n 次，即各次试验成功的概率相同 ②各次试验的结果相互独立2.二项分布的概念一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为(01)p p <<，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为：如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p .特点：①00()(1)[1(1)]1n nk k n k n n k k P X k C p k p -====-=+-=∑∑②对立性：在一次试验中，事件A 发生与否必居其一；③重复性：试验可以独立重复地进行；④X 从0到n 不间断取值确定一个二项分布模型的步骤：①明确伯努利试验及事件A 的意义，确定事件A 发生的概率p ；②确定重复试验的次数n ，并判断各次试验的独立性；③设X 为n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，则~(,)X B n p3.二项分布的数字特征(1)均值()E X np =令1q p =-，由11k k n n kC nC --=，可得：令1k m -=，则：(2)方差()(1)D X np p =-三、典例讲解题型一：n 重伯努利试验【例1】将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：(1)恰好出现5次正面朝上的概率(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率。
7.4.1 二项分布1.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算;2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差;重点：n重伯努利实验，二项分布及其数字特征；难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.1.伯努利试验在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。
显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：(1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同）(2) 各次试验的结果相互独立.2.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=C n k×p k×(1−p)n−k，k=0,1,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作X~B(n,p).3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).一、问题探究做一做:问题1.下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少？1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.探究1 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同?问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.思考1：二项分布与两点分布有何关系?思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？二、典例解析例1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：（1）恰好出现5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。
二项分布中需要注意的问题和关注点(1）当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p）中的试验次数n与成功概率p.(2）解决二项分布问题的两个关注点①对于公式P(X＝k）＝C k n p k(1－p）n－k(k＝0，1，2，…，n），必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?探究3：假设随机变量X服从二项分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？例4. 一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差．1.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为( ）A ．C 810 ×0.88×0.22B ．0.88×0.22C ．C 210 ×0.28×0.82D ．0.28×0.822.已知X 是一个随机变量，若X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13 ，则P (X ＝2）等于( ） A ．316 B ．4243 C ．13243 D ．802433.已知X ～B (n ，p ），E (X ）＝8，D (X ）＝1.6，则n ＝________，p ＝________．4.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23 ，乙队中每人答对的概率分别为23 ，23 ，12 ，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1）求随机变量ξ的分布列．(2）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ）.5.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1）求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差．(2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．1.二项分布的定义：一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p(0<p<1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X =k )=C n k×p k ×(1−p)n−k ，k =0,1,…,n.如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布（binomial distribution ），记作X~B(n,p).2.确定一个二项分布模型的步骤:（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；（2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）.3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).参考答案：知识梳理学习过程一、问题探究问题1：探究1 ：伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：问题2：用Ai由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得P(X =0)=P(A 1A 2A 3)=0.23,P (X =1)=P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)=3×0.8×0.22, P(X =2)=P(A 1A 2A 3)+P(A 1A 2A 3)+P(A 1A 2A 3)=3×0.82×0.2,P(X=3)=P(A 1A 2A 3)=0.83.为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.82×0.2，并且与哪两次中靶无关.因此,3次射击恰好2次中靶的概率为C 32×0.82×0.2.同理可求中靶0次,1次,3次的概率.于是，中靶次数X 的分布列为：P(X =k)=C 3k×0.8k ×0.23−k ，k =0,1，2，3探究2：(1)表示中靶次数X 等于2的结果有：A 1 A 2 A 3 A 4, A 1 A 2 A 3 A 4,, A 1 A 2 A 3 A 4, A 1 A 2 A 3A 4 , A 1 A 2A 3A 4, A 1 A 2 A 3A 4,共6个。
(2)中靶次数X 的分布列为：P (X =k )=C 4k×0.8k ×0.24−k ，k =0,1，2，3,4思考1：两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.思考2： 如果把p 看成b ，1-p 看成a ，则C n k ×p k ×(1−p)n−k 就是二项式[(1−p)+p]n 的展开式的通项，由此才称为二项分布。
即∑P (x =k )=n k=0∑C n k ×p k ×(1−p)n−k n k=0=[p +(1−p)]n =1二、典例解析例1 ：分析:抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验,因此,正面朝上的次数服从二项分布。
解：设A=“正面朝上”，则P(A）=0.5.用X表示事件A发生的次数，X~B(10,0.5).(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是P(X=5)=C105×0.510=2521024=63256;(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是P(4≤X≤6)=C104×0.510+C105×0.510+C106×0.510=672 1024=2132.例2：分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果,设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此X服从二项分布。
解：设A=“向右下落”，则A=“向左下落”，且P(A)=P(A)=0.5.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10，0.5）.于是，X的分布列为P(X=k)=C10k×0.510，k=0,1, (10)X的概率分布图如下图所示：例3：分析:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局,把n局比赛看成n重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率。
解法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为p 1=0.62+C 21×0.62×0.4=0.648.类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0，3：1或3：2因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为p 2=0.63+C 32×0.63×0.4+C 42×0.63×0.42=0.68256.解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X 表示3局比赛中甲胜的局数，则X ～B(3，0.6).甲最终获胜的概率为 p 1 =P(X=2)+P(X=3)= C 32×0.62×0.4+C 33×0.63=0.648.采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X 表示5局比赛中甲胜的局数， 则X ～B(5，0.6).甲最终获胜的概率为p 2 =P (X =3)+P (X =4)+P (X =5)=C 53×0.63×0.42+C 54×0.64 ×0.4+ C 55×0.65=0.68256因为p 2>p 1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.探究3：当n =1时，X 服从两点分布，分布列为P(X =0)=1−p,P(X =1)=p.均值和方差分别为E(X)=p;D(X) =p(1−p).(2)当n =2时，X 的分布列为 P (X =0)=(1−p )2,P (X =1)=2p (1−p ),P(X =2)=p 2.均值和方差分别为 E(X)=0×(1−p )2+1×2p （1−p ）+2×p 2=2p. D(X)=02×(1−p )2+12×2p （1−p ）+22×p 2−(2p)2=2p （1−p ）.证明：∵P (X=k )= C n k p k q n-k(∵ k C nk =n Cn-1k-1)∴k P (X=k )= kC n k p k q n-k= npCn-1k-1p k-1q n-k∴E (X) =0×C n0p 0q n+ 1×C n1p 1q n-1+ 2×C n2p 2q n-2+ …+ k ×C nk p k q n-k+…+ n ×C nn p n q 0=np (Cn-10p 0q n-1+ Cn-11p 1q n-2+ … + Cn-1k-1p k-1q (n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1p n-1q 0)=np (p +q )n-1=np例4. 解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，所得的分数为η， 由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，则E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6. 故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96. 所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是60和96. 达标检测1.解析：设X 为击中目标的次数，则X ～B(10，0.8)，∴这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X ＝8)＝C 810 ×0.88×(1－0.8)2＝C 810 ×0.88×0.22.故选A . 答案：A2.解析：由题意知n ＝6，p ＝13 ，故P(X ＝2)＝C 26×⎝⎛⎭⎫13 2×⎝⎛⎭⎫1－13 6－2 ＝C 26 ×⎝⎛⎭⎫13 2 ×⎝⎛⎭⎫23 4 ＝80243.故选D .答案：D3. 解析：因为随机变量X ～B(n ，p)，所以E(X)＝np ＝8，D(X)＝np(1－p)＝1.6，解得p ＝0.8，n ＝10.4.解析：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验， 所以ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23 . P(ξ＝0)＝C 03 ×⎝⎛⎭⎫1－23 3＝127， P(ξ＝1)＝C 13×23 ×⎝⎛⎭⎫1－23 2 ＝29 ， P(ξ＝2)＝C 23 ×⎝⎛⎭⎫23 2 ⎝⎛⎭⎫1－23 ＝49，P(ξ＝3)＝C 33 ×⎝⎛⎭⎫23 3 ＝827 ，所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥． P(C)＝C 23×⎝⎛⎭⎫23 2×⎝⎛⎭⎫1－23 ×⎝⎛⎭⎫23×13×12＋13×23×12＋13×13×12 ＝1081.P(D)＝827 ×⎝⎛⎭⎫1－23 ⎝⎛⎭⎫1－23 ×⎝⎛⎭⎫1－12 ＝4243 . 所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝1081 ＋4243 ＝34243 .5.解析：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布， 且ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，13 ，所以E(ξ)＝6×13 ＝2， D(ξ)＝6×13 ×⎝⎛⎭⎫1－13 ＝43. (2)由已知η＝30ξ，所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.。
