(新教材)2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案：5.1.2数列中的递推含解析

第五章数列5.1数列基础5.1.1数列的概念“微信朋友圈”中的数学1．数列的概念及一般形式思考1：数列1,2,3与数列2,1,3相同吗？[提示]不同，顺序不一样．2．数列的分类一般地，如果数列的第n 项a n 与n 之间的关系可以用a n ＝f (n )来表示，其中f (n )是关于n 的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．思考2：数列一定有通项公式吗？ [提示] 不一定． 4．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： [提示] 不连续．拓展：(1)解读数列的通项公式①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式．②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． ③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．(2)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)1,7,0,11，－3，…，－1 000不构成数列．( ) (2){a n }与a n 是一样的，都表示数列．( ) (3)数列1,0,1,0,1,0，…是常数列． ( ) (4)数列1,2,3,4可表示为{1,2,3,4}． ( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材P 7练习AT2(3)改编)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n (n ＋1)，那么a 5＝( )A.320B.215C.14D.16B [∵a n ＝n －1n (n ＋1)，∴a 5＝45×6＝215，故选B.]3．数列0,1,2,3,4，…的一个通项公式可以为( ) A ．a n ＝n －1 B ．a n ＝n C ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n 2－1A [结合选项可知，a n ＝n －1，故选A.] 4．下列说法正确的是________(填序号)． ①1,1,1,1是有穷数列；②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列； ③数列1,2,3,4，…，2n 是无穷数列．①② [因为1,1,1,1只有4项，所以①正确；②正确；数列1,2,3,4，…，2n 共有2n 项，是有穷数列，所以③错误．]①2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020； ②1，12，14，…，12n －1，…；③1，－23，35，…，(－1)n －1·n 2n －1，…；④1,0，－1，…，sin n π2，…；⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物． 2．判断数列是哪一种类型时要紧扣概念及数列的特点．判断是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；判断是有穷还是无穷数列则要看项的个数有限还是无限．[跟进训练] 1．给出下列数列： ①2013～2020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.②无穷多个3构成数列3， 3， 3， 3，….③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．① ②③ ① ② ③ [①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]5(1)12，2，92，8，252，…； (2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…. [思路点拨] 先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N ＋)． (2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…此数列的通项公式为10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N ＋)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1(n ∈N ＋)．(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n 1n (n ＋1)(n ∈N ＋)．1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；④各项符号特征．并对此进行归纳、联想．2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．[跟进训练]2．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….[解] (1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1(n ∈N ＋)．(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)(n ∈N ＋)．(3)此数列的整数部分为1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1(n ∈N ＋)．(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)(n ∈N ＋)．1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋2n ＋1，该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项．[提示] 由数列与函数的关系可知，数列{a n }的图像是分布在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．2．若数列{a n }满足a n ＋1－a n >0，∀n ∈N ＋都成立，则该数列{a n }是递增数列吗？ [提示] 是．因为a n ＋1－a n >0，故a n ＋1>a n ，所以数列{a n }是递增数列． 【例3】 已知函数f (x )＝x －1x .数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n >0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的增减性．[思路点拨] 先根据已知条件解方程求a n ，再利用作差法或作商法判断数列{a n }的增减性． [解] (1)∵f (x )＝x －1x ，f (a n )＝－2n ，∴a n －1a n ＝－2n ，即a 2n ＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n ±n 2＋1， ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n . (2)法一：(作差法)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)－(n 2＋1－n ) ＝(n ＋1)2＋1－n 2＋1－1 ＝[(n ＋1)2＋1－n 2＋1][(n ＋1)2＋1＋n 2＋1](n ＋1)2＋1＋n 2＋1－1＝(n ＋1)＋n(n ＋1)2＋1＋n 2＋1－1，又(n ＋1)2＋1>n ＋1，n 2＋1>n ， ∴(n ＋1)＋n(n ＋1)2＋1＋n 2＋1<1.∴a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .∴数列{a n }是递减数列． 法二：(作商法)∵a n >0，∴a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1.∴a n ＋1<a n .∴数列{a n }是递减数列．1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是不是该数列中的项，其方法是由通项公式构造方程，求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．[跟进训练]3．已知数列的通项公式为a n＝n2＋2n－5.(1)写出数列的前3项；(2)判断数列{a n}的增减性．[解](1)数列的前3项：a1＝12＋2×1－5＝－2；a2＝22＋2×2－5＝3；a3＝32＋2×3－5＝10.(2)∵a n＝n2＋2n－5，∴a n＋1－a n＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.∵n∈N＋，∴2n＋3>0，∴a n＋1>a n.∴数列{a n}是递增数列.1．{a n}与a n是含义不同的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，是数列的一种简记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．2．要注意以下两个易错点：(1)并非所有的数列都有通项公式，例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．(2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.1．下列叙述正确的是()A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,2,0,2，…是常数列D ．数列是递增数列D [令a n ＝n n ＋1，则a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)>0，∴a n ＋1>a n ，1即数列{a n }是递增数列，故选D.]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0A [当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.]3．数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项． 3 [令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23，解得n ＝3.]4．观察数列1,3,6,10，x,21,28，…的特点，则x 的值为________．15 [结合数字特征可知3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4,28－21＝7，∴x －10＝5,21－x ＝6，∴x ＝15.]5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． [解] (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0， ∴n ＝7或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49. 令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．5.1.2 数列中的递推古希腊的毕达哥拉斯学派将1,3,6,10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成问题：a 与a ，a 与a ，a 与a 之间分别存在怎样的等量关系？1．数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)．拓展：数列递推公式与通项公式的关系 (1)一般地，给定数列{a n }，称S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和． (2)S n 与a n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)递推公式是表示数列的一种方法． ( ) (2)所有的数列都有递推公式．( ) (3)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1，n ∈N ＋. ( ) (4)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝S 1. ( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材P 9例1改编)数列1，12，14，18，…的递推公式可以是( )A ．a n ＝12nB ．a n ＝12nC ．a n ＋1＝12a nD ．a n ＋1＝2a nC [由题意可知C 选项符合，故选C.]3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 2＝________. 3 [a 2＝S 2－S 1＝4－1＝3.]4．已知数列{a n }中，a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2__________.3 [因为a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n ，所以a 2＝1－1a 1＝1＋2＝3.]n n n ＋1n ＋1＋ 2 019 2 020A ．－13 B.13 C ．－12 D.12(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，则a 11的值为( ) A ．31 B ．32 C ．61 D ．62 (1)B (2)A [(1)由a n a n ＋1＝1－a n ＋1， 得a n ＋1＝1a n ＋1，又∵a 2 019＝2， ∴a 2 020＝13，故选B.(2)∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，∴a 3＝6＋1＝7，a 5＝6＋7＝13，a 7＝6＋13＝19，a 9＝6＋19＝25，a 11＝6＋25＝31，故选A.](由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如a n ＝2a n＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如a n ＋1＝a n －12. [跟进训练]1．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项．[解] ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23，a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.12n n n (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n －2.[思路点拨] 应用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求解，注意检验n ＝1时a 1是否满足a n (n ≥2)． [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)] ＝4n －5.(*)当n ＝1时，a 1满足(*)式，故a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝2·3n －1.(*) 当n ＝1时，a 1不满足(*)式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.(变条件)若把本例(1)中的S 换为S ＝2n 2－3n ＋1，再求{a }的通项公式．(已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；,如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝.1．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1a n＝2，照此递推关系，你能写出{a n }任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？[提示] 按照a n ＋1a n ＝2可得a 2a 1＝2，a 3a 2＝2，a 4a 3＝2，…，a na n －1＝2(n ≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝2·2·…·2.则a n a 1＝2n －1，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N ＋)． 2．在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1－a n ＝2，照此递推关系试写出前n 项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？[提示] 由a n ＋1－a n ＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝2，…，a n －a n －1＝2(n ≥2，n ∈N＋)，将这些式子两边分别相加得：a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1＝2(n －1)，即a n －a 1＝2(n －1)，所以有a n ＝2(n －1)＋a 1＝2n ＋1(n ∈N ＋)．【例3】 设数列{a n }是首项为1的正项数列，且a n ＋1＝nn ＋1a n(n ∈N ＋)，求数列的通项公式．[思路点拨] 由递推公式，分别令n ＝1,2,3，得a 2，a 3，a 4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用a n ＋1＝n n ＋1a n 反复迭代；或将a n ＋1＝n n ＋1a n 变形为a n ＋1a n ＝n n ＋1进行累乘；或将a n ＋1＝nn ＋1a n 变形为(n ＋1)a n ＋1na n ＝1，构造数列{na n }为常数列．[解] 法一：(归纳猜想法)因为a n ＋1＝n n ＋1a n ，a 1＝1，a 2＝12×1＝12，a 3＝23×12＝13，a 4＝34×13＝14，… 猜想a n ＝1n.法二：(迭代法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n， 所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝…＝n －1n ·n －2n －1·…·12a 1，从而a n ＝1n .法三：(累乘法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n， 所以a n ＋1a n ＝nn ＋1，则a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·12，所以a n ＝1n.法四：(转化法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n， 所以(n ＋1)a n ＋1na n＝1，故数列{na n }是常数列，na n ＝a 1＝1，所以a n ＝1n.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．[跟进训练]2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N ＋)，写出这个数列的前5项，猜想a n 并加以证明．[解] a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5， a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11， a 5＝a 4＋3＝14， 猜想：a n ＝3n －1.证明如下：由a n ＋1＝a n ＋3得 a 2＝a 1＋3， a 3＝a 2＋3， a 4＝a 3＋3， …a n ＝a n －1＋3.将上面的(n －1)个式子相加，得 a n －a 1＝3(n －1)，所以a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.1．因为a n ＝S n －S n －1只有当n ≥2时才有意义，所以由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．要注意通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋ B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2 C [由题意知a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝3， a 4－a 3＝4， …a n ＋1－a n ＝n ＋1，n ∈N ＋，故选C.]2．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n 为( ) A ．a n ＝6n －5B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2C ．a n ＝6n ＋1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n ＋1，n ≥2B [当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＋1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5.(*) 又n ＝1时，不满足(*)式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，故选B.]3．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项为( ) A ．a n ＝n 2＋1 B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝1－nD ．a n ＝3－nD [∵a n ＋1－a n ＝－1， ∴当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋＝2＋(－1)×(n －1) ＝3－n .当n ＝1时，也满足，故a n ＝3－n (n ∈N ＋)．]4．已知非零数列{a n }的递推公式为a 1＝1，a n ＝n n －1·a n －1(n ≥2)，则a 4＝________.4 [依次对递推公式中的n 赋值，当n ＝2时，a 2＝2；当n ＝3时，a 3＝32a 2＝3；当n ＝4时，a 4＝43a 3＝4.]5．已知数列{a n }的第1项是2，以后的各项由公式a n ＝a n －11－a n －1(n ＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{a n }的通项公式．[解] 可依次代入项数进行求值．a 1＝2，a 2＝21－2＝－2，a 3＝－21－(－2)＝－23，a 4＝－231－⎝⎛⎭⎫－23＝－25，a 5＝－251－⎝⎛⎭⎫－25＝－27.即数列{a n }的前5项为2，－2，－23，－25，－27.也可写为－2－1，－21，－23，－25，－27.即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以a n ＝－22n －3(n ∈N ＋)．5.2 等差数列 5.2.1 等差数列第1课时 等差数列的定义第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能1．等差数列的概念一般地，如果数列{a n}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即a n＋1－a n＝d恒成立，则称{a n}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．拓展：等差数列定义的理解(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差数列的通项公式及其推广若等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.该式可推广为a n＝a m＋(n－m)d(其中n，m∈N＋)．思考：等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d是什么函数模型？[提示]d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数．3．等差数列的单调性等差数列{a n}中，若公差d>0，则数列{a n}为递增数列；若公差d<0，则数列{a n}为递减数列．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数列4,4,4，…是等差数列．()(2)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4，则{a n}(n>4)一定是等差数列．()(3)等差数列{a n}中，a1，n，d，a n任给三个，可求另一个．()(4)等差数列{a n}的通项公式是关于n的一次函数．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．下列数列中不是等差数列的为()A．6,6,6,6,6B．－2，－1,0,1,2C．5,8,11,14D．0,1,3,6,10D[A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；B中给出的数列是等差数列，公差为1；C中给出的数列是等差数列，公差为3；D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．]3．已知等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n ＝________. 6－2n [∵a 1＝4，d ＝－2， ∴a n ＝4＋(n －1)×(－2)＝6－2n .]4．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 5＝3，则公差d ＝________. 23 [d ＝a 5－a 25－2＝3－13＝23.]n 1n n n 断{b n }是不是等差数列．[思路点拨] 可以利用a 1和d 写出b n 的通项公式，也可以直接利用定义判断b n ＋1－b n 是不是常数．[解] 法一：由题意可知a n ＝a 1＋(n －1)d (a 1，d 为常数)，则b n ＝3a n ＋4＝3[a 1＋(n －1)d ]＋4＝3a 1＋3(n －1)d ＋4＝3dn ＋3a 1－3d ＋4.由于b n 是关于n 的一次函数(或常数函数，当d ＝0时)， 故{b n }是等差数列．法二：根据题意，知b n ＋1＝3a n ＋1＋4，则b n ＋1－b n ＝3a n ＋1＋4－(3a n ＋4)＝3(a n ＋1－a n )＝3d (常数)．由等差数列的定义知，数列{b n }是等差数列．等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N ＋)⇔{a n }为等差数列； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }为等差数列； (3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N ＋)⇔{a n }为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. [跟进训练]1．数列{a n }的通项公式a n ＝4－3n ，则此数列( ) A ．是公差为4的等差数列 B ．是公差为3的等差数列 C ．是公差为－3的等差数列 D ．是首项为4的等差数列C [∵a n ＋1－a n ＝4－3(n ＋1)－(4－3n )＝－3. ∴{a n }是公差为－3的等差数列．]2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，试证明数列是等差数列．[证明] ∵a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴1a n ＋1＝a n ＋22a n＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝2，∴是首项为12，公差d ＝2的等差数列．1．若{a n }是等差数列，试用a m ，a n 表示公差d ，其中n ≠m . [提示] d ＝a n －a mn －m.2．若数列{a n }的通项公式a n ＝kn ＋b ，则该数列是等差数列吗？ [提示] 是．因为a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k ，故{a n }是等差数列．【例2】 (教材P 19例5改编)(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值．[思路点拨] 设出基本量a 1，d .利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解．[解] (1)法一：∵a 4＝7，a 10＝25，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3.∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5， ∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N ＋)． 法二：∵a 4＝7，a 10＝25， ∴a 10－a 4＝6d ＝18， ∴d ＝3，∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝3n －5(n ∈N ＋)．(2)法一：由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得a 1＝114，d ＝－34.∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：由a 7＝a 3＋(7－3)d ， 即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34.∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314.1．应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝a ，a 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其他项时，则运用a n ＝a m ＋(n －m )d 较为简捷．[跟进训练]3．若x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么a 1－a 2b 1－b 2等于________．43[∵数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 均为等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝3(a 2－a 1)，y －x ＝4(b 2－b 1)， ∴3(a 2－a 1)4(b 2－b 1)＝1，即a 2－a 1b 2－b 1＝43， 故a 1－a 2b 1－b 2＝43.] 4．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？ [解] 由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为 a n ＝－5－4(n －1)＝－4n －1. 由题意知，－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项.1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法有： (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式；反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．1．已知等差数列{a n }中，a n －a n －1＝2(n ≥2)，且a 1＝1，则这个数列的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝2n ＋1 C ．a n ＝n －1D ．a n ＝n ＋1A [a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1.]2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2D ．－3C [d ＝a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－(3－2n )＝－2，故选C.] 3．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝________. 18 [公差d ＝a 3－a 23－2＝4－23－2＝2，∴a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.]4．{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝3的等差数列，若a n ＝2 021，则n ＝________. 674 [∵a 1＝2，d ＝3， ∴a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1. 由3n －1＝2 021得n ＝674.]5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝10＋lg 2n ，试说明数列{a n }为等差数列． [解] ∵a n ＝10＋lg 2n ＝10＋n lg 2，∴a n ＋1－a n ＝10＋(n ＋1)lg 2－(10＋n lg 2)＝lg 2.∴{a n }为等差数列．第2课时 等差数列的性质高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100这道题目的？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？1．等差中项如果x ，A ，y 是等差数列，那么称A 为x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y 2.在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项． 思考1：在等差数列中，任意两项都有等差中项吗？ [提示] 是． 2．等差数列的性质{a n }是公差为d 的等差数列，若正整数s ，t ，p ，q 满足s ＋t ＝p ＋q ，则a s ＋a t ＝a p ＋a q . ①特别地，当p ＋q ＝2s (p ，q ，s ∈N ＋)时，a p ＋a q ＝2a s .②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….思考2：在等差数列{a n }中，2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)成立吗？2a n ＝a n ＋k ＋a n －k (n >k >0)是否成立？[提示] 令s ＝t ＝n ，p ＝n ＋1，q ＝n －1，可知2a n ＝a n ＋1＋a n －1成立；令s ＝t ＝n ，p ＝n ＋k ，q ＝n －k ，可知2a n ＝a n ＋k ＋a n －k 也成立．拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (2)若{a n }是公差为d 的等差数列，则①{c ＋a n }(c 为任一常数)是公差为d 的等差数列； ②{ca n }(c 为任一常数)是公差为cd 的等差数列； ③{a n ＋a n ＋k }(k 为常数，k ∈N ＋)是公差为2d 的等差数列．(3)若{a n }，{b n }分别是公差为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n ＋qb n }(p ，q 是常数)是公差为pd 1＋qd 2的等差数列．(4){a n }的公差为d ，则d >0⇔{a n }为递增数列； d <0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)等差数列{a n }中，必有a 10＝a 1＋a 9.( )(2)若数列a 1，a 3，a 5，…和a 2，a 4，a 6，…都是公差为d 的等差数列，则a 1，a 2，a 3，a 4，…是等差数列．( ) (3)若{a n }是等差数列，则{|a n |}也是等差数列．( ) (4)若{a n }是等差数列，则对任意n ∈N ＋都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．在等差数列{a n }中，若a 3＝5，a 5＝7，则a 7＝( ) A ．－1 B ．9 C ．1 D ．6B [由题意可知a 3＋a 7＝2a 5，∴a 7＝2a 5－a 3＝14－5＝9，故选B.] 3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( ) A ．12 B ．16C ．20D ．24B [在等差数列中，由性质可得a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝16.] 4．17＋3，13－3的等差中项为________．15 [设A 为其等差中项，则A ＝17＋3＋13－32＝302＝15.]【例1】 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列； (2)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N ＋，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求p ，q 的值．[解] (1)∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项． ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项， ∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项， ∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. (2)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，①又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4， 得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，即q ＝1， ② 将②代入①，得p ＝1. 所以p ＝q ＝1.三个数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c )，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋).[跟进训练] 1．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A. 3 B. 2 C.13 D.12 A [因为a ＋b ＝13＋2＋13－2＝(3－2)＋(3＋2)(3＋2)(3－2)＝23(3)2－(2)2＝23，所以a ，b 的等差中项为 3.]n (1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13； (2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求d .[思路点拨] 解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a 1和d 后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．[解] 法一：(1)化成a 1和d 的方程如下： (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48， 即4(a 1＋12d )＝48. ∴4a 13＝48. ∴a 13＝12.(2)化成a 1和d 的方程如下：⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·(a 1＋4d )＝52， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，d ＝－3，∴d ＝3或－3.法二：(1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，及a 2＋a 24＝a 3＋a 23＝2a 13. 得4a 13＝48，∴a 13＝12.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，及a 3＋a 4＝a 2＋a 5得 2(a 2＋a 5)＝34， 即a 2＋a 5＝17.解⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4.∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.1．利用等差数列的通项公式列关于a 1和d 的方程组，求出a 1和d ，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．2．巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．3．通项公式的变形形式a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N ＋)，它又可变形为d ＝a n －a mn －m ，应注意把握，并学会应用．[跟进训练]2．设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 35 [法一：设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，因为a 3＋b 3＝(a 1＋2d 1)＋(b 1＋2d 2)＝(a 1＋b 1)＋2(d 1＋d 2)＝7＋2(d 1＋d 2)＝21，所以d 1＋d 2＝7，所以a 5＋b 5＝(a 3＋b 3)＋2(d 1＋d 2)＝21＋2×7＝35.法二：∵数列{a n }，{b n }都是等差数列， ∴数列{a n ＋b n }也构成等差数列， ∴2(a 3＋b 3)＝(a 1＋b 1)＋(a 5＋b 5)， ∴2×21＝7＋a 5＋b 5，∴a 5＋b 5＝35.]1．对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法： (1)设这三个数分别为a ，b ，c .(2)设该数列的首项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d . (3)设该数列的中间项为b ，公差为d ，则这三个数分别为b －d ，b ，b ＋d . 那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？ [提示] 方法(3)可能更便捷一些．2．如果四个数成等差数列，如何设更方便运算？ [提示] 可以设四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .【例3】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． [解] 法一：设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40， 化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， 化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a 1和d ，即可确定数列．2．当已知数列有2n 项时，可设为a －(2n －1)d ，…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，a ＋(2n －1)d ，此时公差为2d .3．当已知数列有2n ＋1项时，可设为a －nd ，a －(n －1)d ，…，a －d ，a ，a ＋d ，…，a ＋(n －1)d ，a ＋nd ，此时公差为d .[跟进训练]3．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． [解] 设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.1．若数列{a n }满足2a n ＝a n ＋k ＋a n －k (n ，k ∈N ＋，n >k )⇔{a n }为等差数列． 2．等差数列的性质：(1)在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a n －a mn －m 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a n ＝a m ＋(n －m )d .(2)等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．(3)等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .3．等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．1．在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝33，则a 3＋a 5＝( ) A ．36 B ．37 C ．38D ．39C [a 3＋a 5＝a 2＋a 6＝5＋33＝38.]2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1a nA[∵数列{a n}是等差数列，∴a n＋1－a n＝d(常数)．对于A：b n＋1－b n＝a n－a n＋1＝－d，正确；对于B不一定正确，如a n＝n，则b n＝a2n＝n2，显然不是等差数列；对于C，D：a n及1a n不一定有意义，故选A.]3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z＝________.39[∵5，x，y，z,21成等差数列，∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.]4．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.15[在等差数列{a n}中，由于a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝(a7＋a9)－a4＝16－1＝15.] 5．在等差数列{a n}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求该数列的通项公式．[解]因为a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，所以a5＝3.法一：a3＋a7＝2a5＝6.①所以a3·a7＝－7.②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.当a3＝－1时，d＝2；当a3＝7时，d＝－2.由a n＝a3＋(n－3)d，得a n＝2n－7或a n＝－2n＋13.法二：a3·a7＝－7，∴(a5－2d)(a5＋2d)＝－7，∴(3－2d)(3＋2d)＝－7，解得d＝±2.若d＝2，a n＝a5＋(n－5)d＝3＋2(n－5)＝2n－7；若d＝－2，a n＝a5＋(n－5)d＝3－2(n－5)＝13－2n.∴a n＝2n－7或a n＝－2n＋13.5.2.2 等差数列的前n 项和某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，1．等差数列的前n 项和公式 n n [提示] 2倍关系．由S n ＝d2n 2＋n 可知，存在2倍关系．拓展：等差数列前n 项和公式的特点(1)两个公式共涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n 项和．(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．2．等差数列前n 项和S n 的性质(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)等差数列的前n 项和一定是常数项为0的关于n 的二次函数． ( ) (2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则也是等差数列．( ) (3)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则{a n }一定不是等差数列． ( ) (4)等差数列的前n 项和，等于其首项和第n 项的等差中项的n 倍． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2D [S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.]3．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10＝( ) A ．10 B ．12 C ．20D ．24D [由S 10＝10(a 1＋a 10)2＝120，得a 1＋a 10＝24.]4．已知{a n }是等差数列，a 1＝10，前10项和S 10＝70，则其公差d ＝________. －23 [S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，又a 1＝10，所以d ＝－23.]【例1】 在等差数列{a n }中． (1)已知S 8＝48，S 12＝168，求a 1和d ； (2)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (3)已知a 16＝3，求S 31.[解] (1)∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋28d ＝48，12a 1＋66d ＝168， 解方程组得a 1＝－8，d ＝4.(2)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5，解方程组得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44.(3)S 31＝a 1＋a 312×31＝a 16×31＝3×31＝93.a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二， 注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.[跟进训练]1．在等差数列{a n }中．(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ；(3)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .[解] (1)由题意，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.n m 2m 3m S m ＝30，S 2m ＝100，则S 3m ＝________；(2)已知等差数列{a n }中，若a 1 011＝1，则S 2 021＝________；(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.(1)210 (2)2 021 (3)53[(1)法一：设{a n }的公差为d ，依据题设和前n 项和公式有：⎩⎨⎧ma 1＋m (m －1)2d ＝30， ①2ma 1＋2m (2m －1)2d ＝100， ②②－①，得ma 1＋m (3m －1)2d ＝70，所以S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2d＝3⎣⎡⎦⎤ma 1＋m (3m －1)2d ＝3×70＝210.法二：S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等差数列， 所以30、70、S 3m －100成等差数列． 所以2×70＝30＋S 3m －100.所以S 3m ＝210.法三：在等差数列{a n }中，因为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，所以S n n ＝a 1＋(n －1)d 2.即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 构成首项为a 1，公差为d2的等差数列．依题中条件知S m m 、S 2m 2m 、S 3m3m 成等差数列，所以2·S 2m 2m ＝S 3m 3m ＋S mm.所以S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30) ＝210.(2)法一：∵a 1 011＝a 1＋1 010d ＝1， ∴S 2 021＝2 021a 1＋2 021×2 0202d＝2 021(a 1＋1 010d )＝2 021.法二：∵a 1 011＝a 1＋a 2 0212，∴S 2 021＝a 1＋a 2 0212×2 021＝2 021a 1 011＝2 021.(3)法一：a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53.。

高中数学（B版）必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数 3．4 函数的应用（Ⅱ）高中数学（B版）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程 2．4 空间直角坐标系高中数学（B版）必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用高中数学（B版）必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算 2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积高中数学（B版）必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式 3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题高中数学（B版）选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用高中数学（B版）选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图高中数学（B版）选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词 1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线2.4 抛物线 2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算 3.2 空间向量在立体几何中的应用高中数学（B版）选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数 1.2 导数的运算1.3 导数的应用 1.4 定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2 复数的运算高中数学（B版）选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理 1.2排列与组合1.3二项式定理第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列 2.2条件概率与事件的独立性2.3随机变量的数字特征 2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验 3.2回归分析高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换 2极坐标系1.3曲线的极坐标方程 1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程 2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式 2．2 排序不等式 2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式文科学必修1-5，选修1-1，1-2，4-4就够了理科学必修1-5，先修2-1，2-2，2-3，4-4内容上文比理少，知识相对简单，但是对于文科生来说，数学是较难的。

5.1.1 数列的概念知识点归纳知识点一、数列1．定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，a n称为第n项．知识点二、数列的通项公式数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．知识点三、数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：(1)数列－1,1，－1,1，…的通项公式是a n ＝(－1)n . (2)数列1,2,3,4，…的通项公式是a n ＝n . (3)数列1,3,5,7，…的通项公式是a n ＝2n －1. (4)数列2,4,6,8，…的通项公式是a n ＝2n . (5)数列1,2,4,8，…的通项公式是a n ＝2n －1. (6)数列1,4,9,16，…的通项公式是a n ＝n2. (7)数列1，12，13，14，…的通项公式是a n ＝1n.典例分析一、观察法求数列的通项公式例1 根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式．(1)－3,0,3,6,9，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)2,0,2,0,2,0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，….解析 (1)a 1＝－3＋0×3，a 2＝－3＋1×3，a 3＝－3＋2×3，a 4＝－3＋3×3，…， ∴a n ＝－3＋(n －1)×3＝3n －6(n ∈N *)．(2)a 1＝2＋1，a 2＝4＋1＝22＋1，a 3＝8＋1＝23＋1，a 4＝16＋1＝24＋1，…， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(3)a 1＝1＋1，a 2＝1－1，a 3＝1＋1，a 4＝1－1，…， ∴a n ＝1＋(－1)n －1(n ∈N *)．(4)a 1＝－2－32，a 2＝22－322，a 3＝－23－323，a 4＝24－324，…，∴a n ＝(－1)n2n －32n(n ∈N *).答案 见解析归纳总结：根据数列的前几项求通项公式的思路 (1)统一项的结构，如都化成分数，根式等．(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式．(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n 处理符号．(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．二、数列通项公式的简单应用例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．解析 (1)∵a n ＝3n 2－28n ，∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，解得n ＝7，或n ＝73(舍)．则－49是该数列的第7项，即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0，解得n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项.答案 见解析自我训练1．下列有关数列的说法正确的是( ) ①数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列； ②数列{a n }与{a 2n －1}表达同一数列； ③数列－1,1，－1,1，…的通项公式不唯一；④数列－1,1,3,5,8，…的通项公式为a n ＝2n －3，n ∈N *. A ．①④ B ．②③ C ．③D ．①②解析 ①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{a n }表达数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而数列{a 2n －1}表达数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ，a n ＝cos n π等；④是错误的，显然当n ＝5时，a 5＝7，不是数列中的项．故选C.答案 C2．若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A ．110B ．－110C ．190D ．1990解析 依题意知，a 5－a 4＝(15＋1＋15＋2＋…＋12×5)－(14＋1＋14＋2…＋12×4)＝19＋110－15＝190.故选C ．答案 C3．若数列{a n }满足a n ＝2n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析 a n ＋1－a n ＝2n ＋1－2n ＝2n >0，∴a n ＋1>a n ，即{a n }是递增数列．故选A. 答案 A4．已知数列{a n }的前四项为1,0,1,0，则下列可作为数列{a n }的通项公式的有( ) ①a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；②a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)；③a n＝sin 2n π2；④a n ＝1－cos n π2；⑤a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n 为偶数)，0(n 为奇数). A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析 当n ＝1,2,3,4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合，对于②当n ＝3时不符合，对于⑤显然n ＝1时就不符合，故可作为{a n }通项公式的有3个．故选C.答案 C5．已知下列命题：①已知数列{a n }，a n ＝1n (n ＋2)，(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列2，－5，22，－11，…，的一个通项公式是a n ＝(－1)n ＋13n －1；③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29； ④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }为递增数列． 其中命题正确的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 ①a n ＝1n (n ＋2)＝1120⇒n ＝10.易知最大项为第1项，故①正确；对于②，联想数列2，5，8，11，…，则a n ＝(－1)n ＋1·3n －1，故②正确； 对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11⇒k ＝2⇒a n ＝2n －5⇒a 17＝29，故③正确； 对于④，由a n ＋1－a n ＝3>0，易知④正确． 答案 A6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2a 3的值是( )A ．70B ．28C ．20D ．16解析 a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3－1＝8，a 2a 3＝16.故选D ． 答案 D7．若数列{a n }的通项满足a nn ＝n －2，那么15是这个数列的第_____________项．解析 由a nn ＝n －2可知，a n ＝n 2－2n ，令n 2－2n ＝15，得n ＝5或n ＝－3(舍去)． 答案 58．已知在数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，函数y ＝f (x )的对应关系如下表，则a 2017＝________.解析 由已知条件得a 1＝4，a 2＝f (a 1)＝f (4)＝2，a 3＝f (a 2)＝f (2)＝4. ∴数列{a n }是周期数列，a n ＋2＝a n ，∴a 2017＝a 1＋1008×2＝a 1＝4. 答案 49．323是数列{n (n ＋2)}的第 项．解析 由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)．∴323是数列{n (n ＋2)}中的第17项．答案 1710．写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….解析 (1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1，15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)．11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋n ＋110.(1)20是不是{a n }中的一项？(2)当n 取何值时，a n ＝0.解析 (1)令a n ＝－n 2＋n ＋110＝20，即n 2－n －90＝0，∴(n ＋9)(n －10)＝0， ∴n ＝10或－9(舍)．∴20是数列{a n }中的一项，且为数列{a n }中的第10项． (2)令a n ＝－n 2＋n ＋110＝0，即n 2－n －110＝0，∴(n －11)(n ＋10)＝0， ∴n ＝11或n ＝－10(舍)，∴当n ＝11时，a n ＝0.12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1.(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．解析 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝（3n －1）（3n －2）（3n －1）（3n ＋1）＝3n －23n ＋1.(1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0，1)内．。

5.2.2 等差数列的前n项和新版课程标准学业水平要求1.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系2.能在具体问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题1.借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程.(数学运算)2.借助教材掌握a1,a n,d,n,S n的关系.(数学运算)3.掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用.(数学运算)4.能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题.(数学运算、数学建模)第1课时等差数列的前n项和必备知识·素养奠基等差数列前n项和公式公式一适用条件S n=知首项、末项、项数公式二适用条件S n=na1+ d 知首项、公差、项数(1)对于公式二,若将S n看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?其解析式具有什么特点?提示:公式二可变形为S n=n2+n,当d≠0时可以看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列.(2)等差数列的前n项和公式中的意义是什么?提示:=,即等差数列前n项的平均数.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于a n=S n-S n-1成立的条件是n∈N+. ( )(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”.( )(3)若数列{a n}的前n项和为S n,则a3+a4+a5=S5-S2. ( )(4)1+3+5+7+9=. ( )提示:(1)×.n>1且n∈N+.(2)√.等差数列具有a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…特征,可用倒序相加法.(3)√.由数列的前n项和的定义可知此说法正确.(4)×.1+3+5+7+9=.2.在数列{a n}中,S n=2n2-3n(n∈N+),则a4等于( )A.11B.15C.17D.20【解析】选A.a4=S4-S3=2×42-3×4-(2×32-3×3)=11.3.设{a n}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{a n}的前8项和为( )A.128B.80C.64D.56【解析】选 C.设数列{a n}的前n项和为S n,则S8====64.4.平均数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2019,则该数列的首项为________.【解析】设该数列的首项为x,由题意可得:1010=,解得x=1. 答案:1关键能力·素养形成类型一有关等差数列前n项和的计算【典例】1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=-2017,S6-2S3=18,则S2019= ( )A.-2017B.2017C.2018D.20192.在等差数列{a n}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,S n=510,a n-3=45,求n.【思维·引】1.根据等差数列前n项和公式,解方程,求出公差,即可得到相应的值.2.根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组,解方程组,可得到相应的值.【解析】1.选D.设等差数列{a n}的公差为d,因为a1=-2 017,S6-2S3=18,所以6a1+d-2=18,化为:9d=18,解得d=2.则S2 019=2 019×(-2 017)+×2=2 019.2.(1)方法一:由已知条件得解得所以S10=10a1+d=10×3+×4=210.方法二:由已知条件得所以a1+a10=42,所以S10==5×42=210.(2)S7==7a4=42,所以a4=6.所以S n====510.所以n=20.【内化·悟】解与等差数列前n项和有关的问题时,常用到哪些公式?体现了什么数学思想方法的应用?提示:常用到等差数列的通项公式和前n项和公式,体现了方程思想的运用.【类题·通】等差数列前n项和公式的运算方法与技巧类型“知三求二型”基本量a1,d,n,a n,S n方法运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组),通过解方程(组)求出未知量思想方程的思想注意①利用等差数列的性质简化计算;②注意已知与未知条件的联系;③有时运用整体代换的思想【习练·破】1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n},则{a n}的前n项和为________.【解析】由题意知数列{2n-1}为1,3,5,7,9,11,13,…,{3n-2}为1,4,7,10,13,16,19,…,所以数列为1,7,13,19,…,即a n=1+6(n-1)=6n-5,所以数列的前n项和为=3n2-2n. 答案:3n2-2n2.已知等差数列{a n}中,(1)a1=,S4=20,求S6;(2)a1=,d=-,S n=-15,求n及a n;(3)a1=1,a n=-512,S n=-1022,求d.【解析】(1)S4=4a1+d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+d=6a1+15d=3+15d=48.(2)因为S n=n·+=-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),所以a12=+(12-1)×=-4.(3)由S n===-1 022,解得n=4.又由a n=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.【加练·固】1.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为( )A.20B.21C.22D.24【解析】选A.由数列前n项和公式可得:=781,解得k=20.2.已知等差数列{a n}.(1)a1=,a15=-,S n=-5,求d和n.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.【解析】(1)因为a15=+(15-1)d=-,所以d=-.又S n=na1+d=-5,解得n=15或n=-4(舍).(2)由已知,得S8===172,解得a8=39,又因为a8=4+(8-1)d=39,所以d=5.类型二等差数列前n项和的性质【典例】1.(2020·扬州高二检测)已知数列{a n},{b n}都是等差数列,S n,T n分别是它们的前n项和,并且=,则= ( )A. B. C. D.2.在项数为2n+1的等差数列{a n}中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于( )A.9B.10C.11D.123.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S10=100,S100=10,试求S110. 【思维·引】1.用等差数列前n项和公式(含首项、末项、项数)和等差数列的性质求解.2.综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出与n的关系.3.方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列解答; 方法二:依据数列是等差数列解答;方法三:直接分析S110,S100,S10之间的关系.【解析】1.选C.数列{a n},{b n}都是等差数列,S n,T n分别是它们的前n项和,并且=,则====.2.选B.因为等差数列有2n+1项,所以S奇=,S偶=.又a1+a2n+1=a2+a2n,所以===,所以n=10.3.方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设公差为d,前10项的和为:10×100+d=10,所以d=-22,所以前11项的和S110=11×100+d=11×100+×(-22)=-110.方法二:设等差数列{a n}的公差为d,则=(n-1)+a1,所以数列成等差数列.所以=,即=,所以S110=-110.方法三:设等差数列{a n}的公差为d,S110=a1+a2+…+a10+a11+a12+…+a110=(a1+a2+…+a10)+[(a1+10d)+(a2+10d)+…+(a100+10d)]=S10+S100+100×10d, 又S100-10S10=d-d=10-10×100,即100d=-22,所以S110=-110.【类题·通】等差数列前n项和的性质(1)等差数列{a n}中,S n,S2n-S n,S3n-S2n也构成等差数列.(2)若{a n}与{b n}均为等差数列,且前n项和分别为S n与S′n,则=.(3)若等差数列{a n}的前n项和为S n,则数列是等差数列,且首项为a1,公差为.(4)项的个数的“奇偶”性质.{a n}为等差数列,公差为d.①若共有2n项,则S2n=n(a n+a n+1);S偶-S奇=nd;=;②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)a n+1;S偶-S奇=-a n+1;=(5)等差数列{a n}中,若S n=m,S m=n(m≠n),则S m+n=-(m+n).(6)等差数列{a n}中,若S n=S m(m≠n),则S m+n=0.【习练·破】1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是( )A.130B.170C.210D.260【解析】选C.因为S m,S2m-S m,S3m-S2m成等差数列,所以S m+S3m-S2m=2(S2m-S m),所以30+S3m-100=2(100-30),所以S3m=210.2.在等差数列{a n}中,a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则{a n}的前8项和为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则3(a2+a7)=3,解得a2+a7=1,{a n}的前8项和==4.【加练·固】1.已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若对于任意的自然数n,都有=,则+= ( )A. B. C. D.【解析】选A.因为等差数列中,若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等差数列的前n项和为:S n=.所以==,所以+=+=+======.2.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27【解析】选 B.因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.类型三等差数列前n项和的最值【典例】1.设{a n}是等差数列,S n是其前n项和,且S5<S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6和S7均为S n的最大值2.(2018·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.【思维·引】1.由已知条件分析a6,a7,a8的符号,求S n的最大值,作差比较S9与S5的大小.2.(1)解方程组即可求出首项、公差,进而得到{a n}的通项公式; (2)可以把S n看作关于n的二次函数从函数角度求最值;也可以分析等差数列的项从哪一项开始由负变正,推出S n的最小值.【解析】1.选C.因为S5<S6=S7>S8,所以a6>0,a7=0,a8<0,可得d<0,S6和S7均为S n的最大值,S9==9a5,S5==5a3.S9-S5=9(a1+4d)-5(a1+2d)=4a1+26d=4a7+2d<0,所以S9<S5.因此C错误.2.(1)设{a n}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.又a1=-7,所以d=2.所以{a n}的通项公式为a n=2n-9.(2)方法一:(二次函数法)由(1)得S n==n2-8n=(n-4)2-16,所以当n=4时,S n取得最小值,最小值为-16.方法二:(通项变号法)由(1)知a n=2n-9,则S n==n2-8n.由S n最小⇔即所以≤n≤,又n∈N+,所以n=4,此时S n的最小值为S4=-16.【内化·悟】等差数列的前n项和S n是关于n的二次函数(缺常数项),如何利用对应函数的图象分析等差数列正、负项的分界点?提示:利用到y=ax2+bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.【类题·通】等差数列前n项和最值的两种求法(1)符号转折点法.①当a1>0,d<0时,由不等式组可求得S n取最大值时的n值.②当a1<0,d>0时,由不等式组可求得S n取最小值时的n值.(2)利用二次函数求S n的最值.知道公差不为0的等差数列的前n项和S n可以表示成S n=an2+bn(a≠0)的形式,我们可将其变形为S n=a-.①若a>0,则当最小时,S n有最小值;②若a<0,则当最小时,S n有最大值.【习练·破】1.记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1>0,a2+a2018=0,则S2019=________;当S n取得最大值时,n=________.【解析】因为a2+a2 018=a1+a2 019=0,所以S2 019==0.因为a1>0,a1+a2 019=2a1+2 018d=0,所以a1+1 009d=0,所以a1 010=0,所以当S n取得最大值时,n=1 009或1 010.答案:0 1 009或1 0102.在等差数列{a n}中,a1=25,S17=S9,求S n的最大值.【解析】方法一:利用前n项和公式和二次函数的性质.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.所以S n=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169.所以由二次函数的性质,得当n=13时,S n有最大值169.方法二:由方法一,得d=-2.因为a1=25>0,由得所以当n=13时,S n有最大值,最大值为S13=13×25+×(-2)=169. 方法三:由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.由方法一,得d=-2<0,a1>0,所以a13>0,a14<0.故n=13时,S n有最大值,最大值为S13=13×25+×(-2)=169.【加练·固】1.设数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N+,都有S n≤S k成立,则k的值为________.【解析】方法一:对任意n∈N+,都有S n≤S k成立,即S k为S n的最大值.因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以a4=33,a5=31,故公差d=-2,a n=a4+(n-4)d=41-2n,当S n取得最大值时,对任意n∈N+满足解得n=20.即满足对任意n∈N+,都有S n≤S k成立的k的值为20.答案:20方法二:同方法一可得公差d=-2,a n=a4+(n-4)d=41-2n,则n=1时,a1=39,所以S n=n2+n=-n2+40n=-(n-20)2+400,即当n=20时,S n 取得最大值,从而满足对任意n∈N+,都有S n≤S k成立的k的值为20. 答案:202.设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2016>0,S2017<0,则当n=________时,S n最大.【解析】由等差数列的性质知,S2 017=2 017a1 009<0,所以a1 009<0,又S2 016==1 008(a1 008+a1 009)>0,所以a1 008+a1 009>0,而a1 009<0,故a1 008>0.因此当n=1 008时,S n最大.答案:1 008课堂检测·素养达标1.(2020·南阳高二检测)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,S3=9,则S5的值是( )A.15B.30C.13D.25【解析】选D.已知等差数列{a n}中S2=4.S3=9,则a3=S3-S2=9-4=5,则S5==5a3=25.2.已知数列{a n}的前n项和公式是S n=2n2+3n,则( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为4的等差数列D.不是等差数列【解析】选A.因为S n=2n2+3n,所以=2n+3,当n≥2时,-=2n+3-2(n-1)-3=2,故是公差为2的等差数列.3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=-4,a7=4,则 ( )A.S4>S6B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S5【解析】选B.设等差数列{a n}的公差为d,因为a3=-4,a7=4,所以a1+2d=-4,a1+6d=4,联立解得:a1=-8,d=2,所以S4=4a1+d=-20,同理可得:S5=-20,S6=-18.所以S4=S5.4.已知等差数列{a n}中,|a5|=|a9|,公差d>0,则使得前n项和S n取得最小值的正整数n的值是________.【解析】由|a5|=|a9|且d>0得,a5<0,a9>0且a5+a9=0⇒2a1+12d=0⇒a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且最小.答案:6或7【新情境·新思维】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{a n},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n},可以推测:b2019是数列{a n}中的第________项.【解析】由前四组可以推知a n=1+2+…+n=,从而b1=a4=10,b2=a5=15,b3=a9=45,b4=a10=55,依次可知,当n=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,…时,由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个,即每五个数分为一组,则该组的后两个数可被5整除,由于b2019是第2019个可被5整除的数,故它出现在数列{a n}按五个一段分组的第1 010组的第4个数字,由此知,b2 019是数列{a n}中的第1 009×5+4=5 049个数.答案:5 049。

数列一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12C.12D ．2 2．在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2B.(2n －1)23C ．4n－1 D.4n －133．数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＋a 4＋a 6＝12，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．124．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．245．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1 B ．4n －1C ．2n －1 D ．2n －16．已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或127．公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3a 4，且S 10＝λa 4，则λ的值为( )A ．15B ．21C ．23D ．258．等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．99．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－1910．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机( )秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB ＝210 MB)．( )A ．13B ．12C ．36D ．3911．数列{(－1)n (2n －1)}的前2 020项和S 2 020等于( ) A ．－2 018 B ．2 018 C ．－2 020 D ．2 02012．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0.a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 037二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.14．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________．15．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项之和为778，则此数列的项数为________．16．已知数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0.其中一定正确的结论是________．(填序号) 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的公差d ＝2，且a 2＋a 5＝2，{a n }的前n 项和为S n . (1)求{a n }的通项公式；(2)若S m ，a 9，a 15成等比数列，求m 的值．18．(本小题满分12分)已知数列{a n}满足(a n＋1－1)(a n－1)＝3(a n－a n＋1)，a1＝2，令b n＝1a n－1.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．19．(本小题满分12分)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{a n}的通项公式；(2)若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n}的首项为2，等差数列{b n}的前n项和为S n，且a1＋a2＝6,2b1＋a3＝b4，S3＝3a2.(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n＝ba n，求数列{c n}的前n项和．21．(本小题满分12分)已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.(1)设函数y＝f(x)的图像与y轴交点的纵坐标构成数列{a n}，求证：数列{a n}是等差数列；(2)设函数y＝f(x)的图像与y轴的交点到x轴的距离构成数列{b n}，求数列{b n}的前n项和S n.22．(本小题满分12分)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0，已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，b n 2，n 为偶数，求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．。

2020-2021学年高中数学第五章数列5.1.2 数列中的递推学案新人教B版选择性必修第三册年级：姓名：5．1.2 数列中的递推最新课程标准1.理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)3．理解数列中的a n与S n的关系.[教材要点]知识点一数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的________________；②从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的________公式．状元随笔由数列的递推公式能否求出数列的项？[提示] 能，但是要逐项求．知识点二数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示a n与它的前一项________(或前几项)之间的关系表示a n与________之间的关系联系(1)都是表示________的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式知识点三a n与S n的关系若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝⎩⎨⎧，n＝1，，n≥2.特别地，若a1满足a n＝S n－S n－1(n≥2)，则不需要分段．[基础自测]1．已知数列{a n}的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n＝a n－1＋a n－2(n≥3)给出，则该数列的第5项等于( )A．6 B．7C．8 D．9题型一由递推关系写数列的项例1 (1)已知数列{a n}满足关系a n a n＋1＝1－a n＋1(n∈N＋)且a2 018＝2，则a2 019＝( )A．－13B.13C．－12D.12(2)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋2－a n＝6，则a11的值为( )A．31 B．32C．61 D．62方法归纳由递推公式写出数列的项的方法1．根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．2．若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如a n＝2a n＋1＋1.3．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如a n＋1＝a n－1 2.跟踪训练1 已知数列{a n}的第1项a1＝1，以后的各项由公式a n＋1＝2a na n＋2给出，试写出这个数列的前5项．题型二由a n与S n的关系求通项公式。

第五章数列5.1 数列基础5.1.2 数列中的递推课后篇巩固提升基础达标练1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是( ) A.a 1=1,a n+1=a n +n ,n ∈N + B.a 1=1,a n =a n-1+n ,n ∈N +,n ≥2C.a 1=1,a n+1=a n +(n+1),n ∈N +,n ≥2 a n =a n-1+(n-1),n ∈N +,n ≥2 解析由题可知a 1=1,a n -a n-1=n (n ≥2). 答案B2.已知数列{a n }中的首项a 1=1,且满足a n+1=12a n +12n,此数列的第3项是( ) A.1B.12C.34D.58解析a 1=1,a 2=12a 1+12=1,a 3=12a 2+12×2=34.答案C3.已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n +1,则数列{a n }的一个通项公式为( ) A.a n =n B.a n =n+1 n D.a n =2n -1解析由题可知a 1=1,a 2=3,a 3=7,a 4=15,经验证,选D . 答案D4.(2020黑龙江大庆中学高一月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N +),且S n =n 2+λ.若数列{a n }为递增数列,则实数λ的取值范围为( ) A.(-∞,1) B.(-∞,2) ,3) D.(-∞,4) 解析当n=1时,a 1=S 1=1+λ;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+λ-(n-1)2-λ=2n-1, 因为a n+1-a n =2>0(n ≥2),所以当n ≥2时,数列{a n }为递增数列. 若数列{a n }为递增数列,只需a 2>a 1, 所以3>1+λ,即λ<2. 故选B . 答案B5.数列{a n }满足a n =4a n-1+3(n ≥2),且a 1=0,则此数列的第5项是 .a n =4a n-1+3(n ≥2),a 1=0,所以0+3=3,a 3=4×3+3=15,a 4=4×15+3=63,a 5=4×63+3=255.6.数列{a n }满足a n+1=11-a n,a 8=2,则a 1= .a n+1=11-a n,得a n =1-1an+1,∵a 8=2,∴a 7=1-12=12,a 6=1-1a 7=-1,a 5=1-1a 6=2,…,∴{a n }是以3为周期的数列, ∴a 1=a 7=12.7.(2020四川树德中学高一期中)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,若a n =sin nπ3,则S 2 020的值为 .T=2ππ3=6,且a 1=√32,a 2=√32,a 3=0,a 4=-√32,a 5=-√32,a 6=0,a 7=√32,…,所以数列{a n }的周期为6,且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=0, 又2020=6×336+4,∴S 2020=(a 1+a 2+a 3+a 4)+336×0=√32.8.已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1=3ana n +3,求通项a n .a n+1=3a n a n +3两边同时取倒数,得1a n+1=a n+33a n ,则1an+1=1a n +13,即1a n+1−1a n =13, ∴1a 2−1a 1=13,1a 3−1a 2=13,…,1a n−1an -1=13,把以上这(n-1)个式子累加,得1a n −1a 1=n -13.∵a 1=1,∴a n =3n+2.9.(2019浙江余姚第四中学高一竞赛)已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项? (2)n 为何值时,a n =0,a n >0,a n <0?n 项和S n 是否存在最值?说明理由.由a n =n 2-n-30,得a 1=1-1-30=-30, a 2=22-2-30=-28, a 3=32-3-30=-24.令a n =60,则60=n 2-n-30. 解得n=10或n=-9(舍去). ∴60是此数列的第10项. (2)令a n =n 2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去),∴a 6=0.令n 2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去). ∴当n>6(n ∈N +)时,a n >0. 令n 2-n-30<0,解得0<n<6, ∴当0<n<6(n ∈N +)时,a n <0. (3)S n 存在最小值,不存在最大值.由a n =n 2-n-30=n-122-1214,知{a n }是递增数列,且a 1<a 2<…<a 5<a 6=0<a 7<a 8<a 9<…, 故S n 存在最小值S 5=S 6,不存在S n 的最大值.能力提升练1.(2020周口中英文学校高二期中)数列{a n }满足a 1=12,a n+1=1-1a n,则a 2 018等于( ) A.12B.-1C.2D.3n=1时,a 2=1-2=-1,a 3=1-(-1)=2,a 4=1-12=12,a 5=1-2=-1,所以数列的周期是3,所以(3×672+2)=a 2=-1.2.(2020浙江高二期末)已知数列{a n }满足a 1=a (a ∈R ),a n+1=a n 2+2a n -2(n ∈N +),则下列说法中错误的是( )A.若a>1,则数列{a n }为递增数列B.若数列{a n }为递增数列,则a>1C.存在实数a ,使数列{a n }为常数数列D.存在实数a ,使|a n +1|≤2恒成立解析对于A 选项,若a>1,则a n+1-a n =a n 2+a n -2=a n +122-94>1+122-94=0,∴a n+1>a n ,即数列{a n }为递增数列,则A 正确;对于B 选项,若数列{a n }为递增数列,则a n+1-a n =a n 2+a n -2=a n +122-94>0,∴a n +12<-32,或a n +12>32,即a n <-2,或a n >1,∴a<-2,或a>1,则B 错;对于C 选项,要使数列{a n }为常数数列,则a n+1-a n =a n 2+a n -2=(a n -1)(a n +2)=0,∴a n =1,或a n =-2,即存在实数a=1或a=-2,使数列{a n }为常数数列,则C 正确;对于D 选项,由C 选项可得,当a=1时,数列{a n }为常数数列,即|a n +1|=|1+1|=2,则存在实数a=1,使|a n +1|≤2恒成立,则D 正确.3.(2019浙江宁波高三月考)已知数列{a n },满足a 1=3,a n+1a n=a n +2(n ∈N +),则使a n >42 020成立的最小正整数n 为( ) A.10 B.11 C.12 D.13因为a n+1a n=a n +2,即a n+1=a n 2+2a n , 所以a n+1+1=a n 2+2a n +1=(a n +1)2,则a 2+1=(a 1+1)2,a 3+1=(a 2+1)2=(a 1+1)22,…,a n +1=(a n-1+1)2=(a 1+1)2n -1,所以a n +1=42n -1,即a n =42n -1-1,因为a n >42020,即42n -1-1>42020, 又n ∈N +,所以n ≥12, 故选C .{a n }中,a 1=7,a 9=8,且(n-1)a n =a 1+a 2+…+a n-1(n ≥3),则a 2等于 .(n-1)a n =a 1+a 2+…+a n-1(n ≥3),得na n+1=a 1+a 2+…+a n ,两式相减,得na n+1-(n-1)a n =a n .∴当n ≥3时,na n+1=na n ,即a n+1=a n . 又a 9=8,∴a 3=8.又2a 3=a 1+a 2,a 1=7,∴a 2=2a 3-a 1=9.5.(2020陕西西安高三二模)数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =2n -1(n ∈N +),则a n = .若存在n ∈N +使得a n ≤n+1n·λ成立,则实数λ的最小值为 .n ≥2时,a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1+na n =2n -1, a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=2n-1-1, 两式相减得na n =(2n -1)-(2n-1-1)=2n-1,所以a n =2n -1n (n ≥2).当n=1时,a 1=1满足上式, 综上所述,a n =2n -1n . 存在n ∈N +使得a n ≤n+1n ·λ成立的充要条件为存在n ∈N +使得λ≥2n -1n +1,设b n =2n -1n+1, 所以bn+1b n=2n n+22n -1n+1=2(n+1)n+2>1,即b n+1>b n ,所以{b n }单调递增,{b n }的最小项b 1=1,即有λ≥b 1=1,λ的最小值为1.n =2n -1 16.(2020广州高三月考)已知数列{a n }满足:a 1=2,a n +a n-1=4n-2(n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式;{b n }满足b 1+3b 2+7b 3+…+(2n -1)b n =a n ,求数列{b n }的通项公式.由a n +a n-1=4n-2(n ≥2)可化为(a n -2n )+(a n-1-2n+2)=0.令c n =a n -2n ,则c n +c n-1=0,即c n =-c n-1. 因为a 1=2,所以c 1=a 1-2=0, 所以c n =0,即a n -2n=0,故a n =2n. (2)由b 1+3b 2+7b 3+…+(2n -1)b n =a n ,可知b 1+3b 2+7b 3+…+(2n-1-1)b n-1=a n-1(n ≥2), 两式作差得(2n -1)b n =a n -a n-1=2(n ≥2),即b n =22n-1(n ≥2). 又当n=1时,b 1=a 1=2也满足上式,故b n =22n-1. 素养培优练(2020江西师大附中高三一模)已知数列{a n }中,a 1=1,其前n 项和为S n ,且满足2S n =(n+1)a n (n∈N +).(1)求数列{a n }的通项公式;b n =3n -λa n 2,若数列{b n }为递增数列,求λ的取值范围.∵2S n =(n+1)a n ,∴2S n+1=(n+2)a n+1,∴2a n+1=(n+2)a n+1-(n+1)a n ,即na n+1=(n+1)a n ,∴a n+1n+1=an n ,∴an n =a n -1n -1=…=a 11=1,∴a n =n (n ∈N +). (2)由(1)知b n =3n -λn 2.b n+1-b n =3n+1-λ(n+1)2-(3n -λn 2)=2·3n -λ(2n+1). ∵数列{b n }为递增数列,∴2·3n-λ(2n+1)>0,即λ<2·3n 2n+1.令c n =2·3n2n+1,即c n+1c n=2·3n+12n+3·2n+12·3n=6n+32n+3>1.∴{c n }为递增数列,∴λ<c 1=2,即λ的取值范围为(-∞,2).莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

5.2等差数列等差数列5．2.1第1课时等差数列的定义最新课程标准1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)[教材要点]知识点一等差数列的概念如果一个数列{a n}从第________项起，每一项与它的前一项之差都等于________常数d，那么这个数列{a n}就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的________．状元随笔等差数列的定义用符号怎么表示？[提示]a n＋1－a n＝d(n≥1，d为常数)．知识点二等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项a n＝________.状元随笔等差数列的通项公式是什么函数模型？[提示]d≠0时，一次函数；d＝0时，常值函数．知识点三等差数列的单调性等差数列{a n}中，若公差d>0，则数列{a n}为________数列；若公差d<0，则数列{a n}为________数列．[基础自测]1．下列数列中不是等差数列的为()A．6,6,6,6,6B．－2，－1,0,1,2C．5,8,11,14 D．0,1,3,6,102．数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列3．已知等差数列{a n}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝________.4．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________.题型一等差数列的概念例1已知数列{a n}的通项公式a n＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)设c n＝a n＋1－a n；求证：对任意实数p和q，数列{c n}是等差数列．状元随笔已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，在数列{b n}中，b n＝3a n＋4，试判断{b n}是不是等差数列？[提示]可以利用a1和d写出b n的通项公式，也可以直接利用定义判断b n＋1－b n是不是常数．根据题意，知b n＋1＝3a n＋1＋4，则b n＋1－b n＝3a n＋1＋4－(3a n＋4)＝3(a n＋1－a n)＝3d(常数)．跟踪训练3第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？教材反思1．本节课的重点是等差数列的定义、等差中项以及等差数列的通项公式，难点是等差数列的证明．2．掌握判断一个数列是等差数列的常用方法：(1)a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{a n}是等差数列；(2)2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N＋)⇔{a n}是等差数列；(3)a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即例3解析：设第1盏路灯到第1盏路灯的距离记为a1，第2盏路灯到第1盏路灯的距离记为a2，第n盏路灯到第1盏路灯的距离记为a n，则a1，a2，…，a n，…构成一个以a1＝0为首项，以d＝50为公差的一个等差数列．所以有a1＝0，a2＝a1＋d＝0＋50＝50，a3＝a2＋d＝a1＋2d＝0＋2×50＝100，a4＝a3＋d＝a1＋3d＝0＋3×50＝150，a5＝a4＋d＝a1＋4d＝0＋4×50＝200，…a n＝a1＋(n－1)d＝50n－50，所以，第5盏路灯距离第1盏路灯200米，第n盏路灯距离第1盏路灯(50n－50)米．跟踪训练3解析：设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，…，第n届的年份为a n，则a1，a2，…，a n，…构成一个以a1＝1896为首项，以d＝4为公差的等差数列，其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d＝1896＋4(n－1)＝4n＋1892，即a n＝4n＋1892，由a n＝2016，知4n＋1892＝2016，所以n＝31.故2016年举行的奥运会为第31届．已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量．。

第2课时等差数列的性质最新课程标准1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)[教材要点]知识点一等差数列的图像等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n是一固定常数；当d≠0时，a n相应的函数是一次函数；点(n，a n)分布在以________为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．知识点二等差中项如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的________，且A＝x＋y 2.状元随笔任意两数都有等差中项吗？[提示]是．知识点三等差数列的性质(1){a n}是等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则a s＋a t＝________.①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，2a s＝a p＋a q.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的________，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为________数列．(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为________的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为________的等差数列．(5){a n}的公差为d，则d>0⇔{a n}为________数列；d<0⇔{a n}为________数列；d＝0⇔{a n}为常数列．状元随笔能用a m和d表示a n吗？如何表示？[提示]能．a n＝a m＋(n－m)d.[基础自测]1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝() A．12B．16C．20D．242．在等差数列{a n}中，a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝()A．36B．37C．38D．393．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.4．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0 B．37C．100 D．－37题型一等差中项及其应用例1在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．方法归纳。

学科 数学 年级 高二 时间 2022年 月 日 课题 5.1.1数列的概念课型 新授课课时共1 课时主备教师刘海刚学习目标1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。

2.通过数列与函数的类比学习，培养分析、解决问题能力，进一步体会函数与数列的联系和区别。

3.通过对《庄子》中实例的分析，感受我国传统文化，培养该国情怀。

同时体会无限思想。

学习重点 数列的概念、数列的通项公式、数列与函数的关系 学习难点 求数列通项公式，数列与函数的关系课前预习学生预习提纲一、数列： 1.实列分析：（1）我国古代哲学著作《庄子》：一尺之捶，其取其半，万世不竭。

1111,,,,24816（2）2009年至2015年，我国每年的专利申请受理数（精确到万）分别为 98，122，163，205，236，238，280（3）标价为3000元的电脑享受的分期服务，不同的付款方式所对应的付款总金额分别为3000，3045，3090，3180，33601、定义：按照 排列起来的一列数叫做数列。

2、数列中每一个数叫做这个数列的 ，各项依次叫做这个数列的第1项（或 ），第2项，…，第n 项，….组成数列的数的个数称为数列的项数。

3.数列的分类：（1）按项数是否有限可以分为 和 ；（2）按着项的变化趋势分为 、 、 和。

有穷数列的最后一项也叫这个数列的末项。

二、数列的通项： 1、通项：数列的一般形式可以写成123,,,,n a a a a 。

其中 叫做数列的通项。

我们常把一般形式的数列记作 。

课前预习 学生预习提纲2、数列通项公式：如果数列的第项n a 与n 之间的关系可以用一个函数式 来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式。

例1根据下面数列的通项公式，写出数列的第2项和第5项。

（1）n a =2121n n -- （2）n b =sin 2n π【针对性练习】根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前3项。

5.3 等比数列5.3.1 等比数列新版课程标准学业水平要求1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义2.体会等比数列与指数函数的关系3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题1.借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念.(数学抽象)2.借助教材掌握等比数列的通项公式、等比数列的性质.(数学运算)3.会求等比数列的通项公式,并能利用等比数列的通项公式、等比数列的性质解决相关的问题.(数学运算)4.体会等比数列与指数函数的关系.(数学抽象)5.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题(数学运算、数学建模)第1课时等比数列的定义必备知识·素养奠基1.等比数列一般地,如果数列{a n}从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q,即=q恒成立,则称{a n}为等比数列,其中q称为等比数列的公比.(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”. (2)怎样利用递推公式表示等比数列?提示:=q(n≥2)或=q(q≠0).2.等比数列的通项公式首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为a n=a1q n-1.3.等比数列的通项公式与函数由a n=a1q n-1=×q n,记f(x)=×q x,可看成a n=f(n),而且(1)当公比q=1时,f(x)是常数函数,此时数列{a n}是常数列(因此,公比为1的等比数列为常数列);(2)当公比q≠1时,f(x)是与y=q x的乘积,此时,f(x)的增减性既与a1有关,也与q有关.等比数列的单调性与a1和q有什么关系?提示:a1>0,q>1递增数列a1<0,0<q<1a1>0,0<q<1递减数列a1<0,q>14.两个结论(1)数列{a n}是等比数列的充要条件是a n=kq n,其中k,q都是不为0的常数;(2)等比数列中,所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号相同.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等比数列. ( )(2)当等比数列的公比q>1时,一定是递增数列. ( )(3)等比数列{a n}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比数列. ( )提示:(1)×.应等于同一个常数.(2)×.当数列的公比q>1时,若a1<0,则是递减数列.(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项,q3为公比的等比数列.2.等比数列{a n}的公比q=-,a1=,则数列{a n}是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选D.由于公比q=-<0,所以数列{a n}是摆动数列.3.在等比数列{a n}中,a1=-3,a4=81,则a n=________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q,因为a1=-3,a4=81,所以81=-3×q3,解得q=-3,则该数列的通项a n=(-3)×(-3)n-1=(-3)n.答案:(-3)n关键能力·素养形成类型一等比数列基本量的计算【典例】1.在等比数列{a n}中,若a2=3,a5=-24,则a1= ( )A. B.- C.- D.2.已知各项为正数的等比数列{a n}中,a2=1,a4a6=64,则公比q=( )A.4B.3C.2D.3.在公比为整数的等比数列{a n}中,a2-a3=-2,a1+a3=,则{a n}的通项公式a n=________.【思维·引】1.用a1,q表示出a2,a5代入解题.2.将条件用a1,q表示,消元求公比.3.联立方程组,利用两式相除计算解题.【解析】1.选C.设公比为q,则==q3=-8,则q=-2,则a1==-.2.选 C.因为各项为正数的等比数列{a n}中,a2=1,a4a6=64,所以,且q>0,解得a1=,q=2,所以公比q=2.3.设等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a3=-2,a1+a3=,所以两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,由公比q为整数可得,q=3,a1=.所以a n=3n-2.答案:3n-2【内化·悟】计算等比数列的基本量时常用到哪种运算?提示:常用到两式相除.【类题·通】关于等比数列基本量的运算(1)基本量:a1,q,n,a n;(2)联系:基本量之间的联系就是通项公式a n=a1q n-1,将条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算.【习练·破】1.(2020·天津高二检测)在等比数列{a n}中,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则a5= ( )A.12B.18C.24D.36【解析】选C.根据题意,在等比数列{a n}中,设其公比为q,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则6-6q2+6q4=78,解得q2=4或q2=-3(舍),故a5=6q2=24.2.(2020·开封高二检测)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a1= ( )A.1B.2C.-D.-1【解析】选A.设等比数列{a n}的公比为q,因为a1+a2=-1,a1-a3=-3,所以a1(1+q)=-1,a1(1-q2)=-3,显然q≠±1,解得a1=1,q=-2.【加练·固】已知a n=625,n=4,q=5,求a1.【解析】a1===5,故a1=5.类型二等比数列的判定角度1 利用定义证明等比数列【典例】已知数列{a n}满足a1=1,2a n+1=3a n+1.证明:{a n+1}是等比数列.【思维·引】证明为常数,或整体构造证明.【证明】方法一:因为2a n+1=3a n+1,所以a n+1=a n+,====,所以=.方法二:因为2a n+1=3a n+1,所以2a n+1+2=3a n+1+2,即2a n+1+2=3a n+3,所以2(a n+1+1)=3(a n+1),所以=.所以是以为公比的等比数列.【素养·探】在利用定义法证明等比数列的过程中,常常用到核心素养中的逻辑推理,利用等比数列的定义进行证明.若将本例中的条件改为“a n+1=2a n+1”,其他条件不变,证明:{a n+1}是等比数列.证明:因为a n+1=2a n+1,所以===2,所以{a n+1}是以2为公比的等比数列.角度2 已知S n与a n的关系证明等比数列【典例】已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n=a n+b(n∈N+,b∈R,b ≠0).(1)求证:{a n}是等比数列;(2)求证:{a n+1}不是等比数列.【思维·引】(1)消去S n,利用a n,a n-1的关系证明;(2)算出数列的前三项进行证明.【证明】(1)因为S n=a n+b,所以当n≥2时S n-1=a n-1+b,两式相减得S n-S n-1=a n+b-a n-1-b,所以a n=a n-a n-1,所以a n=3a n-1,又a1=-2b≠0,故{a n}是公比为q=3的等比数列.(2)令n=1,则S1=a1+b,所以a1=-2b,所以a2=-6b,a3=-18b,所以数列{a n+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b, (a2+1)2=1+36b2-12b.(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故数列{a n+1}不是等比数列. 【类题·通】关于等比数列的证明(1)定义法①涉及a n+1,a n,a n-1的式子,将关系式代入后证明或(n≥2)为常数.②涉及S n与a n的式子,则利用a n=S n-S n-1,n≥2,消去S n,判断a n,a n-1或a n+1,a n的关系证明.(2)等比中项法证明=a n-1a n+1(n≥2)即可,常用于证明表达式较为复杂的三项成等比数列.【习练·破】(2020·西城高二检测)已知等比数列{a n}的前n项和S n=p-23-n,其中n∈N+.(1)求p的值及数列{a n}的通项公式;(2)判断数列{}和{na n}是否为等比数列?证明你的结论.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q.因为S n=p-23-n,所以S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1,所以a1=p-4,a2=2,a3=1,因为数列{a n}为等比数列,所以q=,所以==,所以p=8,a1=4,所以a n=4×=23-n;(2)数列{}是等比数列,{na n}不是等比数列.证明如下:由(1)得=(23-n)2=43-n,所以==,所以数列{}是以为公比的等比数列,由(1)可得,{na n}=n·23-n,其前3项分别为4,4,3构不成等比数列,故{na n}不是等比数列.【加练·固】已知数列{a n}是首项为2,公差为-1的等差数列,令b n=,求证数列{b n}是等比数列,并求其通项公式.【解析】由已知得a n=2+(n-1)×(-1)=3-n,故====2,所以数列{b n}是等比数列.因为b1==,所以b n=×2n-1=2n-3.课堂检测·素养达标1.已知数列{a n}是等比数列,且a1=1,a4=8,则a6= ( )A.15B.24C.32D.64【解析】选C.由a1=1,a4=8可得公比q=2,故a6=a1q5=32.2.在等比数列{a n}中,a1+a2=6,a3=3,则公比q的值为 ( )A.-B.-1C.-或1D.-或-1【解析】选C.因为a1+a2=a1·(1+q)=6,a3=a1·q2=3,所以=2,整理,得2q2-q-1=0,解得q=1,或q=-.3.已知数列{a n}中,a n+1=2a n,且a3=12,则a1=________.【解析】因为a n+1=2a n,所以=2,所以公比为2,因为12=a3=2a2,所以a2=6.因为6=a2=2a1,所以a1=3.答案:34.若等比数列{a n}满足a1=,a2a3=2,则a7=________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q.因为等比数列{a n}满足a1=,a2a3=2,所以q·q2=2,解得q=2,所以a7=×26=32.答案:32【新情境·新思维】已知等比数列{a n},则下面对任意正整数k都成立的是( ) A.a k·a k+1>0 B.a k·a k+2>0C.a k·a k+1·a k+2>0D.a k·a k+3>0【解析】选B.根据题意,依次分析选项:对于A,当q<0时,a k与a k+1异号,则a k·a k+1<0,A错误;对于B,a k·a k+2=a k·a k·q2=(a k·q)2>0,B正确;对于C,a k·a k+1·a k+2=(a k+1)3,则a k·a k+1·a k+2>0不一定成立,C错误;对于D,a k·a k+3=·q3,则a k·a k+3>0不一定成立,D错误.。