复合函数求最值

复合函数的值域【学习目标】1．掌握复合函数求值域的几种常见方法．【学习重难点】1．熟练应用换元法求值域．【知识精讲】1．复合函数设y 是u 的函数()y f u =，u 是x 的函数()u x ϕ=，如果()x ϕ的值全部或部分在()f u 的定义域内，则y 通过u 成为x 的函数，记作()()y f x ϕ= ，称为由函数()y f u =与()u x ϕ=复合而成的复合函数。

如y ；()2sin 1y x =-；()tan 31y x =+等都是复合函数。

2．换元法求值域 换元的常用方法有：（1）局部换元：又称整体换元；是指在已知或未知中，某个代数式几次出现，我们用一个字母或一个符号来代替它从而简化问题．（2）三角换元：应用于去根号，或变换为三角形式易求，或表达式中有明显三角含义时进行换元，比如说：平方关系221x y +=，则可令cos ,sin x y αα==． 3．分离常数求值域（1）有界函数值域：（分离常数） ①识别出有界函数； ②反解出有界函数；③利用有界函数求原函数值域. （2）对勾函数图像求值域：①分离常数后形成对勾函数或分离常数后换元形成对勾函数； ②先确定定义域，然后根据对勾函数图像确定值域。

渐近线：对勾函数共有两条渐近线，分别为0x =和y ax =.【经典例题】例1. 函数()22log 4y x x =-的值域为（ ） A ．[)0,+∞ B ．(],2-∞C ．(]0,2D ．(],0-∞【答案】B 【解析】∵()22log 4y x x =-， ∴240x x ->，∴04x <<， 令24t x x =-，∴2log y t =，∴原函数的值域转化为函数2log y t =的值域，24t x x =-，且04x <<， 易求得04t <≤， ∴2log 2t ≤，∴2log y t =的值域为：(],2-∞， 故选：B ．【变式】 求函数()()()[]()1322,2x x f x x -+=∈-的值域．【答案】116,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】[]2,2x ∈-时()()13x x -+的范围是[]4,5-， 则()f x 的值域是116,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例2.求函数y 的值域．【答案】[]0,3 【解析】∵ (]245,9x x -++∈-∞， ∴开根号得到[]0,3 所以函数值域为：[]0,3．【变式】求函数y =【答案】3⎝⎦【解析】令()()221311124g x x x x x x ⎛⎫=--=-+=-+ ⎪⎝⎭,∴ ()g x 的值域为:3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,由()()1f xg x =得,()max 14334f x ==,∴函数()()1f x x =的值域为:40,⎛⎤ ⎥⎦. 综上y=⎛ ⎝⎦．例3. 函数y x =+（ ） A ．[)0,+∞ B ．(],1-∞C ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[]0,1【答案】C【解析】令t =0t ≥， ∴21t x =-， ∴21x t =-，∴21y t t =-+，其中0t ≥， ∴21524y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，易得所求函数的值域：5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：C ．【变式】函数4y x =的值域为 （ ）A ．[)0,+∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令t =，其中0t ≥， ∴212t x =-，∴212t x -=，∴()221y t t =-+， ∴222y t t =-++， ∴178y ≤，∴值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 故选：C ．例5. 求函数求函数()3423x x f x =⋅-+，[]1,2x ∈-的值域【答案】13,474⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】令[]2,1,2x t x =∈-，则1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2133,,42y t t t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦.因为函数233y t t =-+的对称轴为16t =，所以函数在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故函数()f x 的值域为13,474⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例6. 求函数22121242y x x x x x ⎛⎫=+---≤- ⎪⎝⎭的值域． 【答案】[)2,+∞【解析】()22212112426y f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫==+---=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1t x x=+，12x Q ≤-，(],2t ∴∈-∞-()()2262f t t t t ∴=--≤-()[)2,f t ∴∈+∞ 即函数的值域是[)2,+∞．【变式】已知函数()()()22,0x x y e a e a a R a -=-+-∈≠ ，求y 的最小值．【答案】当2a ≥时，()2min 2y f a a ==- ； 当2a <且0a ≠时，()()2min 221y f a ==-【解析】()()22222x x x x y e e a e e a --=+-++- ，令x x t e e -=+，则()22222f t t at a =-+-．2x x t e e Q -=+≥，()()222f t t a a ∴=-+-的定义域为[)2,+∞，Q 抛物线的对称轴方程是t a =，∴ 当2a ≥时，()2min 2y f a a ==- ；当2a <且0a ≠时，()()2min 221y f a ==-．例7.求函数()2222x y x R x =∈+的值域．【答案】[)0,2【解析】由题意2222x y x =+，可得222yx y=-，又因为20x ≥ ∴2202yx y=≥-，解得02y ≤< 因此函数的值域为[)0,2．【变式】已知函数[]()20,12xx e y x e =∈+,求函数的值域．【答案】22,32e e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦【解析】24222x x x e y e e ==-++ []0,1x ∈]时1x e e ≤≤ 设x e t =,则422y t =-+随t 的增大而增大 所以y 的值域为22,32e e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．例8. 已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值．【答案】5m n ==【解析】函数2328l o g1m x x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2⇔函数2281m x x n y x ++=+的定义域为R ，值域为 22[1,9](1)8y x mx x n ⇔=+=++使方程 ，即2()8()0m y x x n y -++-=有实数解的y 的取值范围为[]()()1,96440m y n y ⇔∆=---≥ 的解集为[]1,9()2y 160m n y mn ⇔-++-≤的解集为[]1,9105169m n m n mn +=⎧⇔⇔==⎨-=⎩．【变式】 已知函数()21ax bf x x +=+的值域为[]1,4-，求,a b 的值 【答案】4a =,3b =或4a =-,3b = 【解析】21ax by x +=+等价于()20x y ax y b -+-= 这个关于x 的方程有实数解则判别式0∆≥ ∴()240a y y b --≥22440y by a --≤ 值域[]1,4-即不等式的解集是14y -≤≤∴1-和4是对应的方程22440y by a --=的根 ∴ 4144b-+=,2144a -⨯=-23,16b a ==，∴4a =,3b =或4a =-,3b =．例9. 设函数()2,1,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ，()g x 是二次函数，若复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域【答案】[)0,+∞【解析】Q 函数()f x 的图像如下，由于()g x 是二次函数，它的值域只有两种形式[),k +∞和(],k -∞，其中k 为二次函数顶点的纵坐标，数形结合可知，只有当()g x 的值域为[)0,+∞时，()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域为[)0,+∞．【变式】设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，解不等式()()2f f x ≤【答案】2x ≤【解析】()()f f x 是()f x 的二次迭代，记()u f x =，则()2f u ≤，如下左图，由()2f u ≤数形结合可得2u ≥-，即()2f x ≥-；如下右图，由()2f x ≥-可得2x ≤．【课后练习】1．函数y =的值域为 .2．求函数2462x x y ++=的值域．3．求函数()22231x y x R x -=∈+的值域．【课后练习答案】1．【答案】[]0,2【解答】令24x x t -=，则必有0t ≥，根据二次函数的值域求法，新变元t 的范围是[]0,4， 根据二次根式函数的性质，原函数的值域为[]0,2．2．【答案】[4,)+∞【解析】令246u x x =++，则2.u y =因为()2245222u x x x =++=++≥，所以222 4.u y =≥=即函数2462xx y ++=的值域为[4,)+∞．3．【答案】[)3,2- 【解析】()222222152352111x x y x x x +--===-+++ 平方项恒非负，20x ≥ 211x +≥ ∴25051x <≤+ ∴25501x -≤-<+ ∴253221x -≤-<+ 函数的值域为[)3,2-．。

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,ac b ⎡⎫-+∞⎢，当0a <时的值1. 例1、 例2、 故函数的值域是：[ -∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 例 A 例解：21x x ++222x x x x -=++当2y -=当20y -≠时，x R ∈时，方程根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域。

解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1）x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x≤2。

由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1，3]。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

4例y 5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

复合函数求极限的定义复合函数求极限是微积分中的一个重要概念，它不仅能够帮助我们理解函数的性质，还能够应用于实际问题的求解中。

在本文中，我们将详细介绍复合函数求极限的定义和应用。

我们来了解一下什么是复合函数。

复合函数是由两个函数通过一个函数的输出作为另一个函数的输入而构成的。

假设有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的复合函数可以表示为f(g(x))，其中g(x)的输出作为f(x)的输入。

复合函数求极限即是在x趋近某个特定值的情况下，求复合函数的极限值。

具体来说，设有函数f(x)和g(x)，其中g(x)的极限为a，且f(x)在a 点的某个领域内有定义。

那么复合函数f(g(x))在x趋近a时的极限可以表示为lim(x→a) f(g(x))，也可以写作lim(x→a) f∘g(x)。

其中，lim表示极限，x→a表示x趋近a。

下面我们通过一个例子来说明复合函数求极限的具体过程。

例子：求lim(x→0) sin(2x)。

解：首先，我们令g(x)=2x，f(x)=sin(x)，那么复合函数可以表示为f(g(x))=sin(2x)。

接下来，我们需要求出lim(x→0) f(g(x))。

根据极限的定义，我们需要求出当x趋近0时，sin(2x)的极限。

可以利用三角函数的性质，我们知道当x趋近0时，sin(2x)也趋近0。

因此，lim(x→0) sin(2x)=0。

通过这个例子，我们可以看到复合函数求极限的基本思路。

我们首先将复合函数表示为两个函数的组合，然后根据极限的定义，分别求出两个函数在特定点的极限，最后通过运算得到复合函数的极限。

除了基本的复合函数求极限，我们还可以通过一些运算规则来简化计算。

下面我们来介绍一些常见的运算规则。

1. 复合函数的极限等于内层函数在极限点的极限乘以外层函数在内层函数极限点的极限，即lim(x→a) f(g(x))=lim(x→a) f( lim(x→a) g(x))。

2. 复合函数的极限等于外层函数在内层函数的极限点的极限，即lim(x→a) f(g(x))=f( lim(x→a) g(x))。

求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去； （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。

综上，求出y 的范围。

如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。

复合函数概念精析蓝田县泄湖中学王锦锋复合函数概念精析复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点。

但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关内容很有必要。

一、复合函数的概念我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u 又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f［g(x)］叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。

例如y=sin2x它与y=sinx不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sinu和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数。

由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。

1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。

它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a·f(x)±b·g(x)或a·f(x)·b·g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。

这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。

自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。

例如，复合函数y=sin2x是自变量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数sin2x。

因此有人说复合函数是函数的函数。

为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。

综合理论课程教育研究286 学法教法研究最值问题是我们所熟悉的问题，如今，经历了中学乃至大学的知识学习，我们接触到了各种各类的最值问题，同时我们也相应学习了求解各类最值问题的方法，而这些方法也有助于我们解决生活中各式各样的最值问题，下面我就为大家归纳下求解最值问题的几种方法.一、配方法对于可以转换成“一元二次函数型”的函数，我们都可以利用配方法对其最值进行求解.例1 求在区间内的最值.分析 本题看上去较为复杂，包括不同类型指数的运算，但稍加观察的话，你就会发现，此中的函数是可以转化为“一元二次型的函数”又，有取得最大值为；当时，.二、判别式法对于一元二次方程，我们可以利用来判断其是否存在实根，那么对于一个一元二次函数，若其值域不为空集的话，那么我们就可以认为方程的判别式，由此求得原一元二次函数的值域，进而就可以求得该一元二次函数在某定义域内的最值情况.例2 求函数的最值.分析 本题可以利用配方法进行求解，但过程较为繁琐.观察原题，可以发现函数的值域不会为空集，因此可以考虑到利用判别式法进行求解.解法如下：原等式可化为：（）可以得到若，则有若，则有于是，则；若，则.会成立，还需要进行一项后续工作，将等号的值代入原方程，观察原方程是否有实数解，即是否有相应的值与对应.若存在，我们就可以直接确定最值了.三、换元法对于一些特殊的函数，我们可以利用换元法对其进行最值求解，基本思想是将某一部分当做一个整体或者用一个新的变量来代替某一整体，达到化繁为简，化陌生为熟悉，从而帮助我们更加便利的解决问题.换元法通常有三角代换和三角代换两种.例3 求函数.分析 对于这类含根号的函数，为了化繁为简，换元法是比较大众的方法.求解如下：，则所隐含的定义域为，于是，我则即时，取得最小值为不等式法求解最值问题主要是利用以下几个重要的不等式及其变形来处理最值问题的.不等式（），其中注意：当且仅当时等号成立.在用不等式求函数的最值时，经常需要配合某些变形技巧，结合已知条件进而进行求解.例4 设，，记中最大数为，则的最小值为多少？分析 本题的计算涉及到对数，准确应用对数的运算性质，认真观察，发现其中的技巧.由已知条件可得所求为中最大的数，不妨设中最大的数为A，则.由于，所以，当且仅当时等号成立，此时为最小，那么A 能否取到最小值2呢？容易知道，当时，，即A 可以取得最小值2，从而的最小值为.五、单调性法求解函数在指定区间的最值的时候，我们应该考查该函数在该指定区间内的单调性情况.如果函数在该区间内是单调的，则该函数的最值在区间的端点上取得.若函数在该区间上并不是单调的，则我们就可以考虑把该区间分割成若干个小的区间，目的是使得该函数在分割的每一个小区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值情况，通过比较，得到整个区间上的最值.例5 设函数是奇函数，对于任意均有关系，若时，且.求在上的最大值和最小值.解“最值问题”的几种方法陈 龙（福建省晋江市内坑中学 福建 晋江 362200）【中图分类号】G634.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2018） 11-0286-02综合理论课程教育研究学法教法研究 287分析 本题若能确定在上的单调性，其最值也就可以相继求得.下面来考察在上的单调性：设任意且，则.由题设可知，为奇函数，且，，则，则在上单调递减,即在两端点处取得最值.因为，则，进而.又故在上的最大值为，最小值为六、导数法对于基本初等函数以及某些复合函数，我们可以利用导数这一工具有效的对其进行最值求解.设在上是连续，在上是可导，则在上的最大值和最小值就是在内的每个极值与中的最大值与最小值.利用导数的方法进行最值的求解适用性广，在解题例.分析 令由于方差恒大于或者等于0的特征，我们也可以利用方差解决某些的最值问题.例7 确定最大的实数Z，使得实数满足： ，.分析 按照常规的思路，本题不容易攻克，可以巧妙的，构造的方差得，Z .八、三角函数最值的常见求法1.巧用定义域求解三角函数的最值问题，在大多数的题目中，我们必.例8，求值和最小值.分析 此类三角函数可以视作为或的形式，求解其最值值为.2.大多数的数学题型中，题干中所给出的条件都有其特殊的作用和功能，所以，在解题的过程中，我们不能忽视任意一个条件.例求的最小值.分析 个，我们要做的是如何正确的去用好这个已知条件.当然，我们也不能盲目地瞎猜，根据题目要我们求的东西去巧妙地利用好这个已知条件.现最小值.又，即对于一些较为复杂的三角函数，为了求解的方便，我们可以去寻找题干的特点，化繁为简，换元法一般是首选.例10 已知,求的最大值和最小值.分析 对于三角函数，我们应该清楚，其存在着这么一种转化关系：此中就启发我们可以运用换元法快捷简便地解决相应三角函数的最值问题.4.巧引辅助角三角函数是一个特殊的函数，自然也有其独门的“法宝”——辅助角公式，能否巧妙地运用辅助角公式也是能否成功解题的关键.例11 求函数的最值.分析 直观地来看，这是一个分式代数式，分子、分母中均含有三角函数，这无疑给解题增添不少难度，但如果我们对其做一个稍微的变形，情况可能就不一样了：原函数可变为：，观察这个等式的。

专题03函数的单调性和最值的处理途径【高考地位】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．方法一定义法例1已知函数()log (2)log (4)a a f x x a a x =-+-（0a >且1a ≠）.（1）当1a >时，写出函数()f x 的单调区间，并用定义法证明；（2）当01a <<时，若11()log 48a f x a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a ；证明见解析；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】（1）求得()f x 的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明；（2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围.【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.例2已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+.（1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明()f x 在R 上的单调性；（2）首先利用定义证明()f x 的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉f ，转化为关于t 的一元二次不等式恒成立，分离t 转化为最值问题即可求解.【详解】（1）函数12()12xxf x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xxf x -=+在R 上单调递减.（2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-，由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <，2.作差：计算()()12f x f x -，3.定号：确定()()12f x f x -的正负，4.得出结论：根据同增异减得出结论.【变式演练1】下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（）A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意；B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意；C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意.故选：AD 例3定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1(3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）11()(23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >.【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，∴03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，第二步，由奇偶性得出结论：∴11()()23f f >--∴11()()23f f >.（2）第一步，取值、作差：任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号：∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∴21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∴函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数.（3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题.【变式演练2】已知函数()21xf x x =+.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<.【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。

函数之 复合函数之 求最值、值域1．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 ．2.函数y=的定义域为 ，值域为 .)x log 1(log 2221+3.求函数y ＝＋2x ＋4（x ≥－32）值域．52x 514.函数()()2log 31x f x =+的值域为A. ()0,+∞B. )0,+∞⎡⎣C. ()1,+∞D. )1,+∞⎡⎣5.求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝2; (2)y ＝4x +2x+1+1.31-x 6.已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值7.设，求函数 的最大值和最小值．8.已知函数（ 且 ）（1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范围．9. 已知9x -10·3x +9≤0，求函数y=（）x-1-4·（）x +2的最大值和最小值412110.函数在区间上有最大值14，则a 的值是_______．221(01)x x y a a a a =+->≠且[11]-且11.若函数，求函数的最大值和最小值。

0322≤--x x x x y 4222⋅-=+12.已知，求的最小值与最大值。

[]3,2x ∈-11()142x x f x =-+13.若函数的值域为，试确定的取值范围。

3234+⋅-=x x y []1,7x 本类题的特征是：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________本类题的做法是：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________答案1.8425≤≤y 2.( ，1)∪［-1，-］，［0，+∞］ 22223.解析：设t ＝x ，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．51 当t ＝－1时，y min ＝3． ∴函数y ＝＋2x ＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋）．52x 51∞ 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．4. A5.解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x ｜x∈R 且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，31-x 31-x 31-x ∴y＝2的值域为｛y ｜y>0且y≠1｝.31-x (2)y ＝4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y＝4x +2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.6.解：设t=3x ,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值931≤≤t 12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。

数学复合函数求最值
近年来，随着互联网技术的迅猛发展，数学复合函数求最值已经成为多个领域，如机器学习、自然语言处理等应用的重要工具。

然而，传统数学复合函数求最值算法，面临着计算复杂度高和收敛速度慢等问题。

在应用数学复合函数求最值时，采用深度学习技术，可以使得复合函数求最值
更加有效，有可能得到正确答案。

深度学习技术借助先进的神经网络结构，有很好的收敛性，可以把数学复合函数求最值的问题转变为利用神经网络的优化，实现快速收敛。

此外，与传统算法相比，深度学习技术还可以灵活地处理不同的输入，更加具有泛化能力，可以使复合函数求最值更加有效。

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学习技术应用到数学复合函数求最值的场景中。

变分学习的核心思想，是通过优化入口，使得计算空间更加精简，而准确度得到保证。

与传统深度学习技术相比，变分学习可以显著地增强复合函数求最值的计算效率。

总之，基于深度学习技术和变分学习技术，数学复合函数求最值可以实现更高
效地解决问题。

未来，这些技术将继续提高复合函数求最值的数据利用率，为计算复杂环境提供解决方案，推动复合函数求最值算法无限演进。

复合函数求极限复合函数求极限是在数学分析中常见的问题之一，它是通过将两个或多个函数组合在一起来研究整体函数的性质。

这种求解方法在实际问题中具有重要的应用，因此对于复合函数求极限的研究具有重要的理论和实际意义。

在解决复合函数求极限的问题时，我们需要掌握一些基本的思路和技巧。

下面我们将详细介绍复合函数求极限的基本方法和常见的应用。

首先，我们来讨论一下复合函数的定义。

假设有两个函数f(x)和g(x)，那么复合函数f(g(x))可以表示为f与g的复合。

它的定义为：f(g(x))=f[g(x)]。

接下来，我们来介绍求解复合函数求极限的基本思路和方法。

一、复合函数求极限的基本思路复合函数求极限的基本思路是通过将复合函数化简为简单函数的极限问题来求解。

具体来说，我们可以先计算内层函数的极限，然后再计算外层函数的极限，最后得到复合函数的极限。

二、复合函数求极限的基本方法在复合函数求极限时，我们可以使用一些常见的方法来计算复合函数的极限。

下面是一些常用的方法：1. 代数方法：通过代数化简的方法，将复合函数化简为简单函数的极限问题。

在化简过程中，我们可以利用一些常用的代数运算规则，如加法、减法、乘法和除法，来简化计算。

2. 替换法：通过替换内层函数的变量，将复合函数变换为简单函数的极限问题。

替换方法的关键在于选择合适的替换变量，使得计算过程更加简便。

3. 形式不变性：对于一些特殊的复合函数，我们可以利用其形式不变性来求解极限。

形式不变性是指当内层函数的极限存在时，外层函数的极限与内层函数的极限相同。

4. 夹逼定理：夹逼定理是应用极限的一个重要工具。

对于复合函数的极限求解，我们可以利用夹逼定理将复合函数夹在两个已知函数之间，通过比较已知函数的极限来求解复合函数的极限。

5. 单调性：对于满足单调性的函数，我们可以利用其单调性来求解复合函数的极限。

如果复合函数的内层函数具有单调性，并且外层函数满足单调函数的性质，那么我们可以通过单调性来求解复合函数的极限。