2015-2016学年辽宁省实验中学分校高一下学期期末数学试卷(带解析)

2016-2017学年辽宁省实验中学分校高一（下）期末数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）sin（﹣225°）的值是（）A．B．C．D．2．（5分）在△ABC中，，，则＝（）A．（3，7）B．（3，5）C．（1，1）D．（1，﹣1）3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位4．（5分）已知，则的值为（）A．B．C．D．5．（5分）如图，在△ABC中，＝（）A．B．C．D．6．（5分）若f（x）＝2cos（ωx+φ）+k的图象关于直线对称，且，则实数k的值等于（）（）A．﹣3或1B．1C．﹣1或3D．﹣37．（5分）已知3cos2θ＝tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin2θ等于（）A．B．C．D．8．（5分）在以下关于向量的命题中，不正确的是（）A．若向量，向量（xy≠0），则B．若四边形ABCD为菱形，则C．点G是△ABC的重心，则D．△ABC中，和的夹角等于A9．（5分）函数y＝cos x|tan x|（0≤x＜且x≠）的图象是下图中的（）A．B．C．D．10．（5分）已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，点E满足＝，点F在边CD 上，若•＝1，则•＝（）A．1B．2C．D．311．（5分）已知函数f（x）＝A cos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（）A．2468B．3501C．4032D．573912．（5分）如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若，则x+y的取值范围是（）A．[﹣4，4]B．C．[﹣5，5]D．[﹣6，6]二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y＝sin（x﹣）的单调递增区间是．14．（5分）已知向量＝（3，2），＝（x，4），且∥，则x的值是．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a sin B＝b cos A，则的最大值是．16．（5分）在下列结论中：①函数y＝sin（kπ﹣x）（k∈Z）为奇函数；②函数的图象关于点对称；③函数的图象的一条对称轴为π；④若tan（π﹣x）＝2，则cos2x＝．其中正确结论的序号为（把所有正确结论的序号都填上）．三．解答题（共6小题）17．（10分）已知tan（α+）＝﹣3，求的值．18．（12分）若平面向量，满足||＝，||＝2，（﹣）⊥．（1）求与的夹角；（2）求|2+|．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，，又△ABC的面积为．求：（1）角C大小；（2）a+b的值．20．（12分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（C）＝2，a+b＝4，且△ABC 的面积为，求△ABC外接圆的半径．21．（12分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，已知B＝，BC＝1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC＝，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．22．已知向量，把函数f（x）＝化简为f（x）＝A sin（ωx+ϕ）+B的形式后，利用“五点法”画y＝f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表所示：（1）请直接写出①处应填的值，并求t的值及函数y＝f（x）在区间上的单增区间、单减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，求2016-2017学年辽宁省实验中学分校高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）sin（﹣225°）的值是（）A．B．C．D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【解答】解：sin（﹣225°）＝﹣sin225°＝﹣sin（180°+45°）＝﹣（﹣sin45°）＝sin45°＝．故选：A．2．（5分）在△ABC中，，，则＝（）A．（3，7）B．（3，5）C．（1，1）D．（1，﹣1）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【解答】解：＝﹣＝（2，4）﹣（1，3）＝（1，1），故选：C．3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：y＝sin（2x+）＝sin2（x+），y＝sin（2x﹣）＝sin2（x﹣），所以将y＝sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y＝sin（2x﹣）的图象，故选：B．4．（5分）已知，则的值为（）A．B．C．D．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵已知，则＝cos[﹣（α+）]＝sin（α+）＝，故选：B．5．（5分）如图，在△ABC中，＝（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理．【解答】解：由于，由于BD＝DC，故，，又因为，故，所以．故选：B．6．（5分）若f（x）＝2cos（ωx+φ）+k的图象关于直线对称，且，则实数k的值等于（）（）A．﹣3或1B．1C．﹣1或3D．﹣3【考点】H7：余弦函数的图象．【解答】解：函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+k，其图象关于直线对称，∴cos（ω+φ）＝1或﹣1；又，∴2cos（ω+φ）+k＝﹣1，∴k＝﹣1﹣2cos（ω+φ）；当cos（ω+φ）＝1时，k＝﹣1﹣2×1＝﹣3；当cos（ω+φ）＝﹣1时，k＝﹣1﹣2×（﹣1）＝1；综上，实数k的值等于﹣3或1．故选：A．7．（5分）已知3cos2θ＝tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin2θ等于（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【解答】解：∵3cos2θ＝3×＝tanθ+3，整理可得：tanθ（1+tan2θ+3tanθ）＝0，∵θ≠kπ（k∈Z），tanθ≠0，∴1+tan2θ＝﹣3tanθ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝﹣，故选：D．8．（5分）在以下关于向量的命题中，不正确的是（）A．若向量，向量（xy≠0），则B．若四边形ABCD为菱形，则C．点G是△ABC的重心，则D．△ABC中，和的夹角等于A【考点】9A：向量的三角形法则；9B：向量加减混合运算．【解答】解：对于A，若向量＝（x，y），向量＝（﹣y，x），则＝0，则⊥，故A 正确；对于B，由菱形是邻边相等的平行四边形，故四边形ABCD是菱形的充要条件是，且||＝||，故B正确；对于C，由重心的性质，可得⇔G是△ABC的重心，故C正确；对于D，在△ABC中，和的夹角等于角A的补角，故D不正确．∴关于向量的命题中，不正确的是D．故选：D．9．（5分）函数y＝cos x|tan x|（0≤x＜且x≠）的图象是下图中的（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；H2：正弦函数的图象．【解答】解：当0时，y＝cos x tan x≥0，排除B，D．当时，y＝﹣cos x tan x＜0，排除A．故选：C．10．（5分）已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，点E满足＝，点F在边CD 上，若•＝1，则•＝（）A．1B．2C．D．3【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系，由题意可知A（0，0），B（0，），E（1，），D（3，0），设F（3，a），则＝（1，），＝（0，），＝（3，a），＝（3，a﹣），∵＝a＝1，即a＝，∴＝（3，﹣）．∴＝3﹣1＝2．故选：B．11．（5分）已知函数f（x）＝A cos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（）A．2468B．3501C．4032D．5739【考点】H1：三角函数的周期性．【解答】解：∵函数f（x）＝A cos2（ωx+φ）+1＝A•+1＝cos（2ωx+2φ）+1+（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+＝3，可求：A＝2．∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即：＝4，∴解得：ω＝．又∵f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得：cos（2φ）+1+1＝2，∴cos2φ＝0，2φ＝，解得：φ＝．∴函数的解析式为：f（x）＝cos（x+）+2＝﹣sin x+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2016）＝﹣（sin+sin+sin+…+sin）+2×2016＝504×0+4032＝4032．故选：C．12．（5分）如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若，则x+y的取值范围是（）A．[﹣4，4]B．C．[﹣5，5]D．[﹣6，6]【考点】9H：平面向量的基本定理．【解答】解：设＝，＝，求x+y的最大值，只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下；（1）∵＝，∴（x，y）＝（1，0）；（2）∵＝+＝+3，∴（x，y）＝（3，1）；（3）∵＝+＝+2，∴（x，y）＝（2，1）；（4）∵＝++＝++（+2）＝3+3，∴（x，y）＝（3，2）；（5）∵＝+＝+，∴（x，y）＝（1，1）；（6）∵＝，∴（x，y）＝（0，1）﹒∴x+y的最大值为3+2＝5﹒根据其对称性，可知x+y的最小值为﹣5﹒故x+y的取值范围是[﹣5，5]，故选：C．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y＝sin（x﹣）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【考点】H2：正弦函数的图象．【解答】解：对于函数y＝sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，可得函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．14．（5分）已知向量＝（3，2），＝（x，4），且∥，则x的值是6．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【解答】解：根据题意，向量＝（3，2），＝（x，4），若∥，则有2x﹣12＝0，解得x＝6；故答案为：6．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a sin B＝b cos A，则的最大值是1．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【解答】解：由a sin B＝b cos A以及正弦定理可知sin A sin B＝sin B cos A，⇒A＝，∴＝＝＝sin（B+），∴的最大值为：1．故答案为：1．16．（5分）在下列结论中：①函数y＝sin（kπ﹣x）（k∈Z）为奇函数；②函数的图象关于点对称；③函数的图象的一条对称轴为π；④若tan（π﹣x）＝2，则cos2x＝．其中正确结论的序号为①③④（把所有正确结论的序号都填上）．【考点】HB：余弦函数的对称性；HH：正切函数的奇偶性与对称性．【解答】解：对于①函数y＝sin（kπ﹣x）（k∈Z），当k为奇数时，函数即y＝sin x，为奇函数．当k为偶数时，函数即y＝﹣sin x，为奇函数．故①正确．对于②，当x＝时，函数y＝tan＝≠0，故y＝tan（2x+）的图象不关于点（，0）对称，故②不正确．对于③，当x＝时，函数y＝cos（2x+）＝cos（﹣π）＝﹣1，是函数y的最小值，故③的图象关于直线x＝对称．对于④，若tan（π﹣x）＝2，则tan x＝2，tan2x＝4，cos2x＝，，故④正确．故答案为：①③④．三．解答题（共6小题）17．（10分）已知tan（α+）＝﹣3，求的值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：∵tan（α+）＝﹣3＝，tanα＝2，∴＝＝＝＝．18．（12分）若平面向量，满足||＝，||＝2，（﹣）⊥．（1）求与的夹角；（2）求|2+|．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）设向量，的夹角为θ，且||＝，||＝2，（﹣）⊥，∴（﹣）•＝﹣•＝2﹣×2×cosθ＝0，解得cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴与的夹角为；（2）∵＝4+4•+＝4×2+4××2×cos+4＝20∴|2+|＝＝2．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，，又△ABC的面积为．求：（1）角C大小；（2）a+b的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．（1）∵在△ABC中，角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，，【解答】解：∴2﹣2cos2C＝3cos C，解方程求得cos C＝﹣2（舍去），或cos C＝，∴C＝．（2）由△ABC的面积为可得ab•sin＝，∴ab＝6．再由余弦定理可得c2＝7＝a2+b2﹣2ab•cos C＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣18，解得（a+b）2＝25，∴a+b＝5．20．（12分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（C）＝2，a+b＝4，且△ABC 的面积为，求△ABC外接圆的半径．【考点】H1：三角函数的周期性；H5：正弦函数的单调性；HR：余弦定理．【解答】解：（1）函数，故最小正周期；令，解得：，k∈Z．故函数的单调递减区间为：[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）由f（C）＝2，可得，又0＜C＜π，所以，所以，从而．由S＝＝ab sin，ab＝，由余弦定理有：c2＝（a+b）2﹣2ab﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣3ab＝12，∴，由正弦定理有：．21．（12分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，已知B＝，BC＝1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC＝，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，B＝，BC＝1，DC＝，由正弦定理得到：，解得sin∠BDC＝＝，则∠BDC＝或．△ABC是锐角三角形，可得∠BDC＝．又由DA＝DC，则∠A＝．（Ⅱ）由于B＝，BC＝1，△BCD面积为，则•BC•BD•sin＝，解得BD＝．再由余弦定理得到CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD•cos＝1+﹣2××＝，故CD＝，又由AB＝AD+BD＝CD+BD＝，故边AB的长为：．22．已知向量，把函数f（x）＝化简为f（x）＝A sin（ωx+ϕ）+B的形式后，利用“五点法”画y＝f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表所示：（1）请直接写出①处应填的值，并求t的值及函数y＝f（x）在区间上的单增区间、单减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，求【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【解答】解：（1）f（x）＝+＝sin tx cos tx﹣cos2tx+＝sin2tx﹣＝sin（2tx ﹣）．∵当x＝时，2tx﹣＝0，∴t＝1，∴当2x﹣＝时，x＝，∴①处应填的值为．单减区间，单增区间．（2）∵f（+）＝1，即sin（A+）＝1，∴A+＝，即A＝，由正弦定理得：，∴sin C＝＝，∵c＜a，∴C＜，∴cos C＝．∴cos B＝﹣cos（A+C）＝sin A sin C﹣cos A cos C＝．∴＝ac cos B＝2××＝1．。

2015-2016学年辽宁省实验中学分校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={2015，2016}，非空集合B满足A∪B={2015，2016}，则满足条件的集合B的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．函数y=的定义域是（）A．（1，2] B．（1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）3．已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且|AB|=，则a=（）A．1或2 B．1或4 C．0或2 D．2或44．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．56+12 B．60+12 C．30+6D．28+65．直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线﹣=1平行，则直线l的方程是（）A．2x﹣y﹣4=0 B．x+2y﹣3=0 C．2x﹣y=0 D．x﹣2y+3=06．设a，b，c均为正数，且2a=，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c7．设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中真命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③8．函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f （x）=2x2﹣12x+16，则直线y=2与函数f（x）图象的所有交点的横坐标之和是（）A．1 B．2 C．4 D．59．若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．410．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=011．设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，那么m2+n2的取值范围是（）A．（9，49） B．（13，49）C．（9，25） D．（3，7）12．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A．B．2+C．4+D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数y=log a（x﹣1）+8（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）= ．14．直线（2m+1）x+（3m﹣2）y+1﹣5m=0被圆x2+y2=16截得弦长的最小值为．15．已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中正确的序号是．①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，a为实数，（1）分别求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若B∩C=C，求a的取值范围．18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC 边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．19．（12分）已知如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC，且AB⊥AC，M是面CC1的中点，N 是BC的中点，点P在直线A1B1上．（Ⅰ）若P为A1B1中点，求证：NP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：PN⊥AM．20．（12分）如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB．点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．（12分）如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=．沿21．直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．P 为AC的动点，根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥D﹣ABC的体积．（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．22．（12分）设函数，其中a为常数（1）当f（2）=f（1）+2时，求a的值；（2）当x∈B．（1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0，根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2最后取交集，解出函数的定义域．【解答】解：∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2∴函数y=的定义域是（1，2）故选B．【点评】本题主要考查对数及开方的取值范围，同时考查了分数函数等来确定函数的定义域，属基础题．3．（5分）（2014•开福区校级模拟）已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且|AB|=，则a=（）A．1或2 B．1或4 C．0或2 D．2或4【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据空间两点之间的距离公式，由|AB|=列出关于a的方程，解之即可得到实数a的值．【解答】解：∵点A（1，2，3），B（4，2，a），∴|AB|==，解这个方程，得a=2或4故选：D【点评】本题给出空间两点含有字母a的坐标形式，在已知两点间距离的情况下求实数a的值，着重考查了空间坐标的两点距离公式及其应用的知识，属于基础题．4．（5分）（2015秋•辽宁校级期末）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．56+12 B．60+12 C．30+6D．28+6【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出各个面的面积，相加可得答案．【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥A﹣BCD底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3侧面△ACD中，AC==5∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC∴AE⊥平面BCD，结合CD⊂平面BCD，得AE⊥CD∵BC⊥CD，AE∩BC=E∴CD⊥平面ABC，结合AC⊂平面ABC，得CD⊥AC因此，△ADB中，AB==2，BD==，AD==，∴cos∠ADB==，得sin∠ADB==，由三角形面积公式，得S△ADB=×××=6，又∵S△ACB=×5×4=10，S△ADC=S△CBD=×4×5=10∴三棱锥的表面积是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．5．（5分）（2015秋•辽宁校级期末）直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线﹣=1平行，则直线l的方程是（）A．2x﹣y﹣4=0 B．x+2y﹣3=0 C．2x﹣y=0 D．x﹣2y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心为（1，2），设直线方程为﹣=b，利用直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，求出b，即可求出直线l的方程．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心为（1，2）设直线方程为﹣=b，∵直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，∴b=﹣=0，∴直线l的方程是2x﹣y=0，故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）（2013•淇县校级一模）设a，b，c均为正数，且2a=，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合．【分析】比较大小可以借助图象进行比较，观察题设中的三个数a，b，c，可以借助函数图象的交点的位置进行比较．【解答】解：分别作出四个函数y=，y=2x，y=log2x的图象，观察它们的交点情况．由图象知：∴a＜b＜c．故选A．【点评】本题考点是对数值大小的比较，本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象，比较大小的题在方法上应灵活选择，依据具体情况选择合适的方法．7．（5分）（2013•江门二模）设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中真命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选D【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．8．（5分）（2010•宁波二模）函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=2x2﹣12x+16，则直线y=2与函数f（x）图象的所有交点的横坐标之和是（）A．1 B．2 C．4 D．5【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】f（x+1）为奇函数可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，从而可求x＜1时的函数解析式，进而解方程f（x）=2可得．【解答】解：f（x+1）为奇函数，函数图象关于（0，0）对称函数f（x）的图象关于（1，0）对称当x＞1时，f（x）=2x2﹣12x+16当x＜1时，f（x）=﹣2x2﹣4x令2x2﹣12x+16=2可得x1+x2=6令﹣2x2﹣4x=2可得x3=﹣1横坐标之和为5故选D【点评】本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性，利用对称性求函数在对称区间上的解析式．属于基础知识的综合运用，但难度都不大，只要掌握基本知识、基本方法，就可解题．9．（5分）（2009•辽宁）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【考点】函数的图象与图象变化．【专题】压轴题．【分析】先由题中已知分别将x1、x2所满足的关系表达为，2x1=2log2（5﹣2x1）…系数配为2是为了与下式中的2x2对应2x2+2log2（x2﹣1）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出x1+x2，只须将5﹣2x1化为2（t﹣1）的形式，则2x1=7﹣2t，t=x2【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C【点评】本题涉及的是两个非整式方程，其中一个是指数方程，一个是对数方程，这两种方程均在高考考纲范围之内，因此此题中不用分别解出两个方程，分别求出x1，x2，再求x1+x2，这样做既培养不了数学解题技巧，也会浪费大量时间．10．（5分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．11．（5分）（2015秋•辽宁校级期末）设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f （﹣x）+f（x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，那么m2+n2的取值范围是（）A．（9，49） B．（13，49）C．（9，25） D．（3，7）【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据对于任意的x都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，不等式可化为f（m2﹣6m+21）＜f（﹣n2+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，确定（m ﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的取值范围，利用m2+n2表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方，即可求得m2+n2的取值范围．【解答】解：∵对于任意的x都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，∴f（m2﹣6m+21）＜﹣f（n2﹣8n）=f（﹣n2+8n），∵f（x）是定义在R上的增函数，∴m2﹣6m+21＜﹣n2+8n，∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4∵（m﹣3）2+（n﹣4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2，∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的取值范围为（5﹣2，5+2），即（3，7），∵m2+n2表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方，∴m2+n2的取值范围是（9，49）．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定圆内的点到原点距离的取值范围．12．（5分）（2005•黑龙江）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A．B．2+C．4+D．【考点】棱锥的结构特征．【专题】计算题；压轴题．【分析】底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．【解答】解：由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小．于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1 （1即小钢球的半径），所以可知正四棱锥的高的最小值为（+1）×4=4+，故选 C．【点评】小正四面体是由球心构成的，正四面体的中心到底面的距离等于小正四面体的中心到底面的距离再加上小钢球的半径1．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2015秋•辽宁校级期末）函数y=log a（x﹣1）+8（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）= 27 ．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】利用y=log a1=0可得定点P，代入幂函数f（x）=xα即可．【解答】解：对于函数y=log a（x﹣1）+8，令x﹣1=1，解得x=2，此时y=8，因此函数y=log a（x﹣1）+8的图象恒过定点P（2，8）．设幂函数f（x）=xα，∵P在幂函数f（x）的图象上，∴8=2α，解得α=3．∴f（x）=x3．∴f（3）=33=27．故答案为27．【点评】本题考查了对数函数的性质和幂函数的定义，属于基础题．14．（5分）（2015秋•内蒙古校级期末）直线（2m+1）x+（3m﹣2）y+1﹣5m=0被圆x2+y2=16截得弦长的最小值为．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】由圆的标准方程找出圆心的坐标和半径r，将直线方程变形后得到此直线恒过A（1，1），由题意得到直线被圆截得的弦所在的直线与直线OA垂直时，截取的弦长最短，利用两点间的距离公式求出|OA|的长，由半径r及|OA|的长，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦长的最小值．【解答】解：由圆x2+y2=16，得到圆心（0，0），半径r=4，∵直线解析式变形得：（2m+1）（x﹣1）+（3m﹣2）（y﹣1）=0，∴直线恒过A（1，1），即|OA|=，则截得弦长的最小值为2=2．故答案为：2【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，恒过顶点的直线方程，垂径定理及勾股定理，根据题意得出直线被圆截得的弦所在的直线与直线OA垂直时，截取的弦长最短是解本题的关键．15．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是＜a≤1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合．【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式，解之可得答案．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至多1个单位，故0＜a≤1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得＜a≤1，故答案为：＜a≤1【点评】本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．16．（5分）（2015秋•辽宁校级期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中正确的序号是①②③．①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等．【考点】棱柱的结构特征．【专题】综合题；运动思想；分析法；空间位置关系与距离．【分析】由线面垂直证得两线垂直判断①；由线面平行的定义证得线面平行判断②；由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断③；由B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等．【解答】解：对于①，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，故①正确；对于②，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故②正确；对于③，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故③正确；对于④，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF 的面积相等不正确，故④错误．∴正确命题的序号是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（10分）（2015秋•辽宁校级期末）设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，17．a为实数，（1）分别求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若B∩C=C，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题（1）先求出集合B的补集，再求出A∪（∁U B），得到本题结论；（2）由B∩C=C 得到C⊆B，再比较区间的端点，求出a的取值范围，得到本题结论．【解答】解：（1）∵A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，∴∁u B={x|x≤2或x≥4}，∴A∩B={x|2＜x≤3}，A∪（∁U B）={x|x≤3或x≥4}．（2）∵B∩C=C，∴C⊆B．∵B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，∴2＜a，a+1＜4，∴2＜a＜3．【点评】本题考查了集合运算的知识，本题难度不大，属于基础题．18．（12分）（2015春•武进区期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）设C（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．【点评】本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）（2015秋•辽宁校级期末）已知如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC，且AB⊥AC，M是面CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上．（Ⅰ）若P为A1B1中点，求证：NP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：PN⊥AM．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；向量法；立体几何．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出NP∥平面ACC1A1．（2）求出=（0，2，1），=（0，1，﹣2），利用向量法能证明PN⊥AM．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=AC=2，AB=2a，则B（2a，0，0），C（0，2，0），N（a，1，0），P（a，0，2），=（0，﹣1，2），平面ACC1A1的法向量=（1，0，0），=0，∵NP⊄平面ACC1A1，∴NP∥平面ACC1A1．（2）M（0，2，1），=（0，2，1），又=（0，1，﹣2），∴=0+2﹣2=0，∴⊥，∴PN⊥AM．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2013•桃城区校级一模）如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB．点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，由条件求得M、N两点的坐标，即可求得以MN为直径的圆的方程．（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，y0），求得 M（4，）、N（4，），以及MN的值，求得MN的中点，坐标为（4，），由此求得以MN为直径的圆截x轴的线段长度为2，化简可得结果．【解答】解：（Ⅰ）以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如直角坐标系，由于⊙O的方程为x2+y2=4，直线L的方程为x=4，∠PAB=30°，∴点P的坐标为（1，），∴l AP：y=（x+2），l BP：y=﹣（x﹣2）．将x=4代入，得M（4，2），N（4，﹣2）．∴MN的中点坐标为（4，0），MN=4．∴以MN为直径的圆的方程为（x﹣4）2+y2=12．同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是（x﹣4）2+y2=12．…（6分）（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，y0），则+=4 （y0≠0），∴=4﹣．∵直线AP：y=（x+2），直线BP：y=（x﹣2），将x=4代入，得y M=，y N=．∴M（4，）、N（4，），MN=|﹣|=，故MN的中点坐标为（4，﹣）．以MN为直径的圆截x轴的线段长度为2=•=•==4为定值．再根据以MN为直径的圆O′的半径为2，AB的中点O到直线MN的距离等于4，故O′为线段MN的中点，可得⊙O′必过⊙O 内定点（4﹣2，0）．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．21．（12分）（2015秋•辽宁校级期末）如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB 的两侧，使∠CAB=，∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．P为AC的动点，根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥D﹣ABC的体积．（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥B P；（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】（1）根据圆的性质求出△ABD的面积，利用面面垂直的性质得出OC⊥平面ABD，代入棱锥的体积公式计算；（2）利用三线合一和面面垂直的性质证明DE⊥平面ABC；（3）取的中点G，BD的中点M，连结FM，FG，MG，则可证平面FMG∥平面ACD，故而F G∥平面ACD．【解答】解：（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，∵AB=2，∠DAB=，∴AD=，BD=，∴S△ABD=AD•BD=．∵∠CAB=，∴OC⊥AB，OC=AB=1．在图乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面ABD，∴V D﹣ABC=V C﹣ABD===．（2）∵OA=OD，∠DAB=，∴△OAD是等边三角形，∵E是OA中点，∴DE⊥OA，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，DE⊥AB，∴DE⊥平面ABC，∵BP⊂平面ABC，∴DE⊥BP．（3）上存在一点G，满足=，使得FG∥平面ACD，理由如下：取BD中点M，连结FM，MG，FG，则MG⊥BD，∴MG∥AD，∵F，M分别是BC，BD的中点，∴FM∥CD，∵FM⊂平面FMG，MG⊂平面FMG，CD⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，AD∩CD=D，FM∩MG=M，∴平面FMG∥平面ACD，∵FG⊂平面FMG，∴FG∥平面ACD．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．22．（12分）（2015秋•辽宁校级期末）设函数，其中a为常数（1）当f（2）=f（1）+2时，求a的值；（2）当x∈[1，+∞）时，关于x的不等式f（x）≥x﹣1恒成立，试求a的取值范围；（3）若a∈R，试求函数y=f（x）的定义域．【考点】函数恒成立问题．【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用．【分析】（1）直接代入，解方程即可；（2）不等式可整理为，只需求出右式的最大值即可．利用换元法令t=2x，t∈[2，+∞）得出，根据定义法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值；（3）利用换元法m=2x（m＞0）即m2+a•m+1＞0，对二次不等式m2+a•m+1＞0分类讨论，求出函数的定义域即可．【解答】解：（1）．f（2）=f（1）+2⇒log2（1+4a+16）=log2（1+2a+4）+log24⇒log2（17+4a）=log24（5+2a）⇒17+4a=20+8a⇒…（3分）（2）1 +a•2x+4x≥2x﹣1⇒令t=2x∵x∈[1，+∞）∴t∈[2，+∞）设，2≤t1＜t2∴∵（t2﹣t1）＞0，t1t2﹣1＞0，t1t2＞0∴h（t1）＞h（t2）∴h（t）在[2，+∞）上为减函数，∴t=2时，有最大值为﹣2∴a≥﹣2…（8分）（3）1+a•2x+4x＞0⇒令m=2x（m＞0）即m2+a•m+1＞0①当△=a2﹣4＜0⇒﹣2＜a＜2m∈R⇒x∈R②当△=a2﹣4=0⇒a=2或a=﹣2若a=2，（m+1）2＞0又m＞0⇒x∈R若a=﹣2，（m﹣1）2＞0又m≠1⇒x∈{x|x≠0，x∈R}③当△=a2﹣4＞0⇒a＞2或a＜﹣2设g（m）=m2+a•m+1而g（0）=1＞0若a＞2，而m＞0⇒x∈R若a＜﹣2，而m＞0⇒⇒⇒综上：①当a＞﹣2时 f（x）定义域为R②当a≤﹣2时f（x）定义域为…（14分）【点评】考查了利用换元法和根据函数单调性判断函数的最值，对复合函数，利用对二次不等式的分类讨论求函数的定义域问题．难点是分类讨论．。

2015-2016学年辽宁实验中学高一（下）6月月考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．=（）A．B． C．D．2．设表示向东走10km，表示向北走10km，则表示（）A．向南偏西30°走20km B．向北偏西30°走20kmC．向南偏东30°走20km D．向北偏东30°走20km3．在平面直角坐标系中O（0，0），P（1，2），将向量按逆时针旋转后，得向量，则Q的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）4．一学生在河岸紧靠河边笔直行走，经观察，在和河对岸靠近河边有一参照物与学生前进方向成30度角，学生前进200米后，测得该参照物与前进方向成75度角，则河的宽度为（）A．50（+1）米B．100（+1）米C．50米D．100米5．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．8 B．9 C．10 D．116．求值：4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．2﹣1 D．7．函数y=﹣cos（﹣）的单调递增区间是（）A．[2kπ﹣π，2kπ+π]（k∈Z）B．[4kπ﹣π，4kπ+π]（k∈Z）C．[2kπ+π，2kπ+π]（k∈Z）D．[4kπ+π，4kπ+π]（k∈Z）8．函数y=3sin3x（≤x≤）与函数y=3的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是（）A．2πB．2 C．4πD．49．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（）A．（3，5）B．（）C．（）D．（）10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=2，A=60°，若三角形两解，则b 的取值范围为（）A．（1，2）B．（1，）C．（）D．（2，）11．一个总体中的100个个体的号码分别为0，1，2，…，99，依次将其均分为10个小组，要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定：如果在第1组（号码为0﹣9）中随机抽取的号码为m，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的个位数字为m+k﹣1或m+k﹣11（如果m+k≥11），若第6组中抽取的号码为52，则m为（）A．6 B．7 C．8 D．912．在等腰三角形ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，点E为斜边BC的中点，点M在线段AB上运动，则•的取值范围是（）A．[，]B．[，1] C．[，1]D．[0，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=．14．在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．15．已知△ABC内接于单位圆，且△ABC面积为，则长为sinA，sinB，sinC的三条线段构成的三角形的面积为．16．若x是三角形内的一个最小角，则函数y=的取值范围．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．18．某校高一年级抽出100名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图频率分布直方图，由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：（1）这100名学生数学成绩在[60，90]的人数约为多少人；（2）这100名学生成绩的众数与中位数；（3）这100名学生的平均成绩．（四舍五入保留1位小数）19．已知向量=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），函数f（x）=•cos2x．（1）求函数f（x）的解析式及在[0，2π]的单调增区间；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．20．在如图所示的程序框图中，记所有的x的值组成的集合为A，由输出的数据y组成的集合为B．（1）分别写出集合A、B；（2）在集合A中任取一个元素a，在集合B中任取一个元素b，求所得的两数满足a＞b的概率．21．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．22．已知函数f（x）=4sin cos，其中常数ω＞0．（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）若ω＜4，将函数y=f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1的单位，得到函数y=g（x）的图象，且过P（），求g（x）的解析式；（3）在（2）问下，若函数g（x）在区间[a，b]（a、b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含20个零点，在所以满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．2015-2016学年辽宁实验中学高一（下）6月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．=（）A．B． C．D．【考点】诱导公式的作用．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．【解答】解：原式=cos（﹣3π﹣）=﹣cos（﹣）=﹣cos=﹣．故选：A．2．设表示向东走10km，表示向北走10km，则表示（）A．向南偏西30°走20km B．向北偏西30°走20kmC．向南偏东30°走20km D．向北偏东30°走20km【考点】向量的减法及其几何意义．【分析】根据已知求出的模和与的夹角，即可得到表示几何意义．【解答】解：∵||=10，||=10，⊥，∴||2=||2+||2﹣2•=100+300=400，∴||=20，∴与的夹角为30°，∴则表示南偏西30°走20 km，故选：C3．在平面直角坐标系中O（0，0），P（1，2），将向量按逆时针旋转后，得向量，则Q的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）【考点】向量的几何表示．【分析】设Q（x，y），由题意可得：=，x+2y=0，联立解出即可得出．【解答】解：设Q（x，y），则=，x+2y=0，解得，∴Q（﹣2，1）．故选：A．4．一学生在河岸紧靠河边笔直行走，经观察，在和河对岸靠近河边有一参照物与学生前进方向成30度角，学生前进200米后，测得该参照物与前进方向成75度角，则河的宽度为（）A．50（+1）米B．100（+1）米C．50米D．100米【考点】解三角形的实际应用．【分析】通过已知条件求出∠ACB，利用正弦定理求出BC，然后求解河的宽度．【解答】解：如图所示，在△ABC中∠BAC=30°，∠ACB=75°﹣30°=45°，AB=200由正弦定理，得BC==100所以，河的宽度为BCsin75°=100×=50（+1）米，故选：A．5．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】循环结构．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件，跳出循环，计算输出s的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，s=﹣1+1=0，；第二次循环n=2，s=0+1+2=3；第三次循环n=3，s=3﹣1+3=5；第四次循环n=4，s=5+1+4=10．满足条件s＞9，跳出循环，输出s=10．故选：C．6．求值：4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．2﹣1 D．【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简，同角三角函数间的基本关系切化弦，再利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，整理可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°====•=•=，故选：B．7．函数y=﹣cos（﹣）的单调递增区间是（）A．[2kπ﹣π，2kπ+π]（k∈Z）B．[4kπ﹣π，4kπ+π]（k∈Z）C．[2kπ+π，2kπ+π]（k∈Z）D．[4kπ+π，4kπ+π]（k∈Z）【考点】余弦函数的图象．【分析】先利用诱导公式化简函数的解析式为y=cos（﹣），再根据余弦函数的单调性求出它的单调区间．【解答】解：函数y=﹣cos（﹣）=cos（π+﹣）=cos（﹣），令2kπ﹣π≤﹣≤2kπ，k∈z，求得4kπ+≤x≤4kπ+，k∈z，故函数的单调递增区间为[4kπ+π，4kπ+π]，k∈z，故选：D．8．函数y=3sin3x（≤x≤）与函数y=3的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是（）A．2πB．2 C．4πD．4【考点】定积分．【分析】利用正弦函数图象的对称性可把所要求图形的面积转化为矩形，代入数据计算即可．【解答】解：根据正弦函数的对称性可得，曲线从x=到x=与x 轴围成的面积与从x=到x=与x 轴围成的面积相等，把x 轴下方的阴影部分补到x 轴上方函数y=3sin3x 的图象与函数y=2的图象围成一个封闭图形可转化为以3及为边长的矩形所求的面积S=3×=2π，故选：A9．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．（3，5）B ．（）C ．（）D ．（） 【考点】三角形中的几何计算．【分析】由△ABC 的三边长，根据余弦定理的推论得到△ABC 为锐角三角形时余弦值大于0，列出不等式组即可求出a 的取值范围．【解答】解：∵△ABC 三边长分别为1、2、a ， 且△ABC 为锐角三角形，当2为最大边时2≥a ，设2所对的角为α，根据余弦定理得：cos α=＞0，∵a ＞0， ∴a 2﹣3＞0，解得2≥a ＞；当a 为最大边时a ＞2，设a 所对的角为β，根据余弦定理得：cos β=＞0，∴5﹣a 2＞0，解得：2＜a ＜，综上，实数a 的取值范围为（，）．故选：B ．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=2，A=60°，若三角形两解，则b 的取值范围为（ ）A ．（1，2）B ．（1，） C ．（） D ．（2，）【考点】解三角形．【分析】△ABC 有两解时需要：bsinA ＜a ＜b ，代入数据，求出b 的范围． 【解答】解：由题意得，△ABC 有两解时需要：bsinA ＜a ＜b ，则bsin60°＜2＜b ，解得2＜b ＜；故选：D ．11．一个总体中的100个个体的号码分别为0，1，2，…，99，依次将其均分为10个小组，要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定：如果在第1组（号码为0﹣9）中随机抽取的号码为m，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的个位数字为m+k﹣1或m+k﹣11（如果m+k≥11），若第6组中抽取的号码为52，则m为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】系统抽样方法．【分析】利用系统抽样，而第6组中抽取的号码为52，则k为6，再根据第k组中抽取的号码的个位数字为m+k﹣1或m+k﹣11，从而可得m的值．【解答】解：第6组中抽取的号码为52，∴k=6，∵第k组中抽取的号码的个位数为m+k﹣1或m+k﹣11，∴m+6﹣11=2或m+6﹣1=2，解得m=7或m=﹣3（舍），∴m=7．故选：B12．在等腰三角形ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，点E为斜边BC的中点，点M在线段AB上运动，则•的取值范围是（）A．[，]B．[，1] C．[，1]D．[0，1]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AB，AC所在直线为y，x轴建立直角坐标系，分别求得A，B，C，E的坐标，再设M的坐标，求出向量ME，MC的坐标，再由数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求法即可得到．【解答】解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线为y，x轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（1，0），E（，），设M（0，m），（0≤m≤1）．则=（，﹣m），=（1，﹣m），=﹣m（﹣m）=m2﹣m+=（m﹣）2+，由于∈[0，1]，则取得最小值，且为，当m=1时，取得最大值，且为1．则有•的取值范围是[，1]．故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=3．【考点】向量的模．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值．【解答】解：=9=9，∴||=3，故答案为：3．14．在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是从5个点取三个有C53种取法，要求三点能构成三角形不好判断，我们从它的对立事件来考虑，先观察出共线的点，用总事件数减去，最后用古典概型公式得到结果．【解答】解析：从5个点取三个有C53种取法，由已知：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2）得A、C、E三点都在直线y=x上即三点共线，B、C、D三点都在直线y=﹣x+2上即三点共线，∴五点中任选三点能构成三角形的概率为故答案为：．15．已知△ABC内接于单位圆，且△ABC面积为，则长为sinA，sinB，sinC的三条线段构成的三角形的面积为．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，利用面积为原来三角形面积，可得长为sinA，sinB，sinC的三条线段构成的三角形的面积为．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC∵a，b，c为三角形的三边∴sinA，sinB，sinC也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积，∴长为sinA，sinB，sinC的三条线段构成的三角形的面积为．故答案为：．16．若x是三角形内的一个最小角，则函数y=的取值范围．【考点】三角函数的最值．【分析】本题属于三角函数求值域类型．利用换元法设t=sinx+cosx，且求出t的范围，再利用对勾函数的性质得出y=在1＜t≤上为增函数．【解答】解：由题意知，x是三角形内的一个最小内角，∴0＜x≤60°令t=sinx+cosx，等式两边平方得：sinxcosx=∵t=sinx+cosx （0＜x≤60°）=sin（x+45°）∴1＜t≤∴y===∵在1＜t≤上是增函数∴y=的取值范围为（1，]故答案为：（1，]三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=2ac，解得a=c=．==1．∴S△ABC18．某校高一年级抽出100名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图频率分布直方图，由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：（1）这100名学生数学成绩在[60，90]的人数约为多少人；（2）这100名学生成绩的众数与中位数；（3）这100名学生的平均成绩．（四舍五入保留1位小数）【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分别直方图，求出成绩在[60，90]的频率，即可求出对应的人数；（2）由众数是出现次数最多的数，在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求；由中位数是所有数据中的中间值，在频率分布直方图中是左右两边频数应相等，即频率也相等，即小矩形的面积和相等；在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求；（3）样本平均值是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．【解答】解：（1）根据频率分别直方图，学生数学成绩在[60，90]的频率为0.02×10+0.03×10+0.024×10=0.74，所求的学生人数约为100×0.74=74（人）；（2）由众数是出现次数最多的数，在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以由频率分布直方图得众数应为=75；由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等；∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，∴前三个小矩形面积的和为0.3．而第四个小矩形面积为0.03×10=0.3，0.3+0.3＞0.5，∴中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x=0.2得x≈6.7，故中位数约为70+6.7=76.7；（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可；∴平均成绩为45×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.021×10）+95×（0.016×10）≈73.7．19．已知向量=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），函数f（x）=•cos2x．（1）求函数f（x）的解析式及在[0，2π]的单调增区间；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的最值．【分析】（1）根据向量的数量积公式和两角和与差的正弦和余弦公式，以及二倍角公式，化简即可求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可求出答案，（2）根据正弦函数的单调性即可求出函数的值域．【解答】解：（1）∵向量=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），∴函数f（x）=•cos2x=cos（2x+）+sin2x﹣cos2x=cos2x+sin2x+（1﹣cos2x）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即f（x）在区间[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）上单调递增，又x∈[0，2π]，∴f（x）在[0，]，[，]上单调递增；（2）由（1）可知，f（x）在[0，]上单调递增，∴f（0）=sin（﹣）+=0，f（）=sin（﹣）+=，∴当x∈[0，]时，函数f（x）的值域为[0，]．20．在如图所示的程序框图中，记所有的x的值组成的集合为A，由输出的数据y组成的集合为B．（1）分别写出集合A、B；（2）在集合A中任取一个元素a，在集合B中任取一个元素b，求所得的两数满足a＞b的概率．【考点】程序框图．【分析】（1）根据流程图进行逐一进行运行，求出集合A和集合B即可；（2）先求出基本事件的总数，然后讨论满足“a＞b”时包含基本事件，最后根据古典概型公式求出该概率即可．【解答】解：（1）由框图可知A={2，6，8，10}，B={1，5，7，9}．（2）其中基本事件的总数为4×4=16，设两数中满足“a＞b”为事件E，当a=2时，b=1；当a=6时，b=1，5；当a=8时，b=1，5，7；当a=10时，b=1，5，7，9；事件E包含基本事件为11，则P（E）=．21．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．【解答】解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．22．已知函数f（x）=4sin cos，其中常数ω＞0．（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）若ω＜4，将函数y=f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1的单位，得到函数y=g（x）的图象，且过P（），求g（x）的解析式；（3）在（2）问下，若函数g（x）在区间[a，b]（a、b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含20个零点，在所以满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）根据正弦型函数的性质，可得在ω＞0时，区间[﹣，]是函数y=2sinωx的一个单调递增区间，结合已知中函数y=2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上单调递增，推出一个关于ω的不等式组，解不等式组，即可求出实数ω的取值范围．（2）由（1）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换g（x）=2sin（ωx+ω）+1，由g（x）的图象过P（），可解得ω=2k，k∈Z，结合范围0＜w＜4，可求ω，即可得解g（x）的解析式．（3）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的零点，求出x的值，可得b﹣a的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=4sin cos=2sinωx，由正弦函数的性质，在ω＞0时，当x=﹣，函数取得最小值，x=函数取得最大值，所以，区间[﹣，]是函数y=2sinωx的一个单调递增区间，若函数y=2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上单调递增，则﹣≤，且≥，解得0＜ω≤，（2）∵由（1）可得：f（x）=2sinωx，∴将函数y=f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1的单位，得到函数y=g（x）=2sin（ωx+ω）+1的图象，∵g（x）的图象过P（），∴1=2sin（ω+ω）+1，可得：2sinω=0，解得：ω=kπ，k∈Z，即：ω=2k，k∈Z，∵0＜w＜4，∴ω=2，可得g（x）的解析式为：g（x）=2sin（2x+）+1．（3）∵g（x）=2sin（2x+）+1．∴g（x）的周期为T==π，在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少有20个零点，即sin（2x+）=﹣在[a，b]上至少有20个解．∴有2x+=2kπ﹣，或2x+=2kπ﹣，解得：x=kπ﹣，或x=kπ﹣，令k从0取到9，可得x的最小值为a=﹣，x的最大值b=，在所有满足上述条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为+=．2016年12月1日。

2015-2016学年辽宁省实验中学、鞍山一中、东北育才中学、大连八中、二十四中等校高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则下列结论正确的是（）A．﹣1∈A B．3∉B C．A∪B＝B D．A∩B＝B 2．（5分）已知复数z＝（）A．|z|＝2B．＝1﹣iC．z的实部为1D．z+1为纯虚数3．（5分）以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）A．①﹣综合法，②﹣分析法B．①﹣分析法，②﹣综合法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法4．（5分）幂函数y＝f（x）经过点（5，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数5．（5分）已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）＝0，则f（x+1）＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于定义域内可导函数f（x），如果总有f′（x）＜0，那么f（x）在定义域内单调递减；因为函数f（x）＝满足在定义域内导数值恒负，所以，f（x）＝在定义域内单调递减，以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确7．（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为＝﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A．变量x，y之间呈现负相关关系B．m＝4C．可以预测，当x＝11时，y＝2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）8．（5分）设函数f（x）＝（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为A，B，若集合{（x，y）|x∈A，y∈B}对应的平面区域是正方形区域，则实数a，b，c满足（）A．|a|＝4B．a＝﹣4且b2+16c＞0C．a＜0且b2+4ac≤0D．以上说法都不对9．（5分）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则|AB|2+|AC|2＝|BC|2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则可得”（）A．|AB|2+|AC|2+|AD|2＝|BC|2+|CD|2+|BD|2B．S2△ABC×S2△ACD×S2△ADB＝S2△BCDC．S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2D．|AB|2×|AC|2×|AD|2＝|BC|2×|CD|2×|BD|210．（5分）已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（，），并定义|（x，y）|＝，若|f[f（f（x，y））]|＝8，则|（x，y）|的值为（）A．4B．8C．16D．3211．（5分）已知函数f（x）＝，其导函数记为f′（x），则f（2016）+f′（2016）+f（﹣2016）﹣f′（﹣2016）＝（）A．2016B．0C．1D．212．（5分）已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f′（x）满足＞0，y＝关于直线x＝1对称，则不等式＜f（0）的解集是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，0）∪（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形，它有一定的规律性，第2016个三角形与第2015个三角形的差为．14．（5分）设函数f（x）＝，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是．15．（5分）正偶数列有一个有趣的现象：①2+4＝6②8+10+12＝14+16；③18+20+22+24＝26+28+30，…按照这样的规律，则2016在第个等式中．16．（5分）若函数f（x）＝x4+2x3+4x2+cx的图象关于直线x＝m对称，则f（x）的最小值是．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知x为实数，复数z＝（x2+x﹣2）+（x2+3x+2）i．（Ⅰ）当x为何值时，复数z为纯虚数？（Ⅱ）当x＝0时，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝﹣mx+n上，其中mn＞0，求+的最小值及取得最值时的m、n值．18．（12分）我国人口老龄化问题已经开始凸显，只有逐步调整完善生育政策，才能促进人口长期均衡发展，十八届五中全会提出“二胎全面放开”政策．为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，其中男女比例为3：2，被调查的男性公务员中，表示有意愿生二胎的占；被调查的女性公务员中表示有意愿要二胎的占．（1）根据调查情况完成下面2×2列联表（2）是否有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由：参考公式：K2＝．其中n＝a+b+c+d．临界值表19．（12分）设常数a∈R，函数f（x）＝（﹣x）|x|．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+m＞f[f（x）]对所有的x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x＞0，都有f′（x）＞．（Ⅰ）判断函数F（x）＝在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣2x+alnx．（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x2）＞﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，P A、PC切⊙O于A、C，PBD为⊙O的割线．（1）求证：AD•BC＝AB•DC；（2）已知PB＝2，P A＝3，求△ABC与△ACD的面积之比．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015-2016学年辽宁省实验中学、鞍山一中、东北育才中学、大连八中、二十四中等校高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵2x＞0，∴y＝2x﹣1＞﹣1，∴集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝（﹣1，+∞）．B＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝（2，+∞），则下列结论正确的是A∩B＝B．故选：D．2．【解答】解：z＝＝，∴z+1＝i为纯虚数．故选：D．3．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①﹣综合法，②﹣分析法，故选：A．4．【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，∵幂函数y＝f（x）经过点（5，），∴5α＝，∴α＝，∴f（x）＝，∴f（x）是非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：D．5．【解答】解：由f（x）的图象关于x＝1对称，f（0）＝0，可得f（2）＝f（0）＝0，当x+1≥1时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（2），由f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得：x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①当x+1＜1即x＜0时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（0），由f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，可得：x+1＞0，解得x＞﹣1，即有﹣1＜x＜0②由①②，可得解集为（﹣1，1）．故选：B．6．【解答】解：∵对于定义域内连续且可导函数f（x），如果总有f′（x）＜0，那么f（x）在定义域内单调递减，∴大前提错误，故选：A．7．【解答】解：＝＝9，∴＝﹣0.7×9+10.3＝4．∴，解得m＝5．故B选项错误．故选：B．8．【解答】解：设y＝ax2+bx+c与x轴相交于两点（x1，0），（x2，0），a＜0．则，x1x2＝．∴|x1﹣x2|＝＝＝．由题意可得：，由＝，解得a＝﹣4．∴实数a，b，c满足a＝﹣4，△＝b2+16c＞0，故选：B．9．【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：S BCD2＝S ABC2+S ACD2+S ADB2．故选：C．10．【解答】解：∵映射f：（x，y）→（，），∴f[f（f（x，y））]＝f（f（，））＝f（，）＝（，），∵定义|（x，y）|＝，若|f[f（f（x，y））]|＝8，∴|（，）|＝8，∴＝8，∴|（x，y）|的值为16，故选：C．11．【解答】解：f（x）＝＝1+，∴f′（x）＝，∵设h（x）＝∴h（﹣x）＝﹣h（x），∵f′（﹣x）＝f′（x），∴f′（﹣x）为偶函数，∴f（2016）+f′（2016）+f（﹣2016）﹣f′（﹣2016）＝1+h（2016）+1+h（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）＝2，故选：D．12．【解答】解：令g（x）═，∴，∵＞0，当x＞1时，f′（x）﹣f（x）＞0则g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单增；当x＜1时，f′（x）﹣f（x）＜0则g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单减；∵g（0）＝f（0），∴不等式＜f（0）即为不等式g（x2﹣x）＜g（0），∵y＝关于直线x＝1对称，∴0＜x2﹣x＜2，解得﹣1＜x＜0或1＜x＜2故选：C．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：由已知中：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，…故a n＝1+2+3+…+n＝，∴第2016个三角形与第2015个三角形的差为2016．故答案为；2016．14．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）＝2x+a，为增函数，当x≤2时，函数f（x）＝+a2，为增函数，若f（x）的值域为R，则满足当x＞2时的范围小于或等于当x≤2时的最大值，即22+a≤（﹣2）+a2，即4+a≤+a2＝2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，得a≥2或a≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）15．【解答】解：①2+4＝6；②8+10+12＝14+16；③18+20+22+24＝26+28+30，…其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]＝2n2，当n＝31时，等式的首项为1922，所以2016在第31个等式中故答案为：31．16．【解答】解：一般地，四次函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）（x﹣d）＝x4﹣（a+b+c+d）x3+mx2+nx+abcd的图象，关于直线x＝（a+b+c+d）对称，故函数f（x）＝x4+2x3+4x2+cx的图象关于直线x＝﹣对称，由函数解析式的常数项为0，可得函数有一零点为0，则﹣1也必为函数的一个零点，故c＝3，∴函数f（x）＝x4+2x3+4x2+3x＝（x2+x）（x2+x+3）＝[（x2+x）+]2﹣，由x2+x≥得：当x2+x＝，即x＝﹣时，函数取最小值﹣，故答案为：﹣．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（Ⅰ）复数z为纯虚数，∴，解得x＝1．（Ⅱ）当x＝0时，复数z（﹣2，2），复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝﹣mx+n上，∴2m+n＝2，∵mn＞0，∴+＝（+）（m+）＝当且仅当n2＝2m2等号成立，又2m+n＝2，∴m＝2﹣，n＝2﹣2．18．【解答】解：（1）∵某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，其中男女比例为3：2，被调查的男性公务员中，表示有意愿生二胎的占；被调查的女性公务员中表示有意愿要二胎的占．∴被调查的男性公务员，有60人，表示有意愿生二胎的占，有50人；被调查的女性公务员，40人，表示有意愿要二胎的占，有15人，2×2列联表（2）K2＝≈22.16＞6.635∴有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”．19．【解答】解（1）当a＝1，时，f（x）＝（1﹣x）|x|＝；当x≥0时，f （x）在内是增函数，在内是减函数；x＜0时，f（x）在（﹣∞，0）内是减函数．综上所述，f（x）的单调递增区间，单调减区间为；（2）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）＝﹣f（1），解得a＝0；f（x）＝﹣x|x|，f[f（x）]＝x3|x|，即m＞对所有的x∈[﹣2，2]恒成立x2+1∈[1，5]；∴m＞20．【解答】解：（Ⅰ）对F（x）求导数，得F′（x）＝，∵f′（x）＞，x＞0，∴xf′（x）＞f（x），即xf′（x）﹣f（x）＞0，∴F′（x）＞0，故F（x）＝在（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1+x2．由（Ⅰ），知F（x）＝在（0，+∞）上是增函数，∴F（x1）＜F（x1+x2），即＜，∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2），同理可得f（x2）＜f（x1+x2），以上两式相加，得f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x1，x2，…，x n∈（0，+∞），其中n≥2，则f（x1）+f（x2）+…+f（x n）＜f（x1+x2+…+x n）．∵x1＞0，x2＞0，…，x n＞0，∴0＜x1＜x1+x2+…+x n．由（Ⅰ），知F（x）＝在（0，+∞）上是增函数，∴F（x1）＜F（x1+x2+…+x n），即＜．∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2+…+x n）．同理可得f（x2）＜f（x1+x2+…+x n），f（x3）＜f（x1+x2+…+x n），…f（x n）＜f（x1+x2+…+x n），以上n个不等式相加，得f（x1）+f（x2）+…+f（x n）＜f（x1+x2+…+x n）．21．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2x+alnx，f（x）的定义域为（0，+∞），求导数得：f′（x）＝，∵f（x）有两个极值点x1，x2，f′（x）＝0有两个不同的正根x1，x2，故2x2﹣2x+a＝0的判别式△＝4﹣8a＞0，即a＜，且x1+x2＝1，x1•x2＝＞0，所以a的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x2＜1且f′（x2）＝0，得a＝2x2﹣2x22，∴f（x2）＝x22﹣2x2+（2x2﹣2x22）lnx2，令F（t）＝t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt，（＜t＜1），则F′（t）＝2（1﹣2t）lnt，当t∈（，1）时，F′（t）＞0，∴F（t）在（，1）上是增函数∴F（t）＞F（）＝，∴f（x2）＞﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】证明：（1）∵P A是⊙O的切线，由弦切角定理得∠P AB＝∠ADB，∵∠APB为△P AB与△P AD的公共角，∴△P AB∽△PDA，∴＝，同理＝，又P A＝PC，∴，∴AD•BC＝AB•DC；（2）由圆的内接四边形的性质得∠ABC+∠ADC＝π，∴S△ABC＝AB•BC•sin∠ABC，S△ADC＝AD•DC•sin∠ADC，∴＝＝＝＝[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．【解答】解：（1）∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程是：y2＝8x．（2）直线的参数方程标准形式为，代入y2＝8x得3t2＝8（2+t），即3t2﹣16t﹣64＝0．设AB对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝，t1t2＝﹣．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（1）记f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|＝，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M＝（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×＝．…（6分）（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2＝（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）＝（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）。

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高一数学下学期期末考试试题第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一．选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间),2(ππ上为减函数的是（ ）A.x y sin =B.x y sin 2=C.2cos xy = D.x y tan =2．某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。

现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k 80050==16，即每16人抽取一个人。

在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是( )A ．39B ． 40C ．37D ． 383．已知2)tan(-=-απ，则αα22cos 2sin 1-=（ ）A ．2B ．52 C ． 25D ．3 4.设向量(cos 25,sin 25),(sin 20,cos 20)a b →→==oooo,若()c a t b t R →→→=+∈,则2()c r 的最小值为A ．2 B.1 C.22D.215．函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A ． 3,1- B . 2,2- C. 33,2- D. 32,2- 6.下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）．A ．2B ．1C ． 3D ．4 7.已知31)6sin(=+απ，则)232cos(απ-的值等于（ ） A ．－59 B ．－79 C ．59 D ．798．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，下列事件的概率：(1)豆子落在红色区域概率为49； (2)豆子落在黄色区域概率为13；(3)豆子落在绿色区域概率为29； (4)豆子落在红色或绿色区域概率为13；(5)豆子落在黄色或绿色区域概率为49.其中正确的结论有( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．若函数R x x x x f ∈+=,cos 3sin )(ωω，又0)(,2)(=-=βαf f ，且βα-的最小值为43π，则正数ω的值是（ ） A. 31 B. 23 C.34 D.32.10．设函数()sin +4f x x πωω=（）(>0)与函数()cos(2)(||)2g x x πφφ=+≤的对称轴完全相同，则φ的值为 A ．4πB ．4π-C ．2πD ．2π-11. 在ABC ∆中，点P 是AB 上一点，且2133CP CA CB =+u u u r u u u r u u u r, Q 是BC 中点，AQ 与CP 交点为M ，又CP t CM =，则t 的值为（ ）A ．21 B ．32 C ．54 D ．4312. 在ABC ∆中，若23()5CA CB AB AB +⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r ,则tan tan AB的值( )3 D. 23第Ⅱ卷 （主观题，共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）13．已知,2.1cos cos ,4.0sin sin =+=+y x y x 则cos()x y -=14. 在2012～2013赛季NBA 季后赛中，当一个球队进行完7场比赛被淘汰后，某个篮球爱好者对该队的7场比赛得分情况进行统计，如下表：场次i 1 2 3 4 5 6 7 得分i x100104981059796100为了对这个队的情况进行分析，此人设计计算σ的算法流程图如图所示(其中x 是这7场比赛的平均得分)，输出的σ的值 = ．15．在ABC ∆中,2cos 22A b c c +=（c b a ,,分别为角C B A ,,的对边），则cos 2A B+= 16.在ABC ∆中，①若A B >，则cos 2cos 2A B <；②tan tan tan 0A B C ++>,则ABC ∆是锐角三角形； ③若ABC ∆是锐角三角形，则cos sin A B <； ④若,2)tan 1)(tan 1(=++B A 则42ππ+=+k B A .以上命题的正确的是__________________.三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分）甲有大小相同的两张卡片，标有数字2,3；乙有大小相同的卡片四张，分别标有1,2,3,4； （1）求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为奇数的概率：（2）甲乙分别取出一张卡，比较数字，数字大者获胜，求乙获胜的概率。

2015-2016学年辽宁省实验中学分校高一（上）期末数学试卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=｛2015，2016}，非空集合B满足A∪B=｛2015，2016｝,则满足条件的集合B 的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．函数y=的定义域是( ）A．(1，2] B．(1，2) C．（2，+∞）D．(﹣∞，2）3．已知空间中两点A（1，2,3），B(4,2，a），且|AB｜=，则a=( )A．1或2 B．1或4 C．0或2 D．2或44．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．56+12 B．60+12 C．30+6D．28+65．直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分,且与直线﹣=1平行，则直线l的方程是（）A．2x﹣y﹣4=0 B．x+2y﹣3=0 C．2x﹣y=0 D．x﹣2y+3=06．设a,b，c均为正数，且2a=，，，则（) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c7．设m、n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β,α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α,则m⊥β③若m⊥α,m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中真命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③8．函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪(1，+∞）,且f（x+1）为奇函数，当x＞1时,f（x)=2x2﹣12x+16,则直线y=2与函数f（x）图象的所有交点的横坐标之和是（）A．1 B．2 C．4 D．59．若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1)=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．410．过点（3，1）作圆（x﹣1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=011．设f(x）是定义在R上的增函数,且对任意x，都有f（﹣x）+f（x)=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f(m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n)＜0,那么m2+n2的取值范围是（)A．（9，49） B．(13，49) C．(9，25) D．（3，7）12．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为（）A．B．2+C．4+D．二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上）13．函数y=log a（x﹣1）+8（a＞0且a≠1)的图象恒过定点P,P在幂函数f（x）的图象上，则f（3)= ．14．直线（2m+1）x+（3m﹣2）y+1﹣5m=0被圆x2+y2=16截得弦长的最小值为．15．已知函数f(x）=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是．16．如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中正确的序号是．①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等．三、解答题（本大题共6小题,共70分。

2016-2017学年辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校高一下学期期末联考数学试题（解析版）2016-2017学年辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校高一下学期期末联考数学试题一、选择题1．sin1470?=（）A.B. 12C. 12-D. 【答案】B【解析】()1sin1470sin 144030sin302?=+==，故选B. 2．设向量a 与b 的夹角为θ，且()()2,1,22,3a a b =-+=，则cos θ=（）A. 35-B. 35C.D. 【答案】A【解析】试题分析：因为()()224,2a b a b +-==，所以()2,1b = ，所以c o s 5a b a bθ?===-，故选A.【考点】1、平面向量的坐标运算；2、向量的夹角公式.3．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（） A. 16 B. 17 C. 18 D.19 【答案】C【解析】试题分析：第一组用简单随机抽样抽取的号码为，选C ．【考点】系统抽样法4．已知，则（）A.B.C.【答案】C【解析】.5．已知下列命题：（）①向量a， b不共线，则向量a b +与向量a b -一定不共线②对任意向量a， b，则||a b a b -≥-恒成立③在同一平面内，对两两均不共线的向量a ， b ， c ，若给定单位向量b 和正数λ，总存在单位向量c 和实数μ，使得a c b λμ=+则正确的序号为（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①② 【答案】D【解析】对于①，假设向量a b +与向量a b -共线，故存在常数λ使得()a b a bλ+=-成立，即()()11a b λλ-=+ ，由于向量a， b 不共线，故10{ 10λλ-=+=无解，故假设不成立，即向量a b + 与向量a b -一定不共线，故①正确；2222cos a b a a b b θ-=-+，2222a b a a b b-=-+ ，由于2c o s 2a b a b θ-≥- ，故||a b a b -≥-恒成立，即②正确；对于③，取()4,4a = ，2λ=， ()1,0b = ，无论μ取何值，向量b μ 都平行于x 轴，而向量c λ的模恒等于2，要使a c b λμ=+成立，根据平行四边形法则，向量c λ 的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故③错误；故选D.6．已知,,O A B 三地在同一水平面内， A 地在O 地正东方向2km 处， B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A. 12-B. 2C. 1-D. 12【答案】A【解析】试题分析：如图,当点设在线段上测绘结果不准确,由于,因此,由于,所以,因此测绘时得到不准确数据的概率为,所以测绘时得到准确数据的概率为,应选A.【考点】几何概型的计算公式．【易错点晴】本题将解三角形和概率有机地结合在一起,重点考查的是几何概型的计算公式和求解方法.解答时充分借助题设中提供的有效信息,以点为圆心半径为画圆,记交点为,从而将问题转化为求线段的长的问题.由于,点到的距离为,运用勾股定理求出了.然后依据题设求出得到准确数据的概率为.7．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（）A. 38m =， 12n =B. 26m =， 12n =C. 12m =， 12n =D. 24m =， 10n = 【答案】B【解析】试题分析：分析程序框图可知，n 为50名学生中成绩在[)80,+∞的人数，m 为50名学生中成绩在[)60,80的人数，而分析茎叶图即可知12n =， 26m =，故选B.【考点】1.统计的运用；2.程序框图．8．在ABC ?中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ，c .已知a b >， 5a =，6c =， 3sin 5B =，则sin 2A π?+= ??（）A.B. 45C.D.【答案】A【解析】在ABC 中，∵a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =，由已知及余弦定理，有22242cos 2536256135b ac ac B =+-=+-=，∴b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin a B A b ==sin cos 2A A π??+=== ??故选A.9．若将函数8sin2y x =的图像向左平移(0)??>个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则44cos sin ??+=（）A. 1B. 12C. 14D. 18【答案】A【解析】试题分析：将函数8sin2y x =的图像向左平移(0)??>个单位长度，得，由其图象关于原点对称得，即，当为偶数时，，当为奇数时，，故选A ．【考点】三角函数的图象变换．10．有一块半径为（是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，，在圆的直径上，，，在半圆周上，如图.设，征地面积为，当满足取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角和的最大值分别为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】连结，，在中，，，∴，∴，，，令，则，，∴，令，则在上单调递增，∴当，即时，取得最大值，故选B.点睛：本题考查了函数模型的应用，考查函数最值的计算及其几何意义，属于中档题；连结，用表示出，，代入梯形面积公式即可得出，则，令，利用换元法求出的最值及对应的. 11．已知向量,,a b c满足2,3a b a b==?=，若()2203c a c b-?-=，则b c-的最小值是（）A. 2B. 2C. 1D. 2【答案】B【解析】试题分析：建立如所示的平面直角坐标系,则由题设得(()2,60,,24,03a b OM b OD a=====, 再由题设()2203c a c b-?-=可得点（向量c对应的点,其中）在以为直径的圆上,圆心坐标为,半径,向量b对应的点为,b c -的几何意义是圆上动点与点的连线段的最小值.由于,所以b c -的最小值为.【考点】向量的知识和综合运用．【易错点晴】本题以向量的坐标形式为背景，考查的是向量的有关知识在解题中的运用.解答本题的难点是搞清b c -的几何意义,也解答好本题的关键,求解时充分借助题设条件,将所提供的有效信息进行合理的分析和利用,最后使得问题化难为简避繁就简,体现数学中转化与化归数形结合的的数学思想的理解和巧妙运用.本题中的隐含信息()2203c a c b ??-?-= ??的利用是非常关键的.12．设ABC ?中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3c o s c o s 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为（） A. 35 B. 13 C. 38 D. 34【答案】D【解析】∵3cos cos 5a Bb Ac -=，即3s i n c o ss i n c o s s i n 5A B B A C -=①∵[]s i n s i n s i n s i n c o s c o s s i nC A B A B A B A B π=-+=+=+（）（）②，将②代入①中，整理得s i nc o s4c o A B A B =，∴s i n s i n4c o s c o s A B A B =，即t a n4t a A B =；∵2t a n t a n3t a n 33t a n 11t a n t a n14t a n 44t a nt a nA B B A B A B B B B --====+++（），∴()tan A B -的最大值为34，故选D. 点睛：本题考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式、两角差的正切公式、同角的三角函数的基本关系式、均值不等式等基础知识，考查了基本运算能力；首先利用正弦定理化边为角，，然后利用诱导公式、同角的三角函数的基本关系式及两角和与差的正弦公式可得tan 4tan A B =，再根据两角差的正切公式、均值不等式求解即可.。

辽宁省实验中学分 校2014—2015学年度下学期期末考试数学学科 高一年级第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式2230x x -->的解集为 （ ）A ．3{|1}2x x x ><-或 B ．3{|1}2x x -<< C ．3{|1}2x x -<< D ．3{|1}2x x x ><-或2．若2013321,,,x x x x 的方差为3，则)2(3),2(3),2(3),2(32013321----x x x x 的方差为 （ ）A ．3B ．9C ．18D ．273．已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 （ ）A ．-2B ．2C ．2316D ．-23164．下表为某班5位同学身高x （单位：cm ）与体重y （单位kg ）的数据，若两个量间的回归直线方程为 1.16y x a =+，则a 的值为 （ ） A ．-122．2 B ．-121．04 C ．-91． D ．- 92．3 5．下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720=S ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ）A ． ?6≥kB ． ?7≥kC ． ?8≥kD ． ?9≥k6．已知,x y 为正数，且2x y +=，则21x y+的最小值为 （ ）A ． 2B ．32+．2 D ．22- 7．已知向量)2,cos 3(α=→a 与向量)sin 4,3(α=→b 平行，则锐角α等于 （ ） A ．4π B ．6π C ．3π D ．125π8．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为 （ ）A ．）（32sinπ+=x y B. ）（322sin2π+=x y C ．）（32sin π-=x y D.）（654sin 2π+=x y9．已知点(1,1)A =-、(1,2)B =、(3,2)C =-,则向量AB 在AC 方向上的正射影的数量为 （ ）A ．35-BC ．D ．3510．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且ab b a c ++=222222,则ABC ∆是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 11.已知354s i n )6co s (=+-απα则)67sin(πα+的值是( )A ． 532- B. 532 C ． 54- D. 5412．已知x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则32+++=x y x z 的最小值 （ ）A ．23-B ．13C ．136 D ．4第Ⅱ卷二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（下）期末数学试卷（理科）一．选择题：共12题，每小题5分，共60分，每道小题只有一个正确的答案，把你选的答案涂在答题卡上.1．（5分）设集合A＝{2，lnx}，B＝{x，y}，若A∩B＝{0}，则y的值为（）A．0B．1C．e D．2．（5分）定义运算＝ad﹣bc，则符合条件＝0的复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．C第三象限D．第四象限3．（5分）下列说法正确的是（）A．在△ABC中，A＜B是sin A＜sin B的充要条件B．＜0 是与夹角为钝角的充要条件C．若直线a，b，平面α，β满足a⊥α，α⊥β，b⊄α，b⊄β则a⊥b能推出b⊥βD．在相关性检验中，当相关性系数r满足|r|＞0.632时，才能求回归直线方程4．（5分）已知命题p1：函数y＝2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y＝2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q45．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（2，1）+f （1，2）＝（）A．45B．60C．96D．1086．（5分）已知x、y的取值如下表所示：若从散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x+，则的值等于（）A．2.6B．6.3C．2D．4.57．（5分）已知函数f（x）＝sin x﹣cos x且f′（x）＝2f（x），f′（x）是f（x）的导函数，则＝（）A．B．C．D．8．（5分）设（其中e为自然对数的底数），则的值为（）A．B．C．D．9．（5分）有6个座位连成一片排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是（）A．36B．48C．72D．12010．（5分）为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（学号从1至800）中有240人回答了“是”．由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是（）A．40人B．80人C．160人D．200人11．（5分）当a＞0时，函数f（x）＝（x2﹣2ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣mx﹣exlnx+1，且定义域为（0，e]，若函数f（x）在定义域内有两个极值点，则m的取值范围为（）A．[0，e e﹣2e]B．（0，e e﹣2e]C．（0，e e﹣2e）D．（e e﹣2e，+∞）二．填空题：共4题，每小题5分，共20分，把每道小题的答案写在答题纸相应的位置上. 13．（5分）曲线y＝x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为．14．（5分）设一个班中有的女生，的三好学生，而三好学生中女生占，若从此班级中任选一名代表参加夏令营活动，试问在已知没有选上女生的条件下，选的是一位三好学生的概率是．15．（5分）若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．16．（5分）设点P在曲线y＝lnx上，点Q在曲线y＝1﹣（x＞0）上，点R在直线y＝x 上，则|PR|+|RQ|的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）记函数的定义域为集合A，函数g（x）＝lg[（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）]的定义域为集合B．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．18．（12分）济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．（1）求ξ＝0对应的事件的概率；（2）求ξ的分布列及数学期望．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2﹣bx，其中a，b为实数，（1）若f（x）在x＝1处取得的极值为2，求a，b的值；（2）若f（x）在区间[﹣1，2]上为减函数，且b＝9a，求a的取值范围．20．（12分）某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[21，7，22.3]（单位：cm）之间的零件，把零件尺寸在[21.9，22.1）的记为一等品，尺寸在[21.8，21.9）∪[22.1，22.2）的记为二等品，尺寸在[21.7，21.8）∪[22.2，22.3]的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）根据上述数据完成下列2×2列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？附：（Ⅱ）以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣ax2+（1+a）x﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x）．若存在区间[m，n]⊆[，+∞），使得函数g（x）在[m，n]上的值域为[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，求实数k的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB 于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，已知点P（0，），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝．（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；（2）设直线l与曲线C的两个交点为A、B，求|P A|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a＝1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y＝f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12题，每小题5分，共60分，每道小题只有一个正确的答案，把你选的答案涂在答题卡上.1．【解答】解：由A＝{2，lnx}，B＝{x，y}，若A∩B＝{0}，说明元素0即在A当中，又在B当中，显然lnx＝0，则x＝1，所以y＝0．故选：A．2．【解答】解：由题意可得：＝z（2i）﹣（﹣i）（1+i）＝0，即，∴，则复数对应的点的坐标为（），在第二象限．故选：B．3．【解答】解：对于A，若A＜B成立则有a＜b，∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，∴sin A＜sin B成立；∴在△ABC中，“A＜B”是“sin A＜sin B”的充分条件．若sin A＜sin B成立，则＜，∴a＜b．∴在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充要条件，正确；对于B，与夹角为180°时，＜0，故不正确；对于C，若直线a，b，平面α，β满足a⊥α，α⊥β，b⊄α，b⊄β则a⊥b能推出b与β垂直、平行或相交，故不正确；对于D，相关是回归的前提条件，也就是说如果不存在相关，也就不存在回归了，所以应当说只要相关系数显著就可以求回归了．不需要说相关系数绝对值大于0.632才行，而且R ＝0.632属于高相关，故不正确．故选：A．4．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′＝2x ln2﹣ln2＝ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选：C．5．【解答】解：（1+x）6（1+y）4 ＝（1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6）（1+4y+6y2+4y3+y4），∴f（2，1）＝15×4＝60，f（1，2）＝6×6＝36，∴f（2，1）+f（1，2）＝96，故选：C．6．【解答】解：∵＝4.5，∴这组数据的样本中心点是（2，4.5）∵y与x线性相关，且＝0.95x+，∴4.5＝0.95×2+a，∴a＝2.6，故选：A．7．【解答】解：∵f（x）＝sin x﹣cos x，∴f'（x）＝cos x+sin x，又f'（x）＝2f（x），∴cos x+sin x＝2（sin x﹣cos x），即sin x＝3cos x，∴tan x＝＝3，则＝＝＝﹣．故选：A．8．【解答】解：∫0e f（x）dx＝∫01x2dx+∫1e dx＝x3|01+lnx|1e＝﹣0+lne﹣ln1＝+1＝．故选：A．9．【解答】解：3人坐6个座位，坐法共有A63，其中空坐各不相邻的坐法为C43A33，三个空坐相连的坐法C41A33，∴满足条件的坐法共有A63﹣C43A33﹣C41A33＝72．故选：C．10．【解答】解：要调查800名学生，在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，∴第一个问题可能被询问400次，∵在被询问的400人中有200人学号是奇数，而有240人回答了“是”，∴估计有40个人闯过红灯，在400人中有40个人闯过红灯，∴根据概率的知识来计算这800人中有过闯过红灯的人数为80，故选：B．11．【解答】解：解：由f（x）＝0，解得x2﹣2ax＝0，即x＝0或x＝2a，∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．设a＝1，则f（x）＝（x2﹣2x）e x，∴f'（x）＝（x2﹣2）e x，由f'（x）＝（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）＝（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x＝﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．12．【解答】解：f'（x）＝e x﹣m﹣elnx﹣e若函数f（x）在定义域内有两个极值点，∴e x﹣m﹣elnx﹣e＝0有两根∴函数h（x）＝e x﹣elnx﹣e与函数y＝m有两个交点，h'（x）＝当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，y递减；当x∈（1，e）时，h'（x）＞0，y递增；∴h（x）≥h（1）＝0，h（e）＝e e﹣2e，∴0＜m＜e e﹣2e，故选：C．二．填空题：共4题，每小题5分，共20分，把每道小题的答案写在答题纸相应的位置上. 13．【解答】解：y′＝3x2﹣1，令x＝1，得切线斜率2，所以切线方程为y﹣3＝2（x﹣1），即2x﹣y+1＝0．故答案为：2x﹣y+1＝0．14．【解答】解：设该班有15a名学生，其中女生有5a名，三好学生有3a名，三好学生中女生有a名，∴本班有10a名男生，男生中有2a名三好学生，由题意知，本题可以看做一个古典概型，试验发生包含的事件是从10a名男生中选出一个人，共有10a种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有种结果，∴没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是＝．故答案为：．15．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0∴x2+（a﹣1）x+1＝0有两个不等实根∴△＝（a﹣1）2﹣4＞0∴a＜﹣1或a＞3故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）16．【解答】解：函数y＝lnx的导数为y′＝，设曲线y＝lnx与直线y＝x的平行线相切的切点为（m，n），可得＝1，即m＝1，可得切点为（1，0），此时PR的最小值为＝；y＝1﹣（x＞0）的导数为y′＝，设曲线y＝1﹣（x＞0）与直线y＝x的平行线相切的切点为（s，t），可得＝1，即s＝1，可得切点为（1，0），此时RQ的最小值为＝．则P，Q重合为（1，0），R为（，），|PR|+|RQ|取得最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：A＝{x|1﹣2x≥0}＝{x|2x≤1}＝{x|x≤0}（4分）（Ⅱ）由B＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）＞0}＝{x|[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]＞0}（6分）∵a﹣1＜a+1∴B＝{x|x＜a﹣1或x＞a+1（8分）∵A⊆B，∴a﹣1＞0，∴a＞1（12分）18．【解答】解：（1）分别记“客人游览大明湖景点”，“客人游览趵突泉景点”，“客人游览千佛山景点”，“客人游览园博园景点”为事件A1，A2，A3，A4．由已知A1，A2，A3，A4相互独立，P（A1）＝0.3，P（A2）＝0.4，P（A3）＝0.5，P（A4）＝0.6，客人游览景点数的可能取值为0，1，2，3，4．相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为4，3，2，1，0，所以ξ的可能取值为0，2，4，故++＝0.38；（2）．P（ξ＝0）＝0.38，P（ξ＝2）＝1﹣P（ξ＝0）﹣P（ξ＝4）＝0.5所以ξ的分布列为：Eξ＝0×0.38+2×0.5+4×0.12＝1.48．19．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知：f'（1）＝0且f（1）＝2，即，解得．；（Ⅱ）∵f'（x）＝3x2﹣6ax﹣b＝3x2﹣6ax﹣9a，又f（x）在[﹣1，2]上为减函数，∴f'（x）≤0对x∈[﹣1，2]恒成立，即3x2﹣6ax﹣9a≤0对x∈[﹣1，2]恒成立，∴f'（﹣1）≤0且f′（2）≤0，即，∴a的取值范围是a≥1．20．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表如下，所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品有关．（Ⅱ）由题知运用甲工艺生产单件产品的利润X的分布列为X的数学期望为EX＝30×0.5+20×0.3+15×0.2＝24，X的方差为DX＝（30﹣24）2×0.5+（20﹣24）2×0.3+（15﹣24）2×0.2＝39．乙工艺生产单件产品的利润Y的分布列为Y的数学期望为EY＝30×0.6+20×0.1+15×0.3＝24.5，Y的方差为DY＝（30﹣24.5）2×0.6+（20﹣24.5）2×0.1+（15﹣24.5）2×0.3＝47.25．答案一：由上述结果可以看出EX＜EY，即乙工艺的平均利润大，所以以后应该选择乙工艺．答案二：由上述结果可以看出DX＜DY，即甲工艺波动小，虽然EX＜EY，但相差不大，所以以后选择甲工艺．（12分）21．【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，函数f（x）＝﹣ax2+（1+a）x﹣lnx的导数为f′（x）＝﹣ax+1+a﹣＝﹣，（x＞0），当a＝1时，f′（x）≤0，f（x）递减；当a＞1时，1＞，f′（x）＜0，可得x＞1或0＜x＜；当0＜a＜1时，1＜，f′（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞．综上可得，a＝1时，f（x）的减区间为（0，+∞）；a＞1时，f（x）的减区间为（1，+∞），（0，）；0＜a＜1时，f（x）的减区间为（，+∞），（0，1）；（Ⅱ）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x）＝x2﹣xlnx，令g′（x）＝2x﹣lnx﹣1（x＞0），则g′（x）＝2﹣＝，（x＞0），当x≥时，g′′（x）≥0，g（x）为增函数；g（x）在区间[m，n]⊆[，+∞）递增，∵g（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，所以g（m）＝k（m+2）﹣2，g（n）＝k（n+2）﹣2，≤m＜n，则g（x）＝k（x+2）﹣2在[，+∞）上至少有两个不同的正根，k＝，令F（x）＝＝，求导得，F′（x）＝（x≥），令G（x）＝x2+3x﹣2lnx﹣4（x≥）则G′（x）＝2x+3﹣＝，所以G（x）在[，+∞）递增，G（）＜0，G（1）＝0，当x∈[，1]时，G（x）＜0，∴F′（x）＜0，当x∈[1，+∞]时，G（x）＞0，∴F′（x）＞0，所以F（x）在[，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴F（1）＜k≤F（），∴k∈（1，]．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，∴BC2＝BD•BE，∵tan∠CED＝，∴．∵△BCD∽△BEC，∴，设BD＝x，BC＝2x．又BC2＝BD•BE，∴（2x）2＝x•（x+6），解得x1＝0，x2＝2，∵BD＝x＞0，∴BD＝2，∴OA＝OB＝BD+OD＝3+2＝5．（10分）．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（1）直线ρ＝，即ρcosθ+ρsinθ＝，∴直线l的直角坐标方程为，∴点P（0，）在直线l上．…（5分）（2）直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的直角坐标方程为将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有3+＝15，∴t2+2t﹣8＝0，设方程的两根为t1，t2，∴|P A|•|PB|＝|t1t2|＝8 …（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：①当a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+x﹣5＝．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）＝0得|2x﹣1|＝﹣ax+5．作出y＝|2x﹣1|和y＝﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y＝f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．。

一、选择题1．(0分)[ID ：12718]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元 B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元2．(0分)[ID ：12717]设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥3．(0分)[ID ：12712]已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．24．(0分)[ID ：12687]C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1b =B ．a b ⊥C ．1a b ⋅=D ．()4C a b +⊥B5．(0分)[ID ：12630]已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32a b+的最小值是( ) A ．23B ．24C ．25D ．266．(0分)[ID ：12647]与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=7．(0分)[ID ：12644]若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．(0分)[ID ：12639]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒9．(0分)[ID ：12638]在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =，60C =10．(0分)[ID ：12726]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．15811．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1012．(0分)[ID ：12699]《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．11613．(0分)[ID ：12697]已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A ．()6,10B ．()6,22C ．()2,22D ．（2，4）14．(0分)[ID ：12634]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．6015．(0分)[ID ：12652]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或11二、填空题16．(0分)[ID ：12825]在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23C B = ，则A 等于__________．17．(0分)[ID ：12797]甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈.若||1a b -，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______. 18．(0分)[ID ：12746]在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝02的点共有________个．19．(0分)[ID ：12736]函数sin 3y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．20．(0分)[ID ：12732]在ABC ∆中，120B =，1BC =，且ABC ∆的面积为32，则AC =__________．21．(0分)[ID ：12765]设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______. 22．(0分)[ID ：12763]已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．23．(0分)[ID ：12754]某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．24．(0分)[ID ：12753]在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．25．(0分)[ID ：12752]已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12920]某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.分数段[)90,100[)100,110[)110,120:x y6:51:21:127．(0分)[ID ：12914]如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==，2CA CB CD BD ====.（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．28．(0分)[ID ：12895]已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.29．(0分)[ID ：12887]已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间并求出()f x 取得最小值时所对应的x 取值集合．30．(0分)[ID ：12848]如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1A OC ；（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为2a 的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．C 3．C 4．D 5．C 6．C 7．C 8．B 9．D 10．D11．C12．A13．A14．B15．A二、填空题16．【解析】由得所以即则又所以故答案为17．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有18．3【解析】【分析】圆方程化为标准方程找出圆心坐标与半径求出圆心到已知直线的距离判断即可得到距离【详解】圆方程变形得：（x+1）2+（y+2）2＝8即圆心（﹣1-2）半径r＝2∴圆心到直线x+y+1＝19．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出20．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解21．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦22．-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值23．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图24．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象25．【解析】【分析】根据复数z的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；对于B 选项，若l αβ=，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥； 对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直． 故选C ． 【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．3．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立；③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.4．D解析：D 【解析】 试题分析：2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭．()4a b BC ∴+⊥．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，则()32326632131325a b a b a b a b ba ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25． 本题选择C 选项.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．7．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．8．B解析：B【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求AC +的值． 【详解】 在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．9．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，17sin 722a B =⨯=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解；对于B 选项，sin 52c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构 11．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】 ①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形； ②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．12．A解析：A 【解析】 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===，33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.13．A解析：A 【解析】由()4f x f x -=（）得：4T =，当010]x ∈（，时，函数的图象如图：()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62 log 102a a<⎧⎨>⎩，解得610a ∈（，），故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.14．B解析：B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.15．A解析：A 【解析】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A考点：直线与圆的位置关系．二、填空题16．【解析】由得所以即则又所以故答案为解析：6π【解析】由23sinC sinB = 得23c b =， 所以2223323a b bc b -==，即227a b =， 则22222223243b c a cosA bc b+-===，又0A π∈（，）， 所以6A π=．故答案为6π. 17．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有 解析：725【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -所有可能情况，代入公式得到结果。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1。

若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -,⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）(A)8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C考点：极差、方差与标准差2。

某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）（A ） k ＞4？（C) k ＞6？ （D ） k ＞7？ 【答案】A考点：程序框图3。

设R d c b a ∈,,,且d c b a >>,，则下列结论中正确的是（ ） （A)d b c a +>+ (B)d b c a ->- （C)bd ac > (D)cb d a > 【答案】A 【解析】试题分析：由同向不等式的可加性可知有a c b d +>+ 考点:不等式性质4。

某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元）的数据如下表：若y 关于t 的线性回归方程为y ＝0.5t ＋a ，则据此该地区2015年农村居民家庭人均纯收入约为( ） (A ）6．6千元（B ）6．5千元（C ）6．7千元（D ）6．8千元【解析】 试题分析：1234567 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94, 4.377x y ++++++++++++====，所以中心点为()4,4.3，代入回归方程得 2.3a =,代入9t =得 6.8y = 考点：线性回归方程5。

若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则y x 的最大值为（ ）（A ）1 （B)2 （C ）3 （D ）23【答案】C 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域,yx的几何意义为区域内的点到原点的斜率, 由图象知,OA 的斜率最大， 由140x x y =⎧⎨+-=⎩,得13x y =⎧⎨=⎩，即A(1，3），故OA 的斜率k=3 考点:线性规划问题 6.已知()2tan =-απ，则ααααcos sin cos sin +-的值为( ）（A ）3 （B ）2 （C ）3- （D ）31 【答案】A 【解析】试题分析：()tan 2tan 2παα-=∴=- sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα----∴===++-+考点：同角间三角函数关系 7。

2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N＝{1，3，6}，则集合{2，7}等于（）A．M∩N B．（∁U M）∩（∁U N）C．（∁U M）∪（∁U N）D．M∪N2．（5分）函数f（x）＝+的定义域为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x＞1}3．（5分）已知集合A＝{x|＜0}，B＝{x||x|＜a}，则“a＝1”是“B⊆A”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除5．（5分）设函数f（x）＝，则f[f（﹣2）]＝（）A．3B．1C．0D．6．（5分）某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示：由表可得回归直线方程＝x+中的＝﹣4，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（）A．26个B．27个C．28个D．29个7．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a在区间[0，1]上的最大值为2，则a的值为（）A．2B．﹣1或﹣3C．2或﹣3D．﹣1或28．（5分）已知命题p：“∀x＞0，有e x≥1成立，则￢p为（）A．∃x0≤0，有e x0＜l成立B．∃x0≤0，有e x0≥1成立C．∃x0＞0，有e x0＜1成立D．∃x0＞0，有e x0≤l成立9．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+2）＝f（x），若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，记a＝f（log0.52），b＝f（log24），c＝f（20.5），则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c10．（5分）已知函数y＝（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），且在[1，+∞）上为减函数，若f（1﹣m）＜f（m），则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）12．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）＝﹣x2+x，若不等式f（x）﹣x≤2log a x （a＞0且a≠1）对∀x∈（0，]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，]∪（1，+∞）二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y＝a x﹣2+1（a＞0，a≠1）不论a为何值时，其图象恒过的定点为．14．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣f′（﹣1）x2+3x﹣4，则f ′（）＝．15．（5分）观察式子，…，则可归纳出．16．（5分）若函数f（x）＝|2x﹣3|与g（x）＝k的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是．三．解答题（共5小题）17．（12分）已知命题p：方程x2﹣4x+m＝0有实根，命题q：﹣1≤m≤5．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知m＞0，a，b∈R ，求证：．19．（12分）某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：（Ⅰ）完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？附：，其中n＝a+b+c+d20．（12分）已知关于x函数g（x）＝﹣alnx（a∈R），f（x）＝x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]＝0，[2.6]＝2[﹣1.4]＝﹣2；以下数据供参考：ln2＝0.6931，ln3＝1.099，ln5＝1.609，ln7＝1.946）21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a＝﹣且关于x的方程f（x）＝﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题10分）22．（10分）如图，AF是圆E切线，F是切点，割线ABC，BM是圆E的直径，EF交AC 于D，，∠EBC＝30°，MC＝2．（Ⅰ）求线段AF的长；（Ⅱ）求证：AD＝3ED．[选修4-3：极坐标和参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．[选修4-4：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|．（1）当a＝3时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．【解答】解：∵2，7即不在结合M中，也不在集合N中，所以2，7在集合∁U M且在∁U N 中∴{2，7}＝（∁U M）∩（∁U N）故选：B．2．【解答】解：要使函数有意义，则，即，得0＜x＜1，即函数的定义域为{x|0＜x＜1}，故选：B．3．【解答】解：A＝{x|＜0}＝（﹣1，2），若a＝1时，B＝（﹣1，1）⊆A；当a≤0时，B⊆A；故“a＝1”是“B⊆A”的充分不必要条件，故选：A．4．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b 都不能被5整除”．故选：B．5．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（﹣2）＝﹣2+2＝0，f[f（﹣2）]＝f（0）＝3．故选：A．6．【解答】解：，＝39．将（）代入回归方程得39＝﹣4×17.5+，解得＝109．∴回归方程为＝﹣4x+109．当x＝20时，＝﹣4×20+109＝29．故选：D．7．【解答】解：函数f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a的对称轴为x＝a，图象开口向下，①当a≤0时，函数f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a在区间[0，1]是减函数，∴f max（x）＝f（0）＝1﹣a，由1﹣a＝2，得a＝﹣1，②当0＜a≤1时，函数f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a在区间[0，a]是增函数，在[a，1]上是减函数，∴f max（x）＝f（a）＝﹣a2+2a2+1﹣a＝a2﹣a+1，由a2﹣a+1＝2，解得a＝或a＝，∵0＜a≤1，∴两个值都不满足；③当a＞1时，函数f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a在区间[0，1]是增函数，∴fmax（x）＝f（1）＝﹣1+2a+1﹣a＝a，∴a＝2综上可知，a＝﹣1或a＝2．故选：D．8．【解答】解：命题p：“∀x＞0，有e x≥1，则￢p为∃x0＞0，有e x0＜1成立．故选：C．9．【解答】解：∵f（x+2）＝f（x），∴函数是周期为2的周期函数；∵f（x）为偶函数，f（x）在[﹣1，0]上是减函数，∴f（x）在[0，1]上单调递增，并且a＝f（log0.52）＝f（log22）＝f（1），b＝f（log24）＝f（2）＝f（0），c＝f（20.5）＝f（2﹣20.5）．∵0＜2﹣20.5＜1，∴b＜c＜a．故选：C．10．【解答】解：结合图象可知当x＞1时，（x﹣1）f'（x）＞0即f'（x）＞0∴y＝f（x）在（1，+∞）上单调递增故选：B．11．【解答】解：函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），∴f（x）＝f（﹣x+2），∴f（x+1）＝f（1﹣x），∴函数f（x）关于x＝1对称，∵在[1，+∞）上为减函数，∴在（﹣∞，1）上为增函数，∵f（1﹣m）＜f（m），∴|m﹣1|＜|1﹣m﹣1|，∴m＞．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）＝﹣x2+x∴f（﹣x）＝﹣f（x），设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝﹣x2﹣x，∴f（x）＝x2+x，∵不等式f（x）﹣x≤2log a x（a＞0，a≠1）对∀x∈（0，]恒成立，∴x2+x﹣x≤2log a x（a＞0，a≠1）对∀x∈（0，]恒成立，∴x2≤log a x2，∴（）2≤log a（）2，∴log a＝≤log a，当a＞1时，≤，解得a≤，此时无解，当0＜a＜1时，≥，解得a≥，此时≤a＜1，综上所述a的取值范围为[，1）．故选：B．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：令x＝2，得y＝a0+1＝2，所以函数y＝1+a x﹣2的图象恒过定点坐标是（2，2）．故答案为：（2，2）．14．【解答】解：∵f（x）＝lnx﹣f′（﹣1）x2+3x﹣4，∴f′（x）＝﹣2f′（﹣1）x+3∴f′（﹣1）＝﹣1+2f′（﹣1）+3，∴f′（﹣1）＝﹣2，∴f′（）＝2﹣2×（﹣2）×+3＝7，故答案为：7．15．【解答】解：根据题意，每个不等式的右边的分母是n+1．不等号右边的分子是2n+1，∴1+…+＜（n≥1）．故答案为：（n≥1）．16．【解答】解：f（x）＝|2x﹣3|＝．则当x＜log23时，f（x）＝3﹣2x∈（0，3），作出函数f（x）的图象，若f（x）＝|2x﹣3|与g（x）＝k的图象有且只有两个交点，则0＜k＜3；故答案为：0＜k＜3三．解答题（共5小题）17．【解答】解：p为真命题⇔△＝16﹣4m≥0，∴m≤4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分），∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p，q一真一假﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）当p真q假时，，∴m＜﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当p假q真时，，∴4＜m≤5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）综上所述，实数m的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（4，5]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．【解答】证明：∵m＞0，∴1+m＞0，∴要证，即证（a+mb）2≤（1+m）（a2+mb2），即证m（a2﹣2ab+b2）≥0，即证（a﹣b）2≥0，而（a﹣b）2≥0显然成立，故．19．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；使用方案A有效的频率是＝0.8，使用方案B有效的频率是＝0.9，使用使用方案B治疗有效的频率更高些；（Ⅱ）计算观测值K2＝≈3.571＜3.841；所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关．20．【解答】解：（I）g（x）＝﹣alnx（x＞0），g′（x）＝＝﹣，（i）当a≥0时，g′（x）＜0，∴（0，+∞）为函数g（x）的单调递减区间；（ii）当a＜0时，由g′（x）＝0，解得x＝﹣．当x∈时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当x∈时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．（II）f（x）＝x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）＝2x+g′（x）＝，令h（x）＝2x3﹣ax﹣2，x∈[0，+∞），h′（x）＝6x2﹣a，当a＜0时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）为（0，+∞）上的增函数，又h（0）＝﹣2＜0，h（1）＝﹣a＞0，∴函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，h（x）＝2（x3﹣1）﹣ax＜0，即x∈（0，1）时，f′（x）＜0恒成立，函数f （x）无极值．综上可得：f（x）在区间（0，1）内有极值的a的取值范围是（﹣∞，0）．（III）∵a＞0时，由（II）可知：f（1）＝3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，∴x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，且x∈（1，x1）时，函数f（x）单调递减，x∈（x1，+∞）时，函数f（x）单调递增，由题意可知：x1即为x0．∴，∴，消去a可得：，a＞0，令t1（x）＝2lnx（x＞1），，则在区间（1，+∞）上t1（x）单调递增，t2（x）单调递减．t1（2）＝2ln2＜2×0.7＝＝t2（2），t1（3）＝2ln3＞2＞＝t2（3）．∴2＜x0＜3，∴[x0]＝2．21．【解答】解：（1）f'（x）＝﹣（x＞0）依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．则a≤＝在x＞0恒成立，即a≤[﹣1]min x＞0当x＝1时，﹣1取最小值﹣1∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1]（2）a＝﹣，f（x）＝﹣x+b∴设g（x）＝则g'（x）＝列表：∴g（x）极小值＝g（2）＝ln2﹣b﹣2，g（x）极大值＝g（1）＝﹣b﹣，又g（4）＝2ln2﹣b﹣2∵方程g（x）＝0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则，得ln2﹣2＜b≤﹣．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题10分）22．【解答】（本题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲解：（Ⅰ）∵BM是圆E直径，∴∠BCM＝90°，…（1分）又MC＝2，∠EBC＝30°，∴BC＝2，…（2分）又AB＝AC，∴AB＝，∴AC＝3，…（3分）根据切割线定理得：＝9，…（4分）解得AF＝3．…（5分）证明：（Ⅱ）过E作EH⊥BC于H，…（6分）则△EDH∽△ADF，…（7分）从而有，…（8分）又由题意知CH＝BC＝，EB＝2，∴EH＝1，…（9分）∴，即AD＝3ED．…（10分）[选修4-3：极坐标和参数方程]23．【解答】解：（Ⅰ）由ρ＝2（cosθ+sinθ），得ρ2＝2（ρcosθ+ρsinθ），即x2+y2＝2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．l的参数方程为（t为参数，t∈R），（Ⅱ）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2得t2﹣t﹣1＝0，解得，t1＝，t2＝．则|EA|+|EB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝．[选修4-4：不等式选讲]24．【解答】解：（1）a＝3时，即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2，①当x≥时，不等式即2x﹣3+x﹣1≥2，解得x≥2，②当1＜x＜时，不等式即3﹣2x+x﹣1≥2，解得x＜0．③当x≤1时，3﹣2x+1﹣x≥2，解得2x≤2，即x≤．∴综上，原不等式解集为{x|x≤或x≥2}．（2）即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立令g（x）＝5﹣x﹣|x﹣1|＝，则由函数g（x）的图象可得它的最大值为4，故函数y＝|2x﹣a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方，数形结合可得≥3，∴a≥6，即a的范围是[6，+∞）．。

辽宁省实验中学分校2015—2016学年度下学期期末测试数学学科 高一年级第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每题四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）（A ） k ＞4? （B ） k ＞5?（C ） k ＞6? （D ） k ＞7?3.设R d c b a ∈,,,且d c b a >>,，则下列结论中正确的是（ ） （A ）d b c a +>+ （B ）d b c a ->- （C ）bd ac > （D ）cb d a > 4．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：若y 关于t 的线性回归方程为y ^＝0.5t ＋a,则据此该地区2015年农村居民家庭人均纯收入约为（ ）（A ）6．6千元（B ）6．5千元（C ）6．7千元（D ）6．8千元5．若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则y x 的最大值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）236．已知()2tan =-απ，则ααααcos sin cos sin +-的值为（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）3- （D ）31 7．不等式252(1)x x +-≥的解集是（ ）（A ）132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（B ）132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（C ）(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，， （D ）(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，8．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）349．已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）⎪⎭⎫⎝⎛2πf <⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf <()0f （B ）()0f <⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf <⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf （C ）⎪⎭⎫⎝⎛6πf <()0f <⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf <()0f <⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf 10．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n11．ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若C B a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，则AD =（ ）（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b - 12.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ）（A ）512π （B ）3π （C ）4π （D ）6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2014-2015学年辽宁省实验中学分校高一（下）期末数学模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．sin2cos3tan4的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在2．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=（）A． 98 B． 88 C． 76 D． 963．在正方体内任取一点，则该点在正方体的内切球内的概率为（）A．B．C．D．4．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）A． 9 B． 18 C． 27 D． 365．天气预报报导在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%，这三天中恰有两天下雨的概率是（）A． 0.432 B． 0.6 C． 0.8 D． 0.2886．已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣）7．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定8．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A． 65 B． 64 C． 63 D． 629．已知，则cosβ的值为（）A．﹣1 B．﹣1或C．D．10．图是一算法的程序框图，若输出结果为S=5040，则在判断框中应填入的条件是（）A．k≤9B．k≤8C．k≤7D．k≤611．已知P是单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则的值为（）A． 0 B． 1 C． 0或1 D．任意实数12．已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y 轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=（）A． 0 B． 100 C． 150 D． 200二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y 与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则= ．月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 4 3 2.514．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= ．15．程序框图（如图所示），则该程序框图表示的算法的功能是：．16．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a2+b2=mc2（m为常数），若=2012，则m= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知A（﹣1，2），B（2，8），（1）若=，=﹣，求的坐标；（2）设G（0，5），若⊥，∥，求E点坐标．18．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．19．已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=•．（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+c=b，求函数f（B）的取值范围．20．某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x•46%=230人，回答问题统计结果如图表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第1组[15，25） 5 0.5第2组[25，35） a 0.9第3组[35，45）27 x第4组[45，55） B 0.36第5组[55，65） 3 y（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，＜C＜，且．（1）判断△ABC的形状（2）若，求的取值范围、22．定义在区间[﹣π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称，当x∈[﹣，π]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其图象如图．（Ⅰ）求函数y=f（x）在[﹣π，π]上的表达式；（Ⅱ）求方程f（x）=的解集．2014-2015学年辽宁省实验中学分校高一（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．sin2cos3tan4的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在考点：三角函数值的符号．分析：根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案．解答：解：∵1弧度大约等于57度，2弧度等于114度，∴sin2＞0∵3弧度小于π弧度，在第二象限∴cos3＜0∵4弧度小于弧度，大于π弧度，在第三象限∴tan4＞0∴sin2cos3tan4＜0故答案选A点评：本题主要考查三角函数值的符号问题．常常根据角所在的象限来判断函数值的正负．2．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=（）A． 98 B． 88 C． 76 D． 96考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先由平均数的公式列出x+y=20，然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值．解答：解：根据平均数及方差公式，可得：9+10+11+x+y=10×5，即x+y=20，∵标准差是，∴方差为2．∴[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（x﹣10）2+（y﹣10）2]=2，即（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，∴解得x=8，y=12或x=12，y=8，则xy=96，故选：D点评：本题主要考查了平均数和方差等概念，以及解方程组，考查学生的计算能力．3．在正方体内任取一点，则该点在正方体的内切球内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据题意，求出正方体的体积，进而可得其内切球的直径，可得其内切球的体积，由几何概型的公式，计算可得答案．解答：解：不妨设正方体棱长为2，根据题意，棱长为2的正方体，其体积为8，而其内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为1，则这一点在球内的概率为：==；故选B．点评：本题考查几何概型的应用，解题的关键在于根据正方体及其内切球的位置关系，找到其内切球的直径半径，进而得到体积．4．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）A． 9 B． 18 C． 27 D． 36考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．解答：解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是=，用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．5．天气预报报导在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%，这三天中恰有两天下雨的概率是（）A． 0.432 B． 0.6 C． 0.8 D． 0.288考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：概率与统计．分析：由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，求得这三天中恰有两天下雨的概率．解答：解：每一天下雨的概率均为60%，这三天中恰有两天下雨的概率是•0.62×0.4=0.432，故选：A．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，属于基础题．6．已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣）考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．分析：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，由与为互相垂直的单位向量，我们易得，，代入，可求出•，又由与的夹角为锐角，故•＞0，由此得到一个关于λ的不等式，解不等式即可得到实数λ的取值范围，但要注意，与同向的排除．解答：解：∵与为互相垂直的单位向量∴，，又∵，且与的夹角为锐角，∴，但当λ=﹣2时，，不满足要求故满足条件的实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）故选A点评：两个向量夹角为锐角，则两个向量的数量积为正；两个向量夹角为钝角，则两个向量的数量积为负；两个向量夹角为直角，则两个向量的数量积为零；7．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定考点：余弦定理．专题：计算题．分析：先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．解答：解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A点评：考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力．8．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A． 65 B． 64 C． 63 D． 62考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：计算题．分析：由茎叶图分别看出两个运动员的得分，把这两组数据按照从小到大排列以后，因为两组数据都是有奇数个数字，最中间一个数字是中位数，得到两个中位数之和．解答：解：∵由茎叶图知甲运动员的得分是：13，15，23，26，28，34，37，39，41把这组数据按照从小到大排列以后，最中间一个数字是28，∴甲运动员得分的中位数是28，∵由茎叶图知乙运动员的得分是24，25，32，33，36，37，38，45，47把这组数据按照从小到大排列以后，最中间一个数字是36，∴乙运动员得分的中位数是36，∴两个中位数的和是28+36=64故选B．点评：本题考查茎叶图和中位数，是一个基础题，这种题目也可以从茎叶图中直接看出中位数，而不用把这组数据写下来，但是若茎叶图中所给的数字没有按照大小顺序时，容易弄错．9．已知，则cosβ的值为（）A．﹣1 B．﹣1或C．D．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：先求出，，再利用cosβ=cos[（α+β）﹣α]，即可得出结论．解答：解：∵，∴，∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]==故选C．点评：本题考查三角函数的求值，考查角的变换，考查学生的计算能力，属于中档题．10．图是一算法的程序框图，若输出结果为S=5040，则在判断框中应填入的条件是（）A．k≤9B．k≤8C．k≤7D．k≤6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟程序的运行结果，分析不满足输出条件继续循环和满足输出条件退出循环时，变量k值所要满足的要求，即可得到结论．解答：解：当k=10，S=1，不满足条件；有S=10，k=9，不满足条件；有S=10×9，k=8，不满足条件；有S=10×9×8，k=7，不满足条件；有S=10×9×8×7=5040，k=6，满足输出条件；即当k=7时不满足条件，k=6时，满足条件，故k≤6，故选：D点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟是解决程序框图的基本方法．11．已知P是单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则的值为（）A． 0 B． 1 C． 0或1 D．任意实数考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用正方体的性质和数量积的定义即可得出．解答：解：如图所示，当点P取顶点D或A1或D1时，由AB⊥平面ADD1A1，可得=0．当点P取顶点B或B1或C或C1时，P取点B1时，====1；同理点P取点B或C时，可得；P取点C1时，===1×1=1．综上可知：=0或1．故选：C．点评：本题考查了正方体的性质和数量积的定义，属于基础题．12．已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y 轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=（）A． 0 B． 100 C． 150 D． 200考点：余弦函数的图象；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由图象在y轴上的截距为2求出φ的值，再利用函数的周期性求出所给式子的值．解答：解：∵函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A•+1=cos（2ωx+2φ）+的最大值为3，∴+=3，∴A=2．f（x）的图象在y轴上的截距为2，可得cos2φ+2=2，即 cos2φ=0，∴可取φ=．再根据它的图象相邻两对称轴间的距离为1，可得它的周期为=2，求得ω=，∴f（x）=cos（πx+）+2=sinπx+2，故f（1）=2，f（2）=2，f（3）=2，…，（100）=2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=200，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由图象在y轴上的截距为2求出φ的值，利用函数的周期性求式子的值，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y 与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则= 5.25 ．月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 4 3 2.5考点：线性回归方程．专题：计算题；应用题．分析：根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到样本中心点，根据所给的线性回归方程，把样本中心点代入，只有a一个变量，解方程得到结果．解答：解：∵=3.5∴=﹣=3.5+0.7×2.5=5.25．故答案为：5.25点评：本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查线性回归方程系数的求法，是一个基础题，本题运算量不大，是这一部分的简单题目．14．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= 1 ．考点：向量的加法及其几何意义；三角形五心．专题：压轴题；数形结合．分析：根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则得=+，由向量相等和向量的减法运算进行转化，直到用、和表示出来为止．解答：解：如图：作直径BD，连接DA、DC，由图得，=﹣，∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴=又∵=﹣=+，∴=+=+=++，对比系数得到m=1．故答案为：1．点评：本题考查了向量的线性运算的应用，一般的做法是根据图形找一个封闭的图形，利用向量的加法表示出来，再根据题意进行转化到用已知向量来表示，考查了转化思想．15．程序框图（如图所示），则该程序框图表示的算法的功能是：计算并输出使1×3×5×7×…＞10000成立的最小整数．考点：循环结构．专题：图表型．分析：写出经过几次循环得到的结果，得到求的s的形式，判断出框图的功能．解答：解：经过第一次循环得到s=1×3，i=5经过第二次循环得到s=1×3×5，i=7经过第三次循环得到s=1×3×5×7，i=8…s=1×3×5×7×…＞10000该程序框图表示算法的功能是求计算并输出使1×3×5×7×…＞10000成立的最小整数故答案为计算并输出使1×3×5×7×…＞10000成立的最小整数点评：本题考查程序框图，考查了循环体以及循环次数两个具体问题，常采用写出前几次循环的结果，找规律．属于基础题．16．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a2+b2=mc2（m为常数），若=2012，则m= 4025 ．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；正弦定理．专题：解三角形．分析：先根据余弦定理表示出cosC，进而对题设条件化简，把切转换成弦，利用两角和公式化简整理后，进而利用正弦定理把角的正弦转化成边整理求得=2012，则m的值可求．解答：解：由余弦定理可知cosC=（a2+b2﹣c2）====•=2012，由正弦定理可知，∴=2012，∴m=4025．故答案为：4025点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了考生对基础知识的理解和灵活利用．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知A（﹣1，2），B（2，8），（1）若=，=﹣，求的坐标；（2）设G（0，5），若⊥，∥，求E点坐标．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量的数乘运算、坐标运算、三角形法则即可得出．（2）利用向量的共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：（1）∵=（3，6），∴==（1，2），=﹣=（﹣2，﹣4），∴==（2，4）﹣（1，2）=（1，2）．（2）设E（x，y），则=（x+1，y﹣2），=（x﹣2，y﹣8），∵=（﹣2，﹣3），⊥，∥，∴，解得．∴E点坐标（﹣，）．点评：本题考查了向量的数乘运算、坐标运算、三角形法则、向量的共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．18．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．考点：互斥事件的概率加法公式；等可能事件的概率．分析：（1）有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，取出的2件产品中至多有1件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况，设出概率，列出等式，解出结果．（2）由上面可以知道其中二等品有100×0.2=20件取出的2件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有二等品，用组合数列出结果．解答：解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1﹣p）2+C21p（1﹣p）=1﹣p2于是0.96=1﹣p2．解得p1=0.2，p2=﹣0.2（舍去）．（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故．点评：问题所涉及的是生活中常见的一种现象，问题的生活化可激发学生的兴趣和求知欲望，同样这样的问题也影响学生的思维方式，学会用数学的视野关注身边的数学．19．已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=•．（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+c=b，求函数f（B）的取值范围．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）=1，得出sin（+）的值，最后将所求的式子中的角提取2，利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin（+）的值代入即可求出值；（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知的等式，整理后代入利用余弦定理表示出的cosA 中，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出B的范围，得出+的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即为f（B）的范围．解答：解：（1）∵=（sin，1），=（cos，cos2），∴f（x）=•=sin cos+cos2=sin+cos+=sin（+）+，又f（x）=1，∴sin（+）=，（4分）∴cos（x+）=cos2（+）=1﹣2sin2（+）=；（6分）（2）∵cosC=，acosC+c=b，∴a•+c=b，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=，（10分）又∵0＜B＜，∴＜+＜，∴f（B）∈（1，）．（12分）点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x•46%=230人，回答问题统计结果如图表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第1组[15，25） 5 0.5第2组[25，35） a 0.9第3组[35，45）27 x第4组[45，55） B 0.36第5组[55，65） 3 y（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由回答对的人数：每组的人数=回答正确的概率，分别可求得要求的值；（Ⅱ）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．解答：解：（Ⅰ）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，…（1分）第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18，…（2分）第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9，…（3分）第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9…（4分）第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．…（5分）（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（8分）（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…（10分）其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．…（12分）故所求概率为．…（13分）点评：本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点，属基础题．21．ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，＜C＜，且．（1）判断△ABC的形状（2）若，求的取值范围、考点：平面向量数量积的运算；向量的模；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，倍角公式，解三角形，平面向量的数量积运算，向量的模等知识点．（1）要判断△ABC的形状，我们可由，结论正弦定理边角互化的原则，将式子中边全部化为对应角的正弦值，然后根据两角和与差的正弦公式，倍角公式，得到sinB=sin2C，又由因为，我们易判断三角形的形状．（2）由，两边平方后，根据（1）的结论，我们可求出B的表达式及取值范围，进而求出的取值范围．解答：解：（1）⇒sinBsinA﹣sinBsin2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C⇒sinB=sin2C，因为，所以B=π﹣2C⇒B+C=π﹣C⇒π﹣A=π﹣C⇒A=C即△ABC为等腰三角形．（2）因为所以，而所以，点评：要根据某个恒成立的三角函数关系式，判断三角形的形状，一般的思路是分析角与角的关系，如果有三个角相等，则为等边三角形；如果只能得到两个角相等，则为普通的等腰三角形；如果两个角和为90°，或一个角为90°，则为直角三角形．22．定义在区间[﹣π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称，当x∈[﹣，π]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其图象如图．（Ⅰ）求函数y=f（x）在[﹣π，π]上的表达式；（Ⅱ）求方程f（x）=的解集．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：综合题；数形结合；分类讨论．分析：（1）观察图象易得当时，：，再由函数y=f（x）的图象关于直线对称求出上的解析式，即可得到函数y=f（x）在的表达式；（2）由（1）函数的解析式是一个分段函数，故分段解方程求方程的解．解答：解：（1）当时，函数，观察图象易得：A=1，周期为2π，可得ω=1，再将点代入，结合题设可得φ=，即函数，由函数y=f（x）的图象关于直线对称得，时，函数f（x）=﹣sinx．∴．（2）当时，由得，；当时，由得，．∴方程的解集为点评：本题考查由函数的部分图象求函数的解析式，解题的关键是熟练掌握三角函数图象的特征，根据这些特征求出解析式中的系数，得出函数的解析式，本题涉及到函数的对称性求解析式，以及解三角方程，运算量较大，易因运算导致错误，解题时要谨慎．。

2015-2016学年辽宁省重点高中协作校高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．点P 从（﹣1，0）出发，沿单位圆x 2+y 2=1顺时针方向运动π弧长到达Q ，则Q 点坐标（ ）A ．（﹣，） B ．（﹣，﹣）C ．（﹣，﹣）D ．（﹣，）2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知 P （A ）=0.65，P （B ）=0.2，P （C ）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.33．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2 4．sin （﹣15°）=（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知向量=（﹣2，1），=（3，0），则在方向上的正射影的数量为（ ）A ．﹣B ．C ．﹣2D ．26．在△ABC 中，a=1，b=x ，∠A=30°，则使△ABC 有两解的x 的范围是（ ）A ．B ．（1，+∞）C ．D ．（1，2）7．如图的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）A ．c ＞xB ．x ＞aC ．c ＞bD ．b ＞c8．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若＜cosA ，则△ABC 为（ ）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形9．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直10．设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数11．设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）A．2 B．C．3 D．12．已知在等边△ABC中，AB=3，O为中心，过O的直线与△ABC的边分别交于点M、N，则+的最大值是（）A．B．2 C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．高一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则需要将全班同学分成组．14．已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则tan=．15．有一解三角形的题目因纸张破损，有一条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a=，2cos2=（﹣1）cosB，c=，求角A，若该题的答案是A=60°，请将条件补充完整．16．在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1，且x+y=1，函数的最小值为，则的最小值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．19．如图，已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设Z是直线OP上的一动点．（1）求使•取最小值时的；（2）对（1）中求出的点Z，求cos∠AZB的值．20．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150]，4．（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C，D的值；（2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；（3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60，75）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量=（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．（1）若⊥，且||=||，求向量；（2）若向量与向量共线，常数k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域；（3）当（2）问中f（θ）的最大值4时，求•．2015-2016学年辽宁省重点高中协作校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π弧长到达Q，则Q点坐标（）A．（﹣，） B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【考点】弧长公式．【分析】画出图形，结合图形，求出∠xOQ的大小，即得Q点的坐标．【解答】解：如图所示，；点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π弧长到达Q，则∠POQ=﹣2π=，∴∠xOQ=，∴cos=﹣，sin=，∴Q点的坐标为（﹣，）；故选：A．2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．【解答】解：根据对立事件的概率和为1，得；∵事件A={抽到一等品}，且P（A）=0.65，∴事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1﹣P（A）=1﹣0.65=0.35．故选：C．3．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，∴（2﹣）•=2﹣=0，故选：B．4．sin（﹣15°）=（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值．【分析】利用两角差的正弦公式，结合特殊角的三角函数，即可得出答案．【解答】解：sin（﹣15°）=sin（30°﹣45°）=sin30°cos45°﹣cos30°sin45°=×﹣×=．故选：D．5．已知向量=（﹣2，1），=（3，0），则在方向上的正射影的数量为（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵向量=（﹣2，1），=（3，0），∴在方向上的正射影为||cos＜，＞===﹣2，故选：C6．在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，则使△ABC有两解的x的范围是（）A．B．（1，+∞）C．D．（1，2）【考点】正弦定理．【分析】根据题意画出图形，由题意得到三角形有两解的条件为b=x＞a，bsinA＜a，即可确定出x的范围．【解答】解：结合图形可知，三角形有两解的条件为b=x＞a，bsinA＜a，∴b=x＞1，xsin30°＜1，则使△ABC有两解的x的范围是1＜x＜2，故选：D．7．如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＞x B．x＞a C．c＞b D．b＞c【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．【解答】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存最大值的变量X=C故选A．8．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若＜cosA，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0从而有sinAcosB＜0结合三角形的性质可求【解答】解：∵＜cosA，由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA∴sin（A+B）＜sinBcosA∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA∴sinAcosB＜0 又sinA＞0∴cosB＜0 即B为钝角故选：A9．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据向量的定必分点性质可分别表示出，，，然后三者相加即可得到答案．【解答】解：由定比分点的向量式得：，，，以上三式相加得，故选A10．设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ（k∈Z），再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项．【解答】解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]=2cos（2x+φ﹣），∵ω=2，∴T==π，又函数图象关于直线x=0对称，∴φ﹣=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），∴函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．故选B11．设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）A．2 B．C．3 D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据，变形得∴，利用向量加法的平行四边形法则可得2=﹣4，从而确定点O 的位置，进而求得△ABC 的面积与△AOC 的面积的比．【解答】解：分别取AC 、BC 的中点D 、E ，∵，∴，即2=﹣4，∴O 是DE 的一个三等分点，∴=3，故选C ．12．已知在等边△ABC 中，AB=3，O 为中心，过O 的直线与△ABC 的边分别交于点M 、N ，则+的最大值是（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】解三角形的实际应用．【分析】如图所示，设∠AOM=θ．由点O 是正△ABC 的中心，AC=3．可得AD ═AC •sin60°，AO=AD ．在△AMO 中，由正弦定理可得：OM==，同理在△ANO 中，可得：ON=．代入即可得出．【解答】解：如图所示，设∠AOM=θ．∵点O 是正△ABC 的中心，AC=3．∴AD ═AC •sin60°=，AO=AD=．在△AMO 中，由正弦定理可得： =，∴OM==，同理在△ANO中，由正弦定理可得：ON=．∴=+==2sinθ．∵，由过O的直线交AB于M，交AC于N，可得，因此当时，取得最大值2．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．高一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则需要将全班同学分成8组．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样进行求解即可．【解答】解：高一某班有学生56人，系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则56÷8=7，即样本间隔为7，每7人一组，共需要分成8组，故答案为：814．已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则tan=1+．【考点】两角和与差的正切函数；半角的三角函数．【分析】先利用正切的两角和公式求得tan（α+β）的值，进而求得α+β，的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：tan（α+β）===﹣1，∵α、β都是锐角，∴α+β=，可得：=，tan＞0，∵tan （α+β）=﹣1=，整理可得：tan 2﹣2tan ﹣1=0，∴解得：tan =1+，或1﹣（舍去）．故答案为：1+．15．有一解三角形的题目因纸张破损，有一条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a=，2cos 2=（﹣1）cosB ，c=，求角A ，若该题的答案是A=60°，请将条件补充完整．【考点】余弦定理．【分析】利用诱导公式、二倍角公式求得B ，再利用两角和的正弦公式求得sin75°的值，再利用正弦定理求得c 的值．【解答】解：在△ABC 中，∵已知a=，2cos 2=（﹣1）cosB ，∴1+cos （A +C ）=（﹣1）cosB ，即 1﹣cosB=（﹣1）cosB ，∴cosB=，∴B=．若A=60°，则C=180°﹣A ﹣B=75°，sin75°=sin （45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，则由正弦定理可得=，求得c=，故答案为：．16．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC=BC=1，且x +y=1，函数的最小值为，则的最小值为．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC=BC=1，函数f （m ）的最小值为．利用数量积的性质可得∠ACB ，进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出．【解答】解：在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC=BC=1，函数f （m ）的最小值为．∴函数==，化为4m 2﹣8mcos ∠ACB +1≥0恒成立．当且仅当m==cos ∠ACB 时等号成立，代入得到，∴．∴===x 2+（1﹣x ）2﹣x （1﹣x ）=，当且仅当x==y 时，取得最小值，∴的最小值为．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分） 17．已知函数f （x ）=Asin （x +φ）（A ＞0，0＜φ＜π），x ∈R 的最大值是1，其图象经过点．（1）求f （x ）的解析式；（2）已知，且，，求f （α﹣β）的值．【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）根据题意求出A ，图象经过点，代入方程求出φ，然后求f （x ）的解析式；（2），且，，求出，然后求出sin α，sin β，利用两角差的余弦函数求f （α﹣β）的值．【解答】解：（1）依题意有A=1，则f （x ）=sin （x +φ），将点代入得，而0＜φ＜π，∴，∴，故．（2）依题意有，而，∴，．18．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且=2csinA（1）确定角C 的大小；（2）若c=，且△ABC 的面积为，求a +b 的值．【考点】解三角形． 【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC ，进而求得C ． （2）利用三角形面积求得ab 的值，利用余弦定理求得a 2+b 2的值，最后求得a +b 的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A 锐角， ∴sinA ＞0，∴，又∵C 锐角，∴（2）三角形ABC 中，由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcosC 即7=a 2+b 2﹣ab ，又由△ABC 的面积得．即ab=6，∴（a +b ）2=a 2+b 2+2ab=25 由于a +b 为正，所以a +b=5．19．如图，已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设Z 是直线OP 上的一动点．（1）求使•取最小值时的；（2）对（1）中求出的点Z ，求cos ∠AZB 的值．【考点】平面向量的综合题． 【分析】（1）运用向量共线的坐标表示，求得向量ZA ，ZB 的坐标，由数量积的标准表示，结合二次函数的最值求法，可得最小值，及向量OZ ；（2）求得t=2的向量ZA ，ZB ，以及模的大小，由向量的夹角公式，计算即可得到． 【解答】解：（1）∵Z 是直线OP 上的一点，∴∥，设实数t ，使=t ，∴=t （2，1）=（2t ，t ），则=﹣=（1，7）﹣（2t ，t ）=（1﹣2t ，7﹣t ）， =﹣=（5，1）﹣（2t ，t ）=（5﹣2t ，1﹣t ）．∴•=（1﹣2t ）（5﹣2t ）+（7﹣t ）（1﹣t ） =5t 2﹣20t +12=5（t ﹣2）2﹣8．当t=2时， •有最小值﹣8， 此时=（2t ，t ）=（4，2）．（2）当t=2时， =（1﹣2t ，7﹣t ）=（﹣3，5），||=，=（5﹣2t ，1﹣t ）=（1，﹣1），||=．故cos ∠AZB ═==﹣=﹣．20．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下： [60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150]，4．（1）在给出的样本频率分布表中，求A ，B ，C ，D 的值； （2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；（3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60，75）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（1）由样本频率分布表，能求出A ，B ，C ，D 的值．（2）由频率分布表能估计成绩在120分以上（含120分）的学生比例．（3）成绩在[60，75）内有2人，记为甲、A ，成绩在[135，150]内有4人，记为乙，B ，C ，D ，由此利用列举法能求出甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率． 【解答】解：（1）由样本频率分布表，得：C=50，A=50﹣2﹣3﹣14﹣15﹣4=12，B==0.24，D=1．（2）估计成绩在120分以上（含120分）的学生比例为：0.24+0.08=0.32． （3）成绩在[60，75）内有2人，记为甲、A ， 成绩在[135，150]内有4人，记为乙，B ，C ，D ， 则“二帮一”小组有以下12种分组办法：甲乙B ，甲乙C ，甲乙D ，甲BC ，甲BD ，甲CD ，A 乙B ，A 乙C ，A 乙D ，ABC ，ABD ，ACD ，其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙B ，甲乙C ，甲乙D ，∴甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率为：p=．21．某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD ，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE 、EF 和OF ，考虑到整体规划，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF=90°．（1）设∠BOE=α，试将△OEF 的周长l 表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）要将△OEF 的周长l 表示成α的函数关系式，需把△OEF 的三边分别用含有α的关系式来表示，而OE ，OF ，分别可以在Rt △OBE ，Rt △OAF 中求解，利用勾股定理可求EF ，从而可求． （2）要求铺路总费用最低，只要求△OEF 的周长l 的最小值即可．由（1）得l=，α∈[，]，利用换元，设sin α+cos α=t ，则sin αcos α=，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．【解答】解：（1）∵在Rt △BOE 中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=在Rt △AOF 中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=．又∠EOF=90°， ∴EF==，∴l=OE +OF +EF=．当点F 在点D 时，这时角α最小，此时α=；当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α=．故此函数的定义域为[，]；（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF 的周长l 的最小值即可．由（1）得，l=，α∈[，]，设sin α+cos α=t ，则sin αcos α=，∴l==由t=sinα+cosα=sin（α+），又≤α+≤，得，∴，从而当α=，即BE=25时，l min=50（+1），所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000（+1）元．22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量=（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．（1）若⊥，且||=||，求向量；（2）若向量与向量共线，常数k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域；（3）当（2）问中f（θ）的最大值4时，求•．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示及向量模的坐标表示，列出关于n，t的方程组，并解即可．（2）向量与向量共线，得出f（θ）=tsinθ=（﹣2ksinθ+16）sinθ，利用配方法结合一元二次函数的最值性质进行求解．（3）根据（2）问中f（θ）的最大值4时，建立方程关系求出k或θ，求即可．【解答】解：（1），∵，∴8﹣n+2t=0又，∴（n﹣8）2+t2=5×64得t=±8，∴或（﹣8，﹣8）（2），∵向量与向量共线，∴t=﹣2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=（﹣2ksinθ+16）sinθ=①，∴时，f（θ）=tsinθ取最大值为，sinθ=﹣1时，f（θ）取得最小值为﹣2k﹣16，此时函数的值域为[﹣2k﹣16，]②，∴sinθ=1时，tsinθ取最大值为﹣2k+16，sinθ=﹣1时，f（θ）取得最小值为﹣2k﹣16，此时函数的值域为[﹣2k﹣16，﹣2k+16]．（3）①当k＞4时，由=4，得k=8，此时，，∴②当0＜k＜4时，由﹣2k+16=4，得k=6，（舍去）综上所述，∴．2016年7月31日。

辽宁省实验中学分校2015—--2016学年度下学期阶段性测试数学学科高一年级命题人:侯佰祥校对人：张园园注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列各角中与32π终边相同的一个是（）A. 3πB。

23π-C。

43π- D. 35π2。

某单位有职工750人,其中青年职工350人，中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本。

若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（）A.7B.15C。

25 D.353。

某程序框图如右图所示，若输出S＝57,则判断框内为（）A．k〉4 B．k〉5C ．k >6D ．k >74．若点P （3，y )是角α终边上的一点，且满足30,cos ,5y α<=则tan α＝（ )A ．－错误!B 。

错误! C.错误! D ．－错误!5．已知1tan 2α=,则cossin cos sin αααα+=-（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3- 6．已知角θ在第四象限，且|sin |sin 22θθ=-,则2θ是（ ）A.第三象限B.第四象限 C 。

第一象限或第三象限 D 。

第二象限或第四象限7。

已知1sin()123πα+=,则7cos()12πα+的值( ）A.B C ．13- D ．138. 平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．29．若(0,)4πθ∈ ( ）A ．sin cos θθ- B.cos sin θθ- C ．(sin cos )θθ±- D ．sin cos θθ+ 10．单位向量e 1、e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与e 1的夹角的余弦值是( ）A 。