八年级数学平行四边形的性质综合题-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷

八年级初二数学平行四边形练习题含答案一、解答题1．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．2．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ． （1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．3．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．4．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．5．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；（3）在（2）的条件下，若OE ＝2，求CE 的长．6．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC．（直接写出结果）7．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ． （1）如图1，求证：//AC DE ；（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．8．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积； （2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

初二平行四边形练习题含答案本篇文章将为初二学生提供一些关于平行四边形的练习题，并附带答案，帮助学生巩固对平行四边形的理解和应用。

以下是一些练习题，希望对同学们有所帮助。

练习题一：已知平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点。

若AE的长度为8cm，求线段EF的长度。

解答：由平行四边形的性质可知，连结AC和BD两线段的中点为G，那么EG = GF。

由于AE的长度为8cm，AB和CD平行，所以AC的长度为16cm。

根据三角形EGC和GFC的相似性，可得EF与GF之比等于AC与CG之比，即EF/GF = AC/CG。

由于AC的长度为16cm，而CG的长度为8cm（CG为AC的中点），所以EF/GF = 16/8，即EF/GF = 2。

因此，EF的长度为GF的2倍，即EF = 2 * GF。

由于EG= GF，所以EF = 2 * EG。

代入已知条件，得到EF = 2 * 8 = 16。

因此，线段EF的长度为16cm。

练习题二：在平行四边形EFGH中，已知EF的长度为10cm，FG的长度为8cm，角EFG的度数为120°，求线段GH的长度。

解答：由平行四边形的性质可知，EF与GH的长度相同，FG与EH 的长度相同，且角EFG与角HGE互补（即两个角的度数之和为180°）。

已知EF的长度为10cm，FG的长度为8cm，所以GH的长度也为8cm。

又已知角EFG的度数为120°，根据平行四边形内角和定理，可得角HGE的度数为180° - 120° = 60°。

因此，线段GH的长度为8cm。

练习题三：已知平行四边形IJKL中，IJ的长度为12cm，KL的长度为20cm，角KJL的度数为110°，求角KIL的度数。

解答：由平行四边形的性质可知，角IJK与角KJL互补（即两个角的度数之和为180°），角IJK与角KIL互补。

已知角KJL的度数为110°，所以角IJK的度数为180° - 110° = 70°。

八上平行四边形性质、判定综合练习题一、主观题1.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD.（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF.2.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点 B，C分别落在点B′，C处，线段EC'与线段AF交于点G，连接DG，B'G.求证：（1）∠1=∠2;（2）DG=B'G.3.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2.求证：（1）BE=DF;(2)AF//CE.4.如图，将▱ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D'处，折痕l 交CD 边于点E ，连接BE.（1）求证：四边形BCED'是平行四边形.（2）若BE 平分∠ABC ，求证：222BE AE AB +=.二、客观题1.如图，E 为▱ABCD 外一点，且EB ⊥BC 于点B ，ED ⊥CD 于点D ，若∠E=50°，则∠A 的度数为（ ）A.135°B. 125°C. 130°D.120°（第1 题） （第2题） （第3题） 2.如图，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交CD 边于E ，AD=3，EC=2，则AB 的长为（ ）A.3B.2C.1D.53.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，AC=16，BD=20，AB=11，则△COD 的周长是（ ）A.28B.29C.31D.304.平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）A.8和16B.10和16C.8和14D.8和125.在平面直角坐标系中，若以A （0，0），B （2，0），C （-1，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.用边长分别为3cm 、5cm 、6cm 两个全等的三角形拼成平行四边形，以下数值不可能是这些平行四边形周长的是（ ）A.16cmB.18cmC.20cm D ．22cm7.如图，在▱ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，若BE=2，BF=3，▱ABCD的周长为20，则平行四边形的面积为8.在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=190°，则∠A=9.▱ABCD的周长是30cm，AB=5cm，则AD=cm.10.如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BD，AC=10，BD=24，则AD=11.如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE 的周长为8cm，则▱ABCD的周长为cm.12.如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=6，∠BCD的平分线CE交AD于点E，∠ABC的平分线BG交AD于点G，则EG的长为（第7题）（第10题）（第11题）（第12题）。

八年级数学下册平行四边形的性质练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，则平行四边形ABCD 的周长等于 _____．2．如图，等腰△ABC 中，△BAC =120°，点D 在边BC 上，等腰△ADE 绕点A 顺时针旋转30°后，点D 落在边AB 上，点E 落在边AC 上，若AE =2cm ，则四边形ABDE 的面积是__________．3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．4．如图，已知DG △BC ，AC △BC ，CD △AB ，EF △AB ，则DG 与AC 间的距离是线段________的长，CD 与EF 间的距离是线段________的长．5．如图，平行四边形的中心在原点，AD BC ∥，D （3，2），C （1，﹣2），则A 点的坐标为________，B 点的坐标为________．6．如图，在平面直角坐标系中，点()1,2A -，4OC =，将平行四边形OABC 绕点O 旋转90°后，点B 的对应点B '坐标是______．7．如图，菱形ABCD 中，∠ABD=30°，AC=4，则BD的长为_______．8．如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A（0，3），B（−1，0），若直线y＝−2x＋4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是______．二、单选题9．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（）.A．1cm2B．2cm2C．0.5cm2D．1.5cm210．已知三角形的三边长分别为2、x、8，则x的值可能是（）A．4B．6C．9D．1011．已知A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知某点阵的第△△△个图如图所示，按此规律第（ ）个点阵图中，点的个数为2022个．A ．1009B ．2018C ．2022D ．2048三、解答题13．如图，PBD △和PAC △都是直角三角形，90DBP CAP ∠=∠=︒．(1)如图1，PA ，PB 与直线MN 重合，若45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，求DPC ∠的度数；(2)如图2，若45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，PBD △保持不动，PAC △绕点P 逆时针旋转一周．在旋转过程中，当PC BD ∥时，求APN ∠的度数；(3)如图3，()90180BPA a α∠=︒<<︒，点E 、F 分别是线段BD 、AC 上一动点，当PEF 周长最小时，直接写出EPF ∠的度数（用含α的代数式表示）．14．在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．(1)当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：△GE GD =；△BO GD GO FC ⋅=⋅．(2)当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论△的证明．15．如图，已知,AF DE AE FD ==，点B 、C 在AD 上，AB CD =，BF CE =．（1）图中共有__________对全等三角形；分别是__________；（2）我会说明__________≌△__________．（写出证明过程）参考答案：1．14【分析】由平行四边形的对边相等即可求得其周长．【详解】解：△四边形ABCD是平行四边形，△AB＝CD，BC＝AD，△平行四边形的周长为＝2（AB+BC）＝2×（3+4）＝14，故答案为：14．【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等是解答的关键．22．【分析】如图，作AH△BC于H．证明四边形ABDE是平行四边形即可解决问题．【详解】解：如图，作AH△BC于H．由题意得：△EAD=△BAC=120°，△EAC=△C=30°，△AE△BC，△△ADH=△B+△BAD，△B=△BAD=30°，△△ADH=60°，BD=AD=AE=2cm，△AHcm），△BD=AE，BD△AE，△四边形ABDE是平行四边形，△SABCD=BD•AH cm2）.2．故答案为【点睛】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．3．6【分析】分类讨论：AB =AC =2BC 或BC =2AB =2AC ，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：△△ABC 是等腰三角形，底边BC =3△AB =AC当AB =AC =2BC 时，△ABC 是“倍长三角形”；当BC =2AB =2AC 时，AB +AC =BC ，根据三角形三边关系，此时A 、B 、C 不构成三角形，不符合题意； 所以当等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．4． CG DE【分析】根据平行线间的距离等于平行线间任意一条垂线段的长度即可解题.【详解】解：由题可知：DG△AC,CD△EF,△DG 与AC 间的距离是线段CG ，CD 与EF 间的距离是线段DE.【点睛】本题考查了平行线之间的距离,属于简单题,找到平行线之间的垂线段是解题关键.5． （﹣1，2） （﹣3，﹣2）【分析】根据“关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数”即可解答．【详解】解：因为平行四边形是中心对称图形，而平行四边形的中心在原点，则A 点的坐标为（﹣1，2），B 点的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣1，2），（﹣3，﹣2）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数是解题的关键．6．()2,3-或()2,3-【分析】根据旋转可得： BM = B 1M 1 = B 2M 2 = 3，△AOA 1 =△AOA 2 = 90°，可得B 1和B 2的坐标，即是B '的坐标．【详解】解：△A (-1，2)， OC = 4，△ C (4，0)，B (3，2)，M (0，2)， BM = 3，AB//x轴，BM= 3．将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，由旋转得：OM=OM1=OM2=2，△AOA1=△AOA2=90°BM=B1M1=B2M2=3，A1B1△x轴，A2B2△x轴，△B1和B2的坐标分别为：(-2，3)，(2，-3)，△B'即是图中的B1和B2，坐标就是，B' (-2，3)，(2，-3)，故答案为：(-2，3)或(2，-3)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．7．【分析】根据菱形的性质可得△ABO=30°，AO=12AC=2，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可求得BO的长，从而得到结果．【详解】如图：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点，△ABD=30°，AC=4，△AC△BD，AO=12AC=2，△AB=2AO=4，△BO，22BD BO∴==⨯=故答案为：【点睛】本题考查的是菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，对角线平分对角．8．（72，3）【分析】连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．【详解】解：连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．△B（−1，0），△T（12m-，32），△直线y＝−2x＋4平分平行四边形ABCD的面积，△直线y＝−2x＋4经过点T，△32＝−2×12m-＋4，△m＝72，△D（72，3），故答案为：（72，3）．【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，一次函数的性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．A【分析】根据三角形中线的性质可得S△EBC=12S△ABC，1124BEF BEC ABCS S S==，结合已知条件即可求解．【详解】解：△点D ，E 分别为边BC ， AD 中点， 111,,222ABD ABC BED ABD CED ABD SS S S S S ∴===， 12BED DEC BEC ABC S S S S ∴+==，△F 是EC 的中点， 12BEF BEC S S =， 14BEF ABCS S ∴=， △ABC 的面积等于4cm 2，△S △BEF =1cm 2，即阴影部分的面积为1cm 2,故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．10．C【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进而得出答案．【详解】解：三角形三边长分别为2，8，x ，8282x ∴-<<+，即：610x <<，只有9符合，故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是正确把握三角形三边关系定理．11．C【详解】分析：由已知条件可知，顺次连接A 、B 、C 三点可得△ABC ，在分别以AB 、BC 和AC 为对角线各作出一个以点A 、B 、C 为顶点的平行四边形，如下图，由此即可得到本题答案了.详解：△点A 、B 、C 不在同一条直线上时，△顺次连接A 、B 、C 三点可得△ABC ，△分别以AB 、BC 和AC 为对角线各作出一个以点A 、B 、C 为顶点的平行四边形，如下图所示：△当A 、B 、C 三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有3个.故选C.点睛：知道以三角形的每一条边为一条对角线都可以画出一个以该三角形的三个顶点为顶点的平行四边形，是解答本题的关键.12．A【分析】仔细观察图形变化，找到图形变化的规律，利用规律求解．【详解】解：第1个图里有6个点，6=4+2；第2个图有8个点，8=4+2×2；第3个有10个点，10=4+3×2；…则第n 个图中点的个数为4+2n ，令4+2n =2022， 解得n =1009．故选：A ．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据图形得出每往后一个图形，点的个数相应增加2个．13．(1)75DPC ∠=︒(2)30APN ∠=︒或150︒(3)2180α-︒【分析】（1）先算出9045DPB BDP ∠=︒-∠=︒，9060CPA ACP ∠=︒-∠=︒，然后根据平角的定义，求出75DPC ∠=︒即可；（2）分点C 在MN 上方和点C 在MN 下方两种情况进行讨论，根据平行线的性质，求出结果即可；（3）延长PB 截取BG =PB ，在MN 上截取AH =AP ，连接GH ，交BD 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，此时△PEF 的周长最小，根据三角形外角的性质和垂直平分线的性质，求出EPF ∠的度数即可．（1）解：△90DBP CAP ∠=∠=︒，45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，△9045DPB BDP ∠=︒-∠=︒，9060CPA ACP ∠=︒-∠=︒，△PA ，PB 与直线MN 重合，△18075DPC DPB CPA ∠=︒-∠-∠=︒．（2）当点C 在MN 上方时，如图所示：PC BD ∥，45BDP ∠=︒，△45CDP BDP ∠=∠=︒，△45DPB ∠=︒，60CPA ∠=︒，△18030APN BPD CPD CPA ∠=︒-∠-∠-∠=︒；当点C 在MN 下方时，如图所示：△PC BD ∥，90DBP ∠=︒，△90BPC DBP ∠=∠=︒，18090CPN BPC ∴∠=︒-∠=︒，△6090150APN APC CPN ∠=∠+∠=︒+︒=︒；综上分析可知，30APN ∠=︒或150︒．（3）延长PB 截取BG =PB ，在MN 上截取AH =AP ，连接GH ，交BD 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，此时△PEF 的周长最小，如图所示：△90DBP CAP ∠=∠=︒，△DB GP ⊥，CA PH ⊥，△DB 垂直平分PG ，CA 垂直平分PH ，△EG =EP ，FP =FH ，△EGP EPG ∠=∠，PHF HPF ∠=∠，△△MPG 是△PGH 的外角，△MPG EGP PHF EPG FPH ∠=∠+∠=∠+∠，180MPG α∠=︒-，△180EPG FPH MPG α∠+∠=∠=︒-，△()EPF APB EPG FPH ∠=∠-∠+∠()180αα=-︒-2180α=-︒【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据题意作出图形，并进行分类讨论，是解题的关键．14．(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）△证明ADG AEG ≌△即可；△连接BG ，CG ，证明ADG BCG ≌△，BOE GOC ∽△△即可证明；（2）△的结论和（1）中证明一样，证明ADG AEG ≌△即可；△的结论，作DM BC GM ⊥，连接，证明BOE GOM ∽△△即可．（1）证明：△证明过程：四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒AF 平分BAD ∠45BAF DAF ∴∠=∠=︒ABF ∴为等腰直角三角形AB BF ∴=BE FC =AB BE BF CF AE BC AD ∴+=+==，即AG AG =∴ADG AEG ≌△∴GE GD =△证明：连接BG ，CG ，G 为AF 的中点，四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD AD BC ∴∠=∠=︒=，BG AG FG ∴==AF 平分BAD ABF ∠，为等腰直角三角形，45BAF DAF ABG CBG ∴∠=∠=︒=∠=∠∴ADG BCG ≌△∴ADG BCG ∠=∠ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠E BCG ∴∠=∠BOE GOC ∠=∠BOE GOC ∴∽△△BO GO GO BOBE GC GD CF ∴===∴BO GD GO FC ⋅=⋅（2）作DM BC BC M GM GN DM DM N ⊥⊥交于，连接，作交于点，如图所示90DMB GNM GND DMC ∴∠=︒=∠=∠=∠由（1）同理可证：ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠四边形ABCD 为平行四边形AD BC ∴∥90ADM DMC ∴∠=∠=︒BC GN AD ∴∥∥G 为AF 的中点，由平行线分线段成比例可得DN MN =DG MG ∴=，,GDM GMDADG BMG EBOE GOM ∠=∠BOE GOM ∴∽△△BO GO GO BO BE GM GD CF∴=== ∴BO GD GO FC ⋅=⋅【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证明，正确作出辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键．15．（1）3对；,,AED DFA AEC DFB AFB DEC ≌≌≌；（2）AED DFA ≌，证明见解析．【分析】根据已知条件，结合三角形全等的判定定理，推理即可得到正确答案．【详解】解：（1）3对；,,AED DFA AEC DFB AFB DEC ≌≌≌；（2）我会说明AED DFA ≌．证明：在AED 和DFA 中，△,,,DE AF DA AD AE DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩△()AED DFA SSS ≌．【点睛】本题考查三角形全等的判定定理，根据定理内容找到全等条件是解题关键．。

八年级初二数学平行四边形练习题附解析一、解答题1．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．2．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．3．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图24．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF OF＝ （直接填结果）．5．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：2DE AF =．6．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．7．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点C 、E 、F 、G 按逆时针排列），连接BF.（1）如图1,当点E 与点D 重合时，BF 的长为 ；（2）如图2，当点E 在线段AD 上时，若AE=1，求BF 的长；（提示：过点F 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N.）（3）当点E 在直线AD 上时，若AE=4，请直接写出BF 的长.8．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.9．如图，在矩形 ABCD中， AB=16 ， BC=18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.(I)若 AE=0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE=3 时，且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE=8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.10．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着A B C D→→→路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t秒，问：（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）112；（2）112或4；（3）四边形PBQD不能成为菱形【分析】（1）由∠B=90°，AP ∥BQ ，由矩形的判定可知当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形；（2）由（1）可求得点P 、Q 与点A 、B 为顶点的四边形为平行四边形；然后由当PD=CQ时，CDPQ 是平行四边形，求得t 的值；（3）由PD ∥BQ ，当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形，先由PD=BQ 求出运动时间t 的值，再代入求BP ，发现BP≠PD ，判断此时四边形PBQD 不能成为菱形；设Q 点的速度改变为vcm/s 时，四边形PBQD 在时刻t 为菱形，根据PD=BQ=BP 列出关于v 、t 的方程组，解方程组即可求出点Q 的速度．【详解】（1）如图1，∵∠B=90°，AP ∥BQ ，∴当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，此时有t=22﹣3t ，解得t=112． ∴当t=112时，四边形ABQP 成为矩形； 故答案为112； （2）如图1，当t=112时，四边形ABQP 成为矩形， 如图2，当PD=CQ 时，四边形CDPQ 是平行四边形，则16﹣t=3t ，解得：t=4， ∴当t=112或4时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形； 故答案为112或4； （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD=BQ ，得16﹣t=22﹣3t ，解得：t=3，当t=3时，PD=BQ=13，，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为vcm/s 时，能够使四边形PBQD 在时刻ts 为菱形，由题意，得162216t vtt -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩62t v =⎧⎨=⎩． 故点Q 的速度为2cm/s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．2．（1）详见解析；（2）18【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD ，AB=BF ，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF ，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC ，AD=FC=6，求出AD ⊥CF ，根据三角形的面积求出即可．【详解】解：（1）四边形ABFG 、BCED 是正方形，AB FB ∴=，CB DB =，90ABF CBD ∠=∠=︒，ABF ABC CBD ABC ∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBF ∠=∠在ABD ∆和FBC ∆中，AB FB ABD CBF DB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBC SAS ∴∆≅∆；图1 图2（2）ABD FBC ∆≅∆，BAD BFC ∴∠=∠，6AD FC ==，180AMF BAD CNA ∴∠=︒-∠-∠ 180()BFC BNF =︒-∠+∠1809090=︒-︒=︒AD CF ∴⊥-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形11112222AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．3．（1）见解析（2）见解析（3）15【分析】（1）根据四边形ABCD 是正方形，得到∠QBA ＝∠QBC ，进而可得△QBA ≌ △QBC ，∠QAB ＝∠QCB ，再根据CQ ＝MQ ，得到∠QCB ＝∠QMC ，即可求证；（2）根据∠QAB ＝∠QMC ，∠QMC ＋∠QMB ＝180°，得到∠QAB ＋∠QMB ＝180°，在四边形QABM 中，∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°可得∠ABM ＋∠AQM ＝180°，再根据∠ABM ＝90°即可求解；（3）设正方形ABCD 的边长为a ，延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2，证得△ADH ≌△ABM ，得到∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM ，由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形，易得∠NAM ＝∠NAH ，进而得到△NAM ≌ △NAH ，在Rt △MNC 中，利用勾股定理得到6a =，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠QBA ＝∠QBC在△QBA 和△QBC 中BA BC QBA QBC QB QB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBA ≌ △QBC （SAS ）∴∠QAB ＝∠QCB又∵CQ ＝MQ∴∠QCB ＝∠QMC∴∠QAB ＝∠QMC （2）∵∠QAB ＝∠QMC又∵∠QMC ＋∠QMB ＝180°∴∠QAB ＋∠QMB ＝180°在四边形QABM 中∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°∴∠ABM ＋∠AQM ＝180°而∠ABM ＝90°∴∠AQM ＝90°（3）设正方形ABCD 的边长为a ，则2MC a =-，3ND a =-延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2易证△ADH ≌ △ABM∴∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形∴∠QAM ＝45°∴∠DAN ＋∠BAM ＝45°∴∠DAN ＋∠DAH ＝45°即∠NAH ＝45°∴∠NAM ＝∠NAH∴△NAM ≌ △NAH （SAS ）∴NM ＝NH ＝()321a a -+=-在Rt △MNC 中，222MN MC NC =+∴()()222123a a -=-+∴6a = ∴11651522AMN AHN S S AD NH ==⋅=⨯⨯=【点睛】此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、四边形的内角和、等腰直角三角形的性质及勾股定理，灵活运用性质是解题关键．4．（1）见解析；（2）FG=EP ，理由见解析；（32【分析】（1）证△ODE ≌△OFB （ASA ），即可得出OE=OF ；（2）连AC ，由（1）可知OE=OF ，OB=OD ，证△AOE ≌△COF （SAS ），得AE=CF ，由折叠性质得AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，则∠D=∠B 1，证△A 1PE ≌△CGF （AAS ），即可得出FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，证四边形ABCD 是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得BC=43CF=3，由等腰三角形的性质得BH=CH=12BC=3HF=423-，OH=12OB=2，由勾股定理得OF=2622，进而得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠ODE=∠OBF ，∠OED=∠OFB ，∵AE=CF ，∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ，在△ODE 和△OFB 中， ODE OBF DE BFOED OFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ODE ≌△OFB （ASA ），∴OE=OF ；（2）FG=EP ，理由如下：连AC ，如图②所示：由（1）可知：OE=OF ，OB=OD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 过点O ，OA=OC ，∠BAD=∠BCD ，∠D=∠B ， 在△AOE 和△COF 中，OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （SAS ），∴AE=CF ，由折叠性质得：AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1， ∴∠D=∠B 1，∵∠A 1PE=∠DPH ，∠PHD=∠B 1HG ，∴∠DPH=∠B 1GH ，∵∠B 1GH=∠CGF ，∴∠A 1PE=∠CGF ，在△A 1PE 和△CGF 中，111A PE CGF A FCG A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1PE ≌△CGF （AAS ），∴FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，如图③所示：∵△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵AB=OB=BF=4，∴AC=BD=2OB=8，由勾股定理得：BC=2222=84AC AB --=43，∴CF=43-4， ∵OB=OC ，OH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=23， ∴HF=4-23，OH=12OB=2， 在Rt △OHF 中，由勾股定理得：OF=22OH HF +=()222423+-=2622-，∴434226222CF OF -===-， 故答案为：2．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得α=∠DCE =30°．（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得△ABG ≌△ADH .从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE =CD ,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE =60°.又∵∠BCD =90°,∴α=∠DCE =30°.（2）∠BEF 的度数不发生变化.在△CED 中，CE =CD ,∴∠CED =∠CDE =1809022︒-αα︒-， 在△CEB 中,CE =CB ,∠BCE =90α︒-,∴∠CEB =∠CBE =1804522BCE α︒-∠=︒+, ∴∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I易知四边形AGFH 是平行四边形，又∵BF ⊥DF ，∴平行四边形AGFH 是矩形.∵∠BAD =∠BGF =90°，∠BPF =∠APD ，∴∠ABG =∠ADH .又∵∠AGB =∠AHD =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADH .∴AG =AH ，∴矩形AGFH 是正方形.∴∠AFH =∠FAH =45°，∴AH =AF∵∠DAH +∠ADH =∠CDI +∠ADH =90°∴∠DAH =∠CDI又∵∠AHD =∠DIC =90°，AD =DC ，∴△AHD ≌△DIC∴AH =DI ，∵DE =2DI ，∴DE =2AH AF【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（1）①EAB DAC ∠=∠； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析．【分析】（1）①根据EAD BAC ∠=∠，两角有公共角BAD ∠，可证EAB DAC ∠=∠；②连接EB ，证明△EAB ≌△DAC ，可得,ABE ACD EB CD ∠=∠=,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC ，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CDEF 为平行四边形．（2）根据60BAC ∠=︒，可证明△AED 和△ABC 为等边三角形，再根据ED ∥FC 结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA ，求证△ABD ≌△CAF ，得出ED=CF ，进而求证四边形EDCF 是平行四边形．【详解】解：（1）①EAB DAC ∠=∠，理由如下：∵EAD BAC ∠=∠，EAD EAB BAD ∠=∠+∠，BAC BAD DAC ∠=∠+∠, ∴EAB BAD BAD DAC ∠+∠=∠+∠，∴EAB DAC ∠=∠；②证明：如下图，连接EB,在△EAB 和△DAC 中∵AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAB ≌△DAC （SAS ）∴,ABE ACD EB CD ∠=∠=,∵AB AC =，∴ABC ACD ∠=∠,∴ABE ABC ∠=∠，∵//EF DC ，∴EFB ABC ∠=∠,∴ABE EFB ∠=∠,∴EB EF =,∴DC EF =∴四边形CDEF 为平行四边形；（2）成立；理由如下：理由如下：∵60BAC ∠=︒，∴=60EAD BAC ∠=∠︒，∵AE=AD ，AB=AC ，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED,∵ED ∥FC ，∴∠EDB=∠FCB ，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF ，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB ，∴∠AFC=∠BDA ，在△ABD 和△CAF 中，60BDA AFC B BAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAF （AAS ），∴AD=FC ，∵AD=ED ，∴ED=CF ，又∵ED ∥CF ，∴四边形EDCF 是平行四边形．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质．在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全等．本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第②问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大．7．（1）35；（2）41；（3）53101或【分析】（1）利用勾股定理即可求出.（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，证出ECD FEH ∆∆≌，进而求得MF ，BM 的长，再利用勾股定理，即可求得.（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.【详解】（1）由勾股定理得：22223635BF AB AF =+=+=（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，如图2所示：则FM=AH ，AM=FH∵四边形CEFG 是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，又∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH 又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ECD FEH ∆∆≌ ∴FH=ED EH=CD=3∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5在Rt △BFM 中，BF=22225441BM MF +=+=（3）分两种情况：①当点E 在边AD 的左侧时，过点F 作FM ⊥BC 交BC 的反向延长线于点M ，交DE 于点N.如图3所示：∆≅∆同（2）得：ENF DEC∴EN=CD=3，FN=ED=7∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10∆中在Rt FMB由勾股定理得：2222=+=+=FB FM MB101101②当点E在边AD的右侧时，过点F作FN⊥AD交AD的延长线于点N，交BC延长线于M，如图4所示：∆≅∆同理得：CDE EFN∴NF=DE=1，EN=CD=3∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4∴BM=CB+CM=3+4=7∆中在Rt FMB由勾股定理得：2222FB FM MB=+=+=2753或故BF53101【点睛】本题为考查三角形全等和勾股定理的综合题，难点在于根据E点位置的变化，画出图形，注意（3）分情况讨论，难度较大，属压轴题，熟练掌握三角形全等的性质和判定以及勾股定理的运用是解题关键.8．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CN=25.【解析】【分析】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，先证明CQ=CE，再证明△FQD≌△FEA，根据全等三角形的对应边相等可得EF=FQ，再根据等腰三角形的性质即可得CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，证明四边形DFHP是矩形，继而证明△HPC≌△FMK，根据全等三角形的性质即可得CH=FK；(3)连接CN，延长HG交CN于点T，设∠DCF=α，则∠GCF=α，先证明得到FG=CG=GE，∠CGT=2α，再由FG是BC的中垂线，可得BG = CG，∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，再证明HN∥BG，得到四边形HGBN是平行四边形，继而证明△HNC≌△KGF，推导可得出HT=CT=TN ，由FH-HG=1，所以设GH=m，则BN=m，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，继而根据22222=-=-，可得关于m的方程，解方程求得m的值即可求得答案. BC CN BN CE BE【详解】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，∵矩形ABCD，AB∥CD，∴∠AEF=∠CQE，∠A=∠QDF，又∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEF=∠CEF，∴∠CEF=∠CQE，∴CQ=CE，∵点F是AD中点，∴AF=DF，∴△FQD≌△FEA，∴EF=FQ，又∵CE=CQ，∴CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，∵CQ=CE ，CF⊥EF，∴∠DCF=∠FCE，又∵FD⊥CD，∴FM=DF，∵FG//AB，∴∠DFH=∠DAC=90°，∴∠DFH=∠FDP=∠DPH=90°，∴四边形DFHP 是矩形，∴DF=HP ，∴FM= DF=HP ，∵∠CHG=∠BCE ，AD ∥BC ，FG ∥CD ，∴∠K=∠BCE=∠CHG=∠DCH ，又∵∠FMK=∠HPC=90°，∴△HPC ≌△FMK ，∴CH=FK ；(3)连接CN ，延长HG 交CN 于点T ，设∠DCF=α，则∠GC F=α，∵FG ∥CD ，∴∠DCF=∠CFG ，∴∠FCG=∠CFG ，∴FG=CG ，∵CF ⊥EF ，∴∠FEG+∠FCG=90°，∠CFG+∠GFE=90°，∴∠GFE=∠FEG ，∴GF=FE ，∴FG=CG=GE ，∠CGT=2α，∵FG 是BC 的中垂线，∴BG = CG ， ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，∵∠CHG=∠BCE=90°-2α，∠CHN=90°，∴∠GHN=∠FGK=∠BGT=2α，∴HN ∥BG ，∴四边形HGBN 是平行四边形，∴HG=BN ，HN=BG = CG =FG ，∴△HNC ≌△KGF ，∴GK=CN ，∠HNC=∠FGK=∠NHT=2α，∴HT=CT=TN ，∵FH-HG=1，∴设GH=m ，则BN=m ，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，∵GT=1122EN =，∴CN=2HT=11+2m ， ∵22222BC CN BN CE BE =-=-，∴2222(112)(42)(11)m m m m +-=+-+∴1176m =-(舍去)，27m =， ∴CN=GK=2HT=25.【点睛】 本题考查的是四边形综合题，涉及了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，三角形外角的性质等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.9．(I) ；(II) 16或10；(III) .【解析】【分析】(I)根据已知条件直接写出答案即可.(II)分两种情况：或讨论即可.(III)根据已知条件直接写出答案即可.【详解】(I) ；(II)∵四边形是矩形，∴，.分两种情况讨论：（i）如图1，当时，即是以为腰的等腰三角形.（ii）如图2，当时，过点作∥，分别交与于点、.∵四边形是矩形,∴∥,.又∥，∴四边形是平行四边形，又，'⊥，∴□是矩形，∴，，即B H CD又，∴，，∵，∴，∴，在RtΔEGB'中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：，综上，的长为16或10.(III) . （或）.【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题.10．（1）254秒或252秒；（2）15秒【分析】(1)Q点必须在BC上时，A，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q点在BF和Q点在CF上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；(2)分Q点在AB、BC、CD之间时逐个讨论即可求解．【详解】解：(1)∵以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且AP在AD上，∴Q点必须在BC上才能满足以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=30，AB=CD=10，∵点F是BC的中点，∴BF=CF=12BC=15，AB+BF=25，情况一：当Q点在BF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=35-3t，故t=25-3t，解得254t ；情况二：当Q点在CF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=3t-35，故t=3t-25，解得t=25 2；故经过254或252秒，以A、Q、B、P为顶点的四边形是平行四边形；(2)情况一：当Q点在AB上时，0<t<103，此时P点还未运动到AD的中点位置，故四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况二：当Q点在BC上且位于BF之间时，1025 33t，此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t，∵102533t，∴35-2t ＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况三：当Q点在BC上且位于FC之间时，2540 33t此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35∵254033t，∴4t-35＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况四：当Q点在CD上时，4050 33t<<当AP=BF=15时，t=15，1122 APF ABFP PFQ DCFP S S S S且∴1+2APF PFQ AFPQ ABCDS S S S，∴当t=15秒时，以A、Q、F、P为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD面积的一半，故答案为：15秒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．。

八年级初二数学 平行四边形测试试题附解析一、解答题1．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．2．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ． （2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．3．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.4．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .5．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．6．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为 ；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．7．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.8．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A做AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．（1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为；（2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．9．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E、F分别在BC、AB边上且F(1，4)．(1)求G点坐标(2)求直线EF解析式(3)点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由10．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2）3266【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，3，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（3x）2，解得x=624，推出BN=624，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.【详解】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x ，MN=3x ， 在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，∴1=x 2+（2x+3x ）2，解得x=624-， ∴BN=624+， ∴BG=BN÷cos30°=3266+．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．2．（1332）；（2）存在，点D 的坐标为（0，3）或（231）或（0，-1）；（3）OM=32或212 【分析】（1）过点B 作BD ⊥y 轴于D ，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB ，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD 和OD 即可得出结论；（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论； （3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可．【详解】解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90°∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得OB=223AB OA -= ∵将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30∴∠BOD=30°∴BD=132OB =∴OD=2232OB BD -=∴点B 的坐标为（32，32） 故答案为：（32，32）； （2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，此时点A 落在y 轴上，点B 落在x 轴上∴点A 的坐标为（0,1），点B 的坐标为（3，0）∵△ABC 为等边三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴点C 的坐标为（3，2）设点D 的坐标为（a ，b ）如图所示，若四边形ABCD 为菱形，连接BD ，与AC 交于点O∴点O 既是AC 的中点，也是BD 的中点∴03322 12022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：3ab=⎧⎨=⎩∴此时点D的坐标为（0，3）；当四边形ABDC为菱形时，连接AD，与BC交于点O∴点O既是AD的中点，也是BC的中点∴0332212022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：231ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴此时点D的坐标为（23，1）；当四边形ADBC为菱形时，连接CD，与AB交于点O∴点O既是AB的中点，也是CD的中点∴0332210222ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：1ab=⎧⎨=-⎩∴此时点D的坐标为（0，-1）；综上：点D的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）∵OB=3，∠ABO=30°∴OP=12OB=32∴BP=223 2OB OP-=当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM∵F为OB的中点∴PF=12OB，MF=12OB，OF=BF∴PF=MF∴四边形OPBM为平行四边形∴OM=BP=32；当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°∵点F为OB的中点∴FP=FB∴∠FPB=∠FBP=30°∴∠BMP=180°－∠PBM－∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM∴BM=BP=3 2在Rt△OBM中，2221OB BM+=；综上：OM=32或212． 【点睛】 此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．3．（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由见解析；（2）5t =，理由见解析.【分析】（1）能；首先证明四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即40﹣4t ＝2t ，解方程即可解决问题；（2）当∠FDE ＝90°时，AEFD 为矩形，再根据线段的长度关系列方程求得.【详解】解：（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由如下：在DFC ∆中，90,30DFC C ∠=︒∠=︒，4DC t =，∴2DF t =，又∵2AE t =，∴AE DF =，∵,AB BC DF BC ⊥⊥，∴//AE DF ，又∵AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形，如图1，当AE AD =时，四边形AEFD 为菱形，即4042t t -=，解得203t =.∴当203t =秒时，四边形AEFD 为菱形. （2）如图2，当90FDE ∠=︒时，四边形EBFD 为矩形，在Rt AED ∆中，60A ∠=︒，则30ADE ∠=︒，∴2AD AE =，即4044t t -=，解得5t=.【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想，学会构建方程解决问题.4．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得CQ∥AM．【详解】解：（1）如图（1），连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN 为所作．理由：在△AOD与△COD中，∵AD CDADO CDO OD OD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠OAD=∠OCD，∴∠BAM=∠BCN．在△ABM与△CBN中，∵BAM BCN AB CBABM CBN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴CN=AM．（2）如图2连接AC、BD交与O点，连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ为所求的线段.在正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD，AD∥BC，∴QO=MO∴四边形AQCM为平行四边形，∴QC∥AM【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决此题的关键是利用正方形的性质求解．5．（1）2；（2）证明见解析过程；（3）AE+EF-AF=2OA．【分析】（1）通过测量可得；（2）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，由线段的和差关系可得结论；（3）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，可得结论．【详解】解：（1）△AEF的周长是OA长的2倍，故答案为：2；（2）如图4，过点C作CG⊥ON，垂足为点G，则∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，则∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO，在△BCG 与△ABO 中，GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG ≌△ABO （AAS ），∴BG=AO ，CG=BO ，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，∴四边形CGOF 是矩形，∴CF=GO ，CG=OF=OB ，在△ABE 和△CBE 中，BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE=CE ，∴△AEF 的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO ；（3）如图5，过点C 作CG ⊥ON 于点G ，则∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，则∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO ，在△BCG 与△ABO 中GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG ≌△ABO （AAS ），∴BG=AO ，BO=CG ，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，∴四边形CGOF 是矩形，∴CF=GO ，CG=OF=OB ，在△ABE 和△CBE 中，BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE=CE ，∴AE+EF-AF=EF+CE-AF=NB+BO-（OF-AO ）=OA+OB-（OB-OA ）=2OA ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．6．（1）AD ＝AB +DC ；（2）AB ＝AF +CF ，证明详见解析；（3）AB ＝DF +CF ，证明详见解析．【分析】（1）结论：AD ＝AB+DC ．延长AE ，DC 交于点F ，证明△ABE ≌△FEC （AAS ），即可推出AB ＝CF ，再证明DA ＝DF ，即可解决问题．（2）结论：AB ＝AF+CF ，如图②，延长AE 交DF 的延长线于点G ，证明方法类似（1）． （3）结论；AB ＝DF+CF ．如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，证明方法类似（1）．【详解】解：（1）探究问题：结论：AD ＝AB+DC ．理由：如图①中，延长AE ，DC 交于点F ，∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠F ，在△ABE 和△FCE 中，CE ＝BE ，∠BAF ＝∠F ，∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FEC （AAS ），∴CF ＝AB ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝∠FAD ，∴∠FAD ＝∠F ，∴AD ＝DF ，∵DC+CF ＝DF ，∴DC+AB＝AD．故答案为AD＝AB+DC．（2）方法迁移：结论：AB＝AF+CF．证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC∴△AEB≌△GEC（AAS）∴AB＝GC∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG，∵∠BAG∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∵CG＝CF+FG，∴AB＝AF+CF．（3）联想拓展：结论；AB＝DF+CF．证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥CF，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△GEC ，∴AB ＝GC ，∵∠EDF ＝∠BAE ，∴∠FDG ＝∠G ，∴FD ＝FG ，∴AB ＝DF+CF ．【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CN=25.【解析】【分析】(1)如图，延长EF 交CD 延长线于点Q ，先证明CQ=CE ，再证明△FQD ≌△FEA ，根据全等三角形的对应边相等可得EF=FQ ，再根据等腰三角形的性质即可得CF ⊥EF ；(2)分别过点F 、H 作FM ⊥CE ，HP ⊥CD ，垂足分别为M 、P ，证明四边形DFHP 是矩形，继而证明△HPC ≌△FMK ，根据全等三角形的性质即可得CH=FK ；(3)连接CN ，延长HG 交CN 于点T ，设∠DCF=α，则∠GCF=α， 先证明得到FG=CG=GE ，∠CGT=2α，再由FG 是BC 的中垂线，可得BG = CG ， ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，再证明HN ∥BG ，得到四边形HGBN 是平行四边形，继而证明△HNC ≌△KGF ，推导可得出HT=CT=TN ，由FH-HG=1，所以设GH=m ，则BN=m ，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，继而根据22222BC CN BN CE BE =-=-，可得关于m 的方程，解方程求得m 的值即可求得答案.【详解】(1)如图，延长EF 交CD 延长线于点Q ，∵矩形ABCD ，AB ∥CD ，∴∠AEF=∠CQE ， ∠A=∠QDF ，又∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEF=∠CEF ，∴∠CEF=∠CQE ，∴CQ=CE，∵点F是AD中点，∴AF=DF，∴△FQD≌△FEA，∴EF=FQ，又∵CE=CQ，∴CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，∵CQ=CE ，CF⊥EF，∴∠DCF=∠FCE，又∵FD⊥CD，∴FM=DF，∵FG//AB，∴∠DFH=∠DAC=90°，∴∠DFH=∠FDP=∠DPH=90°，∴四边形DFHP是矩形，∴DF=HP，∴FM= DF=HP，∵∠CHG=∠BCE，AD∥BC，FG∥CD，∴∠K=∠BCE=∠CHG=∠DCH，又∵∠FMK=∠HPC=90°，∴△HPC≌△FMK，∴CH=FK；(3)连接CN，延长HG交CN于点T，设∠DCF=α，则∠GCF=α，∵FG∥CD ，∴∠DCF=∠CFG，∴∠FCG=∠CFG，∴FG=CG，∵CF⊥EF，∴∠FEG+∠FCG=90°，∠CFG+∠GFE=90°，∴∠GFE=∠FEG ，∴GF=FE ，∴FG=CG=GE ，∠CGT=2α，∵FG 是BC 的中垂线，∴BG = CG ， ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，∵∠CHG=∠BCE=90°-2α，∠CHN=90°，∴∠GHN=∠FGK=∠BGT=2α，∴HN ∥BG ，∴四边形HGBN 是平行四边形，∴HG=BN ，HN=BG = CG =FG ，∴△HNC ≌△KGF ，∴GK=CN ，∠HNC=∠FGK=∠NHT=2α，∴HT=CT=TN ，∵FH-HG=1，∴设GH=m ，则BN=m ，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，∵GT=1122EN =，∴CN=2HT=11+2m ， ∵22222BC CN BN CE BE =-=-，∴2222(112)(42)(11)m m m m +-=+-+ ∴1176m =-(舍去)，27m =， ∴CN=GK=2HT=25.【点睛】 本题考查的是四边形综合题，涉及了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，三角形外角的性质等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.8．（1）OE OF =;（2）成立.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE ，从而求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF. （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA ，再根据已知条件求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF.【详解】解：（1）正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥BE ，∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°，∵∠AFO=∠BFM （对顶角相等），∴∠OAF=∠OBE （等角的余角相等），又OA=OB （正方形的对角线互相垂直平分且相等），∴△BOE ≌△AOF （ASA ），∴OE=OF.故答案为：OE=OF ；（2）成立.理由如下：证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90BOE AOF ∠=∠=︒，OB OA =又∵AM BE ⊥，∴90F MBF ∠+∠=︒，90E OBE ∠+∠=︒，又∵MBF OBE ∠=∠∴F E ∠=∠∴BOE AOF ∆≅∆，∴OE OF =【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，并运用了类比的思想，两个问题都是证明BOE AOF ∆≅∆解决问题.9．（1）G （0，2）4y =++3）23466,,,(1,4333M M M ⎛⎛⎛--+ ⎝⎝⎝. 【解析】【分析】1（1）由F （1，4），B （3，4），得出AF=1，BF=2，根据折叠的性质得到GF=BF=2，在Rt △AGF 中，利用勾股定理求出AG =，那么OG=OA-AG=4-，于是G （0，）；（2）先在Rt △AGF 中，由tan 1AG AFG AF ∠===，得出∠AFG=60°，再由折叠的性质得出∠GFE=∠BFE=60°，解Rt △BFE ，求出BE=BF tan60°，那么CE=4-2E （3，.设直线EF 的表达式为y=kx+b ，将E （3，F （1，4）代入，利用待定系数法即可求出直线EF 的解析.（3）因为M 、N 均为动点，只有F 、G 已经确定，所以可从此入手，结合图形，按照FG 为一边，N 点在x 轴上；FG 为一边，N 点在y 轴上；FG 为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状.确定平行四边形的位置与形状之后，利用平行四边形及平移的性质求得M 点的坐标.【详解】解：（1）∵F （1，4），B （3，4），∴AF=1，BF=2，由折叠的性质得：GF=BF=2，在Rt △AGF 中，由勾股定理得，AG ==∵B （3，4），∴OA=4，∴OG=4-3， ∴G （0，4-3）；（2）在Rt △AGF 中，∵3tan 3AG AFG AF ∠=== ， ∴∠AFG=60°，由折叠的性质得知：∠GFE=∠BFE=60°，在Rt △BFE 中，∵BE=BF tan60°=23， .CE=4-23，.E （3，4-23）.设直线EF 的表达式为y=kx+b ，∵E （3，4-23），F （1，4）， ∴34234k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得343k b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ ∴343y x =-++ ；（3）若以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，则分如下四种情况： ①FG 为平行四边形的一边，N 点在x 轴上，GFMN 为平行四边形，如图1所示. 过点G 作EF 的平行线，交x 轴于点N 1，再过点N ：作GF 的平行线，交EF 于点M ，得平行四边形GFM 1N 1.∵GN 1∥EF ，直线EF 的解析式为343,(0,43)y x G =+ ∴直线GN 1的解析式为34-3y x =当y=0时，1433433,,033x N ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. ∵GFM 1N 1是平行四边形，且G （0，3F （1，4），N 1（4333 ，0），∴M，（433，3）；②FG为平行四边形的一边，N点在x轴上，GFNM为平行四边形，如图2所示.∵GFN2M2为平行四边形，∴GN₂与FM2互相平分.∴G（0，3N2点纵坐标为0∴GN：中点的纵坐标为322 -，设GN₂中点的坐标为（x，3 2.∵GN2中点与FM2中点重合，∴3 34322 x+=-439+∵.GN243932+），.∴N2439+0）.∵GFN2M2为平行四边形，且G（0，3F（1，4），N2（4393，0），∴M24363+③FG为平行四边形的一边，N点在y轴上，GFNM为平行四边形，如图3所示.∵GFN3M3为平行四边形，.∴GN3与FM3互相平分.∵G（0，4-3），N2点横坐标为0，.∴GN3中点的横坐标为0，∴F与M3的横坐标互为相反数，∴M3的横坐标为-1，-⨯-++=+，当x=-1时，y=3(1)43423∴M3（-1，4+23）；④FG为平行四边形的对角线，GMFN为平行四边形，如图4所示.过点G作EF的平行线，交x轴于点N4，连结N4与GF的中点并延长，交EF于点M。

八年级初二数学 平行四边形知识点及练习题及解析一、解答题1．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：AOE COF ∆≅∆；（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．2．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．3．综合与探究（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．4．已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C 重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，BD与CF的位置关系为__________；CF、BC、CD三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF、BC、CD三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．△的形状，并说明理②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究AOC由．5．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点(点E，F不与端点重合)，且AE=DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF∥CH；（2）若3，AE=2，试求线段PH的长；（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求 CP PQ的值． 6．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.7．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．8．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ：①M 点的坐标为 ．②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）．9．探究：如图①，△ABC 是等边三角形，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、AN ，延长MC 交AN 于点P ．（1）求证：△ACN ≌△CBM ；（2）∠CPN = °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC 分别改为正方形ABCD 和正五边形ABCDE ，如图②、③，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、DN ，延长MC 交DN 于点P ，则图②中∠CPN = °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN = °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC 改为正n 边形，其它条件不变，则∠CPN = °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．10．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =①求证：EF 与BD 互相平分；②求证：222()2BE DF EF AB ++=；（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）见解析；（2）四边形EGCF 为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB ．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF 即可证得结论；（2）利用AOE COF ∆≅∆得到∠EAO=∠FCO ，AE=CF ，由此推出AE ∥CF ，EG=CF 即可证得四边形EGCF 是平行四边形；（3）AC=2AB ，根据平行四边形的性质推出AB=AO ，利用点E 是OB 的中点，得到AG ⊥OB ，即可得到四边形EGCF 是矩形.【详解】（1）四边形ABCD 为平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，12OE OB ∴=，12OF OD =， 则OE OF =，在AOE ∆与COF ∆中OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOE COF ∴∆≅∆；（2）AOE COF ∆≅∆，EAO FCO ∴∠=∠，AE CF =，//AE CF ∴，又GE AE =，GE CF ∴=，∴四边形EGCF 为平行四边形；（3）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形.∵AC=2AB ，AC=2AO ，∴AB=AO ，∵点E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴∠GEF=90°，∴四边形EGCF 是矩形.故答案为：AC=2AB .【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.2．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；（2）由平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ；证明BC 是△EFG 的中位线，得出BC ∥FG ，BC ＝12FG ，证出AD ∥FH ，AD ∥FH ，由平行四边形的判定方法即可得出结论； （3）连接EH ，CH ，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．【详解】明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAE ＝∠BCD ＝70°，AD ∥BC ，∵∠DCE ＝20°，∵AB ∥CD ，∴∠CDE ＝180°﹣∠BAE ＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝12 FG，∵H为FG的中点，∴FH＝12 FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD∥FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（3）连接EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，∴CH＝12EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝12 EF，∴BE＝CH，∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝12 BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．3．（1）CE=CF且CE⊥CF，理由见解析；（2）见解析；（3）10【分析】（1）根据正方形的性质，可证明△CBE≌△CDF（SAS），从而得出CE=CF，∠BCE=∠DCF，再利用余角的性质得到CE⊥CF；（2）延长AD至M，使DM=BE，连接CM，由△BEC≌△DFC，可得∠BCE=∠DCF，即可求∠GCF=∠GCE=45°，且GC=GC，EC=CF可证△ECG≌△GCF（SAS），则结论可求．（3）过点C作CF⊥AD于F，可证四边形ABCF是正方形，根据（2）的结论可得DE=DF+BE=4+DF，根据勾股定理列方程可求DF的长，即可得出DE．【详解】解：（1）CE=CF且CE⊥CF，证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，又∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°，∴∠ECD+∠DCF=90°，即CE⊥CF；（2）延长AD至M，使DM=BE，连接CM，∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠GCD=45°，∵△BEC≌△DFC，∴∠BCE=∠DCF，∴∠DCF+∠GCD=45°，即∠GCF=45°，∴∠GCE=∠GCF，且GC=GC，CE=CF，∴△GCE≌△GCF（SAS），∴GE=GF，∴GE=GD+DF=BE+GD；（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=90°，∵∠A=∠B=90°，FC⊥AD，∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=12，∴四边形ABCF是正方形，∴AF=12，由（2）可得DE=DF+BE，∴DE=4+DF，在△ADE中，AE2+DA2=DE2．∴（12-4）2+（12-DF）2=（4+DF）2．∴DF=6，∴DE=4+6=10．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，四边形的面积，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．4．（1）BD⊥CF，CF=BC-CD；（2）CF=BC+CD，见解析；（3）①CF=CD−BC，②等腰三角形，见解析【分析】（1）先说明△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF⊥BD、CF=BD，又 BD+CD=BC, CF=BC-CD；（2）先利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；（3）①与（2）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；②先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD，求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=12DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．【详解】（1）解：∵∠B4C=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∵四边形ADEF是正方形∴AD=AF，∠DAF=90°∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°∴∠BAD=∠CAF在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°∴∠FCB=∠ACF+ ∠ACB=90°，即CF⊥BC ∵BD+CD=BC∴CF+CD=BC；故答案为：BD⊥CF，CF=BC-CD；（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAF=∠DAF+∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD=CF，∵BD=BC+CD，∴CF=BC+CD；（3）①与（2）同理可得，BD=CF，所以，CF=CD−BC；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，则∠ABD=180∘−45°=135°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴∠ACF=∠ABD=180°−45°=135°，∴∠FCD=∠ACF−∠ACB=90°，则△FCD为直角三角形，∵正方形ADEF中，O为DF中点，∴OC=1DF，2∵在正方形ADEF 中，OA=12AE ，AE=DF ， ∴OC=OA ，∴△AOC 是等腰三角形．【点睛】 本题考查了四边形的综合题，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及同角的余角相等的性质，在（1）证明三角形全等得到思路并推广到（2）（3）是解答本题的关键.5．（1）见解析；（2）3）CP PQ =4． 【分析】（1）先证△ABE ≌△DAF ，然后通过角度转化，可得AF ⊥BE ，从而证平行；（2）先在Rt △ABE 中利用勾股定理求得BE 的长，在利用△ABE 的面积，求得AP 的长，最后利用PH=BP －BH 求得PH 的长；（3）设QP=a ，CP=b ，可推导出在Rt △APE 中，QE=QA=QP ，然后分别用a 、b 表示CP 和PQ 代入可求得．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，AB=DA ，∠EAB=∠D=90°又∵AE=DF∴△ABE ≌△DAF(SAS)∴∠ABE=∠DAF又∵∠DAF+∠FAB=∠EAB=90°∴∠ABE+∠FAB=90°∴∠APB=90°∴AF ⊥BE又∵CH ⊥BE∴AF ∥CH（2）解：在正方形ABCD 中，∠EAB=90°，， AE= 2∴=从而由S △ABE = 12 AB·AE= 12 BE·AP 得：∴在Rt △ABP 中，= =3又容易得：△ABP ≌△BCH ∴∴（3）解：在正方形ABCD 中，AB=BC ，AD ∥BC∵CH ⊥BP ，PH=BH∴CP=BC∴∠CBP-=∠CPB而∠CPB=∠QPE ∠CBP=∠QEP∴∠QPE=∠QEP∴在Rt △APE 中 ∠QAP=∠QPA∴QE=QP=QA在四边形QABC 中，设QP=a CP=b则AB=BC=b ， AQ=a ，QC=a+b∴b²+(b-a)2=(a+b)2∴b²=4ab 即b=4a 即 a CP b PQ =4． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等的证明、勾股定理的应用和直角三角形斜边中线的性质，第（3）问的解题关键是推导得出QE=QA=QP ．6．（1）见解析；（2）FH+FE=2DF ，理由见解析；（3）22【分析】（1）如图1中，证明△AFB ≌△DGA （AAS ）可得结论．（2）结论：FH+FE=2DF ．如图2中，过点D 作DK ⊥AE 于K ，DJ ⊥BF 交BF 的延长线于J ，证明四边形DKFJ 是正方形，可得结论．（3）如图3中，取AD 的中点J ，连接PJ ，延长JP 交CD 于R ，过点P 作PT ⊥CD 于T ，PK ⊥AD 于K ．设PT=b ．证明△KPJ 是等腰直角三角形，推出点P 在线段JR 上运动，求出JR 即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°，∵DG ⊥AE ，AE ⊥BH ，∴∠AFB=∠DGH=90°，∴∠FAB+∠DAG=90°，∠DAG+∠ADG=90°，∴∠BAF=∠ADG ，∴△AFB≌△DGA（AAS），∴AF=DG，BF=AG，∴BF-DG=AG-AF=FG．（2）结论：FH+FE=2DF．理由：如图2中，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD，∵AE⊥BH，∴∠AFB=90°，∴∠DAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABH=90°，∴∠DAE=∠ABH，∴△ABH≌△DAE（ASA），∴AH=AE，∵DE=EC=12CD，CD=AD，∴AH=DH，∴DE=DH，∵DJ⊥BJ，DK⊥AE，∴∠J=∠DKE=∠KFJ=90°，∴四边形DKFJ是矩形，∴∠JDK=∠ADC=90°，∴∠JDH=∠KDE，∵∠J=∠DKE=90°，∴△DJH≌△DKE（AAS），∴DJ=DK，JH=EK，∴四边形DKFJ是正方形，∴FK=FJ=DK=DJ，∴2FJ，∴2DF；（3）如图3中，取AD的中点J，连接PJ，延长JP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K．设PT=b．∵△ABH ≌△DAE ，∴AH=DE ，∵∠EDH=90°，HP=PE ，∴PD=PH=PE ，∵PK ⊥DH ，PT ⊥DE ，∴∠PKD=∠KDT=∠PTD=90°，∴四边形PTDK 是矩形，∴PT=DK=b ，PK=DT ，∵PH=PD=PE ，PK ⊥DH ，PT ⊥DE ，∴DH=2DK=2b ，DE=2DT ，∴AH=DE=1-2b ，∴PK=12DE=12-b ， JK=DJ-DK=12-b ， ∴PK=KJ ，∵∠PKJ=90°，∴∠KJP=45°，∴点P 在线段JR 上运动，∵2DJ=22， ∴点P 的运动轨迹的长为22． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．7．（1）214t ；（2）22t =；（3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，22t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，32t =4（见解析），当EGQ HBF ≅时，722t =【分析】（1）先根据线段中点的定义可得12AQ AP =，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122AH AB ==，然后与（1）所求的2AH =建立等式求解即可得； （3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．【详解】（1）由题意得：2AP t =，点Q 为AP 的中点，12AQ AP t ∴==， 四边形ABCD 是矩形，90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，AE ∵是BAD ∠的角平分线，1452HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒， QH AB ⊥，AQH ∴是等腰直角三角形，22AH HQ AQ t ∴===， 则AQH 的面积为21124AH HQ t ⋅=； （2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，//HQ MP ∴，点M 在BC 边上，//HQ BP ∴，点Q 为AP 的中点，HQ ∴是ABP △的中位线，122AH BH AB ∴===，由（1）知，2AH =，则222t=，解得22t =；（3）由题意，有以下三种情况：①如图2，当点H是AB的中点时，则AH HB=，四边形PQHM是平行四边形，//HM PQ∴，HAQ BHM∴∠=∠，在AHQ和HBM△中，90HAQ BHMAH HBAHQ HBM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AHQ HBM ASA∴≅，由（2）可知，此时22t=；②如图3，当点Q与点E重合时，在ADE和AHE中，9045D AHEDAE HAEAE AE∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADE AHE AAS∴≅，3AD AH ∴==， 则232t =， 解得32t =；③如图4，当EG HB =时，四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，//,//CD AB HM PQ ∴，,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EGQ HBF ASA ∴≅，2,42AH AB ==， 24HB AB AH ∴=-=， 在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=，Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE ==32EQ AQ AE t ∴=-=-，在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒，Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -==， 则由EG HB =得：262422t t -=-， 解得722t =综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =4，当EGQ HBF ≅时，722t =【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．8．（1）见解析；（2）7PA =4217BH 3）①(423,23)M +2635 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA ，推出∠AEO=60°，进一步得出BC ∥AE ，CO ∥AB ，可得结论；（2）先计算出OA=43PB=23AP=7，再利用面积法计算BH 即可；（3）①求出直线PM 的解析式为3，再利用两点间的距离公式计算即可； ②易得直线BC 的解析式为y=3，联立直线BC 和直线PM 的解析式成方程组，求得点G 的坐标，再利用三角形面积公式计算．【详解】（1）证明：∵Rt △OAB 中，D 为OB 的中点，∴AD=12OB ，OD=BD=12OB ， ∴DO=DA ， ∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，∴∠AEO=60°，又∵△OBC 为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO=60°，∴BC∥AE，∵∠BAO=∠COA=90°，∴CO∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：在Rt△AOB中，∠AOB=30°，OB=8，∴AB=4，∴OA=∵四边形ABCE是平行四边形，∴PB=PE，PC=PA，∴PB=∴PC PA===∴1122ABCS AC BH AB BE∆=⋅⋅=⋅⋅，即114 22BH⨯=⨯⨯∴BH（3）①∵C（0，4），设直线AC的解析式为y=kx+4，∵P（0），∴0=，解得，k=3-，∴y=3-x+4，∵∠APM=90°，∴直线PM的解析式为，∵P（0），∴，解得，m=-3，∴直线PM的解析式为，设M（x），∵AP=∴（x-2+（2x-3）2=（2， 化简得，x 2x-4=0，解得，x 1=4，x 2=4（不合题意舍去），当x=4时，y=2×（4）-3= ∴M（4，故答案为：（4，②∵(0,4),C B∴直线BC的解析式为：43y x =-+，联立3243y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得65x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴6)5G ，161=4252PBG PBA S S S ∆∆∴+=⨯+⨯=阴 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，两点间的距离，正方形的性质，矩形的性质，一次函数的图象和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．9．（1）见解析；（2）120；（3）90；（4）72；（5）360n . 【分析】（1）利用等边三角形的性质得到BC=AC ，∠ACB=∠ABC ，从而得到△ACN ≌△CBM. （2）利用全等三角形的性质得到∠CAN=∠BCM ，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解.（3）利用正方形（或正五边形）的性质得到BC=DC ，∠ABC=∠BCD ，从而判断出△DCN ≌△CBM ，再利用全等三角形的性质得到∠CDN=∠BCM ，再利用内角和定理即可得到答案.（4）由（3）的方法即可得到答案.（5）利用正三边形，正四边形，正五边形，分别求出∠CPN 的度数与边数的关系式，即可得到答案.【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC ，∠ACB=∠BAC=∠ABC=60︒，∴∠ACN=∠CBM=120︒，在△CAN 和△CBM 中，CN BM ACN CBM AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACN ≌△CBM.（2）∵△ACN ≌△CBM.∴∠CAN=∠BCM ，∵∠ABC=∠BMC+∠BCM ，∠BAN=∠BAC+∠CAN ，∴∠CPN=∠BMC+∠BAN=∠BMC+∠BAC+∠CAN=∠BMC+∠BAC+∠BCM=∠ABC+∠BAC=60︒+60︒,=120︒，故答案为：120.（3）将等边三角形换成正方形，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=DC ，∠ABC=∠BCD=90︒，∴∠MBC=∠DCN=90︒，在△DCN 和△CBM 中，DC BC DCN MBC CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCN ≌△CBM ，∴∠CDN=∠BCM ，∵∠BCM=∠PCN ，∴∠CDN=∠PCN ，在Rt △DCN 中，∠CDN+∠CND=90︒，∴∠PCN+∠CND=90︒，∴∠CPN=90︒，故答案为：90.（4）将等边三角形换成正五边形，∴∠ABC=∠DCB=108︒，∴∠MBC=∠DCN=72︒，在△DCN 和△CBM 中，DC BC DCN MBC CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCN ≌△CBM ，∴∠BMC=∠CND ，∠BCM=∠CDN ，∵∠BCM=∠PCN ，∴∠CND=∠PCN ，在△CDN 中，∠CDN+∠CND=∠BCD=108︒，∴∠CPN=180︒-(∠CND+∠PCN)=180︒-(∠CND+∠CDN)=180︒-108︒，=72︒，故答案为：72.（5）正三边形时，∠CPN=120︒=3603， 正四边形时，∠CPN=90︒=3604， 正五边形时，∠CPN=72︒=3605， 正n 边形时，∠CPN=360n ， 故答案为：360n. 【点睛】此题考查正多边形的性质，三角形全等的判定及性质，图形在发生变化但是解题的思路是不变的，依据此特点进行解题是解此题的关键.10．（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE ≠DF 时，（BE +DF ）2+EF 2＝2AB 2仍然成立，理由详见解析；（3）PD =-【分析】（1）①连接ED 、BF ，证明四边形BEDF 是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明；（2）过D 作DM ⊥BE 交BE 的延长线于M ，连接BD ，证明四边形EFDM 是矩形，得到EM=DF ，DM=EF ，∠BMD=90°，根据勾股定理计算；（3）过P 作PE ⊥PD ，过B 作BELPE 于E ，根据（2）的结论求出PE ，结合图形解答.【详解】（1）证明：①连接ED、BF，∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BD、EF互相平分；②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝12BD，OE＝OF＝12EF．∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°．在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2．在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2．∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；（2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD．∵BE∥DF，EF⊥BE，∴EF⊥DF，∴四边形EFDM是矩形，∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°，在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2，∴（BE+EM）2+DM2＝BD2．即（BE+DF）2+EF2＝2AB2；（3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E，则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2．∵∠DPB＝135°，∴∠BPE＝45°，∴∠PBE＝45°，∴BE＝PE．∴△PBE是等腰直角三角形，∴BP BE，+2PD＝，∴2BE+2PD＝，即BE+PD＝，∵AB＝4，∴（）2+PE2＝2×42，解得，PE＝∴BE＝∴PD＝﹣．【点睛】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键.。

中考专题复习平行四边形知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质 精典例题：【例1】已知如图：在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，点E 、F 分别在BC 和AD 边上，AF ＝CE ，EF 和对角线BD 相交于点O ，求证：点O 是BD 的中点。

分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO ＝DO 略证：连结BF 、DE在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC ，AD ＝BC 又∵AF ＝CE∴FD ∥BE ，FD ＝BE ∴四边形BEDF 是平行四边形∴BO ＝DO ，即点O 是BD 的中点。

【例2】已知如图：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。

分析：欲证四边形EFGH 是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E 、F 、G 、H 分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC 后，EF 和GH 的关系就明确了，此题也便得证。

（证明略）变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。

变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。

变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。

变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。

变式5：若AC ＝BD ，AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是正方形。

变式6：在四边形ABCD 中，若AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求证：EFGH 是菱形。

娈式6图娈式7图变式7：如图：在四边形ABCD 中，E 为边AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形PQMN 是菱形。

例1图 O F E D CB A 例2图探索与创新：【问题】已知如图，在△ABC 中，∠C ＝900，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 和BN 相交于P ，求∠BPM 的度数。

平行四边形的性质（北师版）（综合）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列正确结论的个数是( )①平行四边形对角相等；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：平行四边形对角相等；①正确；平行四边形对角线互相平分，②错误；③正确；平行四边形邻角互补，④正确；∴正确结论是：①③④，共3个，故选C．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF=50°，则∠B=( )A.50°B.40°C.80°D.100°答案：C解题思路：在Rt△ADF中，∠DAF=50°，∴∠ADE=40°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC=80°，∴∠B=∠ADC=80°．故选C．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，&#9649;ABCD与&#9649;DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=100°，则∠DAE的度数为( )A.20°B.25°C.30°D.35°答案：A解题思路：在&#9649;ABCD，&#9649;DCFE中，AB=CD=EF，AD=BC，DE=CF∵&#9649;ABCD与&#9649;DCFE的周长相等，且CD=CD，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠BAD=60°，∠F=100°，∴∠ADC=120°，∠CDE═∠F=100°，∴∠ADE=360°-120°-100°=140°，∴∠DAE=（180°-140°）÷2=20°，故选A试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC的延长线于点F，且∠EAF=40°，则∠B=( )A.40°B.50°C.70°D.65°答案：A解题思路：如图，在□ABCD中，AB∥CD，∴∠B=∠BCF；∵∠AEG=∠CFG，∠AGE=∠CGF，∴∠EAF=∠BCF∴∠B=∠EAF=40°．故选A．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F．那么下列结论错误的是( )A.AB=AEB.DC=AEC.AF=EFD.AF=ED答案：C解题思路：如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC∴∠AEB=∠CBE∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠CBE∴∠ABE=∠AEB∴AB=AE（选项A正确）同理，CD=DF∴AB=AE=DF=CD（选项B正确）∴AF+FE=DE+FE∴AF=DE（选项D正确）故选C试题难度：三颗星知识点：略6.如图，中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE=4，CE=3，则AB的长是( )A.5B.4C.3D.答案：D解题思路：在□ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°∵BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线∴∠ABE=∠CBE，∠BCE=∠DCE∴∠EBC+∠ECB=90°，∴∠BEC=90°在Rt△BCE中，BE=4，CE=3，可得BC=5∵AD∥BC∴∠CBE=∠AEB，∠ECB=∠CED∴∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠CED∴AB=AE，CD=ED∵AB=CD，∴E为AD的中点∴故选D试题难度：三颗星知识点：略7.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的长为( )A. B.C.4D.8答案：B解题思路：如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD可证：AD=FD，AB=BE由题意，CD=AB=4∵F是DC中点∴DF=CF=2，且可证△ADF≌△ECF（AAS）∴AF=EF在等腰△ADF中，DG⊥AF，DG=1，AD=2在直角三角形ADG中，由勾股定理可得：∴AF=2AG=∴AE=2AF=．故选B．试题难度：三颗星知识点：略8.如图所示，在中，∠ABE=∠AEB，AE∥DF，DC是∠ADF的角平分线.下列说法正确的是( )①BE=CF；②AE是∠DAB的角平分线；③∠DAE+∠DCF=120°．A.①B.①②C.①②③D.都不正确答案：C解题思路：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC∵AE∥DF，∴∠AEB=∠F∵∠ABE=∠AEB，∴∠ADC=∠F∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCF∵DC是∠ADF的角平分线，∴∠ADC=∠FDC∴∠F=∠DCF=∠FDC∴△DCF是等边三角形∴DC=CF=FD,∠F=∠DCF=∠FDC=60°∴∠ABE=∠AEB=60°∴△ABE是等边三角形∴AB=BE=EA∵AB=CD，∴BE=CF，即选项①正确∴∠DAB+∠B=180°∵∠B=∠BAE=60°，∴∠DAE=60°∴AE是∠DAB的角平分线，即选项②正确∵∠DAE+∠DCF=60°+60°=120°，∴选项③正确综上，选项①②③都正确.故选C试题难度：三颗星知识点：略9.如图6-5所示，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．有下列结论：①△ABE是等边三角形；②∠CAD=30°；③S□ABCD=AB·AC；④OB=AB．其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，故①正确；∴AE=AB=BE，∵AB=BC∴AE=BC∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故②正确；∴S&pound;ABCD=AB•AC，故③正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故④错误；故选C试题难度：三颗星知识点：略10.如图，在平行四边形ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F．下列结论：①AO=EO；②OE=OF；③△EAM≌△FCN；④EM=FN．其中正确的是( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④答案：B解题思路：①因为四边形ABCD固定，所以AO长度固定，EF可以看做在绕点O旋转，EO的长度不固定，故AO不一定等于EO，①错误②∵AB∥CD∴∠E=∠F∵∠EOA=∠FOC，AO=CO∴△EOA≌△FOC∴EO=FO，②正确③由②可得EA=FC，∠E=∠F，∠EAO=∠FCO∵AD∥BC，∠MAO=∠NCO∴∠EAM=∠FCN∴△EAM≌△FCN，③正确④由③可得△EAM≌△FCN∴EM=FN，④正确故选B试题难度：三颗星知识点：略。

初二平行四边形性质练习题平行四边形是初中数学中重要的几何形状之一，它有一些独特的性质和特点。

在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和深化对初二平行四边形性质的理解和应用。

练习题一：证明平行四边形对角线互相平分解析：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点E，我们需要证明AE=CE和BE=DE。

根据平行四边形的性质，AB∥CD和AD∥BC，我们可以得到∠A=∠C和∠B=∠D。

利用角平分线的性质，我们可以得到∠CAE=∠ECD和∠EBC=∠EDB。

因此，三角形CAE与三角形CED的两个角相等，且共有一边CE 相等，根据三角形的ASA（角-边-角）准则，可以得出三角形CAE与三角形CED全等。

根据全等三角形的性质，可以得到AE=DE和CE=CE。

综上所述，平行四边形的对角线互相平分。

练习题二：已知平行四边形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，AD 的延长线与BC的延长线交于点E，求AE的长度。

解析：首先，连接AC和BD，它们互相平分，设交点为O。

根据平行四边形的性质，可以得到AO=OC和BO=OD。

又因为OE是BC的延长线上的一条线段，根据重要几何定理“两条互相平分的线段等长”，可以得到OE=OB=OD。

因此，四边形AOED是一个平行四边形。

根据平行四边形对角线互相平分的性质，可以得到AE=OD=8cm。

练习题三：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线交于点E，证明AE=CE。

解析：设AC的中点为F，连接BF和DF。

根据平行四边形的性质，可以得到AB∥CD和AD∥BC。

因此，∠AFB=∠CFD（对顶角）。

又因为AC即为BF和DF的公共边，所以三角形AFC与三角形CFD有一个公共边和两个相等的角，根据ASA准则，可以得出三角形AFC与三角形CFD全等。

根据全等三角形的性质，可以得到AE=CE。

综上所述，在平行四边形中，AC的垂直平分线可以将对角线互相平分。

通过以上练习题的解析，我们进一步巩固了初二平行四边形性质的理解和应用。