椭圆概念性质一览表

数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）_知识点总结
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。

椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。

2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。

3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。

4、焦距：。

5、离心率：；
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。

利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。

椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。

(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式,高考物理，从而求离心率或离心率的取值范围．。

椭圆形曲线性质一览表
椭圆形曲线定义
椭圆形曲线是一个平面上的曲线，其定义为从两个焦点的距离之和等于常数的点。

椭圆形曲线可以用数学方程来描述。

椭圆形曲线的基本性质
1. 椭圆形曲线有两个焦点，分别记为F1和F2。

曲线上的每个点到F1和F2的距离之和等于常数，记为2a。

2. 椭圆形曲线的长轴是通过两个焦点的直线段，长度为2a。

3. 椭圆形曲线的短轴是通过椭圆形曲线中心垂直于长轴的直线段，长度为2b。

4. 椭圆形曲线的离心率定义为e = c/a，其中c是焦距的一半。

5. 当离心率e小于1时，椭圆形曲线是一个封闭曲线。

当e等于1时，椭圆形曲线是一个抛物线。

椭圆形曲线的方程
椭圆形曲线可以通过以下方程来描述：
(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1
其中(h,k)是椭圆形曲线中心的坐标，a和b为椭圆形曲线的长轴和短轴长度。

椭圆形曲线的图形表示示例
椭圆形曲线的应用领域
椭圆形曲线在数学、物理等领域有广泛的应用。

它们被用于描述行星运动、天体轨道、电子运动等现象。

此外，椭圆形曲线在工程和建筑设计中也有应用，例如设计椭圆形建筑物和椭圆形道路。

以上是椭圆形曲线的基本性质和相关信息的一览表。

如需深入了解椭圆形曲线，请参考相关学术资料和专业书籍。

椭圆的性质大总结椭圆是在平面上由一个固定点（焦点）和到这个焦点的距离之比为常数的点的集合。

椭圆具有多种性质和特点，在几何学和数学中有广泛的应用。

在本文中，我们将对椭圆的性质进行大总结。

定义椭圆可以通过以下定义来描述：给定一个焦点F和一个固定数值e（0<e<1），椭圆是到焦点与到该焦点距离之比等于e的点的集合。

焦点到椭圆上任意点的距离之和等于2a，其中a是椭圆的半长轴。

方程椭圆的方程可以通过以下形式来表示：(x-h)*(x-h)/a^2 + (y-k)*(y-k)/b^2 = 1其中，(h,k)是椭圆的中心点，a是半长轴的长度，b是半短轴的长度。

几何性质焦点和定位线椭圆有两个焦点F1和F2，焦点到椭圆上任意点的距离之和等于2a。

与焦点相关的是定位线，这是指通过焦点的直线，它与椭圆的切线在焦点上相交。

主轴和短轴椭圆有两条轴，分别是主轴和短轴。

主轴是椭圆的长轴，它通过椭圆的中心，并且与椭圆的两个焦点相交。

短轴是与主轴垂直的轴，也通过椭圆的中心。

离心率椭圆的离心率定义为焦距与短轴之比，即e=c/a，其中c是焦距，a是半长轴。

直径椭圆的直径是通过椭圆两个焦点的线段。

相对应的，椭圆的半径是从椭圆的中心到椭圆上的点的距离。

弦和弦长椭圆的弦是椭圆上的两点之间的线段。

弦的长度取决于它与椭圆上的两个点的位置。

数学性质参数方程椭圆可以使用参数方程来表示：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中，(h,k)是椭圆的中心点，a是半长轴的长度，b是半短轴的长度，t是参数。

单位圆椭圆可以通过一个单位圆转换得到。

如果我们将椭圆的半长轴和半短轴长度分别除以半径，就可以得到一个单位圆。

椭圆的对称性椭圆具有两种对称性：关于x轴对称和关于y轴对称。

这意味着椭圆关于x轴和y轴对称的两个点具有相同的性质，如距离焦点的距离等。

弧长公式椭圆的弧长可以使用以下公式计算：s = a * ∫[0,t] sqrt(1 - e^2 * sin^2(u)) du其中，s是弧长，a是半长轴的长度，e是椭圆的离心率，t是参数。

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

椭圆知识点及结论总结**一、椭圆的定义**椭圆是指到定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P到定直线l的距离之和相等的点的轨迹。

其中，l为连接F1和F2的连线的垂直平分线。

**二、椭圆的性质**1. 对称性：椭圆具有对称性，其形状关于两轴方向对称，对称轴是长轴和短轴。

2. 焦点和直径关系：椭圆上每一个点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度2a。

3. 离心率：椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。

椭圆的离心率在0到1之间。

4. 焦角性质：椭圆上任意一点处的法线与连接该点与两个焦点的连线的夹角相等。

**三、椭圆的方程**椭圆的一般方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。

当椭圆的中心位于原点时，方程可以简化为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

此外，我们还可以通过椭圆的焦点和离心率来描述椭圆的方程。

**四、椭圆的参数方程**椭圆也可以通过参数方程来描述，参数方程为x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，t为参数。

参数方程描述了椭圆上所有点的坐标。

通过参数方程，我们可以更加直观地理解椭圆的形状和特性。

**五、椭圆的应用**1. 天体轨道：行星、卫星等天体的运动轨道大多为椭圆形。

通过研究椭圆轨道，可以更好地了解天体的运动规律和预测其轨道变化。

2. 工程设计：椭圆曲线在工程设计中有着广泛的应用，例如椭圆形的建筑结构、汽车轮胎的设计等。

3. 导弹轨迹：导弹的轨迹可以用椭圆来描述，研究导弹的椭圆轨道可以帮助提高导弹的精准度和命中率。

**结论**通过本文的探讨和分析，我们了解了椭圆的定义、性质、方程及其应用。

椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用价值。

通过对椭圆的深入研究和了解，可以更好地应用椭圆的特性，解决实际问题和推动科学技术的发展。

希望本文能够对读者对椭圆有一个更加全面的了解，并对椭圆的研究和应用提供一些启发和帮助。

椭圆与方程【知识梳理】 1、椭圆的定义平面内，到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆，其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点，定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。

此定义为椭圆的第一定义。

2、椭圆的简单性质3、焦半径椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径，且[],PF a c a c ∈-+，特别地，若00(,)P x y 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+，20||PF a ex =-,其中c e a =.4、通径过椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点F 作垂直于长轴的直线，交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径，且22b AB a =。

P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，称12PF F ∆为椭圆的焦点三角形,其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ∆=.6、过焦点三角形直线l 过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三角形，其周长为：24ABF C a ∆=，面积为212y y c S ABF -=∆.7、点与椭圆的位置关系()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上;若2200221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200221x y a b+<，则P 在椭圆内。

椭圆的经典知识总结椭圆是一个非常重要的几何形状，广泛应用于数学、物理和工程等领域。

下面将对椭圆的经典知识进行总结，涵盖椭圆的定义、性质以及一些常见的应用。

一、定义和性质：1.椭圆定义：椭圆是平面上到两个给定点（焦点）距离之和等于一定常数（长轴）的点的集合。

2.主要要素：(1)焦点：椭圆的两个焦点是确定椭圆形状的关键要素。

(2)长轴和短轴：椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴则是垂直于长轴并通过中心点的线段。

长轴的长度称为椭圆的主轴，短轴的长度则称为次轴。

(3)中心：椭圆的中心是指长轴和短轴的交点。

(4)半焦距：则是焦点到中心的距离。

(5)离心率：椭圆的离心率是一个用来衡量椭圆形状的值，定义为离心距（焦点到中心的距离）与主轴长度之比。

3.离心率和几何性质：(1)离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化为一个点；当离心率为1时，椭圆退化为一个抛物线。

(2)在椭圆上的任意一点，到焦点的距离之和等于常数，称为焦散性质。

(3)椭圆的两个焦点到任意一点的距离之差等于长轴的长度。

4.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆中心点的坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度，并且a>b。

二、椭圆的性质和应用：1.对称性：(1)椭圆具有对称性，关于中心对称，即中心点是对称中心。

(2)长轴和短轴也是椭圆的对称轴。

2.焦点与直线的关系：(1)焦点到椭圆上的任意一点的距离之和等于该点到椭圆的任意一条切线的长度。

(2)椭圆上的任意一条切线与焦点之间的两条线段的夹角相等。

3.切线和法线：(1)切线是与椭圆一点相切且垂直于切线的直线。

(2)法线是与切线垂直且通过椭圆上切点的直线。

4.面积公式：椭圆的面积为πab，其中a和b分别为长轴和短轴的长度。

5.椭圆的应用：(1)椭圆在天文学中被用来描述行星、彗星和其他天体的轨道。

(2)椭圆也广泛应用于工程学、建筑学和设计中，例如椭圆形的天花板和门窗等。

小学数学知识归纳椭圆的性质与判定椭圆是数学中的一个重要概念，也是中学数学的基础内容之一。

在小学阶段，我们对椭圆的了解主要集中在椭圆的性质和判定上。

本文将介绍椭圆的性质和判定，帮助同学们更好地理解和掌握。

一、椭圆的性质椭圆的性质有以下几个方面：1. 定义：椭圆是平面上到两个固定点F1、F2的距离之和恒定于常数2a（a>0）的点集合，常数2a称为长轴。

2. 中心：椭圆的中心是指椭圆上所有点的平均位置，记为C（h，k）。

3. 焦点和准线：椭圆的焦点是指椭圆上到两个固定点F1、F2的距离之和恒定于常数2a的点。

椭圆的准线是指过焦点F1、F2的直线。

4. 离心率：椭圆的离心率e定义为焦点与准线的距离之比，即e=c/a （c为焦点到中心的距离）。

5. 短轴：短轴是椭圆上通过中心的与长轴垂直的直线段，长度为2b （b>0）。

二、椭圆的判定根据给定的条件，我们可以判断一个图形是否为椭圆。

1. 根据焦点和准线的位置：a) 如果准线在椭圆的内部，且两焦点在准线同侧，则该图形为椭圆。

b) 如果准线在椭圆上，则该图形为圆。

2. 根据给定的坐标方程：对于坐标方程Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E= 0，a) 如果A和B的系数同时为正数，并且C、D、E的系数均为负数，则该图形为椭圆。

b) 如果A和B的系数相等，并且C、D、E的系数均为负数，则该图形为圆。

3. 根据离心率：根据给定的离心率e，对于焦点到准线的距离d，a) 如果e<1，则该图形为椭圆。

b) 如果e=1，则该图形为抛物线。

c) 如果e>1，则该图形为双曲线。

三、椭圆的应用举例椭圆作为数学中的一个重要概念，广泛应用于生活和科学领域，下面举例两个实际应用场景。

1. 天文学：开普勒第一定律中提到地球绕日公转的轨道是一个椭圆。

椭圆的性质帮助天文学家研究行星的轨道、运动速度等重要信息。

2. 工程建模：在建筑设计中，椭圆的性质可以用来设计拱形结构、电视塔等。

椭圆的定义与性质1.椭圆的定义(1）第一定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距.(２）第二定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(０<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点Ｆ叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点F相应的准线,根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线.２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程ｘ2a2+y2b2=1(a>b>0)＼f（ｙ2,a2)＋＼f(x2，b2）=1(a>b>0）图形性质范围－ａ≤x≤a -ｂ≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 顶点A１(－a,0），Ａ2(a，0) A1(０,-a)，A2（０,a)B1(0,－ｂ),B２(0,ｂ）B1(－b,0)，B2（b,0) 焦点F1(-ｃ，0) Ｆ２(c,０) Ｆ1（0，-ｃ) F２(0,c）准线ｌ１:x=－错误!ｌ２：x=错误!ｌ1：y=-错误!ｌ2：y＝错误!轴长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为２b焦距F１Ｆ2=2c离心率ｅ=错误!,且ｅ∈（０,1)a,b,c的关系c2=a２-b2对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点１．(夯基释疑）判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)动点P到两定点A（－2，0),B(2,０）的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为２ａ+２c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距）.( )（3)椭圆的离心率ｅ越大，椭圆就越圆．( )(４)已知点F 为平面内的一个定点,直线l 为平面内的一条定直线．设ｄ为平面内一动点Ｐ到定直线l 的距离，若d =错误!｜ＰF |,则点P 的轨迹为椭圆．( )[解析] (１)错误,|P A |+|ＰB |=|A Ｂ|＝4，点P 的轨迹为线段AB ；（2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1+PF２=２a ，F 1F 2=２c ,故△PF 1Ｆ2的周长为2a ＋2c ；(３)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确,根据椭圆的第二定义.［答案］ (1)× （2）√ (3)× (4)√2．(教材习题改编）焦点在x 轴上的椭圆＼f(x 2,5）+错误!=1的离心率为错误!，则m ＝_＿______．[解析] 由题设知a 2=5,ｂ2=m ,c ２=５-ｍ，ｅ2＝错误!＝错误!=（错误!)2＝错误!,∴５-ｍ＝2，∴ｍ=３.[答案] 3３．椭圆的焦点坐标为(０，－6),(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为２0，则椭圆的标准方程为__＿__.[解析] 椭圆的焦点在ｙ轴上，且c ＝６,２a =２0，∴ａ=10,b 2=ａ２－c ２=６４,故椭圆方程为x 264＋y 210０＝1. [答案] 错误!+错误!＝1 4.(２０14·无锡质检)椭圆ｘ24＋＼f(y ２，3)＝１的左焦点为F ,直线x ＝ｍ与椭圆相交于点Ａ,Ｂ,当△F ＡB 的周长最大时,△F ＡB 的面积是______＿_.[解析] 直线ｘ＝m 过右焦点（1,0）时，△F AB 的周长最大,由椭圆定义知，其周长为４a ＝8, 此时，|AB ｜＝2×b 2a＝错误!＝3，∴S △F AB =错误!×2×3＝3.[答案] 3５.(201４·江西高考)过点M （１,1)作斜率为－错误!的直线与椭圆C ：错误!+错误!=1(a >ｂ>０）相交于A ,B 两点，若Ｍ是线段AB 的中点，则椭圆Ｃ的离心率等于＿_＿_____．[解析] 设A (x １，y 1),B (x 2，y 2),则错误!∴错误!＋错误!＝０,∴y 1-y 2ｘ１－x 2＝-ｂ2a2·＼f(x 1＋x 2,ｙ１+y 2). ∵y 1-y 2x 1-ｘ2=－＼f （1,2),x 1+x 2＝2，ｙ1＋y 2＝2，∴-b ２ａ2＝-错误!， ∴a 2＝2b 2.又∵b ２＝a 2－ｃ2，∴a ２=2(a 2-c 2），∴a ２=2c 2，∴＼f （c ，a )=错误!.[答案] 错误!考向1 椭圆的定义与标准方程【典例１】(1)(201４·全国大纲卷改编)已知椭圆C：错误!+错误!＝1（a>b＞０）的左、右焦点为Ｆ１、F２，离心率为＼ｆ(3,３),过F2的直线ｌ交C于A、B两点．若△AF１Ｂ的周长为４＼r(3),则C的方程为___＿____.(2)(20１4·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=－4,则该椭圆的方程为＿___＿___.[解析](1)由条件知△AF1B的周长＝4a＝4错误!，∴a＝错误!.∵e＝错误!＝错误!,c２＋b2＝a2,∴c=1，b=错误!．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１.(2)∵椭圆的一条准线为ｘ=-4，∴焦点在x轴上且错误!=4，又2c=4,∴c=2，∴a２=8,b2＝4，∴该椭圆方程为错误!+错误!=１.[答案] (1）错误!＋错误!＝1 (２)错误!+错误!＝１,【规律方法】(1）一般地,解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决.（2）求椭圆的标准方程有两种方法①定义法:根据椭圆的定义，确定ａ２，b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax２＋Bｙ2=1(A>0，B＞0，A≠B).【变式训练1】(1)（20１３·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(１,0)，离心率等于＼ｆ(1,2),则C的方程是___＿___＿.(２）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!＋错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,Ｆ2,且｜Ｆ1F2|＝８，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点Ｆ1,则△ＡBＦ２的周长为___＿____．[解析] (1)右焦点F(１,０),则椭圆的焦点在ｘ轴上；c=１.又离心率为ca=＼f(1，2)，故a=2,b２＝a2-c2＝4－1＝３，故椭圆的方程为ｘ24+＼f(y２，3)=1.(2）∵a＞5,∴椭圆的焦点在x轴上，∵|F１F２|＝8,∴c=4,∴a2＝２５＋ｃ2＝41，则a＝＼r(41). 由椭圆定义,|AF1|+|ＡF2|＝|ＢF2|＋|BＦ1|＝2a,∴△ABF2的周长为4a=441.[答案] (１)错误!+错误!＝１(２）4错误!考向2椭圆的几何性质【典例２】(1）（2013·江苏高考)在平面直角坐标系ｘOy中，椭圆Ｃ的标准方程为x2ａ２+ｙ2b2＝1(ａ>b＞０),右焦点为F，右准线为l,短轴的一个端点为B．设原点到直线BF的距离为d1，Ｆ到ｌ的距离为d2,若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为_____＿__．（2)(2014·扬州质检)已知Ｆ1、F2是椭圆C的左、右焦点,点Ｐ在椭圆上,且满足|PＦ１|＝2|ＰF2|，∠PF１Ｆ2＝30°，则椭圆的离心率为___＿＿___．［解析］(１）依题意，d2=错误!-c=错误!.又ＢＦ=错误!=ａ,所以ｄ1=错误!．由已知可得错误!＝＼r(6)·＼f(bc,ａ）,所以＼ｒ（6)c２＝ab，即6ｃ4=a2（a2－ｃ２），整理可得a2=3c２,所以离心率ｅ=＼f(ｃ，ａ)＝＼f(3,3）.(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF２F1=1，即∠PF２F１=错误!，设｜PF2|＝1,则|ＰF1|=２，|F2F１|＝3,∴离心率ｅ=错误!=错误!. [答案］(1）错误!(2)错误!,【规律方法】1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF１|＋|PF2|=2a，得到a，c的关系．2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法：（１)求出a，ｃ,代入公式e=错误!；(2)只需要根据一个条件得到关于ａ,b，c的齐次式,结合ｂ2＝a2-c2转化为a，c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以ａ或a２转化为关于ｅ的方程(不等式),解方程（不等式)即可得e(e的取值范围)．【变式训练2】（1)(２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：错误!+错误!＝1(a>ｂ>0)的左、右焦点分别为F1,Ｆ２,P是C上的点，PF２⊥F1Ｆ2，∠PF1Ｆ２＝30°，则C的离心率为____＿___．(2)（２014·徐州一中抽测)已知F１、Ｆ２是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点,∠F１PF2=６0°.则椭圆离心率的范围为________.［解析］（1)如图,在Rｔ△PＦ1Ｆ2中,∠ＰF1F2＝3０°,∴｜ＰF1|=2|ＰF2|,且|ＰF２|＝错误!｜F1F2|，又|ＰF1|＋|PF2｜＝2a，∴｜PF２｜=＼f（2,3）a，于是|F1Ｆ２｜＝错误!a,因此离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.（２）法一:设椭圆方程为错误!+错误!＝1(a＞b>0)，｜PＦ1|＝m,｜PＦ2|=n,则ｍ＋n＝2ａ.在△PF1F２中,由余弦定理可知，4ｃ２=ｍ2＋n2－2ｍn cos 60°＝（ｍ＋ｎ）2－3mn=4a2－3mn≥4a2－3·错误!２＝4a２－3a2=ａ2(当且仅当ｍ=n时取等号)．∴错误!≥错误!，即e≥错误!.又０<e<1，∴e的取值范围是错误!.法二：如图所示,设Ｏ是椭圆的中心,A 是椭圆短轴上的一个顶点,由于∠F １ＰＦ2＝60°，则只需满足60°≤∠Ｆ1AF 2即可,又△F 1AF 2是等腰三角形，且｜ＡＦ1|＝|AF 2|，所以0°<∠F １Ｆ2A ≤６０°,所以１２≤cos ∠F 1Ｆ2A ＜1，又ｅ＝c ｏs ∠F 1Ｆ2A ,所以e 的取值范围是错误!． ［答案] （1)错误! （2)错误! 课堂达标练习 一、填空题1．在平面直角坐标系x Ｏy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F １，F 2在x 轴上，离心率为错误!.过Ｆ1的直线l 交Ｃ于A ，B 两点，且△AB Ｆ2的周长为16，那么椭圆C 的方程为__＿___＿＿.［解析］ 设椭圆方程为x 2a ２+＼f （ｙ2,b ２）=1（a >b >0)，由ｅ=错误!知错误!=错误!,故错误!=错误!.由于△AB Ｆ2的周长为|AB |+|ＢF 2|＋｜AF 2｜＝(|AF 1｜＋｜AF 2|)+(|BF １|+｜BF ２|)=4a =1６，故a =4.∴b 2＝８. ∴椭圆Ｃ的方程为错误!＋错误!=１．[答案］ 错误!＋错误!＝12.(2013·四川高考改编)从椭圆错误!＋错误!=1(ａ>b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，Ａ是椭圆与x 轴正半轴的交点，Ｂ是椭圆与y 轴正半轴的交点,且A Ｂ∥O Ｐ(O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是__＿＿＿＿__.[解析] 设P (-ｃ，ｙ0)代入椭圆方程求得ｙ０,从而求得k ＯP ,由ｋOP ＝k A Ｂ及ｅ＝＼f(c ，ａ)可得离心率e ． 由题意设Ｐ(－c ,y ０)，将P (-c ,ｙ０)代入＼ｆ（x 2,ａ2)＋错误!=1,得错误!＋错误!=１，则ｙ错误!=b 2错误!＝b 2·错误!=错误!.∴y 0=错误!或y 0=-错误!(舍去),∴P 错误!，∴k OP ＝－错误!．∵Ａ(a,0），B (0，ｂ),∴k AB ＝b －00-ａ＝－错误!. 又∵AB ∥ＯP ，∴ｋAB =k OP ，∴-错误!＝-错误!,∴ｂ=ｃ.∴e ＝＼f(c,a )=＼f （c,b 2＋ｃ２）=错误!＝错误!. [答案] 错误!3.(20１4·辽宁高考）已知椭圆C :错误!＋错误!=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|ＡN |＋｜ＢN |＝＿__＿＿___.［解析] 椭圆错误!＋错误!=1中，a =3. 如图,设MN 的中点为D ,则|ＤF 1|+|D Ｆ２|=２a =６．∵D ，Ｆ１,F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN ｜＝2|ＤF 2|，｜ＡN ｜=2｜D Ｆ1|, ∴|ＡN |+|BN ｜=2(|DF 1|+｜D Ｆ2|)＝12． ［答案] 124．（２01４·南京调研)如图,已知过椭圆错误!＋错误!＝1(a >b ＞0）的左顶点A (－a ，0)作直线ｌ交y 轴于点Ｐ,交椭圆于点Q ，若△AO Ｐ是等腰三角形,且错误!＝2错误!，则椭圆的离心率为______＿_．[解析] ∵△AO Ｐ为等腰三角形,∴O Ａ=O Ｐ，故A (-a,0)，Ｐ(0,a ),又错误!=2错误!,∴Q 错误!,由Ｑ在椭圆上得错误!＋错误!=１，解得错误!=错误!. ∴e =错误!=错误!＝错误!. [答案] 错误!5.(2０14·南京质检)已知焦点在ｘ轴上的椭圆的离心率为错误!,且它的长轴长等于圆Ｃ:x ２+y 2-2x -1５=0的半径，则椭圆的标准方程是__＿___＿_.[解析] 由x 2＋y 2-2x －15＝0，知r ＝４=2a ⇒a =2． 又e =＼ｆ(c,a )=＼ｆ(１，2)，c =1，则ｂ2=a ２－c 2=３.因此椭圆的标准方程为＼f （x 2,4）＋错误!=1. [答案］ 错误!＋错误!=1６．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C :x 2a ２+y 2ｂ2＝１(a >b >０)的左焦点为Ｆ,椭圆C 与过原点的直线相交于Ａ，B 两点,连接AF ,B Ｆ.若|AB ｜＝1０，|B Ｆ|=8，cos ∠AB Ｆ＝＼f(４,5），则椭圆Ｃ的离心率为__＿___＿___.[解析] 在△ABF 中,由余弦定理得 ，|AF |2=|ＡB |2+｜BF |2－２|A Ｂ|·|BF |c ｏs ∠ABF ，∴|ＡＦ|2＝100+64－128=3６，∴|AF |＝６，从而｜AB |2＝|AF |２＋|BF |2，则AF ⊥ＢF . ∴c =|ＯF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性,设F ′为右焦点，则|BF ′|=|ＡF ｜=６, ∴2ａ＝｜B Ｆ|＋|BF ′｜=14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝错误!=错误!． ［答案] 错误! 7.已知F 1，F 2是椭圆C :ｘ2a 2＋＼ｆ(y 2，b ２)＝1（a ＞b >0）的两个焦点,P 为椭圆Ｃ上的一点，且＼ｏ(ＰF １，→）⊥错误!.若△PF 1F 2的面积为９，则b ＝__＿_＿＿_＿．[解析］ 由定义，｜PF 1|+｜ＰF 2｜＝２ａ，且错误!⊥错误!, ∴|P Ｆ1｜2＋|ＰF 2|2＝|F 1F ２|２＝４c 2，∴(|ＰF 1|＋|P Ｆ2｜)２-２｜PF 1|｜PF ２｜=4c ２，∴2|ＰF １|｜PF 2|＝4a 2-4c 2＝４b ２,∴|PF 1｜|PF ２|＝2b 2. ∴Ｓ△PF 1F 2＝＼f （1,2)｜PF 1｜|PF 2|=1２×2b 2＝9，因此b =3. [答案] ３8．(２0１3·大纲全国卷改编）已知F １(-1,０)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于ｘ轴的直线交Ｃ于A ，B 两点,且|AB ｜＝３,则C 的方程为___＿＿_＿_.［解析］ 依题意,设椭圆Ｃ：错误!＋错误!=1(a ＞ｂ>0)．过点F ２(1,０）且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长｜AB |＝3, ∴点Ａ错误!必在椭圆上, ∴错误!＋错误!=1.① 又由c =1,得１+b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2=4.故所求椭圆C 的方程为ｘ２4＋＼f （y 2,3)=1． [答案］ ＼f(x 2,4)+错误!＝1二、解答题９．(2014·镇江质检)已知椭圆C １：错误!+y 2＝1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程;（２）设Ｏ为坐标原点，点Ａ，B 分别在椭圆Ｃ1和C 2上,错误!=2错误!,求直线ＡB 的方程．[解] （1）设椭圆C 2的方程为错误!＋错误!=１(a >2), 其离心率为错误!, 故错误!＝错误!，解得a ＝4.故椭圆Ｃ2的方程为＼f(y ２,１6）＋错误!=1.(2)法一:A ，B 两点的坐标分别记为(x A ,ｙA )，(x Ｂ,ｙB )，由错误!＝2错误!及(1)知，O 、Ａ、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线A Ｂ的方程为y =kx . 将ｙ=ｋx 代入错误!＋y 2＝1中，得（１+4ｋ2）ｘ2=4， 所以ｘ错误!＝错误!. 将y =kx 代入＼ｆ（y 2,1６)＋错误!＝1中,得（４＋k 2)x 2＝16，所以x 错误!=错误!. 又由错误!＝2错误!,得x 错误!＝4x 错误!， 即错误!=错误!, 解得k =±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－ｘ. 法二:A ,Ｂ两点的坐标分别记为（ｘＡ，y A ),(x B ,ｙB )，由错误!=2错误!及(1)知,O 、Ａ、Ｂ三点共线且点A 、B 不在y 轴上,因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入＼f(ｘ2,４）＋y 2=1中，得（1+4k 2)x 2=４,所以ｘ２，A =４１＋4ｋ2. 由错误!＝2错误!，得x错误!＝错误!，y 错误!=错误!.将x2B,y错误!代入错误!＋错误!=1中,得错误!=１，即４＋k2＝１+4ｋ２，解得k＝±1.故直线AB的方程为y=x或ｙ＝-x.1０.(2０14·安徽高考）设F1,Ｆ2分别是椭圆E：＼ｆ(ｘ2,a2)+错误!=1(ａ>b＞0)的左、右焦点，过点Ｆ1的直线交椭圆E于A,B两点，|AF１｜=3|F１B|．(1）若|AB|=4，△AＢＦ2的周长为１6,求|AF2|;(2）若ｃos∠AF２B＝错误!，求椭圆Ｅ的离心率.[解]（1）由｜ＡF１|=3｜F1Ｂ|,｜ＡB|=4，得|ＡF1|＝3,|F１Ｂ|=1.因为△ＡBＦ2的周长为16，所以由椭圆定义可得４a=1６，|AF１|＋|ＡF2|=2ａ=8.故|AＦ2|＝２a－|AF1|=8－3＝5．(2)设|F1B|＝k,则k>0且｜ＡF1|=3k,|ＡＢ｜=4ｋ．由椭圆定义可得|AF2|＝２a-3k,|ＢＦ2｜=2a-k.在△ABＦ２中,由余弦定理可得|AＢ｜２=|AF2｜２+｜BF2｜２－2｜ＡＦ2|·|BF２|ｃos∠ＡＦ2Ｂ，即(４ｋ)2＝(2a-3k)2+(２a-ｋ）2－＼f(6,5）(２ａ－３k)·（2a-k)，化简可得(a+k)(a-３ｋ)＝0.而a+k>0，故ａ＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|=５k．因此|BF2｜2=|F２Ａ|2＋|AＢ｜２，可得F１A⊥F２A，故△AF1Ｆ2为等腰直角三角形．从而ｃ=＼f（＼r(2),2)a,所以椭圆E的离心率e=错误!=错误!.椭圆的定义与性质1．椭圆的定义(1）第一定义：平面内与两个定点Ｆ1,F２的距离之和等于（大于|F1F２|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个叫做椭圆的焦点,两个的距离叫做焦距.(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数( <e<)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点Ｆ相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!=1（a＞ｂ>0)错误!+错误!=1(ａ>b>0)图形性质范围≤x≤≤ｙ≤≤x≤≤y≤顶点A1( ）, A2( ) A1(), A2（）B1( )，Ｂ2( ) B１（),B2（）焦点F1() F2() F1（)F2()准线l1:x＝-a2c l2:x＝＼f(a2,c) l1：y＝－错误!l２:ｙ=错误!轴长轴Ａ1A2的长为短轴B1B2的长为长轴A1Ａ2的长为短轴B1B2的长为焦距F1F２=离心率e＝＼f(c,a），且e∈a,b,c的关系c２=对称性对称轴：对称中心:1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)动点Ｐ到两定点Ａ(-2，0)，B(2,0)的距离之和为４,则点P的轨迹是椭圆．（)(2)椭圆上一点Ｐ与两焦点Ｆ1，F2构成△ＰＦ1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距)．()(３)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．（)(4)已知点F为平面内的一个定点，直线ｌ为平面内的一条定直线.设d为平面内一动点P到定直线l的距离,若d＝错误!|PＦ｜，则点P的轨迹为椭圆．（)2.(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆错误!+错误!＝1的离心率为错误!,则m＝_＿______.3.椭圆的焦点坐标为(0,-6),（０，６)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20,则椭圆的标准方程为_____. 4．（201４·无锡质检)椭圆错误!+错误!=1的左焦点为F，直线ｘ=m与椭圆相交于点A，Ｂ，当△F AB的周长最大时，△F AB的面积是_＿___＿_＿．5.(2０１4·江西高考）过点M(1,１)作斜率为－１２的直线与椭圆C：错误!+错误!＝1(a>b>0)相交于A,Ｂ两点,若Ｍ是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于____＿___.考向1 椭圆的定义与标准方程【典例１】(1）(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：＼f(ｘ2，a２)＋错误!＝1(a>ｂ>0）的左、右焦点为F1、F２,离心率为错误!，过F2的直线l交C于Ａ、B两点．若△ＡF１Ｂ的周长为4错误!,则Ｃ的方程为______＿_.(２)（2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为４,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为_＿__＿__＿.【规律方法】（1）一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．(2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义,确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出ａ，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax２+Ｂｙ2＝1(Ａ>0，B>０,A≠Ｂ)．【变式训练1】(1)（２013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0),离心率等于＼f(1,2)，则Ｃ的方程是＿_______.（2）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!+错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,Ｆ２，且｜F１Ｆ2|＝8，弦AＢ（椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△AＢF2的周长为＿_＿____＿.考向２椭圆的几何性质【典例２】（１）(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xＯｙ中，椭圆Ｃ的标准方程为错误!＋错误!＝１(a>b>0),右焦点为F，右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线ＢF的距离为ｄ1，F到l的距离为d2，若ｄ2=６d1,则椭圆Ｃ的离心率为＿___＿_＿_．（2)(２014·扬州质检)已知Ｆ1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足｜PF１|＝2|PＦ2|，∠PF1F２＝３0°,则椭圆的离心率为________.【规律方法】1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|ＰF1|＋|PF2|=2a，得到a,c的关系．2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围），常见有两种方法:(1)求出a，c,代入公式e＝错误!;(2)只需要根据一个条件得到关于a,b，c的齐次式，结合b２＝a２-ｃ2转化为ａ,ｃ的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或ａ２转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e（e的取值范围).【变式训练2】（1）（２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：x2a2＋错误!=1(ａ＞b>0)的左、右焦点分别为Ｆ1,F2，P是Ｃ上的点,PF2⊥F1Ｆ２，∠ＰＦ1Ｆ２=30°,则C的离心率为＿__＿__＿＿．（2)(2０14·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，Ｐ为椭圆上一点，∠F１ＰF2=60°.则椭圆离心率的范围为＿_______．课堂达标练习一、填空题１.在平面直角坐标系x Ｏy 中，椭圆Ｃ的中心为原点,焦点Ｆ1，F 2在ｘ轴上，离心率为＼f(＼ｒ(2)，２).过F 1的直线ｌ交C 于A ，B 两点，且△ＡBF 2的周长为1６，那么椭圆Ｃ的方程为_＿_＿____．2.（２0１3·四川高考改编）从椭圆错误!＋错误!＝1(ａ>b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点Ｆ1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且ＡB ∥OP (Ｏ是坐标原点),则该椭圆的离心率是______＿＿．３．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋错误!=１,点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在Ｃ上,则|ＡN |＋|B Ｎ｜=_____＿__.4.(2014·南京调研）如图,已知过椭圆错误!+错误!＝1(a >ｂ>0)的左顶点A （-a,０)作直线ｌ交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△ＡOP 是等腰三角形，且错误!＝2错误!,则椭圆的离心率为___＿____.5.(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为＼f(1，2），且它的长轴长等于圆C ：x 2+y 2－2x -15=0的半径，则椭圆的标准方程是＿__＿____.６．（2013·辽宁高考改编)已知椭圆Ｃ:错误!+错误!＝１(a >ｂ＞0）的左焦点为Ｆ,椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接ＡF ,ＢF .若|ＡB |=10,|BF |=8,cos ∠ABF ＝错误!,则椭圆C 的离心率为__＿_______．７.已知F １,Ｆ2是椭圆C ：错误!+错误!＝１(a >b >0）的两个焦点，Ｐ为椭圆Ｃ上的一点,且错误!⊥错误!.若△P Ｆ1Ｆ2的面积为9，则b =_＿______.8.（2013·大纲全国卷改编)已知F 1(-1,0)，F 2(１,0)是椭圆C 的两个焦点,过F ２且垂直于ｘ轴的直线交C 于Ａ，B 两点,且｜A Ｂ|=3，则C 的方程为___＿＿_＿_.二、解答题9.（2０14·镇江质检)已知椭圆C １:x 24＋y 2=1，椭圆Ｃ２以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率． （１）求椭圆C ２的方程;(2)设O 为坐标原点,点A ,Ｂ分别在椭圆C １和C 2上，错误!=2错误!,求直线AB 的方程．1０.(２014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E:错误!＋错误!＝１(ａ>b>0)的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆Ｅ于A,B两点，|AＦ1|=3|F1Ｂ|．(1)若|ＡB|=4，△ABＦ2的周长为16，求|ＡF2|;(２）若cos∠AＦ2B=错误!，求椭圆E的离心率.。