高中高三数学教学质量检测(六)

湖州、衢州、丽水2024年11月三地市高三教学质量检测试卷数学1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2B x x A=Î∣，则A B =I （）A. {}1B. {}1,2 C. {}1,2,4 D. {}1,2,3,4,5,6【答案】B 【解析】【分析】根据集合定义求得B ，再由交集定义计算．【详解】因{}1,2,3,4,5,6A =，{}2B xx A =Î∣，所以{1,1,2,2,B =--，所以{1,2}A B =I ，故选：B ．2. 已知复数1i z =-（其中i 是虚数单位），则2z z +=（ ）A. 2 B. 1C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用共轭复数的定义、复数的四则运算化简复数2z z +，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为1i z =-，则()221i 1i 2i 1i 1i z z +=-++=-++=-，因此，2z z +==.为3. 双曲线的另一种定义：动点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它与定直线l ：2a x c=的距离的比是常数()0ca c a<<，则点M 的轨迹是一个双曲线.动点M与定点)F 的距离和它与定直线l：x =的M 的轨迹方程为（ ）A. 2212y x -= B. 2212y x -=C. 2212x y -= D. 2212x y -=【答案】B 【解析】【详解】设(,)M x y =，化简整理得2212y x -=，所以点M 的轨迹方程为2212y x -=.故选：B4. 为研究光照时长x （小时）和种子发芽数量y （颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对x ，y 进行线性回归分析.若在此图中加上点P 后，再次对x ，y 进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）A. x ，y 不具有线性相关性B. 决定系数2R 变大C. 相关系数r 变小D. 残差平方和变小【答案】C【分析】从图中分析得到加入P 点后，回归效果会变差，再由决定系数，相关系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可.详解】对于A ，加入P 点后，变量x 与预报变量y 相关性变弱，但不能说x ，y 不具有线性相关性，所以A 不正确对于B ，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以加上点P 后，决定系数2R 变小，故B 不正确；对于C ，从图中可以看出P 点较其他点，偏离直线远，所以加上点P 后，回归效果变差. 所以相关系数r 的绝对值越趋于0，故C 正确；对于D ，残差平方和变大，拟合效果越差，所以加上点P 后，残差平方和变大，故D 不正确；故选：C.5. 已知ABC V 外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，AO AB =uuu r uuu r ，则向量BA uuu r 在向量BC uuu r上的投影向量为（ ）A. 14BC uuurB. rC. 14BC-uuurD. r 【答案】A 【解析】【分析】设AB 中点为D ，确定AO AD =uuu r uuu r，ABO V 为正三角形，再计算向量的投影得到答案.【详解】设AB 中点为D ，则22AO AB AC AD =+=uuu r uuu r uuu r uuu r ，即AO AD =uuu r uuu r，故BC 边为圆O 的直径，则AO OB =uuu r uuu r，又AO AB =uuu r uuu r ，则ABO V 为正三角形，则有12BA BC =uuu r uuu r ，向量BA uuu r 在向量BC uuu r上的投影向量1cos604BC BA BC BC °´=uuu ruuu r uuu r uuur ，【的6. 古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为r 的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点()2A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 点的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()πsin 0,0,2y r t t w j w j æö=+³><ç÷èø，当45t =秒时，PA =（ ）A. B.C. D. 4【答案】A 【解析】【分析】由A 点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了34个周期，由计算出图中POA Ð（小于平角的那个），然后由勾股定理计算．【详解】由已知4r ==，60T =，经过45秒后，即旋转了34个周期，因此3π(1)2π42POA Ð=-´=，如图，所以PA =，故选：A ．7. 已知长方体1111ABCD A B C D -，E 是棱11C D 的中点，平面1AB E 将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ）A.715B.12C.724D.717【答案】D 【解析】【分析】依题意可知平面1AB E 将长方体分割成的体积较小部分为三棱台，利用台体体积公式计算即可得出答.【详解】取1DD 的中点为F ，连接,EF AF ，如下图所示：由长方体性质可得1//EF AB ，因此平面1AB E 即为平面1AB EF ，根据长方体性质，由相似比可知111,,AF A D B E 交于同一点，所以长方体被平面1AB EF 割成的体积较小部分为三棱台111D EF A B A -，设长方体的各棱长为1,,AB a AD b AA c ===，因此长方体的体积为V abc =；再由棱台体积公式可得()11111111117332824D EF A B A D EF A B A V S S b ac ac b abc -æö=+=++=ç÷ç÷èøV V ，可得较大部分的体积为1111724D EF A B A V V V abc -¢=-=；因此体积较小部分与体积较大部分的体积之比为111717D EF A B AV V -=¢.故选：D8. 已知函数()cos3cos2f x x x =-，(0,π)x Î，若()f x 有两个零点1212,()x x x x <，则（ ）A.12}π{,5x x Î B. 213x x =C. 121cos cos 2x x += D. 121cos cos 4x x =-【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合余弦函数的性质求出12,x x ，再逐项计算判断即得.【详解】由()0f x =，得cos3cos2x x =，而(0,π)x Î，则2(0,2π)x Î，3(0,3π)x Î，)3,2(0πx x x Î-=，因此N 322π,x x k k =Î+，解得2π,N 5k x k =Î，由(0,π)x Î，得1k =或2k =，于是122π4π,55x x ==，对于A ，12}π{,5x x Ï，A 错误；对于B ，212x x =，B 错误；对于C ，2π4π2ππcoscos cos cos 05555+=-<，C 错误；对于D ，122π4πsinsin2π4ππ2π155cos cos coscos cos cos π2π555542sin 2sin 55x x ==-=-×=-，D 正确.故选：D【点睛】关键点点睛：利用余弦函数的性质，结合零点的意义求出两个零点是解题之关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知0a >，0b >，则下列说法正确的是（ ）A. 若1a b +=，则22log log 2a b +£-B. 若1a b +=1<C. 若1a b -=，则1212ab->D. 若1a b -=，则221a b +>【答案】ACD 【解析】【分析】由基本不等式判断AB 选项，由不等式的基本性质判断CD 选项.【详解】22222221log log log log log 222a b a b ab +æöæö+=£==-ç÷ç÷èøèø当且仅当12a b +=时取等号，A 选项正确；。

2024-2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设i 为虚数单位，若z =2-ii 3，则z =()A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2i2.已知cos α1+sin α=-3，则cos αsin α-1的值为()A.33B.-33C.3D.-33.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯⋯这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有( )个奇数A.1012B.1348C.1350D.13524.在△ABC 中，H 为BC 的中点，M 为AH 的中点，若AM =λAB +μAC ，则λ+μ等于()A.23B.12C.16D.135.已知a =log 35，b =log 23，c =e ln 43，则()A.a <b <cB.c <b <aC.b <c <aD.c <a <b6.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为13，不下雨的概率均为23，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为()A.1681B.2081C.827D.28817.已知直线l :4x +3y +5=0与圆C :(x -4)2+(y -3)2=4，点P ,Q 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ,B ，当P A 取最小值时，则QA +QB 的最小值为()A.31B.231C.82D.2338.在平行四边形ABCD 中，DA =DB ，E 是平行四边形ABCD 内(包括边界)一点，DE ⋅DA DA =DE ⋅DBDB，若CE =xCB +yCD ，则x +y 的取值范围为()A.1,2B.1,32C.12,32D.0,1二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.对任意A ,B ⊆R ，记A ⊕B =x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，并称A ⊕B 为集合A ,B 的对称差．例如：若A =1,2,3 ,B =2,3,4 ，则A ⊕B =1,4 ．下列命题中，为真命题的是()A.若A ,B ⊆R 且A ⊕B =B ，则A =∅B.若A ,B ⊆R 且A ⊕B =∅，则A =BC.若A ,B ⊆R 且A ⊕B ⊆A ，则A ⊆BD.存在A ,B ⊆R ，使得A ⊕B ≠∁R A ⊕∁R B10.在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折至△A 1DE 的位置，使得二面角A 1-DE -C 为直二面角，若P 为线段A 1C 的中点，则()A.BP ⎳平面A 1DEB.DP ⊥ECC.异面直线PB ，A 1D 所成的角为π3D.A 1B 与平面PBD 所成角的余弦值为42711.随机事件A ，B 满足P A =12，P B =23，P A B =34，则下列说法正确的是()A.P AB =P A P BB.P A B =38C.P A +B =34D.P AB A +B P AB =P 2A P 2B三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知数列a n 的通项公式为a n =tn 2-78t +174 n +172,n ≤2t n,n >2，若数列a n 是单调递增数列，则实数t 的取值范围是.13.已知函数f (x )=2sin ωx +π4(ω>0)在区间0,1 上的值域为m ,n ，且n -m =3，则ω的值为.14.欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式e iθ=cos θ+i sin θ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式e i π+1=0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数--自然对数的底数e ，圆周率π，两个单位--虚数单位i 和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：e iθ=cos θ+i sin θ，将复数ei π3+e i π表示成a +bi (a ,b ∈R ,i 为虚数单位)的形式；若z n =1，则z =z k (k =0,1,2,⋯,n -1)，这里z k =cos 2k πn +i sin 2k πn(k =0,1,2,⋯,n -1)，称z k 为1的一个n 次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得x 5-1=(x -1)x 4+x 3+x 2+x 1+1 ，复数z =e2πi5，则z -2 z 2-2 z 3-2 z 4-2 的值是．四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知数列a n 的前n 项和S n =na n -3n (n -1)，n ∈N *，且a 3=17．(1)求a 1；(2)求数列a n 的前n 项和S n ；(3)设数列b n 的前n 项和T n ，且满足b n =n S n ，求证：T n <233n +2．16.在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且cos C c =-cos Aa +2b.(1)求角C 的大小；(2)若AC =BC =2，如图，D ,E 是AB 上的动点，且∠DCE 始终等于30°，记∠CED =α.当α为何值时，△CDE 的面积取到最小值，并求出最小值.17.如图，在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ,CD ∥EF ,AB =DE =EF =CF =2,CD =4,AD =BC =10,AE =23，M 对CD 的中点.(1)证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；(2)求平面AEM 与平面BEM 所成角的正弦值；(3)设点N 是△ADM 内一动点，ND ⋅NM=0，当线段AN 的长最小时，求直线EN 与直线BF 所成角的余弦值.18.已知A ，B 分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右顶点，点P 22,n 是双曲线C 上的一点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2=|AB |=4.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知过点(4,0)的直线l :x =my +4，交C 的左，右两支于D ，E 两点(异于A ，B ).(i )求m 的取值范围；(ii )设直线AD 与直线BE 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上.19.已知函数f x =x 2e x ,g x =ln x .(1)求函数y =f (x )的单调区间；(2)若曲线y =e x +m 与y =g x +1 存在两条公切线，求整数m 的最小值；(3)已知a ∈-1e ,0 ，函数h x =x -1 g x -1 -ax有3个零点为：x 1,x 2,x 3，且x 1<x 2<x 3，证明：x 1+x 2+x 3>2e.参考答案1．D【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【详解】z =2-i i 3=2-i-i =1+2i ，故z=1-2i ．故选：D ．2．A【分析】由cos α1+sin α⋅cos αsin α-1=-1即可求解.【详解】因为cos α1+sin α⋅cos αsin α-1=cos 2αsin 2α-1=1-sin 2αsin 2α-1=-1，且cos α1+sin α=-3，所以cos αsin α-1=33.故选：A 3．C【分析】对数列中的数进行归纳，发现规律，结合题意得到答案.【详解】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，又2022=3×674，故该数列前2024项有2×674+2=1350个奇数.故选：C 4．B【分析】由向量的线性运算结合图形特征，求出λ,μ的值即可.【详解】在△ABC 中，H 为BC 的中点，M 为AH 的中点，则AM =12AH =12×12AB +AC ，所以λ=μ=14，λ+μ=12.故选：B 5．D【分析】利用对数函数的单调性以及基本不等式比较大小.【详解】由已知得c =eln 43=43，比较a =log 35和c =43的大小，其中c =43=log 3343，因为53=125>3433=81，所以53>343，又因为y =log 3x 在0,+∞ 单调递增，所以a =log 35>c =log 3343，即a >c ；比较b =log 23和c =log 2243的大小，其中33=81>2433=16，即3>243，因为y =log 2x 在0,+∞ 上单调递增，所以b =log 23>c =log 2243，即b >c ；比较a =log 35，b =log 23的大小，因为a =log 35<log 327=log 3332=32，b =log 23>log 222=log 2232=32，所以a <b ，即c <a <b ，故选：D .6．D【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率.【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有4次.(1)4次均不下雨，概率为：234=1681；(2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：2×13×233=1681；(3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况：①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨；概率为：2×132×232+13×23×13×23+13×23×23×13=1681；(4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为：2×133×23=481；(5)4次均下雨，概率为：134=181；两天都不淋雨的概率为：1681+1681+1681+481+181=5381，所以至少有一天淋雨的概率为：1-5381=2881.故选：D .7．C【分析】由切线长公式知当PC ⊥l 时，P A 最小，结合点到直线距离公式求得P A 的最小值，然后作A 关于直线l 的对称点A ，可知当点Q 为A B 与直线l 的交点时，QA +QB 最小，由对称知，此时P 与Q 重合，从而易得最小值．【详解】由C :(x -4)2+(y -3)2=4可知圆心为4,3 ，半径r =2，由题意P A =PC2-AC 2=PC2-4，所以当PC ⊥l 时，P A 取最小值，由点到直线的距离公式可得PC min =4×4+3×3+516+9=6，此时P A =PB =36-4=42，过A 作直线l 的对称点A ，连接QA ，A B ，A B 与直线l 的交点即为所求的点Q ，由于P A 与PB 关于直线PC 对称，PC ⊥l ，P A 与P A 关于直线l 对称，因此P A 与A B 就是同一条直线，即点P 即为所求的点Q ，所以QA +QB 的最小值为2PB =82.故选：C8．B【分析】先根据题意，得到点E 的轨迹，然后利用向量计算即可.【详解】因为DE ⋅DA DA =DE ⋅DBDB得DE cos ∠EDA =DEcos ∠EDB ，即cos ∠EDA =cos ∠EDB所以点E 在∠BDA 的角平分线上，设AB 的中点为M因为DA =DB ，所以点E 在线段DM 上，不妨设DE =λDM,λ∈0,1 ，所以CE =CD +λDM易知DM =DA +AM =CB -12CD所以CE =CD +λCB -12CD =1-λ2CD+λCB因为CE =xCB +yCD所以x +y =1-λ2+λ=1+λ2因为λ∈0,1所以x +y =1+λ2∈1,32故选：B【点睛】关键点点睛：DE ⋅DA DA =DE ⋅DBDB表示了DA ,DB 两个向量的角平分线.9．AB【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可．【详解】解：对于A ，因为A ⊕B =B ，所以B =x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，所以A ⊆B ，且B 中的元素不能出现在A ∩B 中，因此A =∅，即A 正确；对于B ，因为A ⊕B =∅，所以∅=x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，即A ∪B 与A ∩B 是相同的，所以A =B ，即B 正确；对于C ，因为A ⊕B ⊆A ，所以x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ⊆A ，所以B ⊆A ，即C 错误；对于D ，由于∁R A ⊕∁R B =x |x ∈∁R A ∪∁R B ,x ∉∁R A ∩∁R B=x x ∈∁R A ∩B ,x ∉∁R A ∪B =x |x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，而A ⊕B =x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，故A ⊕B =∁R A ⊕∁R B ，即D 错误．故选：AB ．10．AC【分析】建立空间直角坐标系，用向量法证明线面关系即可判断A ,B 选项；用向量法分别表示向量PB ,A 1D ,A 1B ，以及求出平面PBD 的法向量，代入异面直线所成的角的向量公式可判断C 选项，代入直线与平面所成角的余弦公式即可判定D 选项.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，C (2,3,0)，D (0,3,0)，P 1,32,12.对于A ，因为BP =0,32,12，平面A 1DE 的一个法向量为m =(1,0,0)，所以BP ⋅m=0，所以BP ⎳平面A 1DE ，故A 正确.对于B ，因为DP =1,-32,12，EC =(2,3,0)，所以DP ⋅EC =12≠0，所以DP ，EC 不垂直，故B 错误.对于C ，因为PB =0,-32,-12 ，A 1D =(0,3,-1)，所以cos PB ,A 1D =PB ⋅A 1DPB A 1D =12，所以异面直线PB ，A 1D 所成的角为π3，故C 正确.对于D ，设平面PBD 的法向量为n=(x ,y ,z )，因为BP =0,32,12，BD =(-1,3,0)，所以n ⋅BP =32y +12z =0,n⋅BD =-x +3y =0,令x =3，得n =3,1,-3 .设A 1B 与平面PBD 所成的角为θ，因为A 1B=(1,0,-1)，所以sin θ=cos A 1B ,n =A 1B ⋅nA 1B n =237×2=427，cos θ=1-sin 2θ=1-4272=77，故D 错误.故选：AC .11．CD【分析】根据题意由相互独立事件的概率性质分析可判断A ，B ；由概率加法公式可分析C ；计算P AB A +B ，验证P AB A +B P AB =P 2A P 2B 是否正确即可判断D .【详解】由已知P A =12，P B =13，因为P A B =P A B P B=34，所以P A B =P A B P B =34×13=14，所以P AB =P B -P A B =13-14=112，所以P AB ≠P A P B ，故A 错误；因为P A B =P A -P A B =12-14=14，故B 错误；P A +B =P A +P B -P AB =12+13-112=34，故C 正确；P AB A +B =P AB P A +B=11234=19，又P A B =14，P A =12，P B =13，所以P AB A +B P AB =P 2A P 2B ，故D 正确.故选：CD .【点睛】方法点睛：解决本题的关键是概率的性质和应用，以及条件概率的计算.12．2,+∞【分析】根据是递增数列以及解析式，可得a 的范围，又a 3>a 2>a 1，代入求解，即可求得答案.【详解】因为数列a n 是递增数列，当n >2时，a n =t n ，可得t >1，当n ≤2时，a 1<a 2，即t -78t +174 +172<4t -278t +174 +172，解得t >2，又a 3>a 2，所以t 3>4t -278t +174 +172，解得t >32或-32<t <0.综上，实数t 的取值范围是2,+∞ .故答案为：2,+∞ .13．11π12【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可.【详解】x ∈0,1 ，故ωx +π4∈π4,ω+π4，因为f (x )=2sin ωx +π4在区间0,1 上的值域为m ,n ，且n -m =3，故必有n =2,m =-1,，如图所示，则ω+π4=7π6,故ω=11π12.故答案为：11π1214．-12+32i 31【分析】根据欧拉公式直接可得求出第一空；根据单位根的概念，代入化简即可求出第二空.【详解】e i π3=cosπ3+i sin π3=12+32，e i π=cosπ+i sinπ=-1，所以e i π3+e i π=-12+32i ，由题意可得z 5=1，所以z 5-1=(z -1)z 4+z 3+z 2+z 1+1 =0，又因为z ≠1，所以z 4+z 3+z 2+z 1+1=0，则z -2 z 2-2 z 3-2 z 4-2=z -2 z 4-2 z 2-2 z 3-2 =z 5+4-2z -2z 4 z 5+4-2z 2-2z 3 =5-2z -2z 4 5-2z 2-2z 3=25-10z 2-10z 3-10z +4z 3+4z 4-10z 4+4z 6+4z 7=25-10z 2-10z 3-10z +4z 3+4z 4-10z 4+4z +4z 2=25-6z 4+z 3+z 2+z 1 =31-6z 4+z 3+z 2+z 1+1 =31.故答案为：-12+32i ；31.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用.15．(1)a 1=5(2)S n =3n 2+2n(3)证明见解析【分析】(1)令n =2，n =3解方程即可求解，(2)利用S n ，a n 的关系，作差可得等差数列，即可求解，(3)利用放缩法可得b n <23n +2+3n -1=23(3n +2-3n -1)，即可利用累加法求解.【详解】(1)在S n =na n -3n (n -1)，n ∈N *中，a 3=17，令n =2，n =3可得a 1+a 2=2a 2-6a 1+a 2+a 3=3a 3-18 ⇒a 2-a 1=6a 1+a 2=16 ，∴a 1=5．(2)S n =na n -3n (n -1)，①当n ≥2时，S n -1=(n -1)a n -1-3(n -1)(n -2)，②①-②可得a n =na n -(n -1)a n -1-6(n -1)⇒(n -1)a n =(n -1)a n -1+6(n -1)(n ≥2)，∴a n =a n -1+6，∴a n 是公差为6的等差数列，∴a n =a 1+6(n -1)=6n -1，∴S n =na n -3n (n -1)=n (6n -1)-3n (n -1)=3n 2+2n ．(3)证明：由(2)可得b n =n 3n 2+2n=13n +2，∴b n =13n +2=223n +2<23n +2+3n -1=23(3n +2-3n -1)，∴T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n <23[(5-2)+(8-5)+⋅⋅⋅+(3n +2-3n -1)]=23(3n +2-2)<233n +2．16．(1)C =120°(2)α=75°，最小值为2-3【分析】(1)根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果；(2)在△ACE 中，根据正弦定理表示出CE ，在△BCD 中，根据正弦定理表示出CD ，根据三角形面积公式得到△CDE 的面积，即可求出结果.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理可得cos C sin C =-cos Asin A +2sin B，所以sin A cos C +2sin B cos C =-cos A sin C ，所以sin A +C =-2sin B cos C ，即得sin B =-2sin B cos C ，因为0°<B <180°，所以sin B >0，所以cos C =-12，因为0°<C <180°，所以C =120°；(2)因为AC =BC =2，由(1)知C =120°，所以A =B =30°，在△ACE 中，由正弦定理可得AC sin α=CE sin30°，所以CE =1sin α，在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin 150°-α =CD sin30°，所以CD =1sin 150°-α，所以S △CDE =12⋅CD ⋅CE ⋅sin30°=14sin αsin 150°-α =12sin 2α-60° +3，因为0<α<150°，所以0<2α-60°<240°，当sin 2α-60° =1时，S △CDE 取得最小值2-3，此时2α-60°=90°，即α=75°，所以当α=75°时，△CDE 的面积取到最小值，最小值为2-3.17．(1)证明见解析(2)4313(3)32.【分析】(1)取DM 的中点O ，证明AO ⊥OE ,AO ⊥DM ,EO ⊥DM ，然后得线面垂直，再得面面垂直；(2)以O 为坐标原点，分别以OE ,OC ,OA 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；(3)由向量的数量积为0，确定N 的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，然后由空间向量法求线面角．【详解】(1)取DM 的中点O ，连结OA ,OE ，由已知得，△EMD 是边长为2的等边三角形，△ADM 是以AD =AM =10为腰的等腰三角形，则OE ⊥DM ,OA ⊥DM ,OA =3,OE =3，故AO 2+OE 2=AE 2,故OA ⊥OE ,OE ∩DM =O ,OE ⊂平面CDEF ,DM ⊂平面CDEF ，所以OA ⊥平面CDEF ，又OA ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF ；(2)以O 为坐标原点，分别以OE ,OC ,OA 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A 0,0,3 ,E 3,0,0 ,M 0,1,0 ,B 0,2,3 ，BE =(3,-2,-3)，AE =3,0,-3 ,EM =-3,1,0 ,MB=0,1,3 ，设平面AEM 的法向量为n=x ,y ,z ，则n ⋅AE =0n ⋅EM =0，即3x -3z =0-3x +y =0 ，取z =1，则n=3,3,1 ，设平面BEM 的一个法向量为m=a ,b ,c ，由m ⋅EM=-3a +b =0m ⋅BE =3a -2b +3c =0，取a =3，得m =3,3,-1 ，所以cos m ,n =m ⋅n m ⋅n=1113，因为m ,n ∈0,πsin <m ,n >=4313，故平面AEM 与平面BEM 所成角的正弦值为4313.(3)点N 是△ADM 内一动点且ND ⋅NM=0，则点N 在以DM 为直径的圆上，当线段AN 的长最小时，点N 在AO 与圆的交点处，此时N 0,0,1 ，EN =-3,0,1 ,BF=3,0,-3 ，设直线EN 与直线BF 所成角为θ，所以cos θ=cos EN ,BF =EN ⋅BFEN BF=32，所以直线EN 与直线BF 所成角得余弦值为32.18．(1)x 24-y 216=1(2)(i )m <-12或m >12；(ii )证明见解析【分析】(1)根据k 1k 2=|AB |=4求出a =2，n 2=16，从而得到(22)24-16b2=1，求出b 2=16，得到双曲线方程；(2)(i )由题意知直线l 的方程为x =my +4，D x 1,y 1 ，E x 2,y 2 ，联立双曲线方程，结合根的判别式和y 1y 2>0得到不等式，求出m 的取值范围；(ii )在(i )的基础上，得到两根之和，两根之积，得到y 1y 2=-3y 1+y 22m，表达出直线AD 和直线BE 的方程，联立得到x =2my 1y 2+2y 1+6y 23y 2-y 1，将y 1y 2=-3y 1+y 2 2m代入，化简得到x =1，得到答案.【详解】(1)由题意可知A (-a ,0)，B (a ,0)，因为|AB |=2a =4，所以a =2.因为P (22,n )，k 1k 2=n 22+2⋅n 22-2=n 2(22)2-4=n 24=4，得n 2=16，又因为P(22,n)在双曲线上，则(22)24-16b2=1，所以b2=16.所以双曲线C的方程为x2 4-y216=1.(2)(i)由题意知直线l的方程为x=my+4，D x1,y1，E x2,y2.联立x24-y216=1x=my+4，化简得4m2-1y2+32my+48=0，因为直线l与双曲线左右两支相交，所以y1y2>0，即m满足：4m2-1≠032m2-1924m2-1>0y1y2=484m2-1>0，所以m<-12或m>12.(ii)y1+y2=-32m4m2-1，y1y2=484m2-1，则y1y2=-3y1+y22m，直线AD的方程为y=y1x1-2(x-2)，直线BE的方程为y=y2x2-2(x-2).联立直线AD与BE的方程，得y1x1+2(x+2)=y2x2-2(x-2)，所以y2my2+2-y1my1+6x=2y1my1+6+2y2my2+2，所以6y2-2y1x=4my1y2+4y1+12y2，所以x=2my1y2+2y1+6y23y2-y1=-3y1-3y2+2y1+6y23y2-y1=3y2-y13y2-y1=1，所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线x=1上【点睛】圆锥曲线中，针对非对称韦达，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，并两者相除，得到两者的关系，再代入后续的计算中，达到化简的目的.19．(1)单调递增区间是-∞,-2 和0,+∞ ，单调递减区间是-2,0 (2)-1(3)证明见解析【分析】(1)先求导，然后根据导函数的正负判断f x 的单调性，由此可确定出单调区间；(2)根据条件写出切线方程，通过联立思想求解出m 关于切点坐标的表示，由此构造函数分析单调性和最小值，即可确定出整数m 的最小值；(3)将问题转化为方程x -1 g x -1 =ax有三个根x 1,x 2,x 3，借助图象分析出x 1,x 2,x 3的范围，然后通过转化将待证明的问题变为证明x 2-1 ln x 2-1 -2e +1-x 2 ln 2e +1-x 2 >0，再通过构造函数分析单调性和最值完成证明.【详解】(1)f x =2xe x +x 2e x =x x +2 e x ，令f x =0，解得x =0或x =-2，当x ∈-∞,-2 时，f x >0，f x 单调递增，当x ∈-2,0 时，f x <0，f x 单调递减，当x ∈0,+∞ 时，f x >0，f x 单调递增，所以f x 的单调递增区间是-∞,-2 和0,+∞ ，单调递减区间是-2,0 .(2)设切线分别与y =ex +m和y =ln x +1 交于A x 4,e x 4+m ,B x 5,ln x 5+1 ，y =ex +m的导数为y =ex +m，y =ln x +1 的导数为y =1x +1，所以A 处切线方程为y =e x 4+m x -x 4 +e x 4+m ，B 处切线方程为y =1x 5+1x -x 5 +ln x 5+1 ，由公切线可知，e x 4+m =1x 5+1⇔x 4+m =-ln x 5+1 ex 4+m-x 4ex 4+m=ln x 5+1 -x 5x 5+1 ，所以1x 5+1--ln x 5+1 -m x 5+1=ln x 5+1 -x 5x 5+1，化简可得m =x 5ln x 5+1 -x 5-1，因为公切线有两条，所以m =x 5ln x 5+1 -x 5-1x 5>-1 有两个根；设t x =x ln x +1 -x -1x >-1 ，所以t x =ln x +1 +xx +1-1=ln x +1 -1x +1，因为y =ln x +1 ,y =-1x +1均在-1,+∞ 上单调递增，所以t x =ln x +1 -1x +1在-1,+∞ 上单调递增，且t 0 =-10,t 1 =ln2-12 ln e -12=0，所以存在唯一x 0∈0,1 使得t x 0=0，当x ∈-1,x 0 时，t x <0，t x 单调递减，当x ∈x 0,+∞ 时，t x >0，t x 单调递增，所以t x min =t x 0 =x 0ln x 0+1 -x 0-1且ln x 0+1 -1x 0+1=0，所以t x min =t x 0 =x 0x 0+1-x 0-1=-x 0+1+1x 0+1+1，由对勾函数性质可知y =x 0+1+1x 0+1在x 0∈0,1 时单调递增，所以x 0+1+1x 0+1∈2,52 ，所以t x min =t x 0 ∈-32,-1 ，且x →-1时，t x →+∞，x →+∞时，t x →+∞，所以若m =t x 有两个根，则m >t x 0 ，故整数m 的最小值为-1.(3)h x =x -1 g x -1 -ax的定义域为-∞,-1 ∪1,+∞ ，由题意可知，x 1,x 2,x 3是方程x -1 g x -1 =ax的三个根；当x ∈-∞,-1 时，令p x =x -1 ln -x -1 ，所以p x =ln -x -1 +x -1x +1，令r x =ln -x -1 +x -1x +1，所以rx =1x +1+x +1-x -1 x +12=1x +1+2x +1 2=x +3x +1 2，当x ∈-∞,-3 时，r x <0，r x 单调递减，当x ∈-3,-1 时，r x >0，r x单调递增，所以r x min =r -3 =ln2+2>0，所以p x min =p -3 =ln2+2>0，所以p x 在-∞,-1 上单调递增，且p -2 =0；当x ∈1,+∞ 时，令q x =x -1 ln x -1 ，所以q x =ln x -1 +1，由q x =0解得x =1+1e ，当x ∈1,1+1e 时，q x <0，q x 单调递减，当x ∈1+1e,+∞ 时，q x >0，q x 单调递增，且q 1+1e =1e ln 1e =-1e<0，q 2 =0，作出y =x -1 ln x -1 ,y =ax 的简图如下图所示，由图象可知，-2<x 1<-1,1<x 2<1+1e<x 3<2，要证x 1+x 2+x 3>2e ，只需证x 2+x 3>2e +2，即证x 3>2e+2-x 2，因为1<x 2<1+1e ，所以1+1e <2e +2-x 2<2e+1<2，又因为q x =x -1 ln x -1 在1+1e ,2上单调递增，所以只需证q x 3 >q2e +2-x 2 ，且q x 3 =q x 2 ，所以只需证q x 2 >q 2e +2-x 2 ，即证x 2-1 ln x 2-1 -2e +1-x 2 ln 2e +1-x 2 >0(*)；设s x =x -1 ln x -1 -2e +1-x ln 2e +1-x x ∈1,1+1e ，所以s x =ln x -1 +x -1x -1--1 ln 2e +1-x -2e +1-x ⋅12e+1-x⋅-1 ，所以s x =ln x -1 +ln 2e +1-x +2=ln x -1 2e+1-x +2，因为y =x -1 2e +1-x =-x 2+2+2e x -2e +1 ，对称轴x =1+1e且开口向下，所以y =x -1 2e +1-x 在1,1+1e 上单调递增，所以s x <ln 1+1e -1 +ln 2e +1-1-1e +2=0，所以s x 在1,1+1e上单调递减，所以s x >s 1+1e=1e ln 1e -1e ln 1e =0，所以s x >0对x ∈1,1+1e恒成立，所以(*)成立，即x 1+x 2+x 3>2e成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；(3)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；(4)构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.答案第1页，共2页。

2021届高三数学第六次质量检测试题 文〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，满分是150分.考试时间是是120分钟.第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.平面向量()1,2a =-，()2,b m =，且//a b ，那么m =〔 〕 A. 4 B. 1C. -1D. -4【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量一共线定理即可得出． 【详解】解：()1,2a =-，()2,b m =，且//a b ，40m ∴+=，解得4m =-．应选：D ．【点睛】此题考察了向量一共线定理，考察了推理才能与计算才能，属于根底题． 2.集合{}|13A x x =-<<，{}2|40B x Z x x =∈-<，那么AB =〔 〕A. {}|03x x <<B. {}1,2,3C. {}1,2D. {}2,3,4【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求出集合A 、B ，再求A B ．【详解】解：{}2|40B x Z x x =∈-<{}1,2,3B ∴={}|13A x x =-<< {}1,2A B ∴=C【点睛】此题考察理解不等式与交集的运算问题，属于根底题． 3.设3443i z i-=+，()21f x x x =-+，那么()f z =〔 〕 A. i B. i -C. 1i -+D. 1i +【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】解：3443iz i-=+ ()()()()344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+()()()21f z i i i ∴=---+=应选：A【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，是根底的计算题． 4.以下四个命题中，正确命题的个数是〔 〕个①假设平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，那么//αβ；②假设平面//α平面β，直线//m 平面α，那么//m β；③平面α⊥平面β，且l αβ=，点A α∈，假设直线AB l ⊥，那么AB β⊥；④直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，假设m n ⊥，那么αβ⊥.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】解：①假设平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，那么α与β相交或者平行，故①错误； ②假设平面//α平面β，直线//m 平面α，那么//m β或者m β⊂，故②错误；③当点B 不在平面α内，满足AB l ⊥时，但AB 与β不垂直，故③错误； ④直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β， 由面面垂直的性质得αβ⊥，故④正确． 应选：A ．【点睛】此题主要考察了面面平行的性质，以及空间中直线与平面之间的位置关系，同时考察了空间想象才能，属于根底题． 5.以下说法错误的选项是( )A. “假设2x ≠，那么2560x x -+≠〞的逆否命题是“假设2560x x -+=，那么2x =〞B. “3x >〞是“2560x x -+>〞的充分不必要条件C. “2x R,560x x ∀∈-+≠〞的否认是“2000,560x R x x ∃∈-+=〞D. 命题：“在锐角ABC 中，sin cos A B <〞为真命题 【答案】D 【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知选项A 正确；由2560x x -+>得3x >或者2,x <∴“3x >〞是“2560x x -+>〞的充分不必要条件，故B 正确；因为全称命题命题的否是特称命题，所以C 正确；锐角ABC ∆中，0222A B A B πππ+>⇒>>->，sin cos 2A sin B B π⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭，D ∴错误，应选D.6.假设()tan sin 2f x x =，那么()1f -的值是〔 〕 A. sin 2- B. -1C.12D. 1【答案】B 【解析】 【分析】令tan 1x =-，利用二倍角公式和同角的三角函数的根本关系式可得sin 2x 的值. 【详解】令tan 1x =-，那么2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1x x xx x x x x x ===++， 故sin 21x =-.【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：〔1〕看函数名的差异；〔2〕看构造的差异；〔3〕看角的差异；〔4〕看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式〔或者公式的逆用〕、角的分拆与整合〔用的角表示未知的角〕、升幂降幂法．7.假设函数f(x)与g(x)＝2x -的图象关于直线y ＝x 对称，那么f(4－x 2)的单调递增区间是( ) A. (－2,2] B. [0，＋∞) C. [0,2) D. (－∞，0]【答案】C 【解析】【详解】由得：12()log f x x =，那么2122()log (44)x x f =－－ 12()log f x x =在()0,∞+上单调递减，24y x =－，当0y >时，在[0,2)上单调递减，于是f(4－x 2)的单调递增区间是[0,2)8.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在直线CC 1上，直线OP 与B 1D 1所成的角为α，那么sin α为〔 〕A. 1 C.12D. 变化的值【答案】A 【解析】 【分析】证明11B D ⊥平面11AAC C 得到11OP B D ⊥，计算得到答案.【详解】易知：11111,B D AC BD AA ⊥⊥，1111A A AC A ⋂=，故11B D ⊥平面11AAC C ，OP ⊆平面11AAC C ，故11OP B D ⊥，故,sin 12παα==.应选：A.【点睛】此题考察了异面直线夹角，证明11B D ⊥平面11AAC C 是解题的关键.9.()f x 是R 上的偶函数，假设将()f x 的图象向右平移一个单位，那么得到一个奇函数的图象，假设()21f =-，那么()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=〔 〕A. 2021B. 1C. -1D. -2021【答案】C【分析】由题意()f x 是R 上的偶函数，(1)f x -是R 上的奇函数，由此可以得出函数的周期为4，再由()21f =-求出(2)1f -=-，由奇函数的性质得出(1)0f -=，从而可得()10f =，求出一个周期上的四个函数的和，即可求出()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+的值．【详解】解：由题意()f x 是R 上的偶函数，(1)f x -是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=，(1)(1)f x f x --=--，①(1)(1)f x f x ∴--=+，②由①②得(1)(1)f x f x +=--③恒成立， (1)(3)f x f x ∴-=--④由③④得(1)(3)f x f x +=-恒成立，∴函数的周期是4，下研究函数一个周期上的函数的值由于()f x 的图象向右平移一个单位后，那么得到一个奇函数的图象即(01)0f -=，即(1)0f -=，由偶函数知()10f =，由周期性知()30f =由()21f =-得(2)1f -=-，由(1)(1)f x f x +=--，知(0)1f =，故()41f =故有()()()()12340f f f f ∴+++=()()()()()()()()12320191230101f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=+-+=-应选：C ．【点睛】此题考察函数奇偶性的运用，求解此题的关键是根据函数的性质求出函数的周期以及一个周期中函数值的和，然后根据周期性求出函数值的和．10.设曲线()()*cos f x m x m R =∈上任一点(),x y 处切线斜率为()g x ，那么函数()2y x g x = 的局部图象可以为A. B. C. D.【答案】D 【解析】∵()cos ()f x m x m R *=∈上任一点(),x y 处切线斜率为()g x ∴()()sin g x f x m x =-'=∴函数222()()sin sin y x g x x m x mx x ==-=-，那么该函数为奇函数，且当0x +→时，0y <. 应选D.点睛：〔1〕运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向；〔2〕在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的互相关系，结合特征进展等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系.11.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，那么39121239S S S S a a a a +++⋅⋅⋅+=〔 〕 A. 1013 B. 1035C. 2037D. 2059【答案】A 【解析】 【分析】根据1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a ，求出前n 项和为n S ，即可得到21n n n S a =-，再用分组求和求得其前9项和. 【详解】解：1n n a S +=当1n =时111a S +=得112a = 当2n ≥时111n n a S --+=()110n n n n a S a S --∴+-+=112n n a a -∴=数列{}n a 是以112a =为首项，12q =为公比的等比数列.12nn a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭112n n S ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭21n nnS a ∴=- 29103912123922292111013S S S S a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=++-=-=应选：A【点睛】此题考察利用n S 求n a ，以及等比数列的前n 项和为n S ，属于根底题.12.抛物线22y mx =与椭圆()222210x y a b a b+=>>有一样的焦点F ，P 是两曲线的公一共点，假设56mPF =，那么椭圆的离心率为〔 〕C.22- D.12【答案】D 【解析】 【分析】根据两个曲线的焦点一样,可得2m c =.由抛物线定义可得2223m y =.结合两式即可用c 表示出P 点坐标.代入椭圆方程,化简后根据齐次式形式即可求得离心率.【详解】抛物线22y mx =与椭圆()222210x y a b a b+=>>有一样的焦点F ,P 是两曲线的公一共点,所以,02m F ⎛⎫⎪⎝⎭,即椭圆中的2m c =设2,2y P y m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由抛物线定义可知222y mPF m =+ 由题意56m PF =,即25226y m mm +=化简可得2223m y =将2m c =变形为2m c =代入等式可得2283c y =那么P的坐标可化为23c P ⎛ ⎝⎭由点P 在椭圆上,代入可得222222248931c c a b b a c⎧⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩,化简可得422443790c a c a -+= 除以4a 可化为4243790e e -+=即()()224190e e --=解得214e =或者29e = 因为()0,1e ∈ 所以12e = 应选:D【点睛】此题考察了抛物线与椭圆HY 方程及性质的综合应用,一共焦点下两个方程的关系,齐次式下离心率的求法,属于中档题.第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.将答案填写上在题中的横线上. 13.抛物线22x y =-的准线方程是____________ 【答案】18x 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为HY 方程，即可求解.【详解】由22x y =-，所以212y x =-，故准线方程为18x =. 【点睛】此题主要考察抛物线的简单性质，属于根底题型.14.假设x y z R ∈、、，且226x y z ++=，那么222x y z ++的最小值为______.【答案】4 【解析】由条件利用柯西不等式可得222222(212)()(22)36x y z x y ++++++=，由此求得222x y z ++ 的最小值．【详解】解：由于222222(212)()(22)36x y z x y ++++++=，即2229()36x y z ++，2224x y z ∴++，即222x y z ++ 的最小值为4，故答案为：4．【点睛】此题主要考察柯西不等式的应用，属于根底题．15.函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x +=+，那么()2log 3f =______.【答案】53【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义,并令x x =-代入即可解方程组求得()f x .将2log 3代入解析式即可求解. 【详解】函数()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数 那么()()f x f x =-,()()g x g x =-- 因为()()2xf xg x x +=+那么()()2xf xg x x --+-=-,即()()2x f x g x x --=-那么()222x xf x -+=所以()22log 3log 32132253223log 3f -++===故答案为:53【点睛】此题考察了函数奇偶性定义及性质应用,函数解析式的求法,属于根底题.16.定义在区间()0,2上的函数()21f x x x t =-+-恰有1个零点，那么实数t 的取值范围是____【答案】11t -<≤或者54t = 【解析】分为函数()f x 有一个点零点和两个零点分类讨论，假设()f x 一个点零点那么0∆=，假设()f x 有两个零点，再分为三种情况求解.【详解】〔1〕假设函数()f x 只有一个零点，那么14(1)0t ∆=--=，即54t =， 此时()221142f x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，函数只有一个零点12，符合题意；〔2〕假设函数()f x 有两个零点，且在区间()0,2恰有1个零点，那么()()020f f <或者()()0020f f ⎧=⎪⎨>⎪⎩或者()()0020f f ⎧>⎪⎨=⎪⎩，由()()020f f <得()()110t t -+<，解得11t -<<，由()()0020f f ⎧=⎪⎨>⎪⎩得1010t t -=⎧⎨+>⎩ ，解得1t = ，由()()0020f f ⎧>⎪⎨=⎪⎩得1010t t ->⎧⎨+=⎩，无解.所以，当11t -<≤时，函数()f x 有两个零点，且在区间()0,2恰有1个零点. 综上所述，实数t 的取值范围是11t -<≤或者54t =. 【点睛】此题考察函数零点所在区间.方法：1、根据二次函数的性质按零点个数分类讨论；2、别离参数t 转化为两个函数的交点问题求解.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.设函数()22cos 2cos 132xf x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，x ∈R . 〔1〕求()f x 的值域；〔2〕记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为(),,a b c a b >，假设()0f B =，1b =，c =，求a 的值.【答案】〔1〕[]1,1-；〔2〕2. 【解析】 【分析】〔1〕利用二倍角公式及两角和的余弦公式将()22cos 2cos 132xf x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．〔2〕由()0f B =求出B ，利用余弦定理建立关于a 的方程求出a ． 【详解】解：〔1〕()22cos cossin sin cos 33f x x x x ππ=-+cos 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵x ∈R ，∴1cos 13x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴()f x 值域为[]1,1-.〔2〕由()0f B =得：cos 03B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.在ABC ∆中，0B π<<，故6B π=. 在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 6b ac ac π=+-，∴2320a a ，∵1a b >=，解得：2a =.【点睛】考察利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属于根底题，18.某厂商调查甲乙两种不同型号汽车在10个不同地区卖场的销售量〔单位：台〕，并根据这10个卖场的销售情况，得到如下图的茎叶图，为了鼓励卖场，在同型号汽车的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号的“星级卖场〞.〔Ⅰ〕求在这10个卖场中，甲型号汽车的“星级卖场〞的个数；〔Ⅱ〕假设在这10个卖场中，乙型号汽车销售量的平均数为26.7，求a b <的概率；〔Ⅲ〕假设1a =，记乙型号汽车销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 到达最小值〔只写出结论〕.注：方差()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 是1x ，2x ，…，n x 的平均数.【答案】〔1〕5 〔2〕()49P A = 〔3〕0b =【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据茎叶图,代入即可求得甲型号汽车的平均值,即可求得“星级卖场〞的个数;〔Ⅱ〕根据乙组数据的平均值,可代入求得8a b +=.由古典概型概率,列举出所有可能,即可求得符合a b <的概率.〔Ⅲ〕当1a =时,由方差公式可知,当b 的值越小,其方差值越小,即0b =时方差2s 获得最小值. 【详解】〔1〕根据茎叶图得到甲组数据的平均值：()1101018142225273041432410x =+++++++++=甲. 该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号的“星级卖场〞, 在这10个卖场中,甲型号汽车的“星级卖场〞的个数为5个. 〔2〕记事件A 为“a b <〞,乙组数据的平均值：()11018202223313230304310x a b =+++++++++++乙26.7=, ∴8a b +=,和取值一共9种,分别为：()0,8,()1,7,()2,6,()3,5,()4,4,()5,3,()6,2,()7,1,()8,0,其a b <的有4种,∴a b <的概率()49P A =. 〔3〕由题意可知当b 的值越小,其方差值越小 所以0b =时,2S 到达最小值.【点睛】此题考察了茎叶图的简单应用,古典概型概率的求法,方差的性质应用,属于根底题.19.抛物线：24y x =的焦点为F ，直线l ：()()20y k x k =->与抛物线交于A ，B 两点，AF ，BF的延长线与抛物线交于C ，D 两点. 〔1〕假设AFB ∆的面积等于3，求k 的值； 〔2〕记直线CD 的斜率为CD k ，证明：CDk k为定值，并求出该定值. 【答案】〔1〕2；〔2〕证明见解析，2. 【解析】【分析】〔1〕设出抛物线上两点A 、B 的坐标，由24(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩消去x ，根据AFB ∆的面积和根与系数的关系即可求出k 的值；〔2〕设出抛物线上点C 、D ，利用向量法和三点一共线的知识，求出点C 与D 的坐标表示，再计算CD 的斜率，即可证明CDk k为定值． 【详解】解：〔1〕设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭， 由()242y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2480ky y k --=，216320k ∆=+>，∴124y y k +=，128y y =-，12112AFB y y S ∆⨯==⨯-3==，解得2k =. 〔2〕设233,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，那么2111,4y y FA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2331,4y y FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为A ，F ，C 一共线，所以22313111044y y y y ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即23131440y y y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， 解得：31y y =〔舍〕或者314y y =-，所以21144,C y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理22244,D y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 121212221244244CDy y y y k k y y y y -+==-=+-，故2CD k k =〔定值〕.【点睛】此题考察了直线与双曲线、直线与抛物线的应用问题，也考察了弦长公式以及根与系数的应用问题，属于中档题．20.如下图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,//ABCD ABDC ，228,2BD AD PD AB DC =====〔1〕设M 是PC 上一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； 〔2〕假设M 是PC 的中点，求三棱锥P DMB -的体积． 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕163． 【解析】试题分析：〔1〕由勾股定理可得AD BD ⊥，又PD ⊥平面,ABCD BD ⊆平面ABCD PD BD ⊥，又PD AD D⋂=BD ⊥平面PAD 平面MBD ⊥平面PAD ；〔2〕由M 是PC 的中点可得P DMB C DMB M BCD V V V ---==．又点M 到平面ABCD 的间隔 等于124PD =，可求得1168233M BCD V -=⨯⨯=，即三棱锥P DMB -的体积为163．试题解析：〔1〕在ABD ∆中，2224,8,45,AD BD AB AB BD AB ===+=，AD BD ⊥又PD ⊥平面,ABCD BD ⊆平面ABCD PD BD ⊥，又PD AD D⋂=BD ⊥平面PAD又BD ⊆平面MBD ，平面MBD ⊥平面PAD ，〔2〕因为M 是PC 的中点，所以P DMB C DMB M BCD V V V ---==在四边形ABCD 中，由可求得8BCD S ∆=，又点M 到平面ABCD 的间隔 等于124PD =， 所以1168233M BCD V -=⨯⨯=，即三棱锥P DMB -的体积为163考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、锥体的体积．21.函数2()ln f x x ax =-在1x =处的切线与直线10x y -+=垂直. 〔1〕求函数()'()y f x xf x =+〔'()f x 为()f x 的导函数〕的单调递增区间；〔2〕记函数23()()(1)2g x f x x b x =+-+，设1x ，212()x x x <是函数()g x 的两个极值点，假设211e b e+≥-，证明：2x e ≥.【答案】〔1〕；〔2〕见解析. 【解析】试题分析：〔1〕由题意求得f x ，根据()11f '=-，求得1a =，进而利用0fx ，即可求解函数的单调递增区间；〔2〕由()g x ，求得()g x '，根据12,x x 是()g x 的两个极值点，转化为方程的两个根，得出1212,x x x x +，得到22111x b e x e +=+≥+，令1()h x x x=+，即可证明结论. 试题解析〔1〕由题意可得：()1'2f x ax x=-，()'1121f a =-=-，可得：1a =； 又()()2'31y f x xf x lnx x =+=-+，所以2116'6x y x x x -=-= (0)x >；当x ⎛∈ ⎝⎭时，'0y >，y 单调递增；当时x ∞⎫∈+⎪⎪⎝⎭，'0y <，y单调递减；故函数的单调增区间为x ⎛∈ ⎝⎭. 〔2〕()()2112g x lnx x b x =+-+，()()1'1g x x b x =+-+ ()211x b x x-++=，因为1x ，2x 是()g x 的两个极值点，故1x ，2x 是方程()2110x b x -++=的两个根，由韦达定理可知：12121{1x x b x x +=+=，12x x <，可知21x >，又22111x b e x e+=+≥+， 令()1h x x x=+，可证()h x 在()1,∞+递增，由()()2h x h e ≥，从而可证2x e ≥. 考点：导数在函数中的应用.点睛：此题主要考察了导数在函数中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性的应用的综合应用，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，此题的解答中把12,x x 是()g x 的两个极值点，转化为方程的两个根，创设函数，利用函数的单调性求解是解答的关键.请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：27cos 7sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos ρθ=，直线l 的极坐标方程为()3θρπ=∈R .〔Ⅰ〕求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线l 与1C ，2C 在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为2C PAB ∆面积的最大值. 【答案】〔Ⅰ〕24cos 30ρρθ--=，3y x =；〔Ⅱ〕23+ 【解析】 【分析】(Ⅰ)先求出曲线1C 的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.( Ⅱ)先求出211AB ρρ=-=,再求出以AB 为底边的PAB ∆的高的最大值为423+, 再求PAB ∆面积的最大值.【详解】(Ⅰ)依题意得,曲线1C 的普通方程为()2227x y -+=, 曲线1C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ--=,直线l 的直角坐标方程为3y x =．(Ⅱ)曲线2C 的直角坐标方程为()22416x y -+=,设1,3A πρ⎛⎫⎪⎝⎭,2,3B πρ⎛⎫⎪⎝⎭, 那么2114cos303πρρ--=,即211230ρρ--=,得13ρ=或者11ρ=-(舍),28cos43πρ==,那么211AB ρρ=-=,()24,0C 到l 的间隔为d ==以AB 为底边的PAB ∆的高的最大值为4+,那么PAB ∆的面积的最大值为(11422⨯⨯+=【点睛】(1)此题主要考察参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考察直线和圆的位置关系，考察面积的最值的求法，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.〔2〕此题的解题的关键是求出211AB ρρ=-=.23.函数()()21f x x a x a R =-+-∈. 〔1〕当1a =时，求()2f x ≤的解集；〔2〕假设()121f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；〔2〕51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】〔1〕当1a =时，()121f x x x =-+-，分类去绝对值讨论即可；〔2〕由()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()21f x x ≤+恒成立，然后去绝对值参变别离转化为函数的最值问题即可.【详解】解：〔1〕当1a =时，()121f x x x =-+-，()21212f x x x ≤⇒-+-≤，上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩，或者1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或者11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩， 解得120x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，或者1122x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩，或者143x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，∴102x ≤≤或者112x <<或者413x ≤≤，∴原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.〔2〕∵()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()21f x x ≤+恒成立，即2121x a x x -+-≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴2121x a x x -+-≤+，即2x a -≤，∴22x a -≤-≤， ∴22x a x -≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴()()max min 22x a x -≤≤+， ∴512a -≤≤， ∴a 的取值范围是51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】此题考察了分类讨论解绝对值不等式，不等式的恒成立问题，参变别离法是解决恒成立有关问题的好方法.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测（11月月考）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y=log3(x2−1)}，集合B={y|y=3−x}，则A∩B=( )A. (0,1)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)2.若sinθ(sinθ+cosθ)=25，则tanθ=( )A. 2或−13B. −2或13C. 2D. −23.已知函数f(x)=a−e x1+ae x⋅cos x，则“a=1”是“函数f(x)的是奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)={ax2+e x,x≥0x3−ax2+a,x<0在R上单调，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. [0,1]5.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知▵ABC的外接圆半径为1，且a2+c2−b2=2ac,1+2sin A 1−2cos A =sin2C1+cos2C，则▵ABC的面积是( )A. 22B. 32C. 1D. 26.已知一个正整数N=a×1010(1≤a<10)，且N的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为().(参考数据：lg2≈0.3,lg3≈0.48,lg5≈0.7)A. 3B. 4C. 5D. 67.已知函数f(x)=x ln x，g(x)=e x−x2+a，若∃x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是( )A. (4−e2,ln4+1−e)B. [4−e2,ln4+1−e]C. (ln4+4−e2,1−e)D. [ln4+4−e2,1−e]8.已知正数x，y满足9x2−1+9y2−1=9xy，则4x2+y2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

高三理科数学教学质量检测六一、选择题1. 设集合，，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2. 设，则=A. B. C. D.3. 已知直线，平面，且，给出下列四个命题①若，则②若，则③若，则④若，则. ’其中正确的命题个数为A. 1B. 2C. 3D. 44. 设常数a>0,展开式中的系数为，贝UA. B. C. 2 D. 15. 点是函数的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为，则A.的最小正周期是TiB.的值域为[O, 4]C.的初相为D.在上单调递增6. 用表示标准正态总体在区间（，x)内取值的概率，若随机变量服从正态分布,则概率等于A. B. C. D.7. 已知为等差数列，以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是A. 18B. 19C. 20D. 218. 如图，圆锥&内接于半径为灭的球O,当内接圆锥以忍的体积最大时，圆锥的高A等于A. B. C.： D.9. 已知分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当的面积等于时，双曲线的离心率为A. B. C. D. 210. 如图，在直角梯形ABCD中，，动点尸在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设，则的取值范围是A. B.C. D.第II卷（非选择齓共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共M分.请将答案填在答题卡中相应的位置.11. 已知复数z满足，则Z=________12. 若正数x、y满足，则的最大值为________.13. 形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1，2, 3, 4, 5可构成不重复的“五位波浪数”的概率为________.14. 过点作抛物线的两条切线/M、PB U, B为切点),若，则a=________.15. —个冰球，在融化时其半径的减小量与时间成正比.已知从受热开始，经过2小时，融化了其体积的，则剩余部分还需________小时融化完（精确到1小时，参考数据：三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分）甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次，已知甲击中目标的概率为，乙与丙击中目标的概率分别为m、n(m>n),每人是否击中目标是相互独立的.记目标被击中的次数为，且的分布列如下表：(I)求m,n的值；(I I)求的数学期望.17. (本小题满分12分）在中，角丄5、C的对边分别为o、6、c,且(I)求角A(I I)设，求的最大值.18. (本小题满分12分)如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面所成角分别为300、450,M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1.(I)求证：MN平面ABCD(I I)求线段AB的长；(III)求二面角A—DE—B的平面角的正弦值.19. (本小题满分12分）已知.(I)若在(0,)内为单调增函数，求a的取值范围；(I I)若函数在x=O处取得极小值，求a的取值范围.20. (本小题满分13分）已知动点与两定点m(-1, 0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数.(I)求动点P的轨迹C的方程；(I I)试根据的取值情况讨论轨迹C的形状：(I I I)当=-时，过定点F(0,1)的直线l与轨迹C交于A、b两点，求的面积的最大值.21. (本小题满分14分）已知数列满足：，记.(I)求证：数列是等比数列；(I I)若对任意恒成立，求t的取值范围；(III)记，求证：.2011届高三理科数学教学质量检测六参考答案一、选择题（5分×10=50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABBDDCCCAD二、填空题（5分×5=25分）11．3＋i 12．5 13．152 14．4115．20三、解答题（75分，答案仅供参考，其它解法酌情给分）16解：（Ⅰ）由题设可得151)1)(1(52)0(=--==n m P ξ，化简得65)(-=+-n m mn ①（2分）)1(52)1(52)1)(1(53)1(m n n m n m P -+-+--==ξ10354)(52101=-++=mn n m∴212=-+mn n m ②（4分） 联立①②可得21,32==n m（6分）（Ⅱ）由题设得：51213253)3(=⨯⨯===ξp b∴3013)51101151(1=++-=a（9分） ∴30535133013210311510=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（12分）17解：（Ⅰ）由1＋cos 2A ―cos 2B ―cos 2C ＝2sinB ·sinC 得C B A C B sin sin sin sin sin 222=-+ （2分） 由正弦定理得，bc a c b =-+222（4分） 由余弦定理得，212cos 222=-+=bc a c b A∵0＜A ＜π ∴3π=A （6分） （Ⅱ）)2cos 2(cos 21122cos 122cos 1)(C B C B B f +-=-+-=（8分） 由（Ⅰ）得ππ32=-=+A C B ，∴B C -=π32∴141()1[cos2cos(2)]1[cos2cos(2)]2323f B B B B B ππ=-+-=---)2s i n 232c o s 212(c o s 211B B B ---=)62s i n (211π-+=B （10分）∵0＜B ＜32π ∴72666B πππ-<-<令262ππ=-B 即3π=B 时，)(B f 取得最大值23．（12分）18解：（Ⅰ）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，且平面ABCD ⋂平面ABEF ＝ABEB ⊥AB ∴EB ⊥平面ABCD 又MN ∥EB ∴MN ⊥面ABCD ． （3分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EDB 为DE 与平面ABCD 所成的角 ∴∠EDB ＝30o又在Rt △EBD 中，EB ＝2MN ＝2，∠EBD ＝90o ∴DE ＝430sin 0=EB连结AE ，可知∠DEA 为DE 与平面ABEF 所成的角 ∴∠DEA ＝45o （5分）在Rt △DAE 中，∠DAE ＝90o ∴AE ＝DE ·cos ∠DEA ＝22在Rt △ABE 中，24822=-=-=EB AE AB ．（7分）（Ⅲ）方法一：过B 作BO ⊥AE 于O 点，过O 作OH ⊥DE 于H ，连BH ∵AD ⊥平面ABEF BO ⊂面ABEF∴BO ⊥平面ADE ∴OH 为BH 在平面ADE 内的射影 ∴BH ⊥DE 即∠BHO 为所求二面角的平面角 （9分）在Rt △ABE 中，BO ＝2 在Rt △DBE 中，由BH ·DE ＝DB ·OE 得BH ＝3∴sin ∠BHO ＝3632==BH BO ． （12分） 方法二：由题设及（Ⅰ）可得AF ⊥AB ，AF ⊥AD ，AB ⊥AD如图分别以射线AF 、AB 、AD 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A —xyz 由（Ⅱ）知，AF ＝BE ＝2，AB ＝EF ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝22∴A (0,0,0) B (0,2,0) C (0,2,22) D (0,0,22) E (2,2,0) F (2,0,0)（9分） 在正方形ABEF 中，BF ⊥AE ，又AD ⊥平面ABEF∴BF ⊥平面ADE ∴BF 是平面ADE 的法间量，)0,2,2(-=BF 设平面BDE 的法向量为)(z y x n ⋅⋅=由)22,2,0(-=BD ，)0,0,2(=BE 及n ⊥BD ，n ⊥BE 得00n B Dn B E⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∴⎪⎩⎪⎨⎧==+-020222x z yDCNM BAEFOH∴⎪⎩⎪⎨⎧==02x z y 取z ＝1 得平面BDE 的一个法向量为(0,2,1)n = 设二面角A ―DE ―B 的大小为α 则333822cos =⋅=⋅=nBF n BF α ∴36sin =α． （12分）19解：由()ln(1)1xf x x ax=+-+得 222212()1(1)'()1(1)(1)(1)aa x x ax ax a f x x ax x ax --+-=-=++++（2分）（Ⅰ）∵f (x )在),0(+∞内为单调增函数 ∴0)(≥'x f 在),0(+∞上恒成立．又a >0 ∴0)21(2≥--aax x 在),0(+∞上恒成立 ∴0212≤-aa ∴21≥a（5分）（Ⅱ）由0)1)(1()21()('222=++--=ax x a ax x a x f 得x 1=0，2221a a x -=（a >0） ∴当210<<a 时，由0)(>'x f 得),21()0,1(2+∞-⋃-∈aax ， 由0)(<'x f 得212(0,)ax a-∈∴f (x )在221aax -=处取得极小值．（不合题意）（7分）当21=a 时，0)1)(1()('222≥++=ax x x a x f 对),1(+∞-∈x 恒成立． ∴f (x )在定义域内无极小值．（9分）当21>a 时，由0)(>'x f 得)0()21,1(2∞+⋃--∈aax由0)(<'x f 得)0,21(2aax -∈可得函数f (x )在x =0处取极小值时，),21(∞+∈a ．（12分）20解：（Ⅰ）由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零DCNMB AEFx z y所以λ=-⋅+=⋅11x y x y K K PN PM 整理得122=-λy x （λ≠0，x ≠±1）（3分）（Ⅱ）①当0>λ时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线（除去顶点）②当01<<-λ时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去长轴 两个端点）③当1-=λ时，轨迹C 为以原点为圆心，1的半径的圆除去点(－1，0)，(1，0) ④当1-<λ时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆（除去短轴的两个 端点） （7分）（Ⅲ）当2-=λ时，轨迹C 的椭圆1222=+y x （x ≠±1） 由题意知，l 的斜率存在设l 的方程为1+=kx y ，代入椭圆方程中整理得012)2(22=-++kx x k （*）设),(11y x A ),(22y x B ，则x 1，x 2的方程（*）的两个实根∴22221+-=+k k x x ，21221+-=k x x （9分）∴d AB S OAB ⋅=∆212122122111121x x k x x k -=+⋅-+=24)2(4214)(2122221221+++=-+=k k k x x x x （11分）22211)1(12)2(1222222≤++++⋅=++⋅=k k k k 当k ＝0时，取“＝”∴k ＝0时，△OAB 的面积取最大值为22． （13分）21解：（Ⅰ）证明：由2231++=+n n n a a a 得 22222321+-=-++=-+n n n n n a a a a a ① 2)1(4122311++=+++=++n n n n n a a a a a②∴12411211+-⋅=+-++n n n n a a a a 即n n b b 411=+，且4112111=+-=a a b∴数列{}n b 是首项为41，公比为41的等比数列． （3分）（Ⅱ）由(Ⅰ)可知1241)41(411+-===-n n n n n a a b ∴14421-⋅+=n n n a由n n t a 4⋅≤得144124)14(421-+=-⋅+≥nn n n nt （5分）易得14412-+n n 是关于n 的减函数 ∴431441214412=-+≤-+n n，∴43≥t （8分）（Ⅲ）由14421-⋅+=n n n a 得14431144211-⋅=+-⋅+=+n nn n n a∴n n a 41113-=+ ∴)411()411()411(2321n n C C C C -⋅⋅-⋅-=⋅⋅⋅⋅（10分）下面用数学归纳法证明不等式：若n x x x ,,21为正数，则),2)((1)1()1()1(2121N n n x x x x x x n n ∈≥++->-⋅⋅-⋅- （*） 1o 当2=n 时，∵0,021>>x x ∴(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＞1－(x 1＋x 2) 2o 假设当n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即若x 1，x 2，……，x k 为正数，则(1－x 1)(1－x 2)…(1－x k )＞1－(x 1＋x 2…＋x k )那么(1－x 1)(1－x 2)…(1－x k )(1－x k ＋１)＞(1－x k ＋１)＞这就是说当n ＝k ＋1时不等式成立． （12分） 根据不等式（*）得：)411()411()411(2321n n C C C C -⋅⋅-⋅-=⋅⋅⋅⋅32411411)414141(12=-->+++->n∴32321>⋅⋅⋅⋅n C C C C （14分）。

2020届高三数学下学期第六次教学质量检测试题文（含解析）一、选择题1.若复数满足，其中是虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，直接利用复数的乘法运算即可.【详解】由已知，.故选：A【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得到集合A、B，阴影部分表示的集合为，再按交集、补集运算即可.【详解】由，得，所以，由，得，所以，阴影部分表示的集合为.故选：C【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到交集、补集以及解不等式，是一道容易题.3.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标表示，求得的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得，，设向量，的夹角为，则，又因为，所以．故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.福利彩票“双色球”中红色球由编号为的个球组成.某彩民利用下面的随机数表选取组数作为个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第行的第列数字开始从左向右依次选取两个数字，则选出来的第个红色球的编号为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据表格依次读取即可，注意，不在01到33之间的跳过不取.【详解】由随机数表法知，读取的第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号为09.故选：C【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，考查学生对基本抽样方法操作的掌握，是一道容易题.5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出每次循环的结果，即可得到答案.【详解】当时，，，，；，此时，退出循环，输出的的为.故选：B【点睛】本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.6.已知直线与平面满足，，则下列命题正确的是（）A. 若∥，则∥B. 若，则C. 若∥，则∥D. 若，则【答案】A【解析】分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A，若∥，则与无公共点，又，所以与无公共点，由线面平行的定义可得∥，故A正确；对于选项B，若，则与可能平行、相交、在内，故B 错误；对于选项C，若∥，则与可能平行，可能异面，故C错误；对于选项D，若，则与可能平行，可能异面，也可能相交，故D错误.故选：A【点睛】本题考查线线、线面、面面的位置关系，考查学生的空间想象能力，是一道容易题.7.数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（）内的数字均含，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可以从第4行第二列入手，结合每行每列都有1—6，简单推理，即可得到答案.【详解】由题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有1—6，所以第4行第2列为2，第4行第6列为5，所以，第2行第3列为6，第5行第3列为4，第5行第5列为6，第3行第5列为4，第3行第1列为5，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查推理与证明中的合情推理，考查学生分析，观察，判断等能力，是一道容易题.8.已知函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：若与的对称中心相同，则函数的周期相同即，则，即由，即，即的对称中心为，即的对称中心为，，则，即，则，当，，故选：．9.已知定义在上的偶函数满足，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，得，进一步得到，所以，迭代一次可得是以4为周期的周期函数，再利用周期性计算得到答案.【详解】在中，令，得，所以，又为偶函数，所以，从而，所以，故是以4为周期的周期函数，所以.故选：A【点睛】本题考查抽象函数的性质及应用，涉及到函数的奇偶性、周期性，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.10.已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过点作垂直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于、两点，为等边三角形，则双曲线离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知求出，，再由即可建立的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为，不妨设A在第一象限，令，则，所以，，又，为等边三角形，所以，即，所以，，解得或（舍）.故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，此类题关键是建立的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11.已知三内角的对边分别为，且，若角平分线段于点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知，易得，再利用得到，即，再利用“1”的替换即可得到答案.【详解】由及正弦定理，得，因，，所以，即，又，所以.如图，，所以，所以，即.∴，当且仅当，，即时，等号成立所以的最小值为9.故选：B【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及到基本不等式求最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.12.设函数，若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】注意到，所以，利用的单调性可得对任意都成立，令，只需即可.【详解】由已知，在上单调递减，因为，所以，所以，所以，即对任意都成立，令①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则，所以；②当时，在上单调递增，在上单调递减，，所以综上，.故选：A【点睛】本题考查函数不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想，数学运算能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13.已知等差数列的前项和为，，，则公差______.【答案】【解析】【分析】直接利用等差数列前n项和公式即可.【详解】由已知，，解得.故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n项和的基本量的计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.14.以抛物线的焦点为圆心，被直线截得弦长为的圆方程为______.【答案】【解析】【分析】由已知，设圆的方程为，算出圆心C到直线的距离，利用计算即可.【详解】由已知，抛物线的焦点为，所以圆心为，设圆的方程为，圆心C到直线的距离，所以，解得，故所求圆的方程为.故答案为：【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离、抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.在平面直角坐标系中，向量是以为起点，与轴、轴正方向相同的单位向量，且向量满足，则的取值范围是______.【答案】【解析】分析】设，，，则表示点A与点的距离的取值范围，由可得在线段上，数形结合即可得到答案.【详解】由已知，设，，，则，因为，所以，此式表示点A与点的距离和为，又，所以在线段上，如图所示，注意到，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查利用向量模的几何意义求向量的模的取值范围，考查学生转化与化归的思想，是一道有一定难度的题. 16.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联芳等）起源于中国古代建筑的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图所示，图①是一种常见的鲁班锁类玩具，图②是该鲁班锁类玩具的直观图，则该鲁班锁玩具有______条棱，若每条棱的长均为，其表面积为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】图中共有个正三角形，个正八边形，算出总的边数除以2即可；算出正三角形、正八边形的面积即可.【详解】图中共有个正三角形，个正八边形，则共有条棱；设正三角形、正八边形的面积分别为，因为，所以，，，故又，∴表面积.故答案为：；【点睛】本题主要考查几何体表面积的计算，考查学生空间想象能力，数学计算能力，是一道中档题.三、解答题17.如图，长方体中，，，是棱上的点，且.（1）求长方体被平面分得的两部分体积之比（大比小）；（2）求证：平面.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】分析】（1）只需计算出长方体的体积以及即可；（2）连接与交于点，连接，要证明平面，只需证明，即可.【详解】（1）长方体的体积为，长方体被平面分得的两部分体积之比为.（2）证明：由平面得，又易知，，故平面，所以另一方面，连接与交于点，连接，在矩形中，，，，故有，∴，∴，∴，且平面，平面，，故平面.【点睛】本题考查求几何体体积以及证明线面垂直，考查学生的逻辑推理能力，基本计算能力，是一道容易题.18.某果园今年的脐橙丰收了，果园准备利用互联网销售.为了更好的销售，现随机摘下了个脐橙进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出频率分布直方图如下图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在，的脐橙中随机抽取个，再从这个脐橙中随机抽个，求这个脐橙质量都不小于克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该果园的脐橙树上大约还有个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：甲：所有脐橙均以元/千克收购；乙：低于克的脐橙以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.请通过计算为该果园选择收益最好的方案.（参考数据：）【答案】（1）；（2）方案乙【解析】【分析】（1）由分层抽样知，质量为，的脐橙中各抽取个和个，采用列举法求概率；（2）分别计算甲、乙方案所得总收益，比较即可得到答案.【详解】（1）由题意知脐橙在，的比例为，故应分别在质量为，的脐橙中抽取个和个.记抽取质量在的为，质量在的为，则从这个脐橙中随机抽取个的方法共有以下种：；其中个脐橙质量都不小于克的方法有种，故个脐橙质量都不小于克的概率为.（2）方案乙更好，理由如下：由频率分布直方图知，，，，，的频率分别为.若用甲方案，总收益为元；若用乙方案，脐橙低于克的有个，不低于克的有个.则总收益为元所以，乙方案收益更高，选择方案乙.【点睛】本题考查概率与统计的综合应用，涉及到分层抽样、频率分布直方图、古典概型的概率等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.19.已知正项等比数列的前项和为，且，，.且.（1）求；（2）设，若对都成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由可得公比，由可得，再利用等比数列通项公式即可得到；（2）由裂项相消法可得，不等式等价于对都成立，令，只需求出即可.【详解】（1）数列的公比为，则由，得：∴，因为是正项数列，所以，.又，，∴，从而，.（2）∴故不等式等价于对都成立，令，∴，令，得；令，得，所以当时，；当时，故，∴.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算、裂项相消法求数列的和以及数列不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.20.已知椭圆离心率为，为椭圆上任意一点，且已知.（1）若椭圆的短轴长为，求的最大值；（2）若直线交椭圆的另一个点为，直线交轴于点，点关于直线对称点为，且，三点共线，求椭圆的标准方程.【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）由，，解方程组得到椭圆的方程，再利用两点间的距离公式计算即可；（2）当斜率为时，三点共线；当斜率不为时，设直线，联立椭圆方程得到根与系数的关系，再利用三点共线，即计算即可得到椭圆方程.【详解】（1）由题意，∴，且，∴，所以，设，则∵，故当时，.（2）当斜率为时，三点共线；当斜率不为时，设直线，与椭圆，即联立得：，设，，则，，又由题知，，∴，故由三点共线得，即，∴，∴代入韦达定理得：，∴，，故椭圆方程为.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到三点共线，在处理直线与椭圆的位置关系时，一般要用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.21.已知函数.（1）若曲线在点处切线方程为，求的值；（2）当时，函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点处切线方程，对比系数即可；（2）的极值点等价于的变号零点，则有，即与有两个交点，数形结合即可得到答案.【详解】（1）因为，∴，且故在点处切线方程为，即，又由题知在点处切线方程为，故，∴.（2），的极值点等价于的变号零点，则有，则与有两个交点，记，则有：记，所以在上单调递减，所以.所以在上单调递增，在上单调递减，所以又因为，；，，由图像可知.【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值点，考查学生的逻辑推理能力，数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.22.如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以和为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．（1）写出⊙C1与⊙C2的极坐标方程；（2）求△OAB面积最大值．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】(1)直接由条件求出与的极坐标方程即可;(2)由(1)得,,,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出△OAB面积的最大值.【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆和圆的圆心分别为和,所以圆和圆的极坐标方程分别为和.(2)由(1)得,,,则.所以当时,面积最大值为.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题. 23.已知实数，，且满足.（1）求关于的不等式的解集；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】分析】（1）由已知，可得，不等式等价于，只需解即可；（2），又，代入即可得到证明.【详解】（1），∴，且，故不等式等价于，∴，∴不等式的解集为.（2）因为，故（∵）.即可证得不等式成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式的证明，考查学生的基本计算能力，逻辑推理能力，是一道容易题.2020届高三数学下学期第六次教学质量检测试题文（含解析）一、选择题1.若复数满足，其中是虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，直接利用复数的乘法运算即可.【详解】由已知，.故选：A【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得到集合A、B，阴影部分表示的集合为，再按交集、补集运算即可.【详解】由，得，所以，由，得，所以，阴影部分表示的集合为.故选：C【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到交集、补集以及解不等式，是一道容易题.3.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标表示，求得的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得，，设向量，的夹角为，则，又因为，所以．故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.福利彩票“双色球”中红色球由编号为的个球组成.某彩民利用下面的随机数表选取组数作为个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第行的第列数字开始从左向右依次选取两个数字，则选出来的第个红色球的编号为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据表格依次读取即可，注意，不在01到33之间的跳过不取.【详解】由随机数表法知，读取的第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号为09.故选：C【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，考查学生对基本抽样方法操作的掌握，是一道容易题.5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出每次循环的结果，即可得到答案.【详解】当时，，，，；，此时，退出循环，输出的的为.故选：B【点睛】本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.6.已知直线与平面满足，，则下列命题正确的是（）A. 若∥，则∥B. 若，则C. 若∥，则∥D. 若，则【答案】A【解析】分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A，若∥，则与无公共点，又，所以与无公共点，由线面平行的定义可得∥，故A正确；对于选项B，若，则与可能平行、相交、在内，故B错误；对于选项C，若∥，则与可能平行，可能异面，故C错误；对于选项D，若，则与可能平行，可能异面，也可能相交，故D错误.故选：A【点睛】本题考查线线、线面、面面的位置关系，考查学生的空间想象能力，是一道容易题.7.数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（）内的数字均含，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可以从第4行第二列入手，结合每行每列都有1—6，简单推理，即可得到答案.【详解】由题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有1—6，所以第4行第2列为2，第4行第6列为5，所以，第2行第3列为6，第5行第3列为4，第5行第5列为6，第3行第5列为4，第3行第1列为5，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查推理与证明中的合情推理，考查学生分析，观察，判断等能力，是一道容易题.8.已知函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：若与的对称中心相同，则函数的周期相同即，则，即由，即，即的对称中心为，即的对称中心为，，则，即，则，当，，故选：．9.已知定义在上的偶函数满足，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，得，进一步得到，所以，迭代一次可得是以4为周期的周期函数，再利用周期性计算得到答案.【详解】在中，令，得，所以，又为偶函数，所以，从而，所以，故是以4为周期的周期函数，所以.故选：A【点睛】本题考查抽象函数的性质及应用，涉及到函数的奇偶性、周期性，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.10.已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过点作垂直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于、两点，为等边三角形，则双曲线离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知求出，，再由即可建立的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为，不妨设A在第一象限，令，则，所以，，又，为等边三角形，所以，即，所以，，解得或（舍）.故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，此类题关键是建立的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11.已知三内角的对边分别为，且，若角平分线段于点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知，易得，再利用得到，即，再利用“1”的替换即可得到答案.【详解】由及正弦定理，得，因，，所以，即，又，所以.如图，，所以，所以，即.∴，当且仅当，，即时，等号成立所以的最小值为9.故选：B【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及到基本不等式求最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.12.设函数，若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】注意到，所以，利用的单调性可得对任意都成立，令，只需即可.【详解】由已知，在上单调递减，因为，所以，所以，所以，即对任意都成立，令①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则，所以；②当时，在上单调递增，在上单调递减，，所以综上，.故选：A【点睛】本题考查函数不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想，数学运算能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13.已知等差数列的前项和为，，，则公差______.【答案】【解析】【分析】直接利用等差数列前n项和公式即可.【详解】由已知，，解得.故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n项和的基本量的计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.14.以抛物线的焦点为圆心，被直线截得弦长为的圆方程为______.【答案】【解析】【分析】由已知，设圆的方程为，算出圆心C到直线的距离，利用计算即可.【详解】由已知，抛物线的焦点为，所以圆心为，设圆的方程为，圆心C到直线的距离，所以，解得，故所求圆的方程为.故答案为：【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离、抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.在平面直角坐标系中，向量是以为起点，与轴、轴正方向相同的单位向量，且向量满足，则的取值范围是______.【答案】【解析】分析】设，，，则表示点A与点的距离的取值范围，由可得在线段上，数形结合即可得到答案.【详解】由已知，设，，，则，因为，所以，此式表示点A与点的距离和为，又，所以在线段上，如图所示，注意到，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查利用向量模的几何意义求向量的模的取值范围，考查学生转化与化归的思想，是一道有一定难度的题.16.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联芳等）起源于中国古代建筑的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图所示，图①是一种常见的鲁班锁类玩具，图②是该鲁班锁类玩具的直观图，则该鲁班锁玩具有______条棱，若每条棱的长均为，其表面积为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】图中共有个正三角形，个正八边形，算出总的边数除以2即可；算出正三角形、正八边形的面积即可.【详解】图中共有个正三角形，个正八边形，则共有条棱；设正三角形、正八边形的面积分别为，因为，所以，，，故又，∴表面积.故答案为：；【点睛】本题主要考查几何体表面积的计算，考查学生空间想象能力，数学计算能力，是一道中档题.三、解答题17.如图，长方体中，，，是棱上的点，且.（1）求长方体被平面分得的两部分体积之比（大比小）；（2）求证：平面.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】分析】（1）只需计算出长方体的体积以及即可；（2）连接与交于点，连接，要证明平面，只需证明，即可.【详解】（1）长方体的体积为，长方体被平面分得的两部分体积之比为.（2）证明：由平面得，又易知，，故平面，所以另一方面，连接与交于点，连接，在矩形中，，，，故有，∴，∴，∴，且平面，平面，，故平面.【点睛】本题考查求几何体体积以及证明线面垂直，考查学生的逻辑推理能力，基本计算能力，是一道容易题.18.某果园今年的脐橙丰收了，果园准备利用互联网销售.为了更好的销售，现随机摘下了个脐橙进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出频率分布直方图如下图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在，的脐橙中随机抽取个，再从这个脐橙中随机抽个，求这个脐橙质量都不小于克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该果园的脐橙树上大约还有个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：甲：所有脐橙均以元/千克收购；乙：低于克的脐橙以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.请通过计算为该果园选择收益最好的方案.（参考数据：）【答案】（1）；（2）方案乙【解析】【分析】（1）由分层抽样知，质量为，的脐橙中各抽取个和个，采用列举法求概率；（2）分别计算甲、乙方案所得总收益，比较即可得到答案.【详解】（1）由题意知脐橙在，的比例为，故应分别在质量为，的脐橙中抽取个和个.记抽取质量在的为，质量在的为，则从这个脐橙中随机抽取个的方法共有以下种：；其中个脐橙质量都不小于克的方法有种，故个脐橙质量都不小于克的概率为.（2）方案乙更好，理由如下：由频率分布直方图知，，，，，的频率分别为.若用甲方案，总收益为元；若用乙方案，脐橙低于克的有个，不低于克。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年广东省佛山市高三数学普通高中教学质量检测的。

1.已知集合，，则( )A. B. C.D. 2.已知▱ABCD 的顶点，，，则顶点D 的坐标为( )A. B.C. D.3.记数列的前n 项和为，则“”是“为等差数列”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有( )A. 120种B. 180种C. 240种D. 300种5.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号如图是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则极目一号体积约为( )参考数据：，，A. B. C. D.6.已知方程，其中现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程;乙：可以是抛物线的方程;丙：可以是椭圆的标准方程;丁：可以是双曲线的标准方程.其中，真命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.若斜率为1的直线l与曲线和圆都相切，则实数a的值为( )A. B. 0 C. 2 D. 0或28.已知函数，若存在，，，且，使，则的值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

2021届陕西省高三下学期教学质量检测测评（六）数学（理）试题一、单选题1．已知复数1z i =+，设复数22zw z =，则w 的虚部是（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -【答案】A【分析】根据复数的运算法则，求得1w i =--，结合复数的基本概念，即可求解. 【详解】由题意，复数1z i =+， 根据复数的运算法则，可得2222(1)2(1)(1)1(1)2z i i i i w i z i i i i----=====--+-⋅， 所以复数w 的虚部是1-. 故选：A.2．已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（ ） A ．{}62,x x k k Z =+∈ B ．{}42,x x k k Z =+∈ C ．{}21,x x k k Z =+∈ D ．∅【答案】C【分析】通过对集合N 的化简即可判定出集合关系，得到结果. 【详解】因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ， 因为x ∈N 时，x M ∈成立， 所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z . 故选：C.3．某校课题小组为了研究高一学生数学成绩和物理成绩的线性相关关系，在高一第二学期期中考试后随机抽取了5名同学（记为1，2，3，4，5）数学成绩和物理成绩（满分均为100分）如表所示：则y 关于x 的线性回归方程为（ ） A ．1y x =- B ．1y x =+ C ．1382y x =+ D ．78y =【答案】C【分析】根据表格中的数据求得数据的样本中心，结合选项和回归直线必过样本中心，即可求解.【详解】由表格中的数据，可得7476767678765x ++++==，7575767777765y ++++==，即数据的样本中心()76,76，因为()76,76满足回归直线方程，结合选项可得1ˆ382y x =+， 即y 关于x 的线性回归方程为：1ˆ382y x =+， 故选：C .4．抛物线()20y ax a =>上点1,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，则a 的值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【分析】首先求出抛物线的准线方程，由题意得到方程，解得即可；【详解】解：抛物线()20y ax a =>即()201y ax a =>，可得准线方程14y a =-，抛物线()20y ax a =>上点1,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，可得：11124a+=，解得12a =. 故选：B .5．过点()5,1P 作圆22:2410C x y x y ++-+=的割线l 交圆C 于A ，B 两点，点C 到直线l 的距离为1，则PA PB ⋅的值是（ ） A ．32 B ．33 C ．6 D ．不确定【答案】B【分析】根据题意得到向量PA 与PB 共线，得出PA PB PA PB ⋅=⋅，再结合圆的性质和切割线定理，得到2PA PB PA PB PD ⋅=⋅=，即可求解.【详解】由题意，过点()5,1P 作圆22:2410C x y x y ++-+=的割线l 交圆C 于,A B 两点， 可得向量PA 与PB 共线，所以PA PB PA PB ⋅=⋅由圆22:2410C x y x y ++-+=的圆心为()1,2-，半径为2， 如图所示，其中PD 为切线，则22222261233PA PB PA PB PD PC CD ⋅=⋅==-=+-=. 故选：B .6．直线1y kx =-是曲线1ln y x =+的一条切线，则实数k 的值为（ ） A ．e B ．2e C ．1 D ．1e -【答案】A【分析】设切点为()00,1ln x x +，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据切线过定点()0,1-，即可求出0x ，从而求出切线的斜率； 【详解】解：设切点为()00,1ln x x +， 由1ln y x =+，得1y x'=，则001x x y x ='=，则曲线在切点处的切线方程为()00011ln y x x x x --=-， 由已知可得，切线过定点()0,1-，代入切线方程可得：02ln 1x --=-，解得01x e=，则01k e x ==.故选：A .7．函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，下列描述错误的是（ ）A ．定义域是R ，值域是[]0,3B ．其图象有无数条对称轴C ．712π是它的一个零点 D ．此函数不是周期函数【答案】D【分析】根据正弦型函数值域可确定32sin 2113x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭，结合绝对值的含义可知A 正确；根据正弦函数对称轴，采用整体对应的方式可知()5212k x k Z ππ=+∈是()f x 的对称轴，知B 正确；根据7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可知C 正确； 由()()f x f x π+=知π是()f x 的周期，知D 错误.【详解】对于A ，易知()f x 定义域为R ，1sin 213x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，32sin 2113x π⎛⎫∴-≤--≤ ⎪⎝⎭，02sin 2133x π⎛⎫∴≤--≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为[]0,3，A 正确；对于B ，由()sin 2sin k x x ππ+-=得：()sin 22sin 233k x x k Z ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪+-+ ⎪⎝⎭⎝⎭=-∈，即()sin 2sin 22333x k x k Z πππππ⎛⎫⎛-+++-=-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭∈⎝，即()()23f x k f x k Z πππ⎛-+++=⎫⎪⎝⎭∈ ，()5212k x k Z ππ∴=+∈是函数图象的对称轴，故有无数条，B 正确，对于C ，772sin 21012123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，712π∴是()f x 的一个零点，C 正确； 对于D ，()()2sin 2212sin 2133f x x x f x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π∴是函数的周期，D 错误.故选：D.8．若()102x -展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A B C ++=（ ）A ．4095B ．4097C ．-4095D ．-4097【答案】C【分析】求得二项展开式的通项，结合通求得一次项的系数，再由二项展开式的二项式系数和的性质，求得二项式系数的和，以及1x =，求得所有项的系数和，即可求解. 【详解】由()102x -展开式的通项公式为101011010T C 2()(1)2C rrr r r rr r x x --+=⋅⋅-=-⋅⋅，所以一次项系数19110(1)2C 5120C =-⋅⋅=-，二项式系数和1021024A ==，令1x =，则所有项的系数和()10211B =-=， 所以4095A B C ++=-. 故选：C .9．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，βn//，//αβ是“//m n ”的必要条件 B ．若m αβ=，n ⊂α，“m n ⊥”是“αβ⊥”的充分条件C ．若//m α，βn//，“αβ⊥”是“m n ⊥”的充分条件D ．若m α⊥，n β⊥，“//m n ”是“//αβ”的充要条件 【答案】D【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若m α⊂，βn//，//m n ，可得//αβ或,αβ相交，所以A 错误； 对于B 中，若m αβ=，n ⊂α，m n ⊥，可得α、β不一定垂直，所以B 错误；对于C 中，若//m α，βn//，αβ⊥，可得m ，n 可能平行，都与α、β的交线平行， 所以C 错误；对于D 中，若m α⊥，//m n ，可得n α⊥，又由n β⊥，可得//αβ； 若m α⊥，//αβ，可得m β⊥，又由n β⊥，可得//m n ，所以D 正确. 故选：D .10．设α是第一象限角，满足sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（ ）A ．1B ．2CD 【答案】C【分析】用两角和与差的正弦余弦公式展开化简，可得sin cos αα-=22sin cos 1αα+=以及角的范围，求解sin α，cos α，即可计算tan α.【详解】ππsin cos 44αααααα⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()622sin cos 2αα-=-=， ∴31sin cos 2αα--=， 联立2231sin cos 2sin cos 1αααα⎧--=⎪⎨⎪+=⎩，∵设α是第一象限角，∴sin 0α>，cos 0α>，即3sin 2α=，1cos 2α=，∴3sin 2tan 31cos 2ααα===.故选：C .11．在三棱锥A BCD -中，3AB AD BC ===，5CD =，4BD =，32AC =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．63π10B ．64π5C ．128π5D ．126π5【答案】D【分析】由已知条件先判定出球心的位置，然后运用正弦定理、余弦定理和勾股定理计算出球的半径，即可计算出外接球的表面积. 【详解】如图，由3AB BC ==，32AC =222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥， 由3BC =，4BD =，5CD =，得222BC BD CD +=，∴BC BD ⊥， 又AB BD B =，∴BC ⊥平面ABD ，设ABD △的外心为G ，过G 作底面的垂线GO ，使12GO BC =，则O 为三棱锥外接球的球心， 在ABD △中，由3AB AD ==，4BD =，得2223341cos 2339BAD +-∠==⨯⨯， 45sin BAD ∠=，设ABD △的外接圆的半径为r ，则r ==，32OG =，∴2223126220OB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.∴三棱锥外接球的表面积为21261264π4ππ205R =⨯=. 故选：D.12．已知函数()()211x f x a a =>+，给出下列四个命题： ①()f x 在定义域内是减函数； ②()()1g x f x =-是非奇非偶函数；③()()()1h x f x f x =+-的图象关于直线1x =对称； ④()()1F x f x =-是偶函数且有唯一一个零点. 其中真命题有（ ） A ．①③ B ．②③C ．③④D ．①④【答案】D【分析】利用复合函数单调性的求法判断()()211x f x a a =>+单调性，判断()()0g x g x -+=是否成立即可判断()g x 的奇偶性，应用特殊值求出()0h 、()2h ，反证法判断图象是否关于直线1x =对称，利用()()1F x f x =-的性质即可确定零点的个数. 【详解】函数()()211x f x a a =>+可看成函数()11xu a a =+>与函数2y u =的复合函数，①函数()11xu a a =+>在R 上是增函数，函数2y u=在0,上是减函数，故()f x 在定义域内是减函数，真命题； ②()()2111xg x f x a =-=-+，且()()0g x g x -+=，故()g x 是奇函数，假命题； ③()()()200111h f f a =+=++，()()()22222111ah f f a a =+-=+++，若()()02h h =，则1a =，假命题；④()()1g x f x =-是奇函数，则()()1F x f x =-是偶函数，且当0x >时，()()2111x F x f x a =-=-+在0,上是增函数，故()()00F x F >=，函数有唯一一个零点0，真命题. 故选：D.二、填空题13．若随机变量()~0,1X N ，已知()11P X a -<<=，则()1P X >=______. 【答案】()121a - 【分析】根据正态分布的对称性即可求出答案.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()~0,1X N ，所以正态曲线关于0x =对称， 又因为()11P X a -<<=，所以()()1112P X a >=-， 故答案为：()121a -. 14．平面向量,a b 满足()3,2a =-，2b =，()5a b a -⋅=，则+=a b ______．【答案】13【分析】由数量积的运算可求得2a b ，进而求得2a b +，由此求得结果. 【详解】()3,2a =-，347a ∴=+=，()275a b a a a b a b ∴-⋅=-⋅=-⋅=，解得：2a b ，222274213a b a a b b ∴+=+⋅+=++=，13a b ∴+=.故答案为：13.15．P 是双曲线22145x y -=右支在第一象限内一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，A 为右顶点，如图圆C 是12PF F △的内切圆，设圆与1PF ，2PF 分别切于点D ，E ，当圆C 的面积为4π时，直线2PF 的斜率为______.【答案】43【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为0x a =，又根据圆的面积可求出半径2r，可知圆心()2,2C ，可求出2tan CF A ∠，因为2CF 是21PF F ∠的角平分线，借助于角相等可求直线2PF 的斜率.【详解】由题意可知PD PE =，11F D F A =，22F A F E =，所以()()12121212|2|||PF PF PD DF PE EF DF EF AF AF a -=+-+=-=-=， 设()0,0A x ，则()()0002x c c x a x a +--=⇒=， 即()(),02,0A a =，设圆C 的半径为()0r r >，因为圆C 的面积为4π，则2π4π2r r =⇒=， 因为12CA F F ⊥，所以()2,2C ， 于是222tan 232CA CF A AF ∠===-， 因为2CF 是21PF F ∠的角平分线， 所以()2212222tan 44tan tan 21tan 33CF A PF F CF A CF A ∠∠=∠===--∠-，所以()22124tan tan tan 3PF x PF F PF F π∠=-∠=-∠=，即直线2PF 的斜率为43.故答案为：43.16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为r ，若cos cos sin sin A Cr A C+=，2,b a c =+=ABC 的面积S =______.【分析】根据题设条件化简得()sin sin sin A C r A C +=，进而得到以sin sin sin B r A C =，利用正弦定理得到12b ac =，求得4ac =，再由余弦定理和三角函数的关系式，求得sin B 的值，结合面积公式，即可求解. 【详解】由cos cos sin sin A Cr A C+=，整理得cos sin sin cos sin sin A C A C r A C +=， 即()sin sin sin A C r A C +=，因为πA B C ++=，可得()()sin sin sin A C A B π+=-=， 所以sin sin sin B r A C = 由正弦定理可得，2sin sin sin a b c r A B C ===，可得12b ac =，因为2b =，所以4ac =，且a c +=又由余弦定理可得()(2222228423cos 2284a c acb ac b B ac ac--+--+-====，则sin B =所以11sin 422ABCSac B ==⨯=三、解答题17．某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次.（1）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （2）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）625；（2）分布列见解析，3.1分. 【分析】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ，根据独立事件乘法原理可求得答案； （2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出随机变量取每一个值的概率，得出随机变量的分布列，从而再由数学期望公式可求得答案.【详解】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ， 则()()3445P A P B ==，，所以()12346C 1445525P C ⎛⎫=⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，所以()02023410114551004P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯⋅-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()12348211C 1455100542P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()022022********C 11C 455410035P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2342463C 1455410025P X ⎛⎫==⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，()2223448124C 4510025P X ⎛⎫==⨯⨯== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：故()1819244801234 3.1100100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 则该同学得分的数学期望是3.1分. 18．数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，()()11121*()1n n n n a S S n N +++=++∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a -=；（2）1242n n n T -+=-. 【分析】（1）利用11n n n a S S ++=-,将()()111211n n n n a S S +++=++变形，再利用累加法即可解出n S ，则可求出{}n a 的通项公式. （2）利用错位相减，求出n T 即可.【详解】（1）数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，()()111211n n n n a S S +++=++①.当1n =时，解得22a =；①式转换为()()()()111111112n n n n n S S S S ++++-+=++，整理得：11111112n n n S S ++-=++， 利用叠加法：23121111111111111122222n nn n S S S S -⎛⎫⎛⎫-++-=+++=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 所以111111122nn S -=-++， 整理得：21n n S =-（首项符合通项），故112n n n n a S S --=-=.（2）由（1）得：n n a b n =，所以：12n n nb -=， 故21231222n n nT -=+++⋯+①，231123 22222n n nT =+++⋯+②， ①-②得：1111 12222n n n nT -=++⋯+-， 整理得：1242n n n T -+=-. 19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，5PA PB ==.（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当四棱锥P ABCD -体积为127时，求二面角A PB C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5716. 【分析】（1）分别取AB ，CD 的中点E ，F ，证明CD PE ⊥，CD EF ⊥可得CD ⊥平面PEF ，可证CD PE ⊥，由等腰三角形的性质可得PC PD =，证明三角形全等即可求证； （2）在EF 上取一点O ，连接PO ，使PO EF ⊥，根据已知条件证明O 为正方形ABCD 的中心，建立空间直角坐标系求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接PE ，EF ，PF ， ∵PA PB =，∴PE AB ⊥， ∵//AB CD ，∴CD PE ⊥，∵CD EF ⊥，PE EF E ⋂=，∴CD ⊥平面PEF ， ∵PF ⊂平面PEF ，∴CD PF ⊥，在PCD 中，∵PF 垂直平分CD ，∴PC PD =， ∵PA PB =，AD BC =，∴PAD PBC ≅， ∴PAD PBC ∠=∠.（2）由（1）知，平面PEF ⊥平面ABCD ，在EF 上取一点O ，连接PO ，使PO EF ⊥，则PO 是四棱锥P ABCD -的高，∵113633P ABCD ABCD V PO S PO -=⨯⨯=⨯⨯=PO∵4PE ，则3OE =，即O 为正方形ABCD 的中心，以O 为坐标原点，过点O 且垂直于EF 的直线为x 轴，EF 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所求的空间直角坐标系，则(P ，()3,3,0A --，()3,3,0B -，()3,3,0C ，()6,0,0AB =，()0,6,0BC =，(3,3,PB =-，设平面PAB 的法向量()111,,m x y z =，则111160330m AB x m PB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取13z =，110,x y ==∴()0,m =，设平面PBC 的一个法向量()222,,n x y z =，则222233060n PB x y n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩取2220,3y x z ==()7,0,3n =则9cos ,1616m n m n m n⋅===⋅，设二面角A PB C --的平面角为θ，则sin θ==，∴.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点163,5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，离心率35e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P 引椭圆的弦PQ ，设PQ 中点M ，当直线PQ 的斜率1k 存在且不为0时，直线OM 的斜率为2k （O 为坐标原点），求12k k 的值． 【答案】（1）2212516x y +=；（2）1625-．【分析】（1）由题得到关于,,a b c 的方程组，解方程组即得解；（2）设点(),Q p q ，则22161(3,)25165p q p q +=≠≠-，求出21161655,33q q k k p p -+==+-，再计算12k k 得解.【详解】解：（1）∵椭圆C 的离心率35c e a ==，∴22925c a =，∴222925a b a -=，∴222516a b =． 又∵222569251a b +=，∴2225,16a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212516x y +=． （2）设点(),Q p q ，则22161(3,)25165p q p q +=≠≠-， 则点1635(,)22q p M -+， 所以21161655,33q q k k p p -+==+-，∴()()121616()()5533q q k k p p -+=+-22256259q p -=-22161616259q p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=-221616125259p p ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=-2291625259p p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=-1625=-， ∴12k k 为定值1625-. 【点睛】方法点睛：定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.21．设函数()x xf x a e -=+（0a >且1a ≠）.（1）若()f x 存在极值点，求实数a 的取值范围；（2）设()f x 的极值点为0x ，问是否存在正整数a ，使得()00,1x ∈？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）(1,)+∞；（2）存在，2a =.【分析】（1）求得()ln x x f x a a e -'=-，令()ln x x g x a a e -=-，得到()0g x '>，得到函数()g x 单调递增，根据()f x 有极值点，得出ln 0x x a a e --=有解，进而求得实数a 的取值范围；（2）由（1）知，当1a >时，函数()f x 的极值点0x ，根据()00,(1)0f f '<>，得出1ln a a e ->且a e <，令()()ln 1g a a a a =>，利用导数()g a 的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()x x f x a e -=+，可得()ln x x f x a a e -'=-，令()ln x xg x a a e -=-，则()()2ln 0x x g x a a e -'=+>，所以函数()g x 单调递增，若()f x 有极值点，则()0f x '=有解，即ln 0x x a a e --=有解， 则()ln 1xae a =，即()1ln xae a=， 因为()0x ae >，所以1ln 0a>，即ln 0a >，即1a >， 此时()f x 有极小值点()0ln ln 1log ln 1ln ac a x a a ⎡⎤=-⎥⎦+⎢⎣=，所以实数a 的取值范围是(1,)+∞.（2）由（1）知，当1a >时，函数()f x 的极值点0x （即函数()f x '的零点），因为()0ln 10f a '=-<，()11ln 0f a a e -'=->，则1ln a a e ->且a e <，则()()ln 1g a a a a =>，则()1ln 0g a a '=+>， 所以()g a 在(1,)+∞上单调递增，()10g =，()22ln 21g =>， 所以2,3,4,5,6,...a =都使得1ln a a e ->成立， 又a e <，所以有且只有2a =满足题意.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为121t x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的标准方程，并说明直线l 与圆C 的位置关系．（2）直线l 与圆的相交弦为AB ，()P m n ,是弦AB上动点，求m 的取值范围． 【答案】（1）()()22:112C x y ++-=；直线l 与圆C 相交且过圆心；（2）1⎤⎦．【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则可直接化简得到圆C 的直角坐标方程，整理可得所求标准方程；由l 过圆心()1,1C -可得所求位置关系；（2）由()P m n ,满足l参数方程得1m t =-t 的几何意义可得t 的范围，由此可求得所求范围.【详解】（1）由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得：22sin 2cos ρρθρθ=-，化为直角坐标方程为：22220x y x y ++-=，∴圆C 的标准方程为()()22112x y ++-=．直线l 过定点()1,1-，即直线l 过圆心C ，则直线l 与圆C 相交且过圆心．（2）121t m n ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1m t ∴=-，由（1）知：圆C 的圆心为()1,1-，半径r =则由参数t的几何意义知：tt ≤≤∴m的取值范围为1⎤⎦． 【点睛】结论点睛：若直线l 参数方程为00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），其中θ为直线l 的倾斜角，则t 具有几何意义：当参数t t =0时，0t 表示直线l 上的点()0000cos ,sin x t y t θθ++到点()00,x y 的距离.23．已知函数()3321f x x a x =++-+． （1）当5a =时，求不等式()10f x ≤的解集；（2）若不等式()9f x ≥恒成立时，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）(][),106,-∞-⋃+∞． 【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可；（2）由绝对值不等式可得()21f x a ≥++，则由219a ++≥可求解. 【详解】解：（1）当5a =时，()35321f x x x =++-+=562,3528,3326+4,3x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以当53x ≤-时，令6210x --≤，解得2x ≥-，所以523x -≤≤-；当5233x -<<时，810≤恒成立，所以5233x -<<；当23x ≥时，令6410x +≤，解得1x ≤，所以213x ≤≤． 综上所述，不等式()10f x ≤的解集为{}21x x -≤≤． （2）因为()()()33213231323121f x x a x x a x x a x a =++-+=++-+≥++-+=++，当且仅当()()3230x a x +-≥时，等号成立，令219a ++≥，解得6a ≥或10a ≤-，所以实数a 的取值范围是(][),106,-∞-⋃+∞． 【点睛】关键点睛：本题考查含绝对值不等式的求解，解题的关键是分类讨论去绝对值.。

注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只辽宁省2024-2025学年高三上学期10月联考数学教学质量检测试卷有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+，若{}15A B x x ⋃=<<，则a =（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，再根据并集得出参数的值.【详解】因为()1,3A =,()1,5A B ⋃=，又因为(),3B a a =+，所以35,a +=即a =2.故选：C.2. 如图，在ABC V 中，点D 是BC 边的中点，3AD GD = ，则用向量AB ，AC表示BG 为（ ）A. 2133BG AB AC=-+u u u u r uu r u u u r B. 1233BG AB AC=-+u u u r u uu r u u u r C. 2133BG AB AC=-u u u r u u u r u u u r D. 2133BG AB AC=+u u u r u u u r u u ur【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】3AD GD =，故23AG AD = ，则()2212133233B C G BA BA BA AG AD AB A AB AC =+=+=+⨯+=-+.故选：A3. 在等比数列{}n a 中，记其前n 项和为n S ，已知3212a a a =-+，则84S S 的值为（ ）A. 2 B. 17 C. 2或8D. 2或17【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列通项公式求得1q =或2q =-，再利用等比数的求和公式求解即可.【详解】解：由等比数列的通项公式可得21112a q a q a =-+，整理得220q q +-=，解得1q =或2q =-．当q =1时，1841824S a S a ==；当2q =-时，()()814844184111117111a q S q q q S q a q q ---====-+--．所以84S S 的值为2或17．故选：D ．4. 每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为20%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）A. 5% B. 10%C. 15%D. 45%【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式直接得出结论.【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%20%35%10%+-=.故选:B5. 若直线:3l y kx k =+-与曲线:C y =恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 4,+3∞⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32⎛⎤⎥⎝⎦C. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先得到直线过定点()1,3P ，作出直线l 与曲线C ，由图求出直线l 过点()1,0A -时的斜率和直线l 与曲线C 相切时的斜率即可树形结合得解.【详解】由()313y kx k k x =+-=-+可知直线l 过定点()1,3P ，曲线:C y =两边平方得()2210x y y +=≥，所以曲线C 是以()0,0为圆心，半径为1且位于直线x 轴上方的半圆，当直线l 过点()1,0A -时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点，此时3032k k k =-+-⇒=，当直线l 与曲线C 相切时，直线和圆有一个交点，圆心()0,0到直线l的距离1d ，两边平方解得43k =，所以结合图形可知直线l 与曲线C 恰有两个交点，则4332k <≤.故选：B.6. 已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论不正确的A. π6ϕ=B. 若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C. 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为2【答案】D 【解析】【分析】先根据()f x 是偶函数求ϕ判断A 选项；根据最小正周期公式计算可以判断B 选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C 选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D 选项.【详解】()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，则πππππ,Z,,,3226k k ϕϕϕ+=+∈<∴=∣∣A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，由()sin()g x x ωϕ=+则2π23π,3T ωω==∴=，B 选项正确；πππ(0,π),(,π)666x x ωω∈+∈+ 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5ππ7π710π,26233ωω<+≤<≤,C 选项正确；若π()sin(6g x x ω=+ πππsin +446g ω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ+2π463k ω=+或ππ2π+2π463k ω=+，Z k ∈，则 283k ω=+或28,Z k k ω=+∈，又因为0ω>，则ω的最小值为23，D 选项错误.故选:D.7. 已知()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为1280-，则a =（ ）A. ―2B. 2C. D. 1【解析】【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.【详解】由题意，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()()6662166C 2C 2rr r r r rr r a T x a x x ---+-⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，令620r -=，则3r =，令621r -=-，则72r =不符合题意，所以()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()3336C 21280a --=-，解得2a =-．故选：A .8. 已知函数22()log f x x mx x =-+，若不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围是（ ）A. 23log 33,89+⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 23log 33,94+⎛⎫⎪⎝⎭C. 23log 33,94+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 23log 33,89+⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】不等式()0f x >可化为2log 1xmx x-<，利用导数分析函数()2log x g x x =的单调性，作函数()1h x mx =-，()2log xg x x=的图象，由条件结合图象列不等式求m 的取值范围.【详解】函数22()log f x x mx x =-+的定义域为(0,+∞)，不等式()0f x >化为：2log 1xmx x-<．令()1h x mx =-，()2log x g x x=，()2222221log e log log e log x xx x g x x x --='=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减．当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当01x <<时，()0g x <，当x →+∞时，()0g x →，当0x >，且0x →时，()g x ∞→-，画出()g x 及()h x 的大致图象如下，因为不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1,2．故()()()()2233h g h g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log 2212log 3313m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得23log 3943m +≤<.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知复数232023i i i i 1iz ++++=+ ，则下列结论正确的是（ ）A. 1i 2z -=-B. 1i 2z -=C. 1i 2z +=-D. z =【答案】ACD 【解析】【分析】利用234i+i +i +i 0=对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果.【详解】因为i,411,42i ,i,431,4nn k n k k n k n k=+⎧⎪-=+⎪=∈⎨-=+⎪⎪=⎩Z ，所以234i+i +i +i 0=，所以()()()()2342323202323505i+i +i +i i i i 1i i i i i i i i 111i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 22z +++--++++++-======-++++++- ，所以A 正确，B 错误，111i i=222z +=---，C 准确，所以z ==D 正确.故选：ACD10. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC V 的三个内角均小于120°时，使得120AOB BOC COA ︒∠=∠=∠=的点O 即为费马点；当 ABC V 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（ ）A. 正三角形的的费马点是正三角形的中心B. 若P 为ABC V 的费马点, 且 0PA PB PC ++=u u r u u r u u u r r，则ABC V 一定为正三角形C. 若ABC V 三边长分别为2D. ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ， π22A ,bc ∠==，若点P 为ABC V 的费马点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=.【答案】ABC 【解析】【分析】对A ，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B ，取AB 的中点D ，由0PA PB PC ++=可得点P 是ABC V 的重心，再结合条件可得点P 是ABC V 的中心，得证；对C ，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D ，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解.【详解】对于A ，如图O 是正三角形ABC 的中心，根据正三角形的性质易得o 120AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以点O 是正三角形ABC 的费马点，故A 正确；对于B ，如图，取AB 的中点D ，则2PA PB PD += ，因为0PA PB PC ++=，所以2PC PD =-u u u r u u u r，所以,,C P D 三点共线，且点P 是ABC V 的重心，又点P 是ABC V 费马点，则o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，则o 60APD BPD ∠=∠=，又AD BD =，易得PA PB =，同理可得PC PB =，所以PA PB PC ==所以点P 是ABC V 的外心，所以点P 是ABC V 的中心，即ABC V 是正三角形.故B 正确；对于C ，如图，在Rt ABC △中，1AB =，BC =，2AC =，o 30ACB ∠=，点O 是Rt ABC △的费马点，将COA 绕点C 顺时针旋转o 60，得到CED △，易证COE ，ACD 是正三角形，则OC OE =，OA DE =，CD AC =，且点,,,B O E D 共线，所以o90BCD ∠=，所以BD ===又OA OB OC DE OE OB DB ++=++==，的.故C 正确；对于D ，由费马点定义可得o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，设PA x =，PB y =，PC z =，,,0x y z >，由ABC PAB PAB PAB S S S S =++V V V V，可得111122222xy xz yz ++=⨯，整理得xy yz xz ++=，所以111222PA PB PB PC PC PA xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1122xy yz xz =-++=-=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D 选项的关键在于利用三角形等面积法求出xy yz xz ++=.11. 在四面体ABCD 中，棱AB 的长为4，AB BD ⊥，CD BD ⊥，2BD CD ==，若该四面体的体积为）A. 异面直线AB 与CD 所成角的大小为π3B. AC的长可以为C. 点D 到平面ABCD. 当二面角A BC D --是钝角时，其正切值为【答案】ACD【解析】【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sin CDE ∠=A ，根据余弦定理即可求解B ，根据等体积法即可求解C ，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.【详解】在平面ABD 内过D 作DE AB ∥，且ED AB =,由于AB BD ⊥，故四边形ABDE 为矩形，CD BD ⊥，DE BD ⊥，BD DE C = ，CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，故BD ⊥平面CDE ，故11233C ABD C EDA B CDE CDE CDE V V V S BD S ---===⋅=⨯=，11sin 24sin 4sin 22CDE S CD DE CDE CDE CDE=⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠故1124sin 233C ABD CDE V S CDE -=⨯=⨯∠⨯=，因此sin CDE ∠=由于()0,CDE π∠∈，所以3CDE π∠=或23π，由于CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角或其补角，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为3π，A 正确，当23CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时AC ==当3CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时4AC ==,故B 错误，由于BC ==,4AB =,当AC =cos BAC ∠==sin BAC ∠=，11sin 422ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯= ,当4AC =时，161683cos 2444BAC +-∠==⨯⨯，故sin BAC ∠=，1sin 2ABC S AB AC BAC =⋅∠= ,故点D 到平面ABC的距离为d ===,C 正确，当4AC =时，4AB AC ==,2CD BD ==,取BC 中点为O ，连接OA ,OD ,则AOD ∠即为二面角A BC D --的平面角，12OD BC ===,AO ==所以22cos 0AOD ∠===<,故AOD ∠为钝角，符合题意，此时sin tan cos AODAOD AOD∠∠==∠，当4AC =，由于2DBCS =，点A 到平面BDC距离为d ===,设A 在平面BDC 的投影为H ,则AH =,故HD==HC ==,因此点O 为以D ,C为圆心，以半径为,显然交点位于BC ,同D 的一侧，故此时二面角A BC D --为锐角，不符合要求，故D 正确，故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知,a b +∈R ，41a b +=，则aba b+的最大值是________．【答案】19【解析】的【分析】先求出11a b+的最小值，再将aba b +化为111a b+，即可求得答案.【详解】因为,a b +∈R ，41a b +=，故()111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，结合41a b +=，即11,63==a b 时等号成立，所以11119ab a b a b =≤++，即ab a b +的最大值是19，故答案为：1913. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在每个顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π．我们把平面四边形ABCD 外的点P 连接顶点A 、B 、C 、D 构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．【答案】4π【解析】【分析】根据曲率的定义求解即可.【详解】由定义可得多面体的总曲率2π=⨯顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为()2π5π42π14π⨯-⨯+⨯=.故答案为：4π.14. 过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上焦点1F ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为H ，直线1F H 与双曲线的上､下两支分别交于,M N ，若3NH HM =，则双曲线的离心率e =__________.【解析】【分析】设双曲线右焦点为2F ，HM t =，3NH t =，由题意结合双曲线定义可依次求出1F H 、1OF 、1F M 、1F N 、2F N 和2F M ，接着分别在1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △中结合余弦定理求出1cos OF M ∠，进而建立等量关系式求出t ，从而求得2b a =，进而由离心率公式即可得解.【详解】设双曲线右焦点为2F ，由题()10,F c ，双曲线的一条渐近线方程为ay x b=-即0ax by +=，过该渐近线作垂线，则由题1F H b =，1OF c =，设HM t =，则由题3NH t =，1F M b t =-，13F N b t =+，所以232F N b t a =+-，22F M b t a =-+，所以在1Rt F OH 中，111cos F H bOF M OF c∠==①，在12F MF △中，()()()()()22222211221112||||22cos 222F M F F F M b t c b t a OF M b t c F M F F +--+--+∠==-⋅②，在12F NF △中，()()()()()22222211221112||||3232cos 2322F N F F F N b t c b t a OF M b t c F N F F +-++-+-∠==+⋅③，由①②得()()()()()2222222b t c b t a bb tc c-+--+=-，化简解得ab t a b =+，由①③得()()()()()2223232232b t c b t a b b t c c++-+-=+，化简解得()3ab t b a =-，所以()23ab abb a a b b a =⇒=+-，故双曲线的离心率c e a====.【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为2F ，HM t =，则结合双曲线定义可得1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角1OF M ∠的余弦值1cos OF M ∠，从而可建立等量关系式依次求出t 和2b a =，进而由离心率公式得解.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()*1N n n S a n =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22212n n T S S S =+++ ，求n T .【答案】（1）1()2n n a = （2）1235111((3232n nn n T --=+-⋅【解析】【分析】（1）应用1n n n S S a --=，再结合等比数列定义及通项公式计算即可；（2）先化简得出21111()()24n n n S --+=，再应用分组求和及等比数列前n 项和公式计算.小问1详解】因为数列{a n }的前n 项和，满足1n n S a =-，当2n ≥时，可得111n n S a --=-，两式相减得1n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以112n n a a -=，令1n =，可得1111S a a =-=，解得112a =，所以数列{a n }构成首项为12，公比为12的等比数列，所以{a n }的通项公式为1111()(222n nn a -=⋅=.【小问2详解】由（1）知1(2nn a =，可得11(2nn S =-，所以222111111()]12()()1((22224[1n n n n n n S -=-⋅=+=-+-，【则222121111()[1()]244(111)111124n n n n T S S S -⋅-=+++=+++-+-- 1235111()()3232n n n --=+-⋅.16. 如图，正四棱台ABCD EFGH -中，24,EG AC MN ==上为上下底面中心的连线，且MN 与侧面.（1）求点A 到平面MHG 的距离；（2）求二面角E HM G --的余弦值.【答案】（1（2）23-【解析】【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用点面距向量公式，可得答案；（2）求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【小问1详解】由题意，易知,,MN MA MB 两两垂直，分别以,,MA MB MN 为,,x y z 轴建立直角坐标系，如下图：则()()()()1,0,0,0,0,0,0,2,1,2,0,1A M H G --，取()()0,2,1,2,0,1MH MG =-=-，设平面MHG 的法向量(),,n x y z = ，则2020n MH y z n MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，则1,1x y ==，所以平面MHG 的一个法向量()1,1,2n =，取()1,0,0MA = ，点A 到平面MHG的距离MA n d n ⋅===.【小问2详解】由（1）可知()()()()2,0,1,0,2,1,0,0,0,2,0,1E H M G --，取()()()()2,2,0,2,0,1,2,2,0,2,0,1HE ME HG MG ===-=-，设平面EHM 的法向量()1111,,m x y z = ，则11111122020m HE x y m ME x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =-，则221,2y z ==，所以平面EHM 的一个法向量()11,1,2m =-，设平面HMG 的法向量()2222,,m x y z = ，则22222222020m HG x y m MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21x =，则111,2y z ==，所以平面EHG 的一个法向量()21,1,2m =，设二面角E HM G --的大小为θ，则12121142cos 1143m m m m θ⋅-++=-=-=-++⋅ .17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s 的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本标准差S.（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5P X <<；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z 表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E （Z ）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()()220.9545,330.99731P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x 轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),0n 的概率为()160n P n ≤≤，试证明数列{}1n n P P --是等比数列()259n ≤≤，求出数列{}()160n P n ≤≤的通项公式，并比较59P 和60P 的大小.【答案】（1）300 （2）（ⅰ）0.8186；（ⅱ）16.372（3）证明见解析，158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，5960P P >【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得n P ，利用差比较法比较59P 和60P 的大小.【小问1详解】2050.12550.23050.453550.24050.05300x ≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（ⅰ）0.95450.6827(250.25399.5)0.68270.81862P X -<<=+=.（ⅱ））∵Z 服从二项分布()20,0.8186B ，∴()200.818616.372E Z =⨯=.【小问3详解】当359n ≤≤时，()12112111,222n n n n n n n P P P P P P P -----=+-=--，1221111131,,222244P P P P ==⨯+=-=.∴{}1(259)n n P P n --≤≤是以14为首项，12-为公比的等比数列，2111(259)42n n n P P n --⎛⎫-=⋅-≤≤ ⎪⎝⎭.22132111111,,,(259)44242n n n P P P P P P n --⎛⎫⎛⎫-=-=⋅-⋯-=⋅-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.累加得：115816058111422111111,(259),1362236212n n n n P P P n P P --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭-==-⋅-≤≤==+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.∴158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩∵58585960111111033232P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴5960P P >.注：比较59P 和60P 的另一个过程：58596059592112111,13623622P P P P ⎛⎫=-⋅>-==-<< ⎪⎝⎭.18. 已知函数()1e xx f x +=.（1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()e ln 1xf x a x +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知直线l 是曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线，求证：当1t >时，直线l 与曲线()y f x =相交于点()(),s f s ，其中s t <.【答案】（1）极大值为1，没有极小值 （2）[]e,0- （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断()f x 的单调性和极值；（2）根据题意可得ln 0x a x +≥恒成立，构建()ln ,0g x x a x x =+>，分类讨论a 的符号，利用导数求最值，结合恒成立问题分析求解；（3）根据导数的几何意义可得当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，构建()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >，利用导数研究函数零点分析证明.小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()ex xf x '-=，令()0f x '=时，0x =，则x ，f ′(x )，()f x 的关系为x(),0∞-0(0,+∞)f ′(x )+0-()f x 单调递增极大值单调递减所以，当0x =时，()f x 取到极大值为1，没有极小值.【小问2详解】若()e ln 1xf x a x +≥，即ln 0x a x +≥恒成立，设()ln ,0g x x a x x =+>，则()1a x a g x x x'+=+=，①当0a =时，则()0g x x =>恒成立，符合题意；②当0a >时，则()0g x '≥，可知()g x 在(0,+∞)上单调递增，因为11e e 10a a g --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以ln 0x a x +≥不恒成立；③当0a <时，x ，()g x '，()g x 的关系为x()0,a -a-(),a ∞-+()g x '-+【()g x 单调递减极小值单调递增可知()g x 的最小值为()()min ln g x a a a =-+-，则()ln 0a a a -+-≥，因为0a <，则()1ln 0a --≥，解得e 0a ≤-<；综上所述：实数a 的取值范围是[]e,0-.【小问3详解】因为()1e x x f x +=，()e x x f x '-=，则()1e t tf t +=，e t t k -=即切点坐标为1,e t t t +⎛⎫⎪⎝⎭，切线l 斜率为e tt k -=，可得l 的方程为()1e e t t t t y x t +--=-，即21e et tt t t y x -++=+，联立方程21e e 1e t txt t t y x x y ⎧-++=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得2110e e e x t tx tx t t ++++-=，由题可知：当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，设()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >且()0h t =，则()e e x t x t h x '-=+，设()()F x h x ='，则()1e xx F x '-=，因为1t >，x ，()F x '，F (x )的关系为x(),1∞-1()1,t ()F x '-+F (x )单调递减1e et t -+，单调递增可知F (x )的最小值()()()min 10F x F F t =<=，且()1e 0e ttF -=+>，可知()01,1x ∃∈-，使()00F x =，当()0,x x ∞∈-时，()0F x >，即h ′(x )>0；当()0,x x t ∈时，()0F x <，即h ′(x )<0；可知h (x )在()0,x ∞-内单调递增；在()0,x t 内单调递减，可知h (x )的最大值()()()0max 0h x h x h t '=>=，且()()2110e t t h -+-=<，可知h (x )存在小于t 的零点，所以当1t >时，直线l 与曲线y =f (x )相交于点()(),s f s ，其中s t <，得证.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．19. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q ．（1）当0b =，r =，12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；（2）①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想|OP |和|OQ |的大小关系，并证明．【答案】（1）53OP OQ == （2）①证明见解析；②猜测OP OQ =，证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求,,,C D E F 各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线CF 和ED 的方程，并求它们与x 轴的交点坐标，可得问题答案.（2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.②分别求出点P 和点Q 的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立.【小问1详解】当0b =，r =，12m =-，2n =时，圆M ：225x y +=，直线CD ：12x y =-，由22512x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，故()1,2C -，()1,2D -；直线EF ：2x y =，由2252x y x y⎧+=⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，故()2,1E ，()2,1F --.所以直线CF :122112y x ++=+-+，令0y =得53x =-，即5,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线ED :122112y x --=---，令0y =得53x =，即5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以：53OP OQ ==.【小问2详解】①由题意：22b r <.由()222x y b r x my ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩⇒()()222my y b r +-=⇒()2222120m y by b r +-+-=，则1y ，2y 是该方程的两个解，由韦达定理得：12222122211b y y m b r y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以1222122y y b y y b r +=⋅-.同理可得：3422342y y b y y b r +=⋅-，所以34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅.②猜测OP OQ =，证明如下：设点(),0P p ，(),0Q q .因为,,C P F 三点共线，所以：414100y y x p x p --=--⇒411414x y x y p y y -=-，又因为点C 在直线x my =上，所以11x my =；点F 在直线x ny =上，所以44x ny =.所以()1441141414y y n m ny y my y p y y y y --==--；同理因为,,E Q D 三点共线，可得：()2323y y n m q y y -=-.由①可知：34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅⇒12341111y y y y +=+⇒14321111y y y y -=-⇒23411423y y y y y y y y --=⋅⋅⇒231414230y y y y y y y y ⋅⋅+=--， 所以()()14231423y y n m y y n m p q y y y y --+=+--()23141423y y y y n m y y y y ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭0=.即p q =-，所以OP OQ =成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键是联立直线与圆的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，进行化简处理，设计多个字母的运算，整个运算过程一定要小心、仔细.。

安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期教学质量检测（11月月考）数学试题一、单选题1．已知集合(){}23log 1A x y x ==-，集合{}3x B y y -==，则A B = （）A ．()0,1B ．()1,2C ．()1,+∞D ．()2,+∞2．若()2sin sin cos 5θθθ+=，则tan θ=（）A ．2或13-B ．2-或13C ．2D ．2-3．已知函数()e cos 1exxa f x x a -=⋅+，则“1a =”是“函数()f x 的是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()232e ,0,0x ax x f x x ax a x ⎧+≥=⎨-+<⎩在R 上单调，则a 的取值范围是（）A ．0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．0,15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为1，且222sin21cos2Ca cb C+-==+，则ABC V 的面积是（）A B ．2C ．1D ．26．已知一个正整数()1010110N a a =⨯≤<，且N 的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为（）．（参考数据：lg20.3,lg30.48,lg50.7≈≈≈）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知函数()ln f x x x =，2()e x g x x a =-+，若[]12,1,2x x ∃∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．()24e ,ln 41e -+-B ．24e ,ln 41e ⎡⎤-+-⎣⎦C ．()2ln 44e ,1e +--D ．2ln 44e ,1e ⎡⎤+--⎣⎦8．已知正数x ，y 9xy ，则224x y +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．已知关于x 的不等式()()2210(0,0)m a x m b x a b ++-->>>的解集为()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．21a b +=BC ．4411a b +++的最小值为3+D ．22a b +的最小值为1410．如图是函数()()ππsin 0,0,22f x K x K ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象，A 是图象的一个最高点，D 是图象与y 轴的交点，B ，C 是图象与x 轴的交点，且()0,1,D ABC - 的面积等于π2，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于直线5π6x =对称C ．函数()f x 的图象可由()2cos 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到D ．函数()f x 与()cos g x x =在[]0,π上有2个交点11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()()131f x f x x +--=-，且()21f x +是奇函数，令()()g x f x '=，则下列说法正确的是（）A ．函数()122y x f x =-+是奇函数B ．()102g =C ．241()138i f i ==∑D ．241()12i g i ==∑三、填空题12．已知幂函数()()215m f x m m x -=+-在0,+∞上单调递减，则m =.13．已知π02αβ<<<，且()()sin cos 0,sin sin 6cos cos αβαβαβαβ+++==，则()tan αβ-=．14．设函数()cos f x x =，下列说法正确的有．①函数()f x 的一个周期为2π；②函数()f x 的值域是,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③函数()f x 的图象上存在点(),P x y ，使得其到点()1,0；④当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，函数()f x 的图象与直线2y =有且仅有一个公共点．四、解答题15．已知命题:p “2,10x x ax ∃∈-+=R ”为假命题，命题:q “()2af x x x=+在(]0,1上为增函数”为真命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A .(1)求集合R A ð；(2)设集合{}3121B x m x m =+≤<+，若R x A ∈ð是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()3231f x x x ax =-+-．(1)若()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线经过点()0,1-，求0x ；(2)若12,x x 是()f x 的两个不同极值点，且()()122f x f x +>-，求实数a 的取值范围．17．已知定义域为{}0A x x =≠的函数()f x 满足对任意12,x x A ∈，都有()()()121221f x x x f x x f x =+(1)求证：()f x 是奇函数；(2)当1x >时，()0f x <．若关于x 的不等()()()()12ln 12ln 11(0)ax f x x f ax a +->-+>在[]2,3上恒成立，求a 的取值范围．18．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)求A 取值的范围；(2)若2a =，求ABC V 周长的最大值；(3)若2,2b A B ==，求ABC V 的面积．19．已知函数()ln sin f x x ax x =++，其中(]0,x π∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；（2）判断函数()f x 是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上零点的个数.。