高中数学《矩阵的概念》教案 新人教版选修4-2

高中数学选修4-2：矩阵与变换矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。

本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。

一、内容与要求1．引入二阶矩阵2．二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换（1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。

（2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ。

（3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

3．变换的复合--二阶方阵的乘法（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。

（2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。

（3）验证二阶方阵乘法满足结合律。

（4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。

4．逆矩阵与二阶行列式（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。

（2）会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1 等简单性质，并了解其在变换中的意义。

（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。

5．二阶矩阵与二元一次方程组（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。

（2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。

（3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。

6．变换的不变量（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。

（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。

7．矩阵的应用（1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示，并能用它来解决问题。

（2）初步了解三阶或高阶矩阵。

（3）了解矩阵的应用。

8．完成一个学习总结报告。

报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。

矩阵的概念教学设计
1. 简介与引入
- 讲解矩阵是一个重要的数学概念，广泛应用于各个领域，如线性代数、计算机科学、物理学等。

- 引导学生思考矩阵的应用场景，如图形变换、方程组求解等。

2. 矩阵的定义与表示
- 定义：矩阵是一个按照长方阵列排列的数表。

矩阵由行和列组成。

- 讲解矩阵的表示方法，如以方括号包围的元素序列，用大小写字母表示矩阵，元素用逗号隔开。

3. 矩阵的基本操作
- 矩阵的加法：定义相同大小的矩阵的加法，演示加法的过程和运算规则。

- 矩阵的乘法：介绍矩阵的乘法定义，说明乘法的运算规则，如乘法分配律、结合律等。

4. 矩阵的特殊类型
- 行向量与列向量：介绍行向量和列向量的定义，与矩阵的关系，以及相关的运算。

- 方阵：定义方阵，讨论其特点和性质，如对角线元素等。

5. 矩阵的应用
- 图形变换：介绍矩阵在图形变换中的应用，如平移、缩放和旋转等。

- 方程组求解：演示如何使用矩阵表示和求解线性方程组。

6. 总结
- 总结矩阵的定义、表示和基本操作。

- 强调矩阵在数学和实际问题中的重要性和应用价值。

7. 练习与讨论
- 给出一些简单的矩阵运算问题，让学生通过计算和讨论来加深对矩阵概念的理解。

- 鼓励学生思考并举出其他矩阵的应用场景。

8. 拓展学习
- 引导学生进一步学习矩阵的相关知识，如特征值与特征向量、矩阵的逆等。

- 推荐相关的学习资源和参考书籍。

矩阵乘法的概念教学目标1.理解矩阵乘法法则及由来过程；了解主对角线，副对角线的概念；2.理解矩阵乘法的几何意义；了解矩阵乘方的意义；3.能根据矩阵乘法法则进行一些简单的运算.4.在理解六种常见变换及其矩阵表示的基础上，学习伸压，反射，旋转等变化的复合变换与矩阵乘法法则的联系，进一步熟悉矩阵的乘法运算；5.了解初等变换及初等变换矩阵的概念.一．回顾复习，引入新课1.计算=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡012001 . 2.已知M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001，N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001，M ，N 能不能进行乘法运算？如果可以，怎样进行？二．建构数学，新授内容1.矩阵的乘法法则2.矩阵MN 的几何意义3.矩阵乘方的意义4.初等变换5.初等变换矩阵三．应用示例，例题分析例1.（1）已知A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23232323，B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=23232323，计算AB ； （2）已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2413， B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5001，计算AB ，BA ； （3）已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001，B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0100，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2001，计算BA ， BC ； （4）从（2），（3）的结果，你能得到什么结论？例2.已知二阶单位矩阵E .1001⎥⎦⎤⎢⎣⎡= （1）计算E 2，E 3，猜测E n （+∈N n ）； （2）设一个二阶矩阵为A ，且A 2=E ，则A 一定是单位矩阵E 吗？若是，请给出证明；若不是，试举出反例.例3.已知梯形ABCD ，其中)2,1(),2,2(),0,3(),0,0(D C B A ,先将梯形作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转︒90.（1）求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；（2）求点D C B A ,,,在M T 作用下所得到的点的坐标；（3）在平面直角坐标系内画出两次变换后所对应的几何图形，并验证（2）中的结论.练习：已知平行四边形ABCD ，作变换1T ，变成矩形''D ABC ,再作变换:2T 将所得矩形的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，其中)2,2(),2,5(),0,3(),0,0(D C B A ,).2,0(),2,3(''D C（1）在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形；（2）求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；（3）求四点D C B A ,,,在M T 作用下所得到的点的坐标；（4）结合（1）中的图形，验证（3）的结论.例4.已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ααααcos sin sin cos ，B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ββββcos sin sin cos ，试求AB ，并解释其几何意义.。

2．1．1矩阵的概念1．坐标平面上的点（向量）——矩阵设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量 (2, 3)，将的坐标排成一列，并简记为OP → OP →[23]2．日常生活——矩阵（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛甲8090乙8688（2）某牛仔裤商店经销A 、B 、C 、D 、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：A B C D E28英寸 1 3 0 1 230英寸 5 8 6 1 232英寸 2 3 5 6 034英寸 0 1 1 0 33．图——矩阵矩阵：记号：A ，B ，C ，…或（a ij ）(其中i,j 分别元素a ij 所在的行和列)要素：行——列——元素2323[80 9086 88]AB CDAB C D1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 00 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 0A B C A 0 3 1B 3 0 0C 1 0 2矩阵相等⇔行列数目相等并且对应元素相等。

特别：（1）2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵（2）零矩阵（3）行矩阵：[a 11,a 12]列矩阵：，一般用α，β等表示。

[a 11a 21]（4）行向量与列向量例1用矩阵表示三角形ABC ，A （－1，0），B （0，2），C （2，0）例2用矩阵表示下列关系图2.1.2矩阵的乘法1．生活实例（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛甲8090乙8688如果规定歌唱比赛最后成绩由初赛和复赛综合裁定，其中初赛占40%，决赛占60%，那么甲、乙的最后成绩可用如下矩阵的形式表示：= = [80 9086 88][0.40.6][80 ⨯ 0.4 + 90 ⨯ 0.686 ⨯ 0.4 + 88 ⨯ 0.6][8687.2]（2）某牛仔裤商店经销A 、B 、C 、D 、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示A B C D E28英寸 1 3 0 1 230英寸 5 8 6 1 232英寸 2 3 5 6 034英寸 0 1 1 0 3假设不同牌子的每条牛仔裤的平均利润分别为：A 为30元，B 为35元，C 为40元，D 为25元，E 为40元，试问28英寸牛仔裤在该星期内获得的总利润是多少？28英寸牛仔裤的销售量：AB CD EA[80 9086 88][1 3 0 1 2]不同牌子的平均利润3035402540M= 1 ⨯ 30 + 3 ⨯ 35 + 0 ⨯ 40 +1 ⨯ 25 + 2 ⨯ 40 = 240（元）如果要求各种规格大小的牛仔裤的总利润，就自然地得出下列的矩阵乘法1 3 0 12 30 240 28英寸牛仔裤的利润5 86 1 2 35 775 30英寸牛仔裤的利润2 3 5 6 0 40 ＝515 32英寸牛仔裤的利润0 1 1 0 3 25 195 34英寸牛仔裤的利润一般地：（1）行矩阵与列矩阵的乘法规则（2）二阶矩阵与列向量的乘法规则2．二阶矩阵乘列向量——几何意义[1 00 2][x y][x2y]（1）=[1 00 2][x y][x2y]矩阵平面上每个向量（点）变成了向量（点），因此它是平面到平面的一个变换．这个变换实际上是把平面上的图形在y轴方向拉伸了两倍．一般地：（1）平面变换的定义（2）平面变换的记号（3）平面变换的规则2.2平面变换——恒等变换1．恒等变换将图中所示的四边形ABCD保持位置不变，能否用矩阵M来表示？-2-1123-4-3-2-112系列22．伸压变换——能否用矩阵来表示下列图形的变换？-4-20246-1.5-1-0.500.51 1.5系列1系列2例1已知曲线y ＝sinx 经过变换T 作用后变为新的曲线y ＝sin2x ，画出相关的图象，并求出变换T 对应的矩阵M 。

矩阵的概念教学设计
教学目标：使学生理解矩阵的概念，认识矩阵的基本性质，并能够进行矩阵的基本操作和计算。

教学内容：矩阵的定义与表示、矩阵的运算、矩阵的性质。

教学步骤：
Step 1：引入概念
首先引入概念，简要介绍矩阵的定义和表示方法。

可以通过示例展示矩阵的结构和元素的排列方式，帮助学生理解矩阵的概念。

Step 2：矩阵的运算
介绍矩阵的基本运算，包括矩阵的加法和减法，以及与数的乘法。

通过具体的例子，演示运算的过程和规则，帮助学生理解矩阵运算的定义和运算法则。

Step 3：矩阵的性质
介绍矩阵的性质，包括矩阵的转置、矩阵的乘法、单位矩阵、零矩阵等。

通过展示性质的定义和推导过程，帮助学生认识和理解矩阵的重要性质。

Step 4：综合运用
通过练习题和例题的方式，让学生运用所学的知识，进行综合运用和计算。

可以给学
生一些简单的计算题和应用题，让他们通过实际操作来加深对矩阵概念和运算的理解。

Step 5：巩固和拓展
在课后作业中，布置一些相关的练习题，巩固学生对矩阵概念和运算的掌握程度。

同时，鼓励学生进行一些拓展性的思考和探索，提升他们的数学思维和创造力。

教学资源：教科书、黑板、笔记等。

评估方法：通过课堂练习和作业的评阅，评估学生对矩阵概念和运算的理解和掌握程度。

可以根据学生的表现，进行针对性的辅导和指导。

变换、矩阵的相等【教学目标】一、知识与技能：会用矩阵表示一些简单的实际问题，掌握矩阵的行、列、元素的概念，知道矩阵的相等相关知识二、过程与方法：自学——汇总——练习 三、情感态度与价值观：体会矩阵的实际背景【教学重难点】矩阵的理解【教学过程】一、看书：教材内容 二、汇总1．矩阵的背景： （1）数学背景：①坐标平面上的点（向量）——矩阵设O(0， 0)，P(2， 3)，则向量OP → = (2, 3)，将OP →的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3②图——矩阵：相互间连线的条数③日常生活——矩阵某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛yx23OP (2, 3) 232 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 90 86 88B ACDA B C D A B CD 0 1 1 01 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 00 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0甲 80 90 乙86882. 矩阵的相关概念矩阵表示：记号：A ，B ，C ，…或（aij ）(其中i,j 分别元素aij 所在的行和列) 要素：行——列——元素矩阵相等行列数目相等并且对应元素相等。

特别：（1）2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵 （2）零矩阵（3）行矩阵：[a 11,a 12] （4）行向量与列向量例1(1)用矩阵表示三角形ABC ，A （－1，0），B （0，2），C （2，0） (2)用矩阵表示下列关系图解：(1)坐标用列矩阵表示，有⎥⎦⎤⎢⎣0202 (2)有箭头的用1表示，无的用0表示，有：00101100011100DCB A DC B A ，矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001100011100练习1：某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A 、B 、C 送煤的量分别是200、240、160万吨，从乙矿区向城市A 、B 、C 送煤的量分别是400、360、820万吨，将上面结果用矩阵表示练习2：写出下列方程组的系数矩阵(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-=++03021z y x z y x z y x (2)⎩⎨⎧=+-=-3251y x y xBACD例2已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+d a c b c b d a24523，求a,b,c,d 解答：a=5.b=10,c=-7,d=4例3已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 3221是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求a,b 解答：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=235233b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=235233b a 三、作业：[补充习题]1．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+y x x y yx 2002002，则x=________,y=_______________ 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+12211sin cos sin cos 1ββαα，则α=_____，β=______ 3．平面上一个正方形的四个顶点用矩阵表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 2000，则正方形的面积是____ 4．矩阵A 为二阶矩阵，其元素满足aij=-aij,i,j=1,2,且a 12-a 21=1,求A [补充习题答案]1．-1，12．2k π+4π,2k π-4π(k ∈Z)3．24．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-021210[情况反馈]。

2.1.1 矩阵的概念教学目标1．了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题．2．了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示．教学重点、难点矩阵的概念教学过程：一、问题情境情境1：已知向量，O(0,0),P(1,3)．因此把，如果把的坐标排成一列，可简记为．情境2：某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，初赛复赛甲80 90乙60 85并简记为．情境3：将方程组中未知数的系数按原来的次序排列，并简记为．二、建构数学（一）矩阵的概念1．矩阵:我们把形如，，这样的矩形数字阵列称为矩阵．用大写黑体拉丁字母A,B,……或者(a ij)来表示矩阵，其中i,j分别表示元素a ij所在的行与列．2．矩阵的行同一横排中按原来顺序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行．3．矩阵的列同一竖排中按原来顺序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列．4．矩阵的元素组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素C BAy x0-121321（二）矩阵的分类（按照行与列来分）记为2×1矩阵，记为2×2矩阵（二阶矩阵），记为2×3矩阵．（三）几个特殊矩阵1．零矩阵：所有元素都为零的矩阵叫做零矩阵．2．行矩阵：把像这样只有一行的矩阵称为行矩阵．3．列矩阵：把像这样只有一列的矩阵称为列矩阵．注：一般用希腊字母α，β，γ，来表示行、列矩阵．（四）矩阵的相等对于两个矩阵A ，B 只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记为A ＝B ．三、数学应用：例1 用矩阵表示下图中的ΔABC ，其中A(－1,0),B(0,2),C(2,0)．解：因为ΔABC 由点A ，B ，C 唯一确定，点A ，B ，C 可以分别由列向量来表示，所以ΔABC 可表示为变题1：如果像例1中那样用矩阵表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？等腰梯形（数形结合）变题2：已知是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求a ，b 的值．例 2 某种水果的产地为,销地为，请用矩阵表示产地运到销地水果数量，其中（见书本第4页）．例3 已知A＝，B＝，若A＝B，试求x,y,z．分析：抓住相等的条件即可例4 设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元素，求矩阵A．四、课堂精练1．在平面直角坐标系内，分别画出矩阵所表示的以坐标原点为起点的向量．2．由矩阵表示平面中的图形的面积为．3．已知,，若A=B，求a，b，c，d．．4．设矩阵A为二阶矩阵，其元素满足，，试求矩阵A．五、回顾小结1．矩阵的相关概念及表示方法．2．矩阵相等的条件．C六、课后作业1．已知A(3,1),B(5,2)，则表示的列向量为2．某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S，黄灯3S，红灯20S，如果分别用1，0，—1表示绿灯、黄灯、红灯，试用2矩阵表示该路口的时间设置为3．设矩阵A为矩阵，且规定其元素，其中，那么A中所有元素之和为 384．已知，则 -2。

人教版高中选修(B版)4-2第二章逆矩阵及其应用课程设计一、课程设计目的本次课程设计旨在通过教学过程的展示，帮助学生进一步理解矩阵及逆矩阵的概念，掌握求解矩阵逆的方法和应用逆矩阵解线性方程组的思想，培养学生的矩阵推导和计算能力，提高学生的数学综合素质。

二、教学内容和重点难点（一）、教学内容1.逆矩阵的定义与性质2.如何求解逆矩阵3.判断矩阵是否可逆的方法4.应用逆矩阵解线性方程组（二）、重点难点1.矩阵的定义和性质2.如何求解逆矩阵3.判断矩阵是否可逆的方法4.应用逆矩阵解线性方程组的思想三、教学方法采用讲授法、举例法、解题法、练习法相结合的教学方法，注重理论和实践相结合，通过多个例题和练习，达到深化学生的思维，同时提高对所学知识的理解和记忆。

四、教学流程1.介绍矩阵的定义和性质，分析矩阵的逆的定义和性质，引出矩阵逆的概念以及求解逆矩阵的方法。

2.推导如何求解逆矩阵的方法，通过伴随矩阵求逆矩阵，通过消元法计算逆矩阵。

3.通过多个示例和练习，检查学生对逆矩阵的理解。

4.探究如何判断矩阵是否可逆，通过行列式的值判断矩阵是否可逆，让学生掌握这种方法的应用。

5.学习如何应用逆矩阵解线性方程组，通过计算逆矩阵并乘以系数矩阵，求解未知数的值。

6.现场进行练习，检查学生的应用能力和理解能力。

五、教学评价和作业（一）、教学评价在教学过程中，要注重学生的思维深度和理解能力提高。

通过教师的引导，学生能够充分理解矩阵逆的定义和性质，并能运用所学知识解决实际问题。

同时，教师需要积极引导学生，让学生在掌握基础知识的同时，能够发扬自己的创造能力，开拓思路，实现知识的更深层次的应用。

（二）、作业1.完成教师提供的逆矩阵计算题。

2.解答教师出的线性方程组题目。

3.选择一道有关逆矩阵的应用题目，并提交解答思路和结果。

六、教学效果衡量对学生的成绩与表现进行评价，并对他们的各项能力进行考核。

学生能在考试中取得较好的成绩，并能对知识点进行深入的理解和思考。

2.1二阶矩阵与平面向量2． 1.1矩阵的概念课标解读1.了解矩阵产生背景．2．会用矩阵表示一些实际问题．3．了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示.矩阵的行、列、元素 同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行(row)，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列(column)，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．零矩阵 所有元素都为0的矩阵叫做零矩阵，记为0. 行矩阵 把像[]a 11 a 12这样只有一行的矩阵称为行矩阵．列矩阵 把像⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 21这样只有一列的矩阵称为列矩阵，并用希腊字母α，β，…来表示.对于两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B .3．矩阵与平面向量的关系由于点P (x ，y )――→一一对应平面向量OP →，因此，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 既可以表示点(x ，y )，也可以表示以O (0,0)为起点、以P (x ，y )为终点的向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，在不引起混淆的情况下，对它们不加以区别．1．矩阵(a 23)与矩阵(a 32)一样吗？【提示】 不一样，因为矩阵(a 23)表示2行3列矩阵，而矩阵(a 32)表示3行2列矩阵． 2．对于m ×n 矩阵，由多少个元素组成？ 【提示】 对于1×2矩阵有1×2个元素组成； 对于1×3矩阵有1×3个元素组成； 对于2×2矩阵有2×2个元素组成； 对于2×3矩阵有2×3个元素组成； ……对于m ×n 矩阵有m ×n 个元素组成． 3．两个矩阵中的元素相同时，矩阵相等吗？【提示】 不一定．两个同行同列的矩阵，只要有一个对应位置上的元素不一样，这两个矩阵就不相等，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1423≠⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 42 －3.两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，如以零矩阵为例：[0,0]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0000，尽管两个矩阵的元素均为0，但两者不相等.用矩阵表示图形用矩阵表示如图中的直角△ABC ，其中A (－4,0)，B (0,2)，C (1,0)【思路探究】将点用列向量表示⇒将△ABC 用矩阵表示【自主解答】 因为直角△ABC 由点A ，B ，C 惟一确定，点A ，B ，C 可以分别用列向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10来表示， 所以△ABC 可以表示为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0 1 0 2 0.矩阵可以认为是由几个点的坐标构成的列向量组成，反过来，矩阵可以表示几个点，或它们构成的平面图形．若像例1中那样用矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1 320 2 20表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？【解】 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1 320 2 20表示由点(0,0)，(1,2)，(3,2)，(2,0)四个点构成的一个平行四边形.用矩阵表示实际问题某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤：从甲矿区向企业A 、B 、C 送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企业A 、B 、C 送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨．试用矩阵表示上述数据关系．【思路探究】 求解的关键将实际问题中的几个量转化为矩阵中的元素．【自主解答】 设甲、乙两个矿区分别向A ，B ，C 三个城市的送煤量组成行向量α，β，则α＝[]100 200 150，β＝[]150 150 300.故甲、乙两个矿区向A ，B ，C 三个城市的送煤量用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 200 150150 150 300.用矩阵表示实际问题的一般思路是：先将实际问题中的几个量(或将实际问题数字化后得到向量)组成行向量(或列向量)，再将其用矩阵表示．某班A 、B 、C 、D 四名学生的成绩统计表如下： 成绩统计表：姓名科目ABCD语文 82 75 92 63 数学 90 89 95 72 英语95909290试用矩阵表示上述数据． 【解】 矩阵可以表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤82 75 92 6390 89 95 7295 90 92 90矩阵相等的确定与应用设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 x －1y 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤p －1 －2 2 q ，且A ＝B ，求p ，q ，x ，y .【思路探究】 利用二阶矩阵相等的定义，构建方程(组)求解． 【自主解答】 ∵A ＝B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝p －1，x －1＝－2，y ＝2，0＝q ，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝0，x ＝－1，y ＝2.根据矩阵相等求矩阵中字母的值的一般思路是利用矩阵相等的定义，构建待求字母的方程(组)从而求解．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋1 d ＋1 －c 2a ＋1，若A ＝B ，试求a ，b ，c ，d 的值．【解】 因为A ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋1 d ＋1 －c 2a ＋1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋1，c －d ＝d ＋1，c ＋d ＝－c ，b ＝2a ＋1，由此解得 a ＝－1，b ＝－1，c ＝15，d ＝－25.(教材第10页习题第5题)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x y3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m －n x ＋y x －2y m ＋n ，若A ＝B ，求x ，y ，m ，n 的值． (2013·苏州模拟)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 cos α＋sin αcos β－sin β 1，α，β∈(0,2π)，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，若A ＝B ，求α，β的值．【命题意图】 本题主要考查矩阵相等的概念，以及方程思想． 【解】 ∵A ＝B ，∴⎩⎨⎧cos α＋sin α＝2，cos β－sin β＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2sin α＋π4＝2，2sin π4－β＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋π4＝2k 1π＋π2，k 1∈Z ，π4－β＝2k 2π＋π2，k 2∈Z .∴α＝2k 1π＋π4，k 1∈Z ，β＝－2k 2π－π4，k 2∈Z .又α，β∈(0,2π)， ∴α＝π4，β＝74π.1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3 572 4 68，则矩阵A 是一个________行________列矩阵，a 24＝________. 【解析】 根据矩阵定义知A 为一个二行四列矩阵，a 24＝8.【答案】 二 四 82．在二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234中，第二行、第一列的数是_______．【解析】 a 21＝3.【答案】 33．下列为列矩阵的有________(只填正确答案的序号)．①[0 0]；②⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；③⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 21；④[]a 11 a 12；⑤⎣⎢⎡⎦⎥⎤110；⑥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0；⑦[]2 0；⑧⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 00 3 4.【解析】 由列矩阵的定义知，②③⑥为列矩阵，故填②③⑥. 【答案】 ②③⑥ 4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1823，矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x y3.若A ＝B ，则x ＝________，y ＝________.【解析】 因为A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2.【答案】 8 21．画出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 －11 －1 2所表示的三角形．【解】 矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 －11 －1 2所表示的点依次为A (2，1)，B (3，－1)，C (－1,2)，则三点所确定的三角形如图所示：2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x y2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋2n 2x ＋y x －y m －n .若A ＝B ，求x ＋y ＋m ＋n 的值． 【解】 ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，2x ＋y ＝x ，x －y ＝y ，m －n ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，m ＝53，n ＝－13.∴x ＋y ＋m ＋n ＝0＋0＋53－13＝43.3．已知方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝3，(1)写出由它的系数构成的矩阵；(2)若将常数项与系数联合起来，可以构成一个二行三列的矩阵，试写出该矩阵．【解】 (1)因为方程x ＋y ＝2中x 与y 的系数分别为1,1；方程x －2y ＝3中x 与y 的系数分别为1，－2，所以原方程组系数构成的矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 －2. (2)M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1 21 －23.4．营养配餐中心为学生准备了各种菜肴，每份中能量、脂肪、蛋白质的含量各不相同．“红烧肉”中所含上述三种营养成分分别为649千卡(1千卡＝4 187焦耳)、30 g 、10 g ；“青椒肉丝”中所含上述三种营养成分分别为258千卡、20 g 、19 g ；“韭菜豆芽”中所含上述三种营养成分分别为131千卡、15 g 、3 g ，试将上述结果用矩阵表示出来．【解】 各种菜肴中各种营养成分的含量如下表：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤649 30 10258 20 19131 15 3.5．设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素a ij ＝i 2＋j 2，i ＝1,2，j ＝1,2，试求矩阵A .【解】 根据题意，则有A ＝(a ij )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12 12＋2222＋12 22＋22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 558.6．已知n 阶矩阵A ＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤3 6 … a ij … a 1n6 11 … a 2j… a 2n… … … … … …a i 1 a i 2 … a ij … a in… … … … … …a n 1 a n 2 … a nj … a nn，其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i 行第j 列的数．(1)写出a 45的值； (2)写出a ij 的计算公式．【解】 (1)∵第1列成等差数列，a 11＝3，公差为3， ∴a 41＝3＋(4－1)×3＝12.∵第2列成等差数列，a 21＝6，公差为5， ∴a 42＝6＋(4－1)×5＝21.又∵第4行成等差数列，公差为21－12＝9， ∴a 45＝12＋(5－1)×9＝48.(2)由(1)得a i 1＝3＋(i －1)×3＝3i ，a i 2＝6＋(i －1)×5＝5i ＋1，∴第i 行的公差为2i ＋1，∴a ij ＝3i ＋(j －1)×(2i ＋1)＝2ij ＋i ＋j －1.7．已知甲、乙、丙三人中，甲、乙相识，甲、丙不相识，乙、丙相识．若用0表示两人之间不相识，用1表示两人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系．(规定每个人都和自己相识)【解】 将他们之间的相识关系列表如下：甲 乙 丙 甲 1 1 0 乙 1 1 1 丙11故用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1 01 1 10 1 1.教师备选8．小王是个气象爱好者，他根据多年收集的资料，发现了当地天气有如下的规律： 晴天的次日是晴天的概率为34；晴天的次日是阴天的概率为18；晴天的次日是雨天的概率为18.同样的，阴天的次日为晴天、阴天、雨天的概率分别是12，14，14；雨天的次日为晴天、阴天、雨天的概率分别是14，12，14.试用矩阵表示上述数据．【解】 晴天、阴天、雨天的次日分别是晴天、阴天、雨天的概率关系如下表：晴天的概率阴天的概率雨天的概率晴天的次日 34 18 18 阴天的次日 12 14 14 雨天的次日141214所以可用矩阵M 表示为：M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34 18 1812 141414 12 14 2．1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法课标解读1.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则． 2．理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.1．行矩阵[]a 11 a 12与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤11b 21的乘法规则 []a 11 a 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21.2．二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与平面列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 3．平面向量的变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，按照对应法则T ，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为：T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.4．由二阶矩阵与平面列向量的乘积确定的平面向量的变换 一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的矩阵形式，反之亦然(a ，b ，c ，d ∈R )． 由矩阵M 确定的变换T ，通常记作T M .根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射．当α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 表示某个平面图形F 上的任意点时，这些点就组成了图形F ，它在T M 的作用下，将得到一个新的图形F ′——原象集F 的象集F ′.1．二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是什么？【提示】 由二阶矩阵与平面列向量的乘法规则知：左乘这样一个二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22的作用是把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 变成了另一个向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义是什么？ 【提示】 由本节的知识点知，一个二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可以看作一个特定的平面上的几何变换，它将变换前的列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 表示平面上的点P (x ，y )，变成另一个列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy 表示的新的点P ′(ax ＋by ，cx ＋dy )．反过来，现有平面上的一个变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，如果⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，即变换后的点的横坐标及纵坐标均可由原向量(点)的坐标线性表示出来，这时变换T 应为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd .3．矩阵与列向量的乘法的几何意义与函数的概念有何区别？【提示】 由二阶矩阵与平面列向量的乘法法则可以看出，其几何意义在于它对应着平面上点与点之间的某种几何变换，这与以前所学的函数的概念有所区别．函数是建立在数集上的对应，而由矩阵所确定的变换是建立在平面内点集到其自身的一个映射.二阶矩阵与平面列向量的乘法运算计算(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤31； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤86；(4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 【思路探究】 根据矩阵与向量的乘法规则运算．【自主解答】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×5＋0×70×5＋－1×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×3＋0×10×3＋1×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤86＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×8＋2×63×8＋4×6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2048. (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋2×y 3×x ＋4×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y . 二阶矩阵与平面列向量的乘法运算，按照其乘法规则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y 进行．本例中(1)(2)(3)运算结果所表示的几何意义是什么？【解】 (1)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1作用下，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤57变成⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7，此时点P (5,7)变成了关于x轴对称的点P ′(5，－7)．(2)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001作用下，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤31保持不变． (3)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4作用下， 向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤86变成了向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2048.矩阵的变换 (1)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3215⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3y y ，试将它写成矩阵的乘法形式．【思路探究】 (1)根据矩阵与列向量乘法规则运算即得；(2)关键找到将2x －3y 及y 用x ，y 线性表示出来的系数a ，b ，c ，d . 【自主解答】 (1)根据矩阵与列向量的乘法规则，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y x ＋5y .(2)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×x ＋－3×y 0×x ＋1×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .1．将矩阵的乘法形式的变换写成坐标变换的形式，只需根据矩阵与列向量的乘法规则将矩阵的乘法进行运算即可．2．将坐标变换的形式写成矩阵的乘法形式，关键是找到矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，使⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x －3y 2x ＋2y ，试将它写成矩阵的乘法形式．【解】 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x －3y 2x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×x ＋－3×y 2×x ＋2×y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －32 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －32 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .在二阶矩阵对应的变换作用下点的坐标的确定与应用已知变换T ：平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成P 1(5，－6)，Q 1(2，0)，求变换矩阵A .【思路探究】 由题意可知，变换矩阵A 为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法可列出方程组，解方程组可求出二阶矩阵中的各元素．【自主解答】 设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 依题意，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－6， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝5，2c －d ＝－6，－a ＋2b ＝2，－c ＋2d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，c ＝－4，d ＝－2.故所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 3－4 －2.如果矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002把点A 变成点A ′(3,2)，求点A 的坐标．【解】 设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＝3×x ＋0×y ，2＝0×x ＋2×y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以点A 的坐标为(1,1)．(教材第11页习题第7题)设点P (a ，b )(a ，b ∈R )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000对应的变换作用下得到点P ′，求点P ′的坐标．(2013·福建高考)已知直线：l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x 0y 0，求点P 的坐标．【命题意图】 考查矩阵与矩阵变换．矩阵变换时，考查运算求解能力及化归与转化思想．【解】 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y .又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1， 即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0).1．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，则Aα＝________. 【解析】 Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×－1＋2×13×－1＋4×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤112．已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则将它写成坐标变换的形式为：________.【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋1×y 0×x ＋2×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y 2y .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y 2y3．线性变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y 写成矩阵与向量的乘积的形式为________．【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y4．若矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0把点A 变成点A ′(3,1)，则点A 的坐标为________．【解析】 设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝0×x ＋－1×y ，1＝1×x ＋0×y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.所以点A 的坐标为(1，－3)． 【答案】 (1，－3) 1．给定向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5，利用矩阵与向量的乘法，试说明下列矩阵把向量a 分别变成了什么向量：⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0.【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－3， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0.2．求点A (4,3)在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1314 16对应的变换作用下得到的点． 【解】 因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1314 16⎣⎢⎡⎦⎥⎤43＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤332，点A 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1314 16对应的变换作用下为点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32.3．(1)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2531⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x 2y ，试将它写成矩阵的乘法形式．【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋5y 3x ＋y .(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x 2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×x ＋0×y 0×x ＋2×y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4．给定向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤000，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01，D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，计算Aα，Bα，Cα，Dα，并说明它们所表示的几何意义．【解】 根据矩阵与向量的乘法，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32， Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， Cα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2， Dα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23. 在矩阵A 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32保持不变；在矩阵B 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32变成零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；在矩阵C 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32的横坐标变成相反数，纵坐标保持不变，此时点P (3,2)变成了关于y 轴对称的点P ′(－3,2)，如图(1)；在矩阵D 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32变成了向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，此时点P (3,2)变成了关于第一、三象限平分线对称的点P ′(2,3)，如图(2)．5．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 对应的变换下得到点P ′(－4,0)，求实数a 的值．【解】 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0， 得2－2a ＝－4，即a ＝3.6．设矩阵A 对应的变换把点A (1,2)变成点A ′(2,3)，把点B (－1,3)变成点B ′(2,1)，那么把点C (－2，3)变成了什么？【解】 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，点A (1,2)，A ′(2,3)，B (－1，3)，B ′(2,1)对应的向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，β1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，β2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.根据题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝2，c ＋2d ＝3，－a ＋3b ＝2，－c ＋3d ＝1.∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝45，c ＝75，d ＝45.∴A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 4575 45. 设点C (－2,3)对应的向量为γ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3，在矩阵A 对应的变换下为C ′(x ′，y ′)，且C ′对应的向量为γ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 4575 45⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 85－25. 7．试说明正方形ABCD 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应变换作用后的图形是否改变，其中A (0,0)，B (1，0)，C (1,1)，D (0,1)．【解】 ∵M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，∴A ，B ，C ，D 四点坐标没有变化， ∴正方形ABCD 没有改变． 教师备选8．直线2x ＋y －1＝0在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 202作用下变换得到的直线方程．【解】 法一 任意选取直线2x ＋y －1＝0上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1202作用下变换得到的点为P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1202⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋2y 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0＝12y .又因为点P 在直线2x ＋y －1＝0上，所以2x 0＋y 0－1＝0，即2(x －y )＋12y －1＝0，化简得所求直线方程为4x －3y －2＝0.法二 在直线2x ＋y －1＝0上取两点(12，0)，(0,1)．因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 202⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， 所以变换后对应的点的坐标分别为(12，0)，(2,2)．所以所求直线过两点(12，0)，(2,2)，方程为4x－3y－2＝0.二 阶 矩 阵 与 平 面 向量二阶矩阵与平面列向量的乘法行矩阵与列矩 阵的乘法规则二阶矩阵与列向量的乘法规则平面向量的变换矩阵的变换矩阵的定义行矩阵零矩阵列矩阵矩阵相等 一、矩阵的概念矩阵是数学中一个极其重要而又应用广泛的概念，很多实际问题都可以归结成矩阵来解决．某物流公司负责从甲、乙两个城市向三个受灾地区A ，B ，C 运送救灾物资，即：从甲城市向城市A ，B ，C 送救灾物资的量分别是250万吨，210万吨，180万吨；从乙城市向城市A ，B ，C 送救灾物资的量分别是400万吨，350万吨，630万吨．试用矩阵表示甲、乙两个城市向A ，B ，C 三个受灾地区送救灾物资的数量．【解】 设甲、乙两个城市分别向A ，B ，C 三个受灾地区运送救灾物资的量组成行向量α，β，则α＝[]250 210 180，β＝[]400 350 630.故甲、乙两个城市向A ，B ，C 三个受灾地区运送救灾物资的量用矩阵表示为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤250 210 180400 350 630. 二、矩阵相等对于两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x 21＋y 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 p ＋12 1－q ，且A ＝B ，求x ，y ，p ，q 的值．【解】 由矩阵相等的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，1＋y ＝2，p ＋1＝2，1－q ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，p ＝1，q ＝0.三、二阶矩阵与平面列向量的乘法二阶矩阵与平面列向量的乘法是矩阵运算与矩阵变换的关键，应熟练掌握．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，并解释计算结果的几何意义．【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×3＋2×10×3＋－1×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－1，其几何意义是在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1对应变换的作用下，列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤31变为列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－1或表示平面上的点P (3,1)变为点P ′(5，－1)．四、函数与方程思想函数与方程思想就是解决某些问题时，通过构造函数或方程，然后通过研究函数的有关性质或解方程(组)达到解决问题的目的．本章中函数与方程的思想应用广泛．已知点P (x ，y )在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1 1 3对应的变换下变成点P ′(3－1,1＋3)，求点P 的坐标．【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1 1 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －y x ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－11＋3，∴⎩⎨⎧3x －y ＝3－1，x ＋3y ＝1＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故P 点坐标为(1,1)．综合检测(一)1．已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，2x ＋3y ＝2，试用矩阵表示它的系数和常数项．【解】 系数矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1323，常数项矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤42. 2．写出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1 20 0 1所表示的三角形的各顶点坐标．【解】 设三个顶点分别为A ，B ，C ，则A (0,0)，B (1,0)，C (2,1)．3．(1)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0132⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y ，试将它写成矩阵的乘法形式．【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0＋y 3x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 3x ＋2y .(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4．设M 是一个3×3矩阵，且规定其元素a ij ＝i ＋3j (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，试求M . 【解】 由题意可知a 11＝4，a 12＝7，a 13＝10，a 21＝5，a 22＝8，a 23＝11，a 31＝6，a 32＝9，a 33＝12，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 7 105 8 116 9 12. 5．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 02 －2，P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －31 －4. (1)若矩阵M ＝N ，求x ，y ，z ，w ； (2)若矩阵M ＝P ，求x ，y ，z ，w .【解】 (1)∵M ＝N ，∴x ＝3，y ＝0，z ＝2，w ＝－2. (2)∵M ＝P ，∴x ＝3，y ＝－3，z ＝1，w ＝－4.6．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1111⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋0×y 0×x ＋1×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ×0＋b ×0c ×0＋d ×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋1×y 1×x ＋1×y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y x ＋y . 7．求使⎣⎢⎡⎦⎥⎤a23b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13成立的实数a ，b ，c ，d 的值． 【解】 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2d ＝2，bd ＝4，ac ＝1，3c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，c ＝1，d ＝1.8．如果矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 2对应的变换把点A 变成点A ′(2,1)，求点A 的坐标．【解】 设A (x ，y )，由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝53，y ＝－13，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－13. 9．设矩阵M 对应的变换把点A (1,6)变成A′(4,3)，把点B (－1,2)变成点B ′(2,5)，求矩阵M .【解】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由已知， 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43， ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋6b ＝4，c ＋6d ＝3. ①②又由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25， 得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋2b ＝2，－c ＋2d ＝5. ③④由①③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－12，b ＝34.由②④得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－3，d ＝1. ∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 34－3 1. 10．在△ABC 中，A (3,2)，B (3，－2)，C (6,4)，若矩阵M 对应的变换把点A 变成A′(2，－3)，把点B 变成B ′(1,2)，点C 变成C ′，求变换后直线A ′C ′所在直线方程．【解】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝2，3c ＋2d ＝－3，3a －2b ＝1，3c －2d ＝2.∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a ＝12，b ＝14，c ＝－16，d ＝－54.∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 14－16 －54. ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 14－16 －54⎣⎢⎡⎦⎥⎤64＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－6. ∴C ′(4，－6)．∴直线A ′C ′的方程为y ＋3＝－6＋34－2×(x －2)， 即3x ＋2y ＝0.。

江苏省西亭高级中学高中数学选修4-2《矩阵的概念》教案教学目标1．了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题． 2．了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示． 教学重点、难点 矩阵的概念 教学过程： 一、问题情境情境1：已知向量，O(0,0),P(1,3)．因此把)3,1(=OP ，如果把的坐标排成一列，可简记为⎥⎦⎤⎢⎣⎡31．情境2：某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，并简记为⎥⎦⎤⎢⎣⎡85609080． 情境3：将方程组⎩⎨⎧=+-=++2423132z y x mz y x 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，并简记为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42332m ． 二、建构数学 （一）矩阵的概念1． 矩阵:我们把形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡31，⎥⎦⎤⎢⎣⎡85609080，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42332m 这样的矩形数字阵列称为矩阵．用大写黑体拉丁字母A,B,……或者(a ij )来表示矩阵，其中i,j 分别表示元素a ij 所在的行与列． 2． 矩阵的行 同一横排中按原来顺序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行． 3． 矩阵的列 同一竖排中按原来顺序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列．4． 矩阵的元素 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素（二）矩阵的分类（按照行与列来分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡31记为2×1矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡85609080记为2×2矩阵（二阶矩阵），⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42332m 记为2×3矩阵．（三）几个特殊矩阵1． 零矩阵：所有元素都为零的矩阵叫做零矩阵． 2． 行矩阵：把像[]131211a a a 这样只有一行的矩阵称为行矩阵．3． 列矩阵：把像⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211a a 这样只有一列的矩阵称为列矩阵． 注：一般用希腊字母α，β，γ，来表示行、列矩阵．（四）矩阵的相等对于两个矩阵A ，B 只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记为A ＝B ． 三、数学应用：例1 用矩阵表示下图中的ΔABC ，其中A(－1,0),B(0,2),C(2,0)． 解：因为ΔABC 由点A ，B ，C 唯一确定， 点A ，B ，C 可以分别由列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02,20,01来表示，所以ΔABC 可表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=020201M 变题1：如果像例1中那样用矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡02204310表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？等腰梯形（数形结合）变题2：已知1223a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求a ，b 的值．例2 某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中1,2,1,2.i j ==（见书本第4页）．例3 已知A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-243x ，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21z y ，若A ＝B ，试求x ,y ,z ．分析：抓住相等的条件即可4,3,1===z y x例4 设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素,1,2;1,2ij a i j i j ===，求矩阵A ． 四、课堂精练1．在平面直角坐标系内，分别画出矩阵1102,,,2235⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所表示的以坐标原点为起点的向量．2．由矩阵1 3 3 11 2 3 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示平面中的图形的面积为 ．3．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c b d a A 23,⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=d a c b B 245，若A =B ，求a ，b ，c ，d ．． 4．设矩阵A 为二阶矩阵，其元素满足ij ji a a =-，12211,2,1,2,1i j a a ==-=，试求矩阵A ．五、回顾小结1． 矩阵的相关概念及表示方法． 2． 矩阵相等的条件． 六、课后作业1．已知A(3,1),B(5,2)，则表示AB 的列向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S ，黄灯3S ，红灯20S ，如果分别用1，0，—1表示绿灯、黄灯、红灯，试用23⨯矩阵表示该路口的时间设置为1 0 -130 3 20⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．设矩阵A 为33⨯矩阵，且规定其元素,,ij ij i ja i j i j =⎧=⎨+≠⎩，其中,1,2,3i j =，那么A 中所有元素之和为 384．已知1 4 1 4x+3 y2y+7 yx y-+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则x y+= -2。