高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲不定方程

不定方程在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。

有三个未知数，就需要有三个方程。

当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。

不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。

而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。

不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。

这种情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。

解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。

六年级奥数 不定方程【知识要点】如果一个方程（组）的未知数的个数多于方程的个数，那么这个方程（组）就叫做不定方程（组）。

不定方程是数论中最古老的一个分支，它的研究在我国已延续了数千年，至今仍是令人感兴趣的课题。

不定方程的内容非常丰富，但在小学数学竞赛中，我们主要讨论二元一次不定方程，形如ax±by=c(a 、b 、c 为已知的整数)的方程，我们称为二元一次不定方程，又称丢番图方程，以纪念生于公元三世纪的希腊数学家丢番图，他写了一本关于这类方程的书。

一个不定方程一般总有无穷多组解，但小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。

不定方程通常利用不等式及整除性来求解。

【典型例题】例1 一天，张明问李军的生日，李军说：“将我生日的月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347。

”你知道李军的生日是几月几日吗？分析：如果设李军生日的月份数为x ，生日的日期数为y ，则原题实际上就是求不定方程31x+12y=347的正整数解。

解：设李军生日的月份数为x ，生日的日期数为y ，列方程：31x+12y=347变形后得： y=1231347x -………………………………………………………………（1） 即y=29-3x+1215-x ∵x 、y 为整数，且1≤x≤12，5x-1能被12整除∴x=5 把x=5代入（1），得所列方程的整数解为: 答：李军的生日是5月16日。

例 2 我国古代有一位著名的数学家张丘建，曾经提出并解决了“百钱买鸡”这个有名的数问题：“一百元买一百只鸡，公鸡五元钱一只，母鸡三元钱一只，小鸡一元钱三只，公鸡、母鸡、小鸡各买几只？”分析：该题共有三个未知数，若设买公鸡x 只，买母鸡y 只，买小鸡z 只，则可建方方程5x+3y+31×（100-x-y ）=100 化简整理得：7x+4y=100由此有：1≤x≤7100 即1≤x≤14 注意到100和4y 都是4的倍数，而7和4互质，所以x 也应是4的倍数，x 就是三种可能：4、8、12。

第3讲方程解应用题内容概述掌握一元一次方程的解法，多元一次方程组的解法，以及具有对称性的多元一次方程的特殊解法．能从已知条件中寻找出等量关系，列出方程或方程组并求解。

典型问题兴趣篇1. 解下列方程：;52221)1(+-=--x x x ;65)521(31)2(x x =-⨯⋅=+-312311)3(x x2．在一次选举中，有甲、乙、丙三位候选人，乙的选票比甲的2倍还多5张，丙的选票比甲的一半还少4张．如果甲、乙、丙三人的选票一共有36张，请问：甲得了多少张选票？．3．有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了26个．问：有多少名学生上体育课？4．唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发17张画片，小班每人发13张画片．已知大班人数是小班的⋅53，小班比大班总共多发126张画片，求小班的人数．5．明知小学六年级一班男生的人数占全班总人数的70%，六年级二班的男生比一班男生少2名，而女生人数为一班女生的2倍．如果两班合在一起，则男生所占的比例为60%．请问：二班有多少名女生？6．甲、乙两车同时从A 、B 两地出发，相向而行，在A 、B 之间不断往返行驶．甲车到达B 地后，在B 地停留了2个小时，然后返回A 地；乙车到达A 地后，马上返回B 地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B 地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问：A 、B 两地相距多少千米？7．解下面的方程组：⎩⎨⎧=+=+;80717,2224)1(y x y x ⎩⎨⎧=-=+.24812,14474)2(x y y x8．冬冬与小悦一起在水果店买水果，冬冬买了3千克苹果和2千克梨，共花了18.8元．小悦买了2千克苹果和3千克梨，共花了18.2元，你能算出1千克苹果多少元，1千克梨多少元吗？9.2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的103，8个蟹将和10个虾兵就能把龙官全部打扫完．如果只让蟹将打扫龙宫，需要多少个？只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？10.如图3-1，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的．正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1：2．她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完．那么在小玲所做纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？拓展篇1．解下列方程：;11276143)1(+=-+++x x x x ;3227]2)141(32[23)2(x x =-++⨯⨯ ;251453)3(=++x x .5)2()7)(1)(4(2++=++x x x2．一个分数，分子与分母的和是122.如果分子、分母都减去19，得到的分数约分后是51，那么原来的分数是多少？3. 130克含盐5%的盐水，与若干含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水．请问：最后配成的盐水有多少克？4．如图3-2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是以．图3-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a 的2倍，求这个自然数．5．给六年级五班的同学分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个．已知第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果，问：该班一共有多少名学生？6．解下面的方程组：⎩⎨⎧=-=+;17313,49911)1(y x y x ⎩⎨⎧=-=-;59813,12)2(y x x y ⎩⎨⎧=+=+.2842816,3072918)3(y x y x7．商店里有大盒、中盒、小盒共27盒筷子，其中大盒中装有18双筷子，中盒中装有12双筷子，小盒中装有8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍，问：三种包装的筷子各有多少盒？8．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先出发2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先出发2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问：甲、乙两人每小时各走多少千米？ 9．一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡．如果从右盘中取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡．如果从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，那么需要再给右盘加50克砝码，两边才能平衡．问：白球、黑球每个各重多少克？10.奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种．小悦买了一个大号的、三个中号的和两个小号的，共花了360元；冬冬买了两个大号的、一个中号的和一个小号的，共花了270元；阿奇买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了300元．请问：商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少？11.如图3-4，墙边放着一块木板，一只猫淘气，爬了上去，使得木板向下滑动了 一段距离，现在已知图中的三段长度（单位：厘米），你能求出这块木板的长度吗？12.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29， 23，21和17.这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？超越篇1．丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：⎩⎨⎧=+=+.704 □ □,2536 □ □y x y x其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了．甲计算得出方程的解是x=7，y=3；而乙误把“2536”看作“1536”，得到的解是x=4，y=4．试问：方程组四个被遮住的系数中最小的一个是多少？2．幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人．老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣．问：三个班总共分了多少个枣？3．下表显示了一次钓鱼比赛的结果：nO1 2 3 … 13 14 15 钓了n 条鱼的人数 95723…521已知：①冠军钓到15条鱼；②钓到3条或3条以上的选手平均每人钓到了6条鱼；③钓到12条或者12条以下的选手平均每人钓到了5条鱼．请问：一共有多少名选手参赛？这些选手一共钓到了多少条鱼？4．A、B两地相距2400米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地，请问：甲比乙每分钟多走多少米？5．甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运5次；如果一起运，各运6次就刚好运完．问：甲车单独运要几次运完？6．一个从小到大排列的等差数列，如果把这个数列的首项除以2，末项乘以2，这些数的平均数就增加了7；如果把首项乘以2，末项除以2，平均数就少了2．已知这个等差数列中所有数的和等于245，求这个数列的末项．7．一个水池，顶部有一个进水管，底部有一个出水管．如果只打开进水管，50分钟可以把水池灌满；如果只打开出水管，60分钟可以把一池水放完，现在水池在中间的某个位置出现了一条与池底平行的裂缝，如果只打开进水管，需要80分钟才能放满一池水，而只打开出水管只需46.5分钟即可放完一池水，请问：裂缝出现在离池底几分之几高度的地方？8．“太平洋号”和“北冰洋号”两艘潜艇在海下沿直线同向潜航，“北冰洋号”在前，“太平洋号”在后．在某个时刻，“太平洋号”发出声波，间隔2秒后，再次发出声波，当声波传到“北冰洋号”时，“北冰洋号”会反射声波．已知“太平洋号”的速度是每小时54千米，第一次和第二次探测到“北冰洋号”反射的回波的间隔时间是2.01秒，声波传播的速度是每秒1185米．请问：“北冰洋号”的速度是每小时多少千米？⎪ 第3讲方程解应用题兴趣篇1、解下列方程：（1）x-x -1=2-x +2；2 51 2 5（2）⨯(1- x) =x ；3 5 6（3）x -11=1. x +23 3[分析]（1）10x -5(x -1)=20 -2(x+2)10x -5x +5 =20 -2x -47x =11 ；11x =7（2）2⎛1-2x ⎫=5x⎝ 5 ⎭2 -4x =5x 529x =2 ；510x =29（3）3(x-11)=x +233x -33 =x +232x =56x =282、在一次选举中，有甲、乙丙三位候选人，乙的选票比甲的2 倍还多5张，丙的选票比甲的一半还少4 张.如果甲、乙、丙三人的选票一共有36 张.请问：甲得了多少张选票？[分析]设甲有选票x票，那么乙有2x+ 5 票，丙有1 x - 4 票.依题意有2x + 2x +5+1x - 4 = 36 2解得，x=10答：甲得了5票.3、有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了26 个.问：有多少名学生上体育课？[分析]设一共有x名学生上课.那么有1 1 x +x +3 4 x = 26解得，x= 26答：一共有26 名学生上体育课.4、唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发17 张画片，小班每人发13 张画片.已知大班人数⎨ ⎨是小班的 3，小班比大班总共多发 126 张画片，求小班的人数.5[分析]设小班有 x 人，那么大班有 3x 人.依题意有517 ⨯ 3x +13 x =1265 解得， x = 45 答：小班有 45 人.5、明知小学六年级一班男生的人数占全班总人数的 70%，六年级二班的男生比一班男生少 2 名，而女生人数为一班女生的 2 倍.如果两班合在一起，则男生所占的比例为 60%.请 问：二班有多少名女生？ [分析]设一班男生有 7 x 人，那么一班女生有 3x 人，二班男生 7 x - 2 人，二班女生3 x ⨯ 2 = 6 x人.依题意有： 7 x + 7 x - 2 = 3x + 6x6 4 解得， x = 4 ,那么二班女生有 4 ⨯ 6 = 24 （人） 答：二班有 24 名女生.6、甲、乙两车同时从 A 、B 两地出发，相向而行，在 A 、B 之间不断往返行驶.甲车到达 B 地后，在 B 地停留了 2 个小时，然后返回 A 地；乙车到达 A 地后，马上返回 B 地；两车 在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离 B 地 288 千米.已知甲车的速度是每小时 60 千 米，乙车的速度是每小时 40 千米.请问： A 、 B 两地相距多少千米？ [分析]设 A 、 B 两地相距 x 千米.那么相遇时甲走了 x + 288 千米，乙走了2 x - 288 千米.根 据题意列方程 x + 288 + 2 = 2x - 28860 40 解得， x = 420 答： A 、 B 两地相距 420 千米7、解下面的方程组：（1） ⎧4x + 2y = 22, ⎩17x + 7y = 80; （2） ⎧ 4x + 7y = 144, ⎩12x - 8y = 24. [分析]（1）x=1，y =（2） x = 15 ， y = 128、冬冬与小悦一起在水果店买水果，冬冬买了 3 千克苹果和 2 千克梨，共花了 18.8 元， 小悦买了 2 千克苹果和 3 千克梨，共花了 18.2 元.你能算出 1 千克苹果多少元，1 千克 梨多少元吗？ [分析]设 1 千克苹果 x 元，1 千克梨 y 元，由题意 ⎧3 x + 2 y =18.8 ⎨ ⎩ 2 x + 3 y = 18.2 ⎧ x = 4 ⇒ ⎨ ⎩ y = 3.4 答：苹果 4 元，梨 3.4 元. 9、2 个蟹将和 4 个虾兵能打扫龙宫的 3 10，8 个蟹将和 10 个虾兵就能把龙宫全部打扫完.如 果只让蟹将打扫龙宫，需要多少个？只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？ [分析]设只让蟹将打扫龙宫，需要 x 个；只让虾兵打扫龙宫，需要 y 个.⇒ 2⎧ 2 + 4= 3 ⎪ x y 10 ⎨⎧ x = 12⎨ ⎪ 8 + 10 = 1 ⎪⎩ x y⎩ y = 30 答：只让蟹将打扫龙宫，需要 12 个；只让虾兵打扫龙宫，需要 30 个.10、如图，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的.正方形纸板的 总数与长方形纸板的总数之比是 1：2.她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒， 正好将纸板用完.那么在小玲所做纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多 少？[分析]设做了竖式纸盒 x . 方形纸板 x + 2 y 个，长方形纸板 4 x + 3 y 个. x + 2 y =14 x + 3 y 2 解得， x : y = 1 : 2答：竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1: 2 .拓展篇1、解下列方程：（1） x + x + 3 + x - 1 = 7x+ 1 ；4 6 123 ⎡ 2 1 （2） ⨯ ⨯ ( x + 1) + ⎤ - 7 = 2 x ；2 ⎢⎣3 42 3 3x + 5 5 （3） = ；4x + 1 2（ x + （ x + 7 ） = ( x + 2)2 + 5.[分析](1 )12x + 3( x + 3) + 2( x - 1) = 7 x + 1212x + 3x + 9 + 2x - 2 = 7 x +12 10x = 5x = 12（2） 1 x +1 + 3 - 7 = 2x4 2 35 x = 1 12 26 x = 5 （3） 2 (3x + 5) = 5 (4 x + 1) 6 x + 10 = 20 x + 5 （4） x 2 + 8x +7 = x 2 + 4x + 4 + 54 x = 2x = 5 ； x = 114 22、一个分数，分子与分母的和是 122.如果分子、分母都减去 19，得到的分数约分后是 1，5那么原来的分数是多少？17 ⎨ 3x - 3y = 17; ⎨3x - 8y = 59; ⎨6x + 28 y = 284. 8[分析]设原分数是x 122 - x，那么 x -19 = 1 ，解得 x = 33 ，原来的分数是 33.122 - x - 19 5 893、130 克含盐 5%的盐水，与若干含盐 9%的盐水混合，配成含盐 6.4 %的盐水.请问：最后配 成的盐水有多少克？ [分析]设 9%的盐水有 x 克，依题意 5% ⨯ 130 + 9% x = 6.4% ⨯ (130 + x )解得， x = 70 ，因此最有有盐水 200 克. 答：最后配成的盐水有 200 克.4、如图 1 中的短除式所示，一个自然数被 8 除余 1，所得的商被 8 除也余 1，再把第二次 所得的商被 8 除后余 7，最后得到的商是a .如图 2 中的短除式表明：这个自然数被 17 除余 4，所得的商被 17 除余 15，最后得到的商是 a 的 2 倍.求这个自然数.8所求的自然数 … … 余1 8 第一次商… … 余1 17 所求的自然数 … … 余48第二次商 a图1… … 余7 17第二次商 … … 余152 a 图2[分析]原数可以表示成 (a 711)= a ⨯ 83 + 7 ⨯ 82 + 1 ⨯ 8 + 1 = 512a + 457 也可表示成 ((2a ) (15) 4) = 2a ⨯172 + 15 ⨯17 + 4 = 578a + 259 那么512a + 457 = 578a + 259 ，解得 a = 3 那么原数为 512 ⨯ 3 + 457 = 19935、给六年级五班的同学分苹果，第一组每人 3 个，第二组每人 4 个，第三组每人 5 个，第 四组每人 6 个.已知第二组和第三组共有 22 人，第一组人数是第二组的 2 倍，第三组和 第四组人数相等，总共分出去 230 个苹果.问：该班一共有多少名学生？ [分析]设第二组有 x 名学生，那么，第三组、第四组有 22 - x 名，第一组有 2 x 名. 依题意： 2 x ⨯ 3 + x ⨯ 4 + (22 - x ) ⨯ 5 + (22 - x )⨯ 6 = 230 ，解得 x = 12 那么一共有：12 ⨯ 2 +12 + 2 ⨯ (22 -12) = 56 （名）学生. 答：该班一共有 56 名学生.6、解下面的方程组： （1） ⎧11x + 9 y = 49,⎩1（2） ⎧2y - x = 1, ⎩1（3） ⎧18 x + 29 y = 307,⎩1 [分析]（1）x = 2 ，7、商店里有大盒、中盒、小盒共 27 盒筷子，其中大盒中装有 18 双筷子，中盒中装有 12 双筷子，小盒中装有 8 双筷子，一共装有 330 双筷子，其中小盒数是中盒数的 2 倍.问： 三种包装的筷子各有多少盒？ [分析]设有 x 个中盒，那么有 2 x 个小盒， 27 - 3x 个大盒. 18 ⨯ (27 - 3x ) + 12 x + 8 ⨯ 2 x = 330 ，解得， x = 6 那么，大盒数 9，中盒数 6，小盒数 12 答：共有大盒 9 个，中盒 6 个，小盒 12 个. 8、甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行.如果甲比乙先出发 2 小时，那么他们在乙出⇒发 2 .5 小时候相遇；如果乙比甲先出发 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时候后相遇.问： 甲、乙两人每小时各走多少千米？ [分析]设甲速每小时 x 千米，乙速每小时 y 千米.那么依据题意列方程组： ⎧ 4.5x + 2.5y = 36 ⎧x = 6⎨⎨ ⎩3 x + 5 y = 36 ⎩ y = 3.6答：甲每小时走 6 千米，乙每小时走 3 .6 千米.9、一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平 衡.如果从右盘中取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给 左盘加 20 克砝码，这时两边也平衡.如果从右盘两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球 到右盘上，那么需要再给右盘加 50 克砝码，两边才能平衡.问：白球、黑球每个各重多 少克？[分析]设白球重 x g ，黑球重 y g ， 因为，原来天平是平衡的，在进行调整后天平重新达到平衡，但总重量增加了一个砝码 的重量.对于第一次调整，增加了 20g ，对于第二次调整，增加了 50g .那么实际上，第一次调整，天平两边各重了 10g ，第二次调整各重了 25g . 通过天平一侧的重量变化建立方程：所以，白球重 20g ，黑球重 15g . [分析]白球 20 克，黑球 15 克⎧2 y - x = 10 ⎨⎩2 x - y = 25 ⎧ x = 20 ⇒ ⎨ ⎩ y = 1510、奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种.小悦买了一个大号的、三个中 号的和两个小号的，共花了 360 元；冬冬买了两个大号的、一个中号的和一个小号的， 共花了 270 元；阿奇买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了 300 元.请问： 商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少？ [分析]设大、中、小 3 种型号的福娃单价分别是 x , y , z .那么有 ⎧ x + 3y + 2z = 360 ⎪ 2 x + y + z = 270 ⎧x = 80⇒ ⎪y = 60 ⎨ ⎨⎪ x + 2 y + 2z = 300 ⎪z = 50⎩ ⎩ 答：大号 80 元，中号 60 元，小号 50 元11、如图，墙边放着一块木块，一只猫淘气，爬了上去，使得木块向下滑动了一段距离， 现在已知图中的三段长度（单位：厘米），你能求出这块木板的长度吗？[分析]设下滑后，木块低端距离地面 x 厘米.那么根据勾股定理可以列式： 2002 + x 2 = 702 + ( x + 90 )2，解得 x = 1502002 +1502 = 2502 ，因此木块长 250 厘米.⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎪⎩答：木块的长度为 250 厘米12、甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为 29,23,21 和 17. 这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少? [分析]设四个人的年龄分别为 a , b , c , d ，那么有⎧ a + b + c+ d = 29 ⎪ 3⎪⎪ a + b + d + c = 23 ⎪ 3 ⎨ ⎪ a + c + d + b = 21 四试相加，得 2 (a + b + c + d ) = 90 ⇒ a + b + c + d = 45 ⎪ 3 ⎪ ⎪ b + c + d + a = 17⎩ 3⎧ 2d = 29 - 15 = 14 ⎪ 3 ⎪ ⎪ 2 c = 23 - 15 = 8⎪ 3 ⎨⎧ a = 21 ⎪b = 12 ⇒把上式代入方程组，有 ⎪ 2 ⎪ 3 ⎪ b = 21- 15 = 6⎨ c = 9 ⎪⎩ d = 3，因此，最大与最小之差为 18 ⎪ 2a = 17 - 15 = 2 ⎩ 3另解：四个人的年龄分别为 a > b > c > d ，那么 b + c + d + a = 29, a + b + c+ d = 17 ，两式相3 3减得： b + c + d + a - a + b + c - d = 12 ⇒ 2 ( a - d ) = 12 ⇒ a - d = 183 3 3即最大年龄与最小年龄的差是 18 岁超越篇1、丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：⎧ x + y = 2536 ⎨ x + y =704其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了.甲计算[分析]把 x ，y 的值代入方程，以方框为未知数，重新建立方程，得： ⎧7 a + 3b = 2536 ⎪7 c + 3d = 704 ⎨ 4a + 4b = 1536 ⎧a = 346 ⎪b = 38⎨c = 44 ⎪ ⎪ 最小的是 38. 4c + 4d = 704 d = 132 2、幼儿园有三个班，甲班比乙班多 4 人，乙班比丙班多 4 人.老师给小孩分枣，甲班每个 小孩比乙班每个小孩少分 3 个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分 5 个枣.结果甲班 比乙班总共多分 3 个枣，乙班比丙班总共多分 5 个枣.问：三个班总共分了多少个枣？ [分析]设丙班有 x 人，则乙班 x +4 人，甲班 x +8 人.丙班每个小孩共分了 y 个枣，则乙班分⎩了 y -5 个枣，甲班分了 y -8 个枣.则： ⎧ (x + 8)( y - 8) - (x + 4)( y - 5) = 3 ⎨⎩ (x + 4)( y - 5) - xy = 5 ⎧ 4 y - 3x = 47 ⇒ ⎨ ⎩4 y - 5x = 25⎧ x = 11⇒ ⎨ ⎩ y = 20 则三班总共分了 (x + 8)( y - 8) + (x + 4)( y - 5) + xy = 19 ⨯ 12 + 15 ⨯ 15 + 11⨯ 20 = 673 个枣 答：三个半总共分了 673 个枣3②钓到 3 条或 3 条以上的选手平均每人钓到了 6 条鱼； ③钓到 12 条或者 12 条以下的选手平均每人钓到了 5 条鱼. 请问：一共有多少名选手参赛？这些选手一共钓到了多少条鱼？ [分析]设共有 x 人参加比赛，则钓到 3 条及以上的人数为 x - 9 - 5 - 7 = x - 21 ，掉到 12 条及 以下的人数为 x - 5 - 2 - 1 = x - 8 . 依题意列方程： (x - 21) ⨯ 6 + 1 ⨯ 5 + 2⨯ 7 = (x - 8) ⨯ 5 + 13 ⨯ 5 + 14 ⨯ 2 + 15 ⨯ 1 解得 x = 175 . 则共钓鱼： (175 - 21) ⨯ 6 + 1 ⨯ 5 + 2 ⨯ 7 = 943 条. 答：一共有 175 名选手；一共钓上 943 条鱼.4、A 、B 两地相距 2400 米.甲、乙两人分别从 A 、B 两地同时出发，相向而行.两人在途中 某处相遇后，甲又继续行进 18 分钟到达 B 地，乙又继续行进 50 分钟到达 A 地.请问： 甲比乙每分钟多走多少米？ [分析]设甲速为 x ，乙速为 y .那么，甲走乙 50 分钟的路程和乙走甲 18 分钟的路程需要的时 间相同（都为两者相遇时对方走的路程）.那么可以建立方程：⎧18x + 50 y = 2400⎪⎨ 50 y = 18 x⎧ x = 50 ⇒ ⎨y = 30 ，甲比乙每分钟多走 20 米. ⎪ x y⎩ 答：甲比乙每分钟 多走 20 米.5、甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运 5 次；如果一起运，各运 6 次 就刚好运完.问：甲车单独运要几次运完？ [分析]设甲效 x ，乙效 y ，建立方程 ⎧ 1 - 1 = 5 ⎪ y x ⎧ x =⇒ ⎪ 110，甲单独运要 10 次. ⎨ ⎨⎪ x + y = 1= ⎪ y = 1 615 答：驾车单独运要 10 次运完.6、一个从小到大排列的等差数列，如果把这个数列的首项除以 2，末项乘以 2，这些数的 平均数就增加了 7；如果把首项乘以 2，末项除以 2，平均数就少了 2.已知这个等差数 列中所有数的和等于 245，求这个数列的末项. [分析]题目出错7、一个水池，顶部有一个进水管，底部有一个出水管.如果只打开进水管，50 分钟可以把 水池灌满；如果只打开出水管，60 分钟可以把一池水放完.现在水池在中间的某个位置 出现了一条与池底平行的裂缝，如果只打开进水管，需要 80 分钟才能放满一池水，而 只打开出水管只需 46.5 分钟即可放完一池水.请问：裂缝出现在离池底几分之几高度的 地方？⇒[分析]设裂缝出现在离池底 x 处，裂缝漏水的效率为 1 .那么可以建立方程： y⎧ 1 ⨯ 80 - (80 - 50 x ) ⨯ 1 = 1 ⎧ 2 ⎪ 50 ⎨ y ⎪ x = ⎨ 5 .⎪ 1 ⨯ 46.5 + (46.5 - 60 x ) ⨯ 1 = 1 y = 10060 y答：裂缝出现在离池底 2 高的地方. 5 “太平洋号”和“北冰洋号”两艘潜艇在海下沿直线同向“北冰洋号”在前，“太 平洋号”在后.在某个时刻，“太平洋号”发出声波，间隔 2 秒后，再次发出声波.当声 波传到“北冰洋号“北冰洋号”会反射声波.已知“太平洋号”的速度是每小时54 千米，第一次和第二次探测到“北冰洋号C D B E M P Q N O [分析]用上图示意太平洋号、北冰洋号和声波运动的情况：A 、D 分别是第一次发出声波时 太平洋号和北冰洋号的位置，M 和 Q 分别是第二次发出声波时太平洋好和北冰洋号的位 置；C 和E 分别是太平洋好接收到北冰洋号第一次反射声波时太平洋好和北冰洋号的位 置，P 和 O 分别是太平洋好接收到北冰洋号第二次反射声波是太平洋好和北冰洋号的位 置；B 是北冰洋号收到第一次声波时的位置，N 是北冰洋号收到第二次声波时的位置. 太平洋好的速度是 54 千米/小时，相当于 15 米/秒.声波的速度是 1185 米/秒，设北冰洋 号的速度为 x 米/秒. 设 t 为太平洋好第一次发出声波的时刻， t + 2 为太平洋好第二次发出声波的时刻，设 0 0 t + t 0 为太平洋号收到第一次发出声波返回的时刻， t + t 0 + 2.01 是太平洋号收到第二次发出 声波返回的时刻. （1）如图，AC 是太平洋号第一次发出声波到接收反射回的声波潜航的距离， A C = 15t ， AB + BC 是 第 一 次 声 波 传 导 的 距 离 ， AB + BC = 1185t ， 他 们 的 和 等 于AC + AB + BC = 2 A B = 1200t ； （ 2 ） 类 似 的 ， MP = 15(t + 0.01), MN + NP 是 第 二 次 声 波 传 导 的 距 离 ， MN + NP = 1185 (t + 0.01) ，他们的和等于 M P + MN + NP = 2MN = 1200 (t + 0.01) ； （ 3 ） 由 （ 1 ），（ 2 ） 得 ： BC - NP = 6 - 1185 ⨯ 0.01 MN - AB = 6, M N - AB + NP - BC = 1185 ⨯ 0.01 ， 也 有 （4）由于 D B 是北冰洋号从太平洋好第一次发出声波到北冰洋号接收到声波时潜航的距离， DB = tv - BC 1185 v ；QN 是北冰洋号从太平洋好第二次发出声波到北冰洋号接收到声波时的潜 航距离， Q N = (t + 0.01)v - NP v ； 1185 （5）由（4）得到： Q N - DB = 0.01v + ( 6 -1185 ⨯ 0.01) ⨯ v . 1185 （6） AD 是太平洋好第一次发出声波时两艘潜艇之间的距离，是太平洋好第二次发出声波 时两艘潜艇之间的距离， M D - AD = 2 ( v - 15) .因为 A D = AB - DB , MQ = MN - QN ，所以， MQ - AD = ( MN - AB ) - ( Q N - DB ) = 6 - 0.01v - (6 -1185 ⨯ 0.01) ⨯ v = 6 - 6v1185 1185于是：6- 6v=2(v -15)1185解得v =17 2122因此北冰洋号潜航的速度是每小时17 21 = 64 7 千米.22 11答：北冰洋号潜航的速度是每小时64 7 千米.11。

小学奥数创新体系6年级（上册授课详解） 最新讲义小学奥数第七讲 不定方程例题：例题1. 答案：14或10详解：由于方程两边除以3的余数相同，()73mod3x y x +≡，()502mod3≡，所以x 除以3余2．又因为750x ≤，所以x 是不超过7的自然数，只能取2或5．当2x =时，()5027312y =-⨯÷=，14x y +=；当5x =时，()505735y =-⨯÷=，10x y +=．所以张明共买了14支或10支铅笔．例题2. 答案：26详解：设买了大盒鸡蛋x 盒，小盒鸡蛋y 盒，则2316500x y +=．考虑方程两边除以16的余数，得：7x 除以16的余数是4．首先要求7x 是4的倍数，所以x 是4的倍数，验证x =4、8、12、……发现满足7x 除以16的余数是4的最小x 值是12，相应的y 的值是14，即1214x y ==⎧⎨⎩．由于1216<且1423<，所以方程没有其它自然数解，采购员一共买了121426+=盒鸡蛋．例题3. 答案：76详解：设甲、乙两小队分别有x 人和y 人．则两队植树棵数分别为131x -棵和102y -棵．由分析得：10131y x -=．将y =0、1、2、……代入方程验证x 是否是自然数，可以求出方程的y 值最小的一组自然数解43y x ==⎧⎨⎩，此时每队的植树棵数均为38棵． 方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“y 值增加13且同时x 值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是1713y x ==⎧⎨⎩，3023y x ==⎧⎨⎩，4333y x ==⎧⎨⎩，……），每次“y 值增加13且同时x 值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是4333y x ==⎧⎨⎩．所以甲队有33人，乙队有43人，两队共有334376+=人．例题4. 答案：8详解：设已经截出了x 根长36厘米的管子和y 根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长3624x y +厘米．由()36,2412=，得：3624x y +一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以3624380x y +=是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于3624x y +一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而3624372x y +=的自然数解是存在的，如114x y ==⎧⎨⎩，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是3803728-=厘米．例题5. 答案：有四种符合要求的买鸡方案：公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只 详解：设公鸡、母鸡和小鸡分别买了x 只、y 只和z 只．依题意，得：1001531003x y z x y z ++=++=⎧⎪⎨⎪⎩．要求这个方程的自然数解，我们用“消元”。

第八章不定方程知识要点如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。

如x＋y＝10，1512x ay a-=⎧⎨+=⎩，。

不定方程(组)的解是不确定的。

一般地，如果没有给不定方程的制约条件，那么它就有无限多个解。

小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。

关于参数方程，就是有时题中给的条件过少，就设一个未知数参与运算，这个参数不影响结果。

例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原两位数的8倍小1，原来的两位数是。

点拨根据题意，可由原来的两位数和变化后的三位数之间的数量关系列出方程。

解设原来的两位数是ab＝10a＋b，则新数是0a b＝100a＋b。

依题意得 100a＋b＋1＝8(10a＋b)即 20a＋1＝7b所以 a＝71 20 b-因为a，b是整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，所以 a＝1，b＝3即原来的两位数是13。

说明如果方程存在的解不止一个，则要逐一解出，并检验，千万不要漏掉或出现与题意相矛盾的解。

例2 (“迎春杯”邀请赛试题)某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元。

每种奖都有人领，共有15名优秀职工领取奖金的总数为16000元，获一、二、三等奖的职工各有多少人？点拨根据题意，一、二、三等奖人数之和等于15这一等量关系显而易见，而15名职工领取奖金的总和为16000元这一等量关系也给出，可列出方程。

解设一、二、三等奖依次有x人、y人、z人，则有1800x＋1200y＋800z＝16000即 9x＋6y＋4z＝80又x＋y＋z＝15，将z＝15－x－y代入上式，得9x＋6y＋60－4x－4y＝80整理得 5x＋2y＝20又x，y，z是正整数，解得 x＝2，y＝5，z＝15－x－y＝8。

答：获一等奖的有2人，二等奖的有5人，三等奖的有8人。

例3 100头驴驮100袋物品，一头大驴驮3袋，一头中驴驮2袋，两头小驴驮1袋。

不定方程讲义讲义编号 LTJYsxsrl005学员编号：LTJY001 年 级：六年级 课时数： 学员姓名: 辅导科目：数学 学科教师： 学科组长签名及日期教务长签名及日期课 题一次不定方程（组）的整数解问题授课时间：备课时间：教学目标 1.理解不定方程（组）的含义2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法 重点、难点 重点：不定方程定理的理解难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用 考点及考试要求 不定方程（组）是数论中的一个重要课题教学内容【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理 3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；（4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到⎩⎨⎧==1,1y x 是43=+y x 的一组整数解（特解），根据定理2 ，)(1,31是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或 【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来. 【实践】求方程2654731=+y 的正整数解.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x 答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉 〈方法二〉特解：)(3116125165是整数通解：t ty t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x x y -∴-=答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和.【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 . 【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值. 【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=- 由题意可得，n≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数 .16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 .【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== .2,1,07181071804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地 〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t ty t x y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+ 〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-= 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解， 从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-= 又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-= 将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解.【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a .∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数. 【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ， 整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为n a . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值.【分析】审清题中n a 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为32=++z y x ，由于.10,0,0≤≤≥≥z y x 得 当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y ）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y ）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，3a =6.（2）当n=2001时，原方程为20012=++z y x ，由于.10000,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组； 当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y ）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…； 当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y ）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，2001a =2+4+6+…+2002=1003002.【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题. 【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ） A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求AB 两地的距离.学生签名： 签字日期：。

第11讲不定方程内容概述学会求二元一次不定方程与多元一次不定方程组的整数解，通常利用整除性、大小估计等方法进行分析；注意对多个未知数进行恰当的消元，化简方程．典型问题兴趣篇1．有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？2．有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫2声，波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声，细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？4．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天恰好吃4个馒头．请问：庙里共有多少个和尚？5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有31的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有多少名男职工？ 6．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？7．新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？8．小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分，那么小萌寄的这三种信的总和最少是多少封？9．有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？10．快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元，小明去快餐店买汉堡．他付款100元，找回8元．请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？拓展篇1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？ 2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）．采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？3．在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人．在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有27.1万人．如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？4．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？5．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？6．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分，请问：这次比赛共考了多少道题？7、我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只?8．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒?9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图11-1，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?10、阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：阿奇共买了多少包奶糖?11、小悦、冬冬去超市买水果．小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，冬冬买了3千克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元．结账的时候碰到老师，老师买了6千克桔子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱?12、红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元．小强打算用109元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完．求红笔的单价．超越篇1、求不定方程35x+64y=1625的所有自然数解．2、一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共1355斤．其中苹果每筐60斤，每斤定价1.5元；梨每筐55斤，每斤定价1.5元；桃子每筐45斤，每斤定价1.8元．批发市场是以定价的70％购人这些水果的，如果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐?3、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张?4、采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的A种商品和若干个单价670元的B种商品，其中B种商品多于A种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10元钞票．如果把A、B两种商品的数量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个?5、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙l件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元?6、国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买A、B、C、D、E五种商品，如果唐师傅最多只能带走20千克商品，且一定要购买D商品，共有多少种不同的买法?7、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少?(砝码只能放在天平的一边)8、现有1．7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出l升汽油，至少需要倒多少次?第11 讲不定方程兴趣篇1、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44 千克油恰好装满这些油桶。

小学数学六年级奥数《不定方程（一）》练习题（含答案）一、填空题1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= .2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有 道题没答.3.x 是自然数,••=÷52.0810a x ,字母a 表示一个数字,x 是 .4.不定方程172112=+y x 的整数解是 .5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是 .6.如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是127,那么a+b 的最小值等于 .7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有 只脚.8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人.9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了页.10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有 个.二、解答题11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少?并在这种情况下求出第二堆的石头块数.———————————————答 案——————————————————————1. 1998.提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.2. 1.设张红做对x 道题,做错y 道题,依题意得:10047=-y x ①所以 74100y x +=≥72147100=. 又 x +y ≤20 ②所以 x ≤20-y ≤20,故 7214≤x ≤20. 又4|4 y ,4|100,由①知4|7 x ,又4与7互质,所以4| x ,故 x=16或20. 当x=20时,由①得y=10,与②产生矛盾.因此x=16,代入①得y=3.张红共有20-x -y=1(道)题没做.3. 750.根据题意,99925100810+=a x ,整理得,37)14(2530999)25100(810+⨯⨯=+⨯=a a x . 因为x 为自然数,37是质数,所以4a +1一定能被37整除,推知a =9,因此7502530=⨯=x .4. 没有整数解.若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.5. 1975. 设他出生年份为ab 19,依题意,得:b a ab +++=-91191997整理得:87211=+b a所以 11287b a -= 由0≤b ≤9得1192871136⨯-=≤11287b - ≤111071187=,即1136≤a ≤11107. 故a =7,从而b =5,他出生于1975年.6. 24.依题意,有1274328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b )即 12a +35=7b ①显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17. 所以, a +b 的最小值是7+17=24.7. 14.设有x 只蜈蚣,y 只三头龙,每只三头龙有n 只脚,依题意得方程组:⎩⎨⎧=+=+29840263ny x y x ①×40-②,得()742120=-y n ,即5372)120(⨯⨯=-y n ③由于x 和y 都是正整数,从①式得y ≤8.又因为537120120⨯<<-n , 所以从③式得y =7,106120=-n ,由此得n =14.8. 32.设甲小队有x 人,乙小队有y 人.由两小队植树棵数相等,得到13 x -7=10 y -5.因为上式右端个位数为5,所以13x 的个位数应是2,得到x =4, y =5是上式的① ②一组解,且x 每增大10, y 就增大13,仍是上式的解.为使10y -5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).9. 84.设小明第一天看了a 页,第二天看了b 页,则前五天看的页数依次为: a , b , a+b , a+2b , 2a+3b .上面各个数的和是200,得到5a +7b =200.因为5a 与200都是5的倍数,所以b 是5的倍数.因为b >a ,所以上式只有两组解:b =20, a =12; b =25, a =5.将这两组解分别代入2a +3b ,得到第五天至少看了84页.10. 15.以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x 组,小猴子y 组,则有338238113815=⨯⨯+⨯⨯y x ,891115=+y x .易知其整数解为x =3, y =4,所以有大猴子5×3=15(只).11. 设公鸡、母鸡、小鸡各买x , y , z 只,由题意列方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x 3×①-②整理得 10047=+y x .又4|4 y ,4|100,所以4|7 x ,又(4,7)=1,所以4| x .又74100y x -=≤72147100=. 所以x=4,8或12.x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.12. 因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x )度,乙用电(50- y )度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:8x+5y=33.容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.① ②13. 设哲洙在乙文具店买了x 张卡片,花了⨯y 100分.由共花钱数可列方程 ()3040010050500=⨯⨯+-⨯x y x整理得 54)5(=-y x因为x 是小于50的54的约数,则x 与y 的关系如下表:因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y 小于2000÷100=20,即y -5<15,所以x 的可能取值是6,9,18,27.14. 设第一堆有x 块石头,第二堆有y 块石头,并设z 为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意:⎩⎨⎧-=++=-)(6100)100(2z y z x y x 由①得 1002-=x y .代入②整理得 1800711=-z x .所以 11)1(71631171800++=+=z z x . 又x ,z 自然数,所以11|z+1,当z=10时, x 有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.① ②。

小学奥数-不定方程(教师版)不定方程是解决列方程组应用问题时的一种方法。

当未知数的个数多于方程的个数时，就会出现不定方程。

不定方程也称为丢番图方程，以纪念古希腊数学家丢番图。

在数学研究中，不定方程有着举足轻重的地位。

因此，在小学阶段打下扎实的基础非常重要。

不定方程出现的原因是联立方程的条件不足，因此一般情况下会有无数多个解。

但是，我们需要注意到它的预定义条件，如未知项是自然数，数码不仅是自然数，而且是一位数等等。

题干中也可能给出限制条件，这样就使得不定方程的解得以确定。

然而，这种情况下的解不止一种。

不定方程的解有时比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中的限制范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解。

解答这类方程必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

例如，求解方程5x+2y=27的正整数解。

因为2y为偶数，27为奇数，所以5x为奇数，即x为奇数。

因此，x可以取1、3、5等奇数，对应的y分别为11、6、1.再例如，求解方程4x+10y=34的正整数解。

因为4与10的最大公约数为2，而2可以整除34，因此两边约去2后，得到2x+5y=17.5y的个位数只能是0或5，而2x的个位数是2，因此x的取值为1、6、11等。

代入方程可得到两组整数解：x=1时，y=3；x=6时，y=1.最后，以一个实际问题为例，假设有14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。

问：大、中、小号钢珠各多少个？这是一个不定方程问题。

设大、中、小号钢珠的个数分别为a、b、c，则可以列出方程12a+8b+5c=100.解方程可得a=2，b=1，c=6，因此大号钢珠有2个，中号有1个，小号有6个。

y≤15)又因为小花狗和波斯猫每次见面都要各自叫两声，所以总共叫声数为4x+3y。

又知总共见面次数为x+y，所以4x+3y=2(x+y)，化简得2x=3y，因此x和y必须同时是3的倍数。