六年级奥数之不定方程

简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。

（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。

（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。

（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。

例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。

甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。

年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。

问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。

做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。

那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有31的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。

猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。

问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。

已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？做一做：有一堆围棋子，白子颗数是黑子颗数的3倍。

六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。

要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。

如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。

但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。

必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。

2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。

【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。

（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211x，11x－2能被3整除且x＜9。

模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。

（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。

例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。

模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。

每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。

问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。

模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。

六年级奥数专题培优讲义——不定方程及解析知识点梳理：在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。

有三个未知数，就需要有三个方程。

当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。

不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。

而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。

不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。

这种情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。

解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 典型例题的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。

六年级奥数 不定方程【知识要点】如果一个方程（组）的未知数的个数多于方程的个数，那么这个方程（组）就叫做不定方程（组）。

不定方程是数论中最古老的一个分支，它的研究在我国已延续了数千年，至今仍是令人感兴趣的课题。

不定方程的内容非常丰富，但在小学数学竞赛中，我们主要讨论二元一次不定方程，形如ax±by=c(a 、b 、c 为已知的整数)的方程，我们称为二元一次不定方程，又称丢番图方程，以纪念生于公元三世纪的希腊数学家丢番图，他写了一本关于这类方程的书。

一个不定方程一般总有无穷多组解，但小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。

不定方程通常利用不等式及整除性来求解。

【典型例题】例1 一天，张明问李军的生日，李军说：“将我生日的月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347。

”你知道李军的生日是几月几日吗？分析：如果设李军生日的月份数为x ，生日的日期数为y ，则原题实际上就是求不定方程31x+12y=347的正整数解。

解：设李军生日的月份数为x ，生日的日期数为y ，列方程：31x+12y=347变形后得： y=1231347x -………………………………………………………………（1） 即y=29-3x+1215-x ∵x 、y 为整数，且1≤x≤12，5x-1能被12整除∴x=5 把x=5代入（1），得所列方程的整数解为: 答：李军的生日是5月16日。

例 2 我国古代有一位著名的数学家张丘建，曾经提出并解决了“百钱买鸡”这个有名的数问题：“一百元买一百只鸡，公鸡五元钱一只，母鸡三元钱一只，小鸡一元钱三只，公鸡、母鸡、小鸡各买几只？”分析：该题共有三个未知数，若设买公鸡x 只，买母鸡y 只，买小鸡z 只，则可建方方程5x+3y+31×（100-x-y ）=100 化简整理得：7x+4y=100由此有：1≤x≤7100 即1≤x≤14 注意到100和4y 都是4的倍数，而7和4互质，所以x 也应是4的倍数，x 就是三种可能：4、8、12。

第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

如5x－3y ＝9就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。

如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。

如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。

因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。

解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。

先将原方程变形，y＝23－3x4。

可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。

2、求4x+5y＝37的自然数解。

3、求5x－3y＝16的最小自然数解。

【例题2】求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。

解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。

5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。

因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。

x＝2，y＝2时，z也无正整数解。

x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。

第八讲不定方程一个方程中有两个未知数，未知数的个数多于方程的个数，这样的方程叫做不定方程。

古希腊的数学家丢番图曾写过关于不定方程的书《算术》，所以不定方程又叫丢番图方程，不定方程往往有无数解，但如果有限制条件，例如求自然数解，往往会使解的个数变成有限。

例题精讲例1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10, 问这两种盒子各有多少?例2、甲级铅笔7块钱一支，乙级铅笔3块钱一支。

问张明用60元恰好买两种铅笔共多少支?例3、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1亳米铜管，那么，只有当锯得的38毫米的铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少?例4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明其套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。

小明套10次共得了61分。

问:小鸡至多被套中多少次?例5、学校里共有12间宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，问中宿舍和小宿舍共有多少间?例6、某地水费，不超过10度时，每度0. 45元;超过10度时，每度0.80元。

张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，问张家、李家各交水费多少元?例7、将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计),问剩余部分铝管最少是多少厘米?例8、某种考试已举行24次，共出了426道题。

每次出的题目，有25题，或者16题，或者20题，那么，其中考25题的有多少次?同步训练1、一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21,问小明摸出的球中红球最多不超过多少个?2、篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，求其中排球的个数。

十一、不定方程（一）年级 班 姓名 得分 一、填空题1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= .2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有 道题没答.3.x 是自然数,••=÷52.0810a x ,字母a 表示一个数字,x 是 .4.不定方程172112=+y x 的整数解是 .5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是 .6.如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是127,那么a+b 的最小值等于 .7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有 只脚.8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人.9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了 页.10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有 个.二、解答题11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少?并在这种情况下求出第二堆的石头块数.———————————————答 案——————————————————————1. 1998.提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.2. 1.设张红做对x 道题,做错y 道题,依题意得:10047=-y x ①所以 74100y x +=≥72147100=. 又 x +y ≤20 ② 所以 x ≤20-y ≤20,故 7214≤x ≤20.又4|4 y ,4|100,由①知4|7 x ,又4与7互质,所以4| x ,故 x=16或20. 当x=20时,由①得y=10,与②产生矛盾.因此x=16,代入①得y=3.张红共有20-x -y=1(道)题没做.3. 750.根据题意,99925100810+=a x ,整理得, 37)14(2530999)25100(810+⨯⨯=+⨯=a a x . 因为x 为自然数,37是质数,所以4a +1一定能被37整除, 推知a=9,因此7502530=⨯=x .4. 没有整数解.若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.5. 1975.设他出生年份为ab 19,依题意,得:b a ab +++=-91191997 整理得:87211=+b a所以 11287ba -=由0≤b ≤9得1192871136⨯-=≤11287b - ≤111071187=,即1136≤a ≤11107.故a =7,从而b =5,他出生于1975年.6. 24.依题意,有1274328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b )即 12a +35=7b ① 显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17. 所以, a +b 的最小值是7+17=24.7. 14.设有x 只蜈蚣,y 只三头龙,每只三头龙有n 只脚,依题意得方程组:⎩⎨⎧=+=+29840263ny x y x①×40-②,得()742120=-y n ,即 5372)120(⨯⨯=-y n ③由于x 和y 都是正整数,从①式得y ≤8.又因为537120120⨯<<-n , 所以从③式得y =7,106120=-n ,由此得n =14.8. 32.设甲小队有x 人,乙小队有y 人.由两小队植树棵数相等,得到 13 x -7=10 y -5.因为上式右端个位数为5,所以13x 的个位数应是2,得到x =4, y =5是上式的一组解,且x 每增大10, y 就增大13,仍是上式的解.为使10y -5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).9. 84.设小明第一天看了a 页,第二天看了b 页,则前五天看的页数依次为: a , b , a+b , a+2b , 2a+3b . 上面各个数的和是200,得到 5a +7b =200.因为5a 与200都是5的倍数,所以b 是5的倍数.因为b >a ,所以上式只有两组解: b =20, a =12; b =25, a =5.将这两组解分别代入2a +3b ,得到第五天至少看了84页.10. 15.以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x 组,小猴子y 组,则有 338238113815=⨯⨯+⨯⨯y x , 891115=+y x .易知其整数解为x =3, y =4,所以有大猴子5×3=15(只).11. 设公鸡、母鸡、小鸡各买x , y , z 只,由题意列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x ① ② ①②3×①-②整理得 10047=+y x .又4|4 y ,4|100,所以4|7 x ,又(4,7)=1,所以4| x .又74100y x -=≤72147100=.所以x=4,8或12.x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.12. 因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x )度,乙用电(50- y )度.因为甲比乙多交33角电费,所以有: 8x+5y=33.容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.13. 设哲洙在乙文具店买了x 张卡片,花了⨯y 100分.由共花钱数可列方程 ()3040010050500=⨯⨯+-⨯x y x 整理得 54)5(=-y x因为x 是小于50的54的约数,则x 与y 的关系如下表:因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y 小于2000÷100=20,即y -5<15,所以x 的可能取值是6,9,18,27.14. 设第一堆有x 块石头,第二堆有y 块石头,并设z 为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意:⎩⎨⎧-=++=-)(6100)100(2z y z x y x由①得 1002-=x y .代入②整理得 1800711=-z x .所以 11)1(71631171800++=+=z z x . 又x ,z 自然数,所以11|z+1,当z=10时, x 有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.① ②☆十一、不定方程（二）年级 班 姓名 得分 一、填空题1.已知△和☆分别表示两个自然数,并且 ,△+☆= .2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.4.不定方程23732=++z y x 的自然数解是 .5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a .已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c依次为 , , .7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有 口人.8.某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.二、解答题11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B 种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A种物品和B种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个?———————————————答 案——————————————————————1. 5.依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.2. 260.设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a.依题意,得n an n =++⨯915%25整理得 9120)415(⨯=-a n ①易知 15-4 a >0,所以a ≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).3. 11.设共分为x 组.由树苗总数可列方程 2029+=-nx x22)9(=-x n因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).4. ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x显然z 只能取1,2,3.当z=1时,1632=+y x ,其自然数解为x=2, y=4; x=5, y=2. 当z=2时,932=+y x ,其自然数解为x=3, y=1. 当z=3时,232=+y x ,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x5. 8371692.设电话号码的前三位为x ,后三位y ,第四位为a (a ≠0).由题意有⎩⎨⎧=++=++25291000906310y a x y a x①-②,化简得a x 111726+=.当a=1时, x=837, y=692; 当a ≥2时, y <0,不合题意. 所以电话号码为8371692.① ②6. 7,3,2.由题意有785623+=+=+c b a .解这个不定方程,得2,3,7===c b a .7. 5.设全家共喝了x 碗牛奶和y 碗咖啡,依题意得:16141=+y x整理得 1223=+y x .易得其自然数为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.8. 3.设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3yx +人.这个条件说明3| x + y . 由已知 216631310=⨯+++yx y x 即 7254=+y x 72)(4=++y y x由12|4(x + y ),12|72.所以12| y ,又5472x y -=≤5414572=.所以, y=12, x=3.即有女职工3人.9. 32,80.画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为z y x ,,,则()⎩⎨⎧==++⨯12284xyz z y x剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出2,3===z y x ,仅面涂色彩正方体有:2)232223(2)(⨯⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯z x z y y x32216=⨯=(块).原来长方体的体积为80445)2()2()2(=⨯⨯=+⨯+⨯+=z y x V (立方分米).10. 17.82设支票上的元数与角、分数分别为x 和y ,则可列得方程x)100(2350)100(y x x y +=-+, 其中x ,y 为整数且0≤x ,y <100. 化简方程得 35019998+=x y由此推知2x <y 且为x 偶数,其可能取值为2,4, (48)又 985633298350199+++=+=x x x y , 56≤563+x ≤20056483=+⨯ 所以 98563=+x 或298⨯.所以 324642==x x 或(舍去).故42=x ,此时32=y .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.11. 设起初有x 辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n 人,依题意,得 )1(122-⨯=+⨯x n x ,所以 123221122-+=-+=x x x n 又n , x 为整数,所以(x -1)|23,故x -1=1或23,即x=2或x=24.若x=2,则45122322=-=n 与n ≤32产生矛盾.因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x +1=529(名).12. 设苹果、梨子、杏子分别买了z y x ,,个,则⎩⎨⎧=++=++4050003080200z y x z y x消去z 得 380517=+y x ①所以 175380yx -=由0<y <40得 176221738017538017405380171010=<-<⨯-=y即 17622171010<<x又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1,由①得5| x .所以x=15或x=20. 当x=15时, y=25, z=0,不合题意. 因此x=20, y=8, z=12.因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.13. 设获一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,,根据题意有:word 格式-可编辑-感谢下载支持⎩⎨⎧=++=++224922236z y x z y x 2×②得 4422818=++y x ③③-①得 22512=+y x ④解④求得整数解为x=1, y=2.代入②可求得z=5.答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.14. 设买A 种物品a 个, B 种物品b 个,找回100元的m 张,10元的n 张,则有:⎩⎨⎧--=+--=+nm b a n m b a 10010100005906701010010000670590 其中b >a ,n <10.①-②得 )(9)(8m n a b -=- ③所以 )(98m n -,故m n -8,由b >a ,n <10知 m <n <10,因此, m -n =8,从而b -a =9.由此推知n=9, m=1, b=a+9.代入①式,解得a=3. B=12.答:购A 物3个,B 物12个.① ② ① ②。

第八章不定方程知识要点如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。

如x＋y＝10，1512x ay a-=⎧⎨+=⎩，。

不定方程(组)的解是不确定的。

一般地，如果没有给不定方程的制约条件，那么它就有无限多个解。

小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。

关于参数方程，就是有时题中给的条件过少，就设一个未知数参与运算，这个参数不影响结果。

例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原两位数的8倍小1，原来的两位数是。

点拨根据题意，可由原来的两位数和变化后的三位数之间的数量关系列出方程。

解设原来的两位数是ab＝10a＋b，则新数是0a b＝100a＋b。

依题意得 100a＋b＋1＝8(10a＋b)即 20a＋1＝7b所以 a＝71 20 b-因为a，b是整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，所以 a＝1，b＝3即原来的两位数是13。

说明如果方程存在的解不止一个，则要逐一解出，并检验，千万不要漏掉或出现与题意相矛盾的解。

例2 (“迎春杯”邀请赛试题)某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元。

每种奖都有人领，共有15名优秀职工领取奖金的总数为16000元，获一、二、三等奖的职工各有多少人？点拨根据题意，一、二、三等奖人数之和等于15这一等量关系显而易见，而15名职工领取奖金的总和为16000元这一等量关系也给出，可列出方程。

解设一、二、三等奖依次有x人、y人、z人，则有1800x＋1200y＋800z＝16000即 9x＋6y＋4z＝80又x＋y＋z＝15，将z＝15－x－y代入上式，得9x＋6y＋60－4x－4y＝80整理得 5x＋2y＝20又x，y，z是正整数，解得 x＝2，y＝5，z＝15－x－y＝8。

答：获一等奖的有2人，二等奖的有5人，三等奖的有8人。

例3 100头驴驮100袋物品，一头大驴驮3袋，一头中驴驮2袋，两头小驴驮1袋。