2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)

【高仿咫卷•理科数学 笫1页（共4页）】2020年普通高等学校招生全国统一考试高仿密卷理科数学注意事项：L 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号 厦写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条影码粘贴在答勉卡上的曲 定位JL 。

2.选择题的作答：每小题选出答案后•用2B 铅爸把答题卡上对应题目的答案 标号涂浜,写在试晦卷、草稿纭和答题卡上的非答题区域均无殁°3,非选释题的作答:用签字名直报答在卷麴卡上对应的答意区域内。

客在试 场卷、草稿纸和答邈卡上的非答邈.区域均无效。

4.选考题的作冬：先把所选题目的期号在笔超卡上指定的位置用2B 铅笔涂耍.至案写在答题卡上 对应的冬题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答麴区域均无效. 5,考试结束后，请将本试四卷和答题于一并上交，一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的61.已知复数2=~<i 为虚数单位八则|片十2| = £ 1 A.ZB.75D.HH IgGr-DV1卜廿二《衣|2炉一9父+4t0},则AD 《C RB>=A. (1,4)B. (y.4)C. (4J + /I^)D. (1,14-710)2 .已知集合A={3 .已知向量:%。

则“E| =㈤"是口一2川=12。

一加”的 A.充分不必要条件 C,充要条件B.必鬟不充分条件 口既不充分也不必要条件4 .我国古代名著仪孙子算经》中有如卜有趣的问题广今有三女，长女五日一归，中女四日一归•少女三日一归.问三女何n 相会之意思是「一家有三个女儿郴已出嫁.大女儿五天回一次娘家9二女儿四天回一 次娘家，小女儿三天回一次娘家,三个女儿从娘冢同一天走后•至少再隔多少天三人可以再次在娘家相 会？：三人再次在娘家相会■则要隔的天数可以为A. 90 天C. 270 天S.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为B. 180天B. 2 020 *2 019 2Q21 '2 020n 2 020I I ------- 276.已知等差数列｛。

2020 国1⅛二模拟考试（T数学（理科）吋⅛J2O 分绅满分：巧。

分注言舉项：I •答题讯卽f∙∙务必4⅞ΠL 1的孙名、纲'•；"C 舍!⅛∣∙.∙ Vr √Zll 存选择题时•閨Ii 毎小S8养案蹄•川那S 把?;収甘IF M 迪［I 的祥案标号济黒Tli 阪越•川 橡皮按I 净圧・肉•涂选口他答案标θv m IN 逸择越时•将谷案冯在答題P 上吗在木试卷I xXie ；3•号试酷JKvh 籽不试卷和袴題k •并交柯 一、选择題（本題共I?小题，勺小題，分，共胡分•在超小題给出的四个选项中，只有一项足符合题目实 求的)L LL 加 U ；存 M-；・F |/ .Lg0； .N= {j IOO<3} •则 Mn λ 一 Λ.<-2.2> Ik ((>∙3) C. (0,2) 2. & i 为除数单位•苦复数=满足二∙ (2-i> = 3-5i.则复数7的甫部为 \ 1 l λ i C. -2 S. L LΛI<∕ log. 2.Λ 3 Y lug.2.则i.我们軽 肉心率，一叫1的Wm 叫优关桶岡•下列納论正确的个数足① 个焦点、•个R 潮闻也打•个K 轴顶点构成宜角•侑形的Ifim 是优羌桶伽②划轴KqK 紬KIK- l∙3> ( )∣λ 2i ( )∣λ^(<u之匕为汙1的榔圓是优IH⅜hb WJ■V" √⅛-ι楚・优艾・WIH: 0；佐IH i •知轴K 、K 轴K 成等It欽列的的IffiI 列定ItXIffiIMl ・5•我尺传统丈化中彳M F 地支之说•夭干为“叭乙•丙.几戊上•决•汉T:.^. HJIHlLz./HfW 木•IJKUy-I 1L Γ7∏r4S 火•归南方•戊、t:•归屮央•决•辛Ti 行换金∙l⅛艸力• 1\癸IlfrFX 水4 北方•血犬Γ L 个/中随仇取阿个・刈宅们五行属性相利的tt4⅛⅛,k⅛A.τ-&函数/（.r ） = （ r-2j M 的图象ΛJ¾是∣4K7∙ S Ih^Ii>114汀∙∏⅛址 211RI 3' IoAIΛ — R — • 6K3I5∣AnlJJIlJ7∏.∏βθW<ffi>j11.已HI 祈数 y(.r) = α5in.ι /∕α∣5 .r(.r ∈ R}.Zf .r=x.∙ Si⅛5⅛ JΛ.vU(i •条对称轴•丨1 Ifm V ~3•则点3“所在的fi 线方櫟为I). 3.∕-÷v «)12. d>41HIfIi 体“BCD 的PM 个顶点都在球O 的球面I ∙M 为4”屮山∙ZvWX∙∕M"D/(T)M 那是正•角权"I” 6•划球仆的衣面枳为 I). <!∙,π二. 填空題(本题共1小题，毎小题5分，共2(分.) 13. IfhMi y C ∙ SinJ - Ii 点⑴小处的切线方W 为IL idS...为等出放列 h(的Hijn^ 411.也 L<η-‰. ∙H ∣S,- 1二何心捫11洲猎⅜r 的战牛中•某市场防疫检测所得加•批共m 只猪中i 昆入了 3只携帝病成的昭•化设仃传染扩放前•吗I il 个不放何地檢测•每次抽中齐只猪的机会均等•"到检制出所右病偌就伴 Ih 检测∙ WJtft 任第六次检测府停Kl-JWJf ¼al∙λ LlMim 物线.√-Kf 的©心刘収刑线小二一3!" •“啲渐近线的距离不大J 、広則忍曲线 Cr卜：的肉心书的M½s. IMf KlfU 的保序桩国・为快输：l ； > IiWl 小十91 •则输人的IE 整数 '的彊小们为Γ>. ;•'」•记集合Al •八：：“二•“ ：“：•“•“ •…•川I ■"为公X;大J n 的弄总数列•若小；3•和.则IM 凰于C∙∕h[)・山10. LLMlm 罰|「的两个焦点为⑴∙ IUilWA 1A 的直tζ∕∣∣i y=⅛l .f ^jl,ty ≈k..t -u<u≠ι [的交点恰好金(T:・IL 化A- 2•则(•的方秤为c ∙f +f-1K.r-3v 0 A. 32πK 3If(I •“三、解答鬆（共R分■窟答应写出文字说明、证明过祥或済算步骤.M ∣7-" Sg为必考題，每个试題考主都必须作答.第22.23 55为诜考鬆，考生祝庭姜茨作答.）（一；必石題：共M分.17.（12 分〉LL）4】向Ml m~（√3>in-• 1 ；皿一（心十.eo^-γ-）∙ IxX}~m ∙ n.（】I求八2的届小值•并求此时，的fit<21花U（•中•内巾4』,（•所对的边分别为⑴儿C且满足/（B） ⅛j∙.U 2y :仁求Sin .4的们・18.< 12分MMl右图所示的儿何休屮•叫血形CDEF为矩形•屮而CDEF f∙IfilAJJdhPM边形A/X7）为血角怫形.∏. Aii//CD.Ab_ClKeD= 2Λ!i= 2ΛI） 2■点M ⅛f⅛B（,的中点・（Il^证MLLLF（2苦忙线W川我川7所成巾为I亿求1呈线BF号平面BCr所成角的I9.<12分〉域Ij活办••竝我牛*必扬传呎除I识枪薜鄴•最话冇张肛乍泮两位选F进人包亜军PK扒规期⅛ιι下:依次从忠、扒仁、义、礼.信用匕个题片沖毎一次Ki机迭取•道题利人抢答•胜冷得?- 分•败杵不扣分（Jt平知）•先冯I 2分杵为冠军•结柬HC ill J WA阅彥习惯的区別・金前Ifif的比赛中越山:张删住忠、孝、礼、椰加加1帖j优势•脏孝为u∙6∙兀它加血两人不分们仲・胜率邯艮U.3.< 1）求PK结束时爷诗恰得25分的概彳心⑵IPK貉束时抢答场敦为"•求J的分和列及期银2o. （）2分>U知l½砌线€：y；s.r的佟点为F•斜半为牛的宵线/ 4 （•的交点为-A •久⅛ #轴的仝点为化{】）若∣∕∖F∣ + ∣HF∣= ∙∣.^/ 的方陆⑵乃寸一3皿.求∣.M∣.汎m和已知補I H=√ I I I dn H心“为常Q(I)q U-HIj.,R √<,r)4 .r-l 处的切线力程*⑵对任虑M个不Hl等的止S U •『：•求UE √l r <r≤o时•都Vf Z-J-'./ ,-'小(⅛l ).（二）选石融：共10分・i青石生在策2次23题中任选一题作答，如果乡做，懸按所做的策一砸计分.22.［选修I- ,ψf d;系与参数方程］（"）分）I A = COS α•A-I f Ifh坐杯糸."UU-CXiiItlI⅛<∖: S为参数》•任以坐林曲点门为极点∙I轴止乍轴为{y Mna极紬的极A b标系∣"∙nll线 C :γ）-⅛.IlhfJc （；“ 2>in （?.小求IIh级「与U的交点M的町f］坐标,⑵设点,4∙B分別为me2.C, I.的动点•蚓∙1B∣的最小備.23.［运烤1—6不等式迪讲H IO分）设臥数儿门Ir-Il-12,r- H的尿大值为" 门）求"『的偵：IZyyi a I Ze Mi一川・求Ub I ZfHλflt2020届全国l ⅛三模拟考试(一)参考答案・数学(理科)I 〜5 C ∖∖H(∖∖6. B 悴析：八』> = (・卩一 2W •故”2>巾件个极備点±√Σ・乂 ∙r<L 。

a为．y y⎪数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共 150 分，考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 若 z = 2 - bi (b ∈R )为纯虚数,则 b 的值为．2 + iA ．- 1B ．1C ．- 2D ．4 2． 在等差数列 { }中， a + a = 16, a = 1 ，则 a 的值是． n5739A ．15B ．30C ． - 31D ．643．给出下列命题：① 若平面 α 内的直线 l 垂直于平面 β 内的任意直线，则α ⊥ β ； ② 若平面 α 内的任一直线都平行于平面 β ，则 α // β ； ③ 若平面 α 垂直于平面 β ，直线 l 在平面内 α ，则 l ⊥ β ； ④ 若平面 α 平行于平面 β ，直线 l 在平面内 α ，则 l // β ．其中正确命题的个数是．A ．4B ．3C ．2D ．14．已知函数 f ( x ) = ⎛ 1 ⎫ x -1 - 1 ，则 f ( x ) 的反函数 f -1 ( x ) 的图像大致 ⎝ 2 ⎭y y-1ox -1 ox -1 ox -1oxABCD5．定义集合 M 与 N 的运算： M * N = {x x ∈ M 或x ∈ N , 且x ∉ M I N } ，⎪4C ． π - αD ． 3π - α4 B ． α +π则 (M * N ) * M = A ． M I NB ． M Y NC ． MD ． N6．已知 cos(α + π ) = 1 ，其中 α ∈ (0, π ) ，则 sin α 的值为．432A ． 4 - 2B ． 4 + 2C ． 2 2 - 1D ． 2 2 - 166 6 37．已 知 平 面 上 不 同 的 四 点 A 、 B 、 C 、 D ， 若DB ·DC + CD ·DC + DA ·BC = 0 ，则三角形 ABC 一定是．A ．直角或等腰三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形8．直线： x + y + 1 = 0 与直线： x sin α + y cos α - 2 = 0⎛ π < α < π ⎫ 的夹⎝ 4 2 ⎭角为．A ． α - π4 49．设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数，若f (2) > 1, f (3) = a 2 + a + 3，则 a 的取值范围是．a - 3A ． (-∞,-2) Y (0,3)B ． (-2,0) Y (3,+∞)C ． (-∞,-2) Y (0,+∞)D ． (-∞,0) Y (3,+∞)10． 若 log x = log x = log 21a2a系为．(a +1)x > 0 (0 < a < 1) ，则 x 、x 、x 的大小关3 1 2 3A ． x < x < x32 1D ． x < x < x231B ． x < x < x2 13C ． x < x < x1 3211． 点 P 是双曲线 y 2 - x 2 = 1 的上支上一点，F 1、F 2 分别为双曲线9 16的上、下焦点，则∆PF F 的内切圆圆心 M 的坐标一定适合的方程是．1 2A ． y = -3B ． y = 3C ． x 2 + y 2 = 5D ． y = 3x 2 - 212． 一个三棱椎的四个顶点均在直径为 6 的球面上，它的三条侧棱两两垂直，若其中一条⎨ ⎪5 - bx, x > 1.侧棱长是另一条侧棱长的 2 倍，则这三条侧棱长之和的最大值为．A ．3B ． 4 3C ． 2 105D ． 2 21555第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共四小题，每小题4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.⎧2 x , 13 ．设函数 f ( x ) = ⎪a,x < 1,x = 1, 在 x = 1 处连续，则实数 a, b 的值分别⎩为．14．以椭圆 x 2 + y 2 = 1 的右焦点为焦点，左准线为准线的抛物线方程 5 4为．15．如图，路灯距地面 8m ，一个身高 1.6m过路A的人沿穿灯的直路以 84m/min 的速度行走，人影1.6O NC M B长度变化速率是m/min ．16．在直三棱柱 ABC - A B C 中，有下列三个条件：1 1 1① A B ⊥ AC ；② A B ⊥ B C ；③ B C = A C ．11111 11 1以其中的两个为条件，其余一个为结论，可以构成的真命题是（填上所有成立的真命题，用条件的序号表示即可）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = cos x( 3 sin x - cos x), x ∈ R ． (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值；(Ⅱ)试说明该函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换，可以得到y=sin x,x∈R的图像？18．（本小题满分12分）已知数列{a}的首项a=2，且2a=a+1(n∈N*)．n1n+1n(Ⅰ)设b=na，求数列{b}的前n项和T；n n n n(Ⅱ)求使不等式a-a<10-9成立的最小正整数n．(已知n+1nlg2=0.3010)19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮比赛，每人投三次，规定：投中次数多者获胜，投中次数相同则成平局．若甲、乙两人的投篮命中的概率分别为2和1，且两人每次投篮是否命中是相互独立的．32(Ⅰ)求甲、乙成平局的概率；P(Ⅱ)求甲获胜的概率．D C 20．（本小题满分12分）A B如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AB//CD,AB⊥AD,AD=CD=2A B=2，侧面∆APD为等边三角形，且平面APD⊥平面ABCD．(Ⅰ)若M为PC上一动点，当M在何位置时，PC⊥平面MDB，并证明之；(Ⅱ)求直线AB到平面PDC的距离；(Ⅲ)若点G为∆PBC的重心，求二面角G-BD-C的大小．21．（本小题满分12分）y M B 1A 1o A2xB2如图，已知 A 1、A 2 为双曲线 C ： x 2 - y 2 = 1(a > 0, b > 0) a 2b 2的两个顶点，过双曲线上一点 B 1 作 x 轴的垂线，交双 曲线于另一点 B 2，直线 A 1B 1、A 2B 2 相交于点 M ． (Ⅰ)求点 M 的轨迹 E 的方程；(Ⅱ)若 P 、Q 分别为双曲线 C 与曲线 E 上不同于A 1、A 2 的动点，且 A P + A P = m ( A Q + A Q ) ( m ∈ R ,且 m > 1)，1212设直线 A 1P 、A 2P 、A 1Q 、A 2Q 的斜率分别为 k 1、k 2、k 3、k 4， 试问 k 1+k 2+k 3+k 4 是否为定值？说明理由．22．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - bx + 1 ( x ∈ R, a ,b 为实数)有极值，且3x = 1 在处的切线与直线 x - y + 1 = 0 平行．(Ⅰ)求实数 a 的取值范围；(Ⅱ)是否存在实数 a ，使得函数 f ( x ) 的极小值为 1，若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)设 a = 1 ， f ( x ) 的导数为 f '( x ) ，令 g ( x ) = f '( x + 1) - 3, x ∈ (0,+∞) ，2 x求证：g n ( x ) - x n- 1≥ 2 n - 2 (n ∈ N * ) ．x n=3sin2x-………………………………………（2=sin(2x-)-…………………………………………（46)有最大值1．此时函数f(x)的值最大,最大值为数学(理科)参考答案一、选择题：DABCD ADAAD BC二、填空题：13．a=2,b=3；14．y2=12(x+2)；15．21；16．①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．三、解答题：17．(Ⅰ)f(x)=3sin x cos x-cos2x1+cos2x22分）π162分）当2x-π=2kπ+π,(k∈Z)，即x=kπ+π,(k∈Z)时，623sin(2x-π1．……（6分）2(Ⅱ)将y=sin(2x-π)-1的图像依次进行如下变换：62①把函数y=sin(2x-π)-1的图像向上平移1个单位长度，得到622函数y=sin(2x-π6)的图像；…………………………………………（8分）②把得到的函数图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(x-π)6的图像；…………………………………………（10分）③将函数y=sin(x-π)的图像向左平移π个单位长度，就得到66函数y=sin x的图2 ∴ a = ⎪⎝2⎭⎝ 2 ⎭ ⎪ ∴T = 1· ⎪ + 2· ⎪ + 3· ⎪ + Λ + n · ⎪⎝2⎭ ⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭∴ T = 1· ⎪ + 2· ⎪ + Λ + (n - 1) ⎪ 1 n (n + 1) ………+ n · ⎪ + ·T = 4 - (4 + 2n) ⎪ + ⎝ 2 ⎭ - a = ⎪ < 10 -9⎝2⎭C ⨯ ⎪ ⨯ ⨯ C 2 ⨯ ⎪ =⎝3⎭ 3⎝ 2 ⎭像．…………………………………………（12 分）（注：如考生按向量进行变换，或改变变换顺序，只要正确，可给相应分数）18．(Ⅰ)由 2an +1= a + 1得 ann +1 - 1 = 1 2(a - 1) n可知数列{a - 1} 是以 a - 1 = 1 为首项，公比为 1 的等比数列． n 1n⎛ 1 ⎫ n -1+ 1 (n ∈ N * ) . …………………………………………（4分）从而有 b = na = n ·⎛ 1 ⎫n -1+ n ．n nT = b + b +Λ + b n 1 2n n⎛ 1 ⎫ 0 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ n -1 + (1 + 2 + Λ + n) ………①1 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫ n -12 n ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎛ 1 ⎫ n⎝ 2 ⎭ 2 2②n ①⎛1⎫ n- ② 并 整 理 得n(n + 1) ． ………………（8 分）2(Ⅱ) a n +1n⎛ 1 ⎫ n两边取常用对数得： n > 9 ≈ 29.9lg 2∴ 使 不 等 式 成 立 的 最 小 正 整 数30． ………………………………（12 分）19．(Ⅰ) 甲、乙各投中三次的概率：n 为⎛ 2 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎪ ⨯ ⎪ =⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 , …………………………………………（1 分） 27甲、 乙各投中两次的概率：23 3 ⎛ 2 ⎫ 2 1 ⎛ 1 ⎫ 3 1 , …………………………………（ 2 61 ,…………………………（ 3C 1 ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ ⨯ C 1 ⨯ ⎪ = ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 12⎪ ⨯ 1 - ⎪ =2 ,………（ 9C ⨯ ⎪ ⨯ ⨯ ⎢C 0 ⨯ ⎪ + C 1 ⨯ ⎪ ⎥=⎝ 3 ⎭ 3 ⎢ 3 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎥ 9C 1 ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ = ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭分）甲、 乙各投中一次的概率：⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ 333 分）甲、 乙两人均投三次，三次都不中的概率：⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3⎪ ⨯ ⎪ =⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 , …………………………………………（4 216分）∴甲、乙平局的概率是： 1 + 1 + 1 + 1 = 7 ． ……………27 6 12 216 24（6 分）(Ⅱ) 甲投中三球获胜的概率：⎛ 2 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 7 , …………………………………⎝ 3 ⎭ ⎝ 8 ⎭ 27（8 分）甲投中两球获胜的概率：⎛ 2 ⎫ 2 1 ⎡ ⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎤ 2 3 3分）甲投中一球获胜的概率：3⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ 31 , (36)（10 分）甲获胜的概率为： 7 + 2 + 1 = 55 ．………………………27 9 36 108（12 分）20．(Ⅰ) 当 M 在中点时，PC ⊥ 平面 MDB ………………………………（1 分）连结 BM 、DM ，取 AD 的中点 N ，连结 PN 、NB ． ∵ PN ⊥ AD 且面 P AD ⊥ 面 ABCD ， ∴ PN ⊥ 面 ABCD ． 在 Rt ∆PNB 中， PN = 3, NB = 2, ∴ PB = 5,CM =又 BC = 5 ． ∴ BM ⊥ PC……………………………………（3分）又 PD = DC = 2, 又 DM I BM = M ,∴ DM ⊥ PC ，∴ PC ⊥ 面 MDB ． ……………………（4分）(Ⅱ) AB // CD, C D ⊂ 面 PDC ， AB ⊄ 面 PDC ，∴ AB // 面 PDC ．∴AB 到面 PDC 的距离即 A 到面 PDC 的距离． ………………（6 分）Θ CD ⊥ DA, C D ⊥ PN , DA I PN = N , ∴ CD ⊥ 面 PAD ，又 DC ⊂ 面 PDC ，∴面 P AD ⊥ 面 PDC ．作 AE ⊥ PD ，AE 就是 A 到面 PDC 的距离，∴ AE = 3 , 即 AB 到平面 PDC 的距离为 3 ．………………（8 分）(Ⅲ)过 M 作 MF ⊥ BD 于 F ，连结 CF ．Θ PC ⊥ 面 MBD ，∴ ∠MFC 就是二面角 G - BD - C 的平面角． ………………（10分）在 ∆BDC 中， BD = 5, DC = 2, BC = 5,∴ CF = 4 5, 又 CM = 2,5∴ s in ∠MFC = 10 ． CF 4即二面角 G - BD - C 的大小是 arcsin 10 ．4……………（12分）21．(Ⅰ) 设 B ( x , y ) 、 B ( x ,- y ) 且 y ≠ 0 ，由题意 A (-a,0) 、 A (a,0) ，1212则直线 A 1B 1 的方程为： y = x + a ………①y x + a0 0直线 A 2B 2 的方程为： - y = x - a ………②…………（2y x - a0 0分）x , 由①、②可得 ⎪⎪⎨ 0⎩a 2 b 2b 2 x + a x - a x 2 - a 2 a 2 y a 2 y∴O 、P 、Q 三点共线，………………………………yy⎧ a 2 x = ⎪ y = ay ． ⎪ 0 x………………………………（ 4分）a 4 a 2 y 2又点 B ( x , y ) 在双曲线上，所以有 x 2 - x 2 = 1 ，1 0 0 整理得 x2 + y 2 = 1 ，a 2b 2所以点 M 的轨迹 E 的方程为 x 2 + y 2 = 1（ x ≠ 0 且 y ≠ 0 ）．……a 2b 2（6 分）(Ⅱ) k 1+k 2+k 3+k 4 为定值．设 P ( x , y ) ，则 x 2 - a 2 = a 2 y 12 ，1 1 1分）则 k + k = y 1 + y 1 = 2 x 1 y 1 = 2b 2 · x 1 ……③ 1 2 1 1 1 1设 Q ( x , y ) ，则同理可得 k + k = - 2b 2 · x 2 ……④ ………（82 234 2设 O 为原点，则 A P + A P = 2OP , A Q + A Q = 2OQ ．1212Θ A P + A P = m ( A Q + A Q)∴ O P = mOQ1 212（10 分）∴ x 1 = x 2 , 再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 0 yy12∴k 1+k 2+k 3+k 4 为定值 0．………………………………（12 分）另解：由 A P + A P = m ( A Q + A Q ) ，1212得 ( x + a , y ) + ( x - a , y ) = m [( x + a , y ) + ( x - a , y )] 111122 2 2即 ( x , y ) = m ( x , y )∴ x1 = x2 ,112212再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 022．(Ⅰ) ∵ f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - bx + 13xx 10 0 3∴ -a + a 2 + 2a = 4∴ a = - < -2 ,- 3 = x 2 + 1= x +∴ f '( x ) = x 2 + 2ax - b由题意 f '(1) = 1 + 2a - b = 1∴ b = 2a……①………………………………………（2 分）∵ f ( x ) 有极值，∴方程 f '( x ) = x 2 + 2ax - b = 0 有两个不等实根．∴ ∆ = 4a 2 + 4b > 0∴ a 2 + b > 0 ……②由①、②可得， a 2 + 2a > 0∴ a < -2 或a > 0 ．故实数 a 的取值范围是 a ∈ (-∞,-2) Y (0,+∞)…………（4 分）(Ⅱ)存在 a = - 8 ，………………………………………（5 分）3由(Ⅰ)可知 f '( x ) = x 2 + 2ax - b ，令 f '( x ) = 0 ，∴ x = -a + a 2 + 2a , x = -a - a 2 + 2a12(-∞, x )( x , x )1 12x 2( x ,+∞)2f '( x )f ( x )＋ － ＋单调增 极大值 单调减 极小值 单调增（7 分）（8 分）∴ x = x 时， f ( x ) 取极小值， ………………………………………2则 f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - 2ax + 1 = 1, ∴ x = 0 或 x 2 + 3ax - 6a = 0 ， 2 2 2 2 2 2若 x = 0 ，即 - a + a 2 + 2a = 0 ，则 a = 0 （舍） ………………2若 x 2 + 3ax - 6a = 0 ，又 f '( x ) = 0 ，∴ x 2 + 2ax - 2a = 0 ,22222∴ ax - 4a = 0 ,Θ a ≠ 0∴ x = 4 , 2283∴存在实数 a = - 8 ， 使 得 函 数 f ( x ) 的 极 小 值 为31．…………（9 分）(Ⅲ) Θ a = 1 , f '( x ) = x 2 + x - 12 ∴ f '( x + 1) = x 2 + 3x + 1 ,∴ f '( x + 1)1 , x x x∴ g ( x ) = x + ,x ∈ (0,+∞) ．…………………………………（ 10= x + ⎪ - x n - = C x ⎪+ C2 x n -2 ⎪ +Λ + C n -2 x 2 ⎪ + C n -1 x ⎪ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ 2 ⎢⎣ n ⎝ x n -2 ⎭ ⎝ ⎝ x n -2 + x n -2 ⎪⎥ 2 ⎣ x n -2 x n -4⎢1 x分）g n ( x ) - x n -1 ⎛ 1 ⎫ nx n ⎝ x ⎭ 1 x n⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ n -2 ⎛ 1 ⎫ n -1 1 n -1 n n n n= 1 ⎡ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 C 1 x n -2 + ⎪ + C 2 x n -4 + ⎪ + Λ + C n -1 n n ⎫⎤ ⎭⎦≥ 1 ⎡C 1 2 x n -2 · 1 + C 2 2 x n -4 · 1 + Λ + C n -1 2 n n n 1 x n -2 ⎤·x n -2 ⎥ ⎦= C 1 + C 2 + Λ + C n -1 = 2 n - 2n n n∴其中等号成立的条件为 x = 1 ．…………………………………（13 分）∴ g n ( x ) - x n - 1 ≥ 2 n - 2 (n ∈ N * )…………………………（ 14x n分）。

绝密★启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（） A ．5 B ．34C ．41D ．526．()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππ大致的图象是（）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（） A ．14B ．15 C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（） A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b bb b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。

2020年高考理科数学模拟试卷一、选择题1．已知实数a，b满足（a+bi）•（1+i）＝4i，其中i是虚数单位，若z＝a+bi﹣4，则在复平面内，复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|5x2+x﹣4＜0}，B＝，则A∩（∁R B）＝（）A．B．C．D．3．已知实数a，b满足，则（）A．B．log2a＞log2bC．D．sin a＞sin b4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．5．下列函数中，既是奇函数，又在（1，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝x B．C．D．f（x）＝x3﹣6x 6．已知正方形ABCD内接于圆O，点E是AD的中点，点F是BC边上靠近B的四等分点，则往圆O内投掷一点，该点落在△CEF内的概率为（）A．B．C．D．7．伟大的法国数学家笛卡儿（Descartes1596～1650）创立了直角坐标系．他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∠BCD＝60°，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若，则＝（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝4sin x cos x+4sin x﹣2，则下列说法错误的是（）A．函数f（x）的周期为B．函数f（x）的一条对称轴为x＝﹣C．函数f（x）在[﹣，﹣π]上单调递增D．函数f（x）的最小值为﹣49．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．B．C．D．10．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为365，则判断框中可以填（）A．i＞4B．i＞5C．i＞6D．i＞711．过双曲线E：的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与E 的渐近线交于B，C两点，若＝，则双曲线E的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±4x C．y＝±x D．y＝±2x12．已知数列{a n}满足．令T n＝|a n+a n+1+…+a n+5|（n∈N*），则T n的最小值为（）A．20B．15C．25D．30二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）13．二项式的常数项为a，则＝．14．已知点（x，y）满足，则的取值范围为．15．已知A，B两点分别为椭圆的左焦点与上顶点，C为椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为．16．已知∃x0∈R，使得不等式能成立，则实数m的取值范围为．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝a．（1）求A的大小；（2）若a＝，b+c＝3+，求△ABC的面积．18．在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72．（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数，求ξ的分布列及期望．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB＝2AC＝2，∠BAC＝90°，∠BAA1＝120°．（1）求证：AB⊥平面AB1C；（2）若B1C＝AA1，求平面AB1C1与平面BCB1所成二面角的余弦值．20．已知椭圆O：+＝1（a＞b＞0）过点（，﹣），A（x0，y0）（x0y0≠0），其上顶点到直线x+y+3＝0的距离为2，过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M、N，且＝2．（1）证明：|MN|为定值；（2）如图所示，若A，C关于原点对称，B，D关于原点对称，且＝λ，求四边形ABCD面积的最大值．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x，且函数f（x）在x＝1处取到极值．（1）求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数，且函数g（x）有3个极值点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），证明：ln（）＞﹣．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4（2cosθ+sinθ）．现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标系方程和直线l的普通方程；（2）求曲线C关于直线l对称曲线的参数方程．[选修4-5不等式选讲]23．已知定义在R上的函数f（x）＝|x|．（1）求f（x+1）+f（2x﹣4）的最小值M；（2）若a，b＞0且a+2b＝M，求+的最小值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知实数a，b满足（a+bi）•（1+i）＝4i，其中i是虚数单位，若z＝a+bi﹣4，则在复平面内，复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．解：实数a，b满足（a+bi）•（1+i）＝4i，其中i是虚数单位，∴a﹣b+（a+b）i＝4i，可得a﹣b＝0，a+b＝4，解得a＝b＝2．若z＝a+bi﹣4，＝﹣2+2i，则在复平面内，复数z所对应的点（﹣2，2）位于第二象限．故选：B．2．已知集合A＝{x|5x2+x﹣4＜0}，B＝，则A∩（∁R B）＝（）A．B．C．D．【分析】求出集合A，B的补集，再计算即可．解：A＝{x|5x2+x﹣4＜0}＝（﹣1，），B＝，∁R B＝（），则A∩（∁R B）＝[），故选：B．3．已知实数a，b满足，则（）A．B．log2a＞log2bC．D．sin a＞sin b【分析】首先利用指数函数的性质得到a，b的范围，然后逐一考查所给的不等式即可求得最终结果．解：由指数函数的单调性可得：a＞b＞0，则：，sin a与sin b的大小无法确定．故选：B．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体由三部分组成：最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体．利用表面积计算公式即可得出．解：由三视图可知：该几何体由三部分组成：最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体．∴该几何体的表面积＝+2π×1×1+42×6﹣π×12＝（）π+96．故选：D．5．下列函数中，既是奇函数，又在（1，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝x B．C．D．f（x）＝x3﹣6x 【分析】根据题意，逐项判断即可．解：对于A，其在定义域上为增函数，不符合题意，舍去；对于B，其在定义域上为偶函数，不符合题意，舍去；对于C，其是奇函数，又在（1，+∞）上单调递减，符合题意；对于D，f（2）＝﹣4，f（3）＝33﹣18＝9，其在（1，+∞）上不为减函数，不符合题意，舍去．故选：C．6．已知正方形ABCD内接于圆O，点E是AD的中点，点F是BC边上靠近B的四等分点，则往圆O内投掷一点，该点落在△CEF内的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据已知可分别求解圆的面积及△CEF内解：设正方形的边长为4，则正方形的面积为4×4＝16的面积，然后根据几何概率求解公式即可．△CEF的面积为16﹣＝7，因为圆的直径2R＝即R＝2，圆的面积为8π，根据几何概率的公式可得P＝．故选：C．7．伟大的法国数学家笛卡儿（Descartes1596～1650）创立了直角坐标系．他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∠BCD＝60°，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若，则＝（）A．B．C．D．【分析】过B作BM⊥DC于M，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可．解：过B作BM⊥DC于M，故AB＝DM＝2，因为BM＝AD＝，∠BCD＝60°，故CM＝1，则DF＝则＝（+）（+）＝•+•＝××（﹣1）+2×＝故选：A．8．已知函数f（x）＝4sin x cos x+4sin x﹣2，则下列说法错误的是（）A．函数f（x）的周期为B．函数f（x）的一条对称轴为x＝﹣C．函数f（x）在[﹣，﹣π]上单调递增D．函数f（x）的最小值为﹣4【分析】化简函数f（x），根据三角函数的图象和性质，判断即可．解：f（x）＝4sin x cos x+4sin x﹣2＝2＝2＝4（＝4sin（3x﹣），周期为，x＝﹣时，sin（3x﹣）＝﹣1，故A，B成立，最小值为﹣4，成立，故D成立，x∈[﹣，﹣π]时，3x﹣∈[﹣，]＝[﹣4π+，﹣4π+]，f（x）递减，故选：C．9．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．B．C．D．【分析】由排除法求解即可．解：由图象可知，函数的定义域中不含0，故排除D；若，则当x→0时，f（x）→+∞，故排除C；若，则，不符合题意，故排除A；故选：B．10．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为365，则判断框中可以填（）A．i＞4B．i＞5C．i＞6D．i＞7【分析】根据条件进行模拟运算，寻找成立的条件进行判断即可．解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1执行循环体，S＝302.5，i＝2，不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝315，i＝3不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝327.5，i＝4不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝340，i＝5不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝352.5，i＝6不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝365，i＝7此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为365．则判断框内的件为i＞6？，故选：C．11．过双曲线E：的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与E的渐近线交于B，C两点，若＝，则双曲线E的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±4x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】分别表示出直线l和两个渐近线的交点，利用＝，＝3，求得a 和b的关系，可得双曲线E的渐近线方程．解：直线l：y＝﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay＝0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay＝0交于C（，﹣），A（a，0），∵＝，∴＝3∴﹣a＝3（﹣a），∴b＝2a，∴双曲线E的渐近线方程为y＝±2x．故选：D．12．已知数列{a n}满足．令T n＝|a n+a n+1+…+a n+5|（n∈N*），则T n的最小值为（）A．20B．15C．25D．30【分析】本题先设数列{a n}的前n项和为S n，则可计算出S n＝﹣．然后应用公式a n＝即可计算出数列{a n}的通项公式，可发现数列{a n}是一个等差数列．然后应用等差数列的性质化简整理T n＝|a n+a n+1+…+a n+5|，再根据绝对值的特点可得T n的最小值．解：依题意，由，可得：＝．设数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝﹣．当n＝1时，a1＝S1＝﹣＝35．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣﹣[﹣]＝40﹣5n．n＝1也满足上式，故a n＝40﹣5n，n∈N*．很明显数列{a n}是以35为首项，﹣5为公差的等差数列．∴T n＝|a n+a n+1+a n+2+a n+3+a n+4+a n+5|＝|5a n+2+a n+5|＝|5[40﹣5（n+2）]+40﹣5（n+5）|＝|165﹣30n|∴当n＝5或n＝6时，T n取得最小值T5＝T6＝15．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）13．二项式的常数项为a，则＝．【分析】利用二项式定理的通项公式可得a，再利用微积分基本定理及其性质即可得出．解：T k+1＝（2x）6﹣k＝26﹣k，令6﹣＝0，解得k＝4．∴T5＝＝a．∴＝dx＝+dx＝0+＝．故答案为：．14．已知点（x，y）满足，则的取值范围为[﹣2，1]．【分析】首先画出可行域，利用z的几何意义：区域内的点与（﹣1，1）连接直线的斜率，因此求最值即可．解：由已知得到平面区域如图：z＝表示区域内的点与原点连接的直线斜率，由解得A（2，2），由解得B（1，﹣2）当与A（2，2）连接时直线斜率最大为1，与B（1，﹣2）连接时直线斜率最小为﹣2，所以的取值范围为[﹣2，1]；故答案为：[﹣2，1]．15．已知A，B两点分别为椭圆的左焦点与上顶点，C为椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为2（）．【分析】由椭圆的方程可得A，B的坐标，进而求出直线AB的方程，及|AB|的长度，当三角形ABC的面积最大时为过C点的直线与直线AB平行且与椭圆相切时面积最大，设过C的直线方程与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值求出两条平行线的距离的最大值，代入面积公式可得面积的最大值．解：由椭圆方程可得A（﹣2，0），B（0，2）所以直线AB的方程为：x﹣y+2＝0，且：|AB|＝2，由题意可得当过C的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，两条平行线间的距离最大时，三角形ABC的面积最大，设过C点与AB平行的切线方程l为：x﹣y+m＝0，直线l与直线AB的距离为d＝，联立直线l与椭圆的方程可得：，整理可得：3y2﹣2my+m2﹣8＝0，△＝4m2﹣12（m2﹣8）＝0，可得m2＝12，解得m＝，所以当m＝﹣2时d＝＝2+最大，这时S△ABC的最大值为：＝＝2（），故答案为：2（）．16．已知∃x0∈R，使得不等式能成立，则实数m的取值范围为m ＜1或m＞4e．【分析】由题意可得m（x0﹣1）＞e x0（2x0﹣1），分别x0＝1，x0＞1，x0＜1，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，结合能成立思想可得所求范围．解：不等式，即为m（x0﹣1）＞e x0（2x0﹣1），若x0＝1则不等式显然不成立；当x0＞1时，可得m＞，设f（x）＝，f′（x）＝，则f（x）在（1，）时递减，在（，+∞）递增，即有f（x）在x＝处取得最小值4e，由题意可得m＞4e，又当x0＜1时，可得m＜，设f（x）＝，f′（x）＝，则f（x）在（0，1）时递减，在（﹣∞，0）递增，即有f（x）在x＝0处取得最大值1，由题意可得m＜1，综上可得m的范围是m＜1或m＞4e，故答案为：m＜1或m＞4e．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝a．（1）求A的大小；（2）若a＝，b+c＝3+，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得B+C＝2A，然后结合三角形的内角和定理即可求解；（2）由已知结合余弦定理可求bc，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵＝a．∴（b+c）cos A＝a cos B+a cos C，由正弦定理可得sin B cos A+sin C cos A＝sin A cos B+sin A cos C，即sin（B﹣A）＝sin（A﹣C），所以B﹣A＝A﹣C，即B+C＝2A，又因为A+B+C＝π，故A＝，（2）由余弦定理可得，＝＝，∴bc＝2，S△ABC＝＝＝．18．在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72．（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数，求ξ的分布列及期望．【分析】（1）由这12名学生的测试成绩能绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并求出该组数据的中位数．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，分虽求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望E（ξ）．解：（1）绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，如下：该组数据的中位数为：＝86．（2）抽取的12人中，成绩不低于76分的有9人，从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数，则ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝．P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P数学期望E（ξ）＝＝．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB＝2AC＝2，∠BAC＝90°，∠BAA1＝120°．（1）求证：AB⊥平面AB1C；（2）若B1C＝AA1，求平面AB1C1与平面BCB1所成二面角的余弦值．【分析】（1）求出B₁A⊥AB，又AB⊥AC，利用线面垂直的判定定理求出即可；（2）根据题意，以A为原点，以AB，AC，AB₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C1与平面BCB1的法向量，利用夹角公式求出即可．解：（1）在三角形BB₁A中，∠BAA1＝120°，得∠B₁BA＝60°，由AB₁2＝22+12﹣2×1×2×cos60°＝3，所以BB₁2＝AB2+AB₁2，B₁A⊥AB又∠BAC＝90°，AB⊥AC，AC∩AB₁＝A，故AB⊥平面AB1C；（2）根据题意，以A为原点，以AB，AC，AB₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，），，，设平面AB1C1的法向量为，由，，得，设平面BCB1的法向量为，由，得，由cos＜＞＝，故平面AB1C1与平面BCB1所成二面角的余弦值20．已知椭圆O：+＝1（a＞b＞0）过点（，﹣），A（x0，y0）（x0y0≠0），其上顶点到直线x+y+3＝0的距离为2，过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M、N，且＝2．（1）证明：|MN|为定值；（2）如图所示，若A，C关于原点对称，B，D关于原点对称，且＝λ，求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）其上顶点（0，b）到直线x+y+3＝0的距离为2，利用点到直线的距离公式可得，根据椭圆O：+＝1（a＞b＞0）过点（，﹣），解得a2．可得椭圆的标准方程为：＝1．设经过点A的直线方程为：y﹣y0＝k（x﹣x0），可得M，N（0，y0﹣kx0）．利用＝2，可得k＝﹣．利用两点之间的距离公式可得|MN|．（2）设∠AOD＝α．由＝λ，可得2|OD|＝3λ．由题意可得：S四边形ABCD＝＝2×|OA|•sinα，即可得出．【解答】（1）证明：其上顶点（0，b）到直线x+y+3＝0的距离为2，∴，解得b＝1．又椭圆O：+＝1（a＞b＞0）过点（，﹣），∴＝1，解得a2＝4．∴椭圆的标准方程为：＝1．点A在椭圆上，∴＝1．设经过点A的直线方程为：y﹣y0＝k（x﹣x0），可得M，N（0，y0﹣kx0）．∵＝2，∴﹣x0＝，即k＝﹣．∴|MN|＝＝＝3为定值．（2）解：设∠AOD＝α．∵＝λ，∴2|OD|＝3λ．由题意可得：S四边形ABCD＝＝2×|OA|•sinα≤3λ|OA|．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x，且函数f（x）在x＝1处取到极值．（1）求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数，且函数g（x）有3个极值点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），证明：ln（）＞﹣．【分析】（1）求出原函数的导函数，由f′（1）＝0求解a值，则曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程可求；（2）求出函数g（x）的解析式，由g′（x）＝0，构造函数h（x）＝2lnx+﹣1，根据零点存在定理，可知函数的一个零点x0∈（1，2），则x0＞m，再根据导数和函数的极值的关系即可证明x＝m是f（x）极大值点，h（）是h（x）的最小值；由g（x）有三个极值点x1＜x2＜x3，得h（）＝2ln+1＜0，得m＜，则m的取值范围为（0，），当0＜m＜时，h（m）＝2lnm＜0，h（1）＝m﹣1＜0，得x2＝m，即x1，x3是函数h（x）的两个零点．构造函数φ（x）＝2xlnx﹣x，求导可得φ（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，把证明ln（）＞﹣转化为证明φ（x3）＞φ（﹣x1）即可．解：（1）f（x）＝alnx﹣x，f′（x）＝，∵函数f（x）在x＝1处取到极值，∴f′（1）＝a﹣1＝0，即a＝1．则f（x）＝lnx﹣x，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣1；（2）g（x）＝（0＜m＜1），函数的定义域为（0，+∞）且x≠1，∴g′（x）＝＝，令h（x）＝2lnx+，∴h′（x）＝，h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；∵h（1）＝m﹣1＜0，h（2）＝2ln2+﹣1＝ln+＞0，∴h（x）在（1，2）内存在零点，设h（x0）＝0，∴x0＞m，当g′（x）＞0时，即0＜x＜m，或x＞x0，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即m＜x＜x0，函数单调递减，∴当x＝m时，函数有极大值，∴当0＜m＜1时，x＝m是f（x）极大值点；h（）是h（x）的最小值；∵g（x）有三个极值点x1＜x2＜x3，∴h（）＝2ln+1＜0，得m＜．∴m的取值范围为（0，），当0＜m＜时，h（m）＝2lnm＜0，h（1）＝m﹣1＜0，∴x2＝m；即x1，x3是函数h（x）的两个零点．∴，消去m得2x1lnx1﹣x1＝2x3lnx3﹣x3；令φ（x）＝2xlnx﹣x，φ′（x）＝2lnx+1，φ′（x）的零点为x＝，且x1＜＜x3．∴φ（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增．要证明ln（）＞﹣，即证x1+x3＞，等价于证明x3＞﹣x1，即φ（x3）＞φ（﹣x1）．∵φ（x1）＝φ（x3），∴即证φ（x1）＞φ（﹣x1）．构造函数F（x）＝φ（x）﹣φ（﹣x），则F（）＝0；∴只要证明在（0，]上F（x）单调递减，函数φ（x）在（0，]单调递减；∵x增大时，﹣x减小，φ（﹣x）增大，﹣φ（﹣x）减小，∴﹣φ（﹣x）在（0，]上是减函数．∴φ（x）﹣φ（﹣x）在（0，]上是减函数．∴当0＜a＜时，x1+x3＞．即ln（）＞﹣．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4（2cosθ+sinθ）．现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标系方程和直线l的普通方程；（2）求曲线C关于直线l对称曲线的参数方程．【分析】（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2，可得曲线C的直角坐标方程；由代入法可得直线l的普通方程；（2）由圆关于直线的对称为半径相等的圆，由点关于直线对称的特点，解方程可得所求曲线的方程．解：（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2，可得曲线C的极坐标方程ρ＝4（2cosθ+sinθ）的直角坐标方程为x2+y2＝8x+4y，即为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20；直线l的参数方程为（t为参数），消去t，可得2x﹣y+4＝0；（2）可设曲线C：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20关于直线l：2x﹣y+4＝0对称曲线为圆（x ﹣a）2+（y﹣b）2＝20，由可得，则曲线C关于直线l对称曲线的直角坐标方程为（x+4）2+（y﹣6）2＝20，其参数方程为（θ为参数）．[选修4-5不等式选讲]23．已知定义在R上的函数f（x）＝|x|．（1）求f（x+1）+f（2x﹣4）的最小值M；（2）若a，b＞0且a+2b＝M，求+的最小值．【分析】（1）先对函数化简，然后结合函数的单调性即可求解函数的最值，（2）结合基本不等式及二次函数的性质可求．解：（1）因为f（x）＝|x|．所以f（x+1）+f（2x﹣4）＝|x+1|+|2x﹣4|，当x≤﹣1时，f（x）＝3﹣3x单调递减，当﹣1＜x＜2时，f（x）＝﹣x+5单调递减，当x≥2时，f（x）＝3x﹣3单调递增，故当x＝2时，函数取得最小值M＝3；（2）若a，b＞0且a+2b＝3，∴即ab，当且仅当a＝2b即a＝，b＝时取等号，则+＝＝＝，令t＝，t，而y＝的开口向上，对存在t＝，在[）上单调递增，结合二次函数的性质可知，当t＝，取得最小值．。

号场考号证考准密不订装只名姓级班卷此绝密★启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第n卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共60分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的•1.已知a , b都是实数，那么2a2b”是“aA .充分不必要条件B.必要不充分条件条件2 .抛物线XA. P,022py2（p 0）的焦点坐标为（B 8p03 .十字路口来往的车辆，如果不允许掉头,A. 24 种B.4 .设x , y满足约束条件16种2 b2”的(C.充要条件C. 0,2则行车路线共有（C. 12 种3x y 6W 0x y 2》0x>0, y>0，则目标函数z2xA. 4 B .5 .《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1）,则该阳马”旦C. 0D.既不充分也不必要D.)D.0,8P10种y的最小值为（D. 2秦、汉时期的数阳马”若某最长的棱长为（A. 5 B .^34C . V41D .6. f Xsin x c 「c------ x ,0 U 0,大致的图象是（)xA. B . C . D .阳马”）7 .函数 f x sin x cos x( 0)在2、2 上单调递增，则 的取值不可能为（ ） 1 1A . B. • 4 5 1 C . 2 &运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 3 D.- 4A ，从集合A 中任取一个元素a ,a则函数y x , x 0, 是增函数的概率为（ B . D .9 •已知A , B 是函数y C. 2x 的图象上的相异两点，若点 A , B 到直线则点A , B 的横坐标之和的取值范围是（ B . C . D.10.在四面体 ABCD 中，若AB CD 、3, AC BD AD 体ABCD 的外接球的表面积为（ A . 2 B . 4 C . 6 D .11 .设 x 3 1是函数f X a n 1X 2a n X a n 2x 1 n N 的极值点, 数列a n 满足a 1 1 , a 2 2 ,b n 2018 2018 b ?b 3 2018 =(b 2018b 2019 A . 2017 B .2018 12.已知函数fA .1,1B .1,-的距离相等,2BC .5，则四面 log 2a n 1，若x 表示不超过x 的最大整数，则 C . 2019D . 2020在区间0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）C .1,1D .0,第口卷(非选择题共90 分)4个小题，每小题5分，共20分.点°为原点，贝U △ AOF 的面积为 ________ .数gX fX m 恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是三、解答题：共70分。

理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足： x2  3x  4  0 ，( x  4)( x  1)  0 ， x  4 或x  1 ， A  {x | x  4 或 x  1} ， CU A={x | 1„ x „ 4} ， y  2x  2  2 ， B  {y | y  2} ，可知 (CU A)  B  {x | 2  x „ 4} .故选 D. 2. 【答案】A【解析】 z  1  i  (1  i)(1  2i)  1  3i ，复数 z 的虚部为  3 ，1 2i555故错误；② | z | ( 1)2  ( 3)2  10 ，故错误；③复数 z 对应的555点为 ( 1 ， 3) 为第三象限内的点，故正确；④复数不能比较大小， 55故错误.故选 A.3. 【答案】C【解析】 Sn  2an  4 ，可得当 n  1 时， a1  2a1  4 ， a1  4 ，当n…2时，S n 12 an 14与已知相减可得an an 12，可知数列{ an } 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， a5  4  24  64 .故选 C.4. 【答案】D【解析】可知降落的概率为pA22 A55 A661 3.故选D.5. 【答案】C【解析】函数 f (x)  2 020x  sin 2x 满足 f (x)  2 020x  sin 2x  f (x) ，且 f (x)  2 020  2cos 2x  0 ，可知函数 f (x) 为单调递增的奇函数， f (x2  x)  f (1  t) 0 可以变为 f (x2  x)  f (1  t) f (t  1) ，可知 x2  x t  1 ，t „ x2  x  1 ，x2  x  1  (x  1)2 2 3 3 ，可知实数 t „ 3 ，故实数 t 的取值范围为 (∞，3] .故选 C.44446. 【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为 y   3x ，可得双曲线的方程为x2  y2   ，把点 P(2，3) 代入可得 4  3= ，   1 ，双曲线的 3方程为 x2  y2  1，c2  1  3  4，c  2，F(2，0) ，可得 A(2，2 3) ， 3B(2， 23)，可得SAOB1 224343 .故选 A.7. 【答案】B【解析】 f (x)  sin(x  π )sin x  cos2 x3 (sin x cos π  cos x sin π )sin x  1  cos 2x332 3 sin 2x  1 cos 2x  3  1 ( 3 sin 2x  1 cos 2x)  3444 2224 1 sin(2x  π )  3264把函数 f (x) 的图象向右平移 π 单位，再把横坐标缩小到原来的一 6半，得到函数 g(x) ，可得 g (x)  1 sin(4x  π )  3 ，最小正周期为2642π  π ，故选项 A 错误； x  π ， 4x  π  4  π  π  π ，故选426666 2项 B 正确；最大值为 1  3  5 ，故选项 C 错误；对称中心的方程 244为 (kπ  π ，3)(k  Z) ，故选项 D 错误.故选 B. 4 24 48. 【答案】D【解析】可知 BDC  120°，且 AD  3 ，BD  DC  1 ，在 BDC中，根据余弦定理可得 BC 2  1  1  2 11 cos120° 3， BC  3 ，据正弦定理可得 BC  2r ， sin120°3 32r，r 1 ， O1 为 BDC2的外心，过点 O1 作 O1O  平面 BDC ， O 为三棱锥 A  BCD 的外 接球的球心，过点 O 作 OK  AD ， K 为 AD 的中点，连接 OD 即为外接球的半径 R  12  ( 3 )2  7 ，可得外接球的表面积为22S  4πR2  4π  ( 7 )2  7π .故选 D. 29. 【答案】C【解析】二项式 (x  y)n 的展开式的二项式项的系数和为 64 ，可得 2n  64 ，n  6 ，(2x  3)n  (2x  3)6 ，设 x  1  t ，2x  3  2t  1 ，(2x  3)n  (2x  3)6  (2t  1)6  a 0  a1t  a 2t 2   a 6t 6 ，可得 Tr1  C64 (2t)6414  C64 22t 2  60t 2 ，可知 a2  60 .故选 C. 10.【答案】A【解析】设点 P(x0 ，y0) ，则 x0  y0  6  0 ，则过点 P 向圆 C 作切 线，切点为 A，B ，连接 AB ，则直线 AB 的方程为 xx0  yy0  4 ，可得y0x06，代入可得(xy) x06y40，满足 x y 0 6y  4  0 x 2 3，故过定点为M(2，2).故选A. y2 33311.【答案】B【解析】f (x)  log2 (x2  e|x|) ，定义域为 R ，且满足 f ( x)  f (| x |) ，当 x  0 时，单调递增，而 (5)0.2  1 ， 0  (1)0.3  1 ， b  a ，42cf(log 125)  4f( log25) 4f(log25 4)，而0log25 4 log221， 2( 1 )0.3 21 2，  log 25 4 (1)0.3 ， 2f(log25)  4f(( 1 )0.3 ) 2，故 c a，故 c  a  b .故选 B.12.【答案】D【解析】f (x1)  f (x2 ) x1  x21 x1x2，不妨设 x1x2 ，则f( x1) f (x2 ) 1 x21 x1，整理可得f (x1) 1 x1f (x2 ) 1 x2，设函数 h(x) f (x) 1 xa ln xx1 x在[e2 ，e4 ]上单调递减，可知 h'(x)a(1  ln x2x)1 x2„0，可知 a…1 1  lnx，而函数F ( x)1 1 lnx在[e2，e4 ]单调递增，F (x)maxF (4)11 41 3，可知实数a…1 3.故选D.二、填空题13.【答案】 9 5 5【解析】向量 a b在 a上的投影为| a b|cos (a b)  a|a| (1，5)  (1，2)  9 5 .5514.【答案】 5  2 6【解析】首先作出可行域，把 z  ax  by(a  0，b  0) 变形为 y  a x  z ，根据图象可知当目标函数过点 A 时，取最大值为 1， bb理科数学答案第 1 页（共 4 页） x 2x y 1 0 y40A(3，2)，代入可得3a2b1，则1 a1 b3a a2b 3a  2b  3  2b  3a  2 5  2 2b  3a  5  2 6 ，当且仅当bababb  6 a 取等号，可知最小值为 5  2 6 .故选 C. 215.【答案】 4 3【解析】 cos A  cos B  2 3 sin C ，根据正弦定理 sin B cos A ab3asin Acos B  2 3 sin B sin C ，可知 sin( A  B)  2 3 sin B sin C ，33sin C  2 3 sin B sin C ，sin B  3 ，在 ABC 内，可知 B  π 或3232π ，因为锐角 ABC ，可知 B  π ，利用余弦定理可得 b2  a2  c2 332ac cos B  a2  c2  ac 2ac  ac  ac ，可知 ac „ 16 ，则 ABC 的面积的最大值 1 ac sin B „ 1 16  3  4 3 ，当且仅当 a  c 时，取222等号，故面积的最大值为 4 3 .16.【答案】 4 5【解析】抛物线 C ：y2  2 px( p  0) 的准线方程为 x  2 ，可知抛物线 C 的方程为：y2  8x ，设点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，AB 的中点为 M (x0 ，y0 ) ，则 y12  8x1 ，y22  8x2 两式相减可得 ( y1  y2 )( y1  y2 ) 8(x1 x2 )，y1  y2  x1  x2 8 y1  y2 ，可知    8  (1)  1 2 y0 x0  y0  6  0，解得  x0 y02 4，可得 M(2，4)，则 OA  OB  2OM  2(2，4)  (4，8) ，可得 | OA  OB |  | (4，8) |  42  82  4 5 .三、解答题17.【解析】（1） a1  1，an1  2an  1 ，可得 an1  1  2(an  1) ，{an  1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.--------------- 2 分  an  1  2  2n1  2n ， an  2n  1 .即数列 { an } 的通项公式 an  2n  1 .--------------- 4 分数列 { bn } 的前 n 项的和为 Sn  n2 ，可得 b1  S1  1 ，当 n 2 时， bn  Sn  Sn1  n2  (n  1)2  2n  1 ，故数列 { bn } 的通项公式为 bn  2n  1 .--------------- 6 分（2）可知 cn  bn  an  (2n  1)  (2n  1) (2n  1)  2n  (2n  1) --------------- 7 分设 An  1 2  3 22  5  23   (2n  1)  2 n ， 2 An  1 22  3  23    (2n  3)  2 n  (2n 1)  2 n 1 ， 两式相减可得  An  2  2(22  23   2 n)  (2n  1)  2 n 1 ，可得 An  6  (2n  1)  2n1  2n2 ，--------------- 10 分而数列 {2n 1}的前n项的和为Bn(1 2n 1)  2nn2，所以 Tn  6  (2n  1)  2n1  2n2  n2 .--------------- 12 分 18.【解析】（1）证明： PD  面 ABCD ， PD  BC ，在梯形 ABCD 中，过 B 作 BH  DC 交 DC 于 H ， BH  1 ，BD  DH 2  BH 2  1  1  2 ，BC  2 ，( 2)2  ( 2)2  22 ，即 DB2  BC 2  DC 2 ，即 BC  DB .--------------- 2 分  BC  DB ， PD  BD  D ， BC  平面 PDB ，  BC  平面 EBC 平面 PBC  平面 PDB .--------------- 4 分 （2）连接 PH ， BH  面 PDC ，BPH 为 PB 与面 PDC 所成的角， tan BPH  BH  1 ， BH  1 ， PH  2 ， PH 2 PD2  DH 2  PH 2 ， PD2  1  2 ， PD  1 ，--------------- 6 分以 D 为原点，分别以 DA ， DC 与 PD 为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的E(空0间，2直，角12)坐，标可系知，则PBP(0(1，，01，，1) ，1)A，(A1，B0，(00)，，1B，(01)，1，，0) ，C (0，2，0) ，设平面PAB 可知 PB  a AB  a 设平面 PEB的法向量为 a  (x，y，z) ， 0 0  xy y z 00，可取 a(1，0，1)，-----------的法向量为 b(x，y ，z ) ，BE(1，1，1)，8分2可知 PB BE  b b 0 0 x x y y z 1 2 z0 0 ，可取 b(3，1，4)，-----10分可知两向量的夹角的余弦值为 cos  a  b  1 3  0 11 4| a || b | 1 1 32 1  42 7 13 ，可知两平面所成的角为钝角，可知两平面所成角的余弦 26值为  7 13 .--------------- 12 分 2619.【解析】（1）完成 2  2 列联表， 满意 不满意总计男生302555女生50合计80156540120 ----------- 4 分根据列联表中的数据，得到 K 2  120  (30 15  25  50)2 55 65 80  40 960  6.713  6.635 ，所以有 99% 的把握认为对“线上教育是否 143满意与性别有关”.--------------- 6 分（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，   0，1，2，3 .P(0)C53 C835 ，P( 28 1)C52C31 C8315 28，P(2)C51C32 C8315 ，P( 563)C33 C831 56.---------------8分可得分布列为0123P515152828561------------ 10 分56可得 E( )  0  5  1 15  2  15  3 1  9 .--------------- 12 分 28 28 56 56 820.【解析】（1）x2  4 y ，焦点 F (0 ， 1) ，代入得 b 1，e  c  2 ， a2a2  b2  c2 ，解得 a2  2，b2  1 ， x2  y2  1 ，-------------- 2 分 2 直线的斜率为 1，且经过 (1，0) ，则直线方程为 y  x 1 ，联立   x2 2y2 1，解得y  x 1，x y 0 1或 x y 4 3 1 3， ，C(0，1) ，D( 4 ，1) ，--------------- 4 分 33理科数学答案第 2 页（共 4 页）| CD |  4 2 ，又原点 O 到直线 y  x 1 的距离 d 为 2 ，32 SCOD1 2| CD|d1 242 32  2 .--------------- 6 分 23（2）根据题意可知直线 m 的斜率存在，可设直线 m 的方程为： y  kx  t，ykxt，联立  x2  2y2 1，(2k 2 1)x24ktx2t 220，可得   (4kt)2  4(2k 2  1)(2t 2  2)  0 ，整理可得 t 2  2k 2  1 ，可知 F2 (1，0) ， A(1，k  t)，B(2，2k  t) ，--------------- 8 分则 | AF2 |  (1 1)2  (k  t  0)2 k 2  2kt  t2| BF2 | (2 1)2  (2k  t  0)2 1  (4k 2  4kt  t2) k 2  2kt  t2  2 为定值.--------------- 12 分 2k 2  4kt  2t 2 221.【解析】（1）函数 f (x) 的定义域为 (0， ∞) ，f (x)  x  a  1  x2  ax  1 ，设 h(x)  x2  ax  1 ，xx函数 h(x) 在 (1，3) 内有且只有一个零点，满足 h(1)  h(3)  0 ，可得 (1  a  1)(9  3a  1)  0 ，解得 2  a  10 ， 3故实数 a 的取值范围为 (2，10) .--------------- 4 分3（2） 2 f (x)  2x  2 „ (a 1)x2 ，可以变形为 2ln x  2x  2 „a(x22x)，因为x0，可得a…2ln x x2 2x   2x2，--------------6分设g(x)2ln x  2x  x2  2x2，g' ( x)2(x  1)(2ln x (x2  2x)2x).设 h(x)  2 ln x  x ，h(x) 在 (0， ∞) 单调递增，h(1 )  2ln 2  1  0 ， h(1)  1  0 .22故存在一点 x0  (0.5，1) ，使得 h(x0 )  0 ，--------------- 8 分当 0  x  x0 时， h(x)  0，g'(x)  0 ，函数 g(x) 单调递增；当 x  x0 时， h(x)  0，g'(x)  0 ，函数 g(x) 的最大值为 g(x0) ，且 2 ln x0  x0  0 ，--------------- 10 分g (x)max g(x0) 2ln x0  2x0  2  x02  2x01 x0，可知 a 1 x0，又1 x0 (1，2) ，可得整数 a 的最小值为 2.--------------- 12 分22.【解析】（1）由题可知：2 2   2 cos2   6 ， 2(x2  y2 )  x2  6 ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2  x2  1 ， 32直线 l 的普通方程为 3x  4 y  4  3a  0 ，--------------- 3 分两方程联立可得 33x2  6  (4  3a)x  (4  3a)2  48  0 ，可知   [6  (4  3a)]2  4  33  [(4  3a)2  48]  0 ，解得 a  66  4 或 a   66  4 .--------------- 6 分33（2）曲线 C 的方程y2x21，可设x 2 cos ，32 y  3 sin则 2x  3y  2 2 cos  3 3 sin  (2 2)2  (3 3)2 sin(  ) ，其中 tan  2 6 ，可知最大值为 9(2 2)2  (3 3)2  35 .--------------- 10 分 23.【解析】（1）当 a  1 时， f (x)  | 3x  6 |  | x  1 |  x 10 ，当 x  1时， (3x  6)  (x  1)  x 10 ，解得 x „ 1 ， 可得 x  1；--------------- 2 分 当 1„ x „ 2 时， (3x  6)  (x  1)  x 10 ，解得 x „ 1 ， 可得 x  1； 当 x  2 时， (3x  6)  (x 1)  x 10 ，解得 x 5 ， 综上可得 {x | x 5或x „ 1} .--------------- 4 分 （2）由 f (x)  0 可知， f (x)  | 3x  6 |  | x 1| ax  0 ， | 3x  6 |  | x 1|  ax ，设 g(x)  | 3x  6 |  | x 1| ， h(x)  ax ， 同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，--------------- 6 分 4x  5，x  1， g(x)  2x  7，1„ x „ 2，可得 A(2，3) ， 4x  5，x  2， 当函数 h(x) 与函数 g (x) 的图象有两个交点时，方程 f (x)  0 有两 个不同的实数根，--------------- 8 分由函数图象可知，当 3  a  4 时，有两个不同的解，故实数 a 的 2取值范围为 ( 3 ，4) .--------------- 10 分 2理科数学答案第 3 页（共 4 页）理科数学答案第 4 页（共 4 页）。