【高考数学】2018最新版本高三数学一轮复习课件--立体几何(专题拔高特训)

【规范解答】(1)a+6b-8c=(2,0,5)+6(3,1,-2) -8(-1,4,0) =(2,0,5)+(18,6,-12)-(-8,32,0) =(28,-26,-7). 答案:(28,-26,-7)
(2)①因为P是C1D1的中点,
所以
AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋
1 2
D1C1
AA1
AB
BN
1 2
AA1
AB
1 2
AD
1 2
a
b
1 2
c.
故x 1 , y 1, z 1 .
2
2
【规律方法】 1.用基向量表示指定向量的方法 (1)应结合已知和所求向量观察图形. (2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边 形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用 已知基向量表示出来.
答案: 2
3
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:
A1O－
1 2
AB－
1 2
AD.
(2)用 AB, AD, AA1表示OC1.
(3)设E是棱DD1上的点,且
DE＝
2 3
DD1，
若 EO＝xAB＋yAD＋zAA1， 试求x,y,z的值.
【解析】(1)因为 AB＋AD＝AC，
3.向量的数量积满足交换律、分配律,即a·b=b·a, a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即 (a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-1P97习题3.1A组T2改编)如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设 AB =a, AD=b, AA1=c,则下列向量中与 C1M 相等的向量是 ( )

【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建 立空间直角坐标系,设AB=1, 则D(0,0,0),
N(0,1,
1 2
)，M(0,
1 2
,
0)，A1
1,
0,1，
所以DN
(0,1,
1 2
)，MA1
(1,
1 2
,1），
所以DN
MA1
0 1 1（
1 ） 2
1 1 2
0，
所以 DN M所A1以，A1M与DN所成的角的大小是90°. 答案:90°
则 A(－1,0，2)，B1 1,0,0，B(1,0，2)，C1(0，3，0)，
所以 AB1＝(2,0,－ 2)，BC1＝(－1, 3,－ 2)， 因为 AB1 BC1＝(2,0,－ 2) (－1, 3,－ 2)＝0， 所以 AB1 即BC异1，面直线AB1和BC1所成角为直角，则其 正弦值为1.
b.如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面 α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=_c_o_s_<n__1,_n_2_> 或_-_c_o_s_<_n_1_,_n_2>_.
【特别提醒】 1.利用 | AB |2 ＝AB AB 可以求空间中有向线段的长度． 2.点面距离的求法
【变式训练】将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以
A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,异面直线AD
与BC所成的角为 ( )
A.
B.
C.
D.
6
4
3
2
【解析】选C.不妨以△ABC为底面,则由题意当以 A,B,C,D为顶点的三棱锥体积最大,即点D到底面△ABC 的距离最大时,平面ADC⊥平面ABC,取AC的中点O,连接 BO,DO,则易知DO,BO,CO两两互相垂直,所以分别以 OD,OB,OC 所在直线为z,x,y轴建立空间直角坐标系,令 BO=DO=CO=1,则有O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0,1),

【规律方法】用向量法证平行问题的类型及常用方法
线线平行
证明两直线的方向向量共线
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向 量垂直 ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方 线面平行 向向量平行 ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两 个不共线的向量线性表示
线线平行
证明两直线的方向向量共线
①证明两平面的法向量平行(即为共线向量) 面面平行 ②转化为线面平行、线线平行问题
【证明】因为平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方 形,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点,建立如图 所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2), E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0). PB =(2,0,-2), FE＝(0,－1,0)， ＝FG(1,1，－1)，
设 PB＝sFE＋tFG，
即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
t 2,
所以 t s 解0得, s＝t＝2.所以
PB＝2FE＋2FG，
t 2,
又因为 FE与 F不G共线，所以 与PB 共FE面，FG．
因为PB⊄平面EFG，所以PB∥平面EFG.
考向二 利用空间向量证明垂直问题 【典例2】(2016·开封模拟)如图,已知AB⊥平面 ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB. 求证：平面BCE⊥平面CDE.
第七节 立体几何中的向量方法 第一课时 利用空间向量证明空间中的
位置关系
【知识梳理】 1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所 在直线与直线l_平__行__或_重__合__,则称此向量a为直线l的方 向向量.

设矛盾．
[答案] D
解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体
的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可
利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三 棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．
1．(2013· 天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称
它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命 题中，假命题是 A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或 ( )
目 录
立体几何
第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图
第二节 空间几何体的表面积和体积
第三节 空间点、直线、平面间的位置关系 第四节 直线、平面平行的判定及性质 第五节 直线、平面垂直的判定与性质 第六节 空间向量及其运算和空间位置关系
第七节 空间向量与空间角
立体几何
[知识能否忆起] 一、多面体的结构特征 多面体 结构特征 有两个面 互相平行 ，其余各面都是四边形，并 棱柱 平行且相等 且每相邻两个面的交线都 ___________ 有一个面是 多边形 ，而其余各面都是有一个 公共 顶点 棱锥 ____ 的三角形 底面 截面 底面 棱锥被平行于 的平面所截， 和 棱台 之间的部分
标轴 平行于y轴的线段长度在直观图中
． 不变
变为原来的一半
五、三视图 几何体的三视图包括 正视图 、 侧视图 、俯视图 ，
分别是从几何体的 正前方 、正左方 、 正上方 观察几何
体画出的轮廓线．
[小题能否全取] 1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正
确的是
A．球的三视图总是三个全等的圆 B．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 判 一个平面过另一个平面的 定 垂线 _______， 则这两个平面互 定 相垂直 理 性 两个平面互相垂直，则一 质 交线 个平面内垂直于________ 定 的直线垂直于另一个平面 理 图形语言 符号语言 l⊂ β l⊥ α ⇒ α⊥ β α⊥ β l⊂ β α∩β＝a l⊥ a ⇒ l⊥ α
4．设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内， 直线 b 在平面 β 内，且 b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的
充分不必要 条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或 ___________
“充要”或“既不充分也不必要”) [解析] 若 α⊥β，因为 α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两 个平面垂直的性质定理可得 b⊥α，又 a⊂α，所以 a⊥b；反 过来， 当 a∥m 时， 因为 b⊥m， 且 a， m 共面， 一定有 b⊥a， 但不能保证 b⊥α，所以不能推出 α⊥β.
第七章
立体几何
第 5讲
直线、平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 一条直线与一个平面内的 判定 两条相交直线 ____________都垂直，则 定理 该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 a，b⊂α a∩b＝O ⇒ l⊥ a l⊥ b l⊥ α 性质 垂直于同一个平面的两条 定理 直线________ 平行 a⊥α ⇒a∥b b⊥α
∠AOB 平面内分别作 BO⊥l，AO⊥l，则____________
就叫做二面角 αlβ 的平面角． ③二面角的范围
[0，π] 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈____________ ． π ④当 θ＝______ 时，二面角叫做直二面角． 2

④已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向
量 p 总存在实数 x，y，z 使得 p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
解析：a 与 b 共线，a，b 所在直线也可能重合，故①不正确； 根据自由向量的意义知，空间任两向量 a，b 都共面，故②错误； 三个向量 a，b，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面， 故③不正确；只有当 a，b，c 不共面时，空间任意一向量 p 才能 表示为 p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确 的个数为 0，故选 A.
[解析] 由题意，设O→Q＝λO→P，即 OQ＝(λ，λ，2λ)， 则Q→A＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴Q→A·Q→B＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10＝6λ－432－23，当 λ＝43时有最小值，此时 Q 点坐标为43，43，83. [答案] 43，43，83
第十页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
[知识重温]
一、必记 2●个知识点
1．空间向量及其有关概念
语言描述
共线向量(平 表示空间向量的有向线段所在的直线互相①
行向量)
平__行__或__重__合__
共面向量
平行于②同__一__平__面__的向量
共线向量定理
对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在 λ ∈R，使③_a_＝__λb____
第十三页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
(2)向量的坐标运算：
向量和
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a＋b＝⑦__(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)__

2.(必修2P19练习T3改编)利用斜二测画法得到的:
①三角形的直观图一定是三角形;
②正方形的直观图一定是菱形;
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;
④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的个数是
.
【解析】由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一 般的平行四边形;③错误,等腰梯形的直观图不可能是平 行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,④也错误. 答案:1
2.已知三视图,判断几何体的技巧 (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉. (2)明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视 图还原为直观图. (3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则. 易错提醒:对于简单组合体的三视图,应注意它们的交 线的位置,区分好实线和虚线的不同.
【题组通关】
1.(2016·临沂模拟)某几何体的三视图如图所示,那么
2.给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的 连线是圆柱的母线; ②在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的 连线是圆台的母线;
③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.③
【解析】选D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质
2
4
在图②中作C′ OC 6 a.
2
8
所以S△A′B′C′=
1 AB CD 1 a 6 a 6 a2.
2
2 8 16
(2)选C.如图,在原图形OABC中, 应有OD=2O′D′=2 2 2 (4cm2 ), CD=C′D′=2cm,
所以OC= OD2 CD2 4 2 2 所22以O6Acm=O, C,
球

答案：B
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
3．(2017·合肥一模)某几何体的三视
图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2
8 B.3
C．3
10 D. 3
第三十页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
解析：该几何体为一个横放的直三棱柱切去一个三棱锥后
的图形．原直三棱柱的体积为V1＝
1 2
×2×2×2＝4，切去的三棱
锥的体积为V2＝13×12×2×2×1＝23，则该几何体的体积为V＝V1
－V2＝4－23＝130.故选D.
答案：D
第三十一页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
4．(2017·江西南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的 正视图与侧视图的面积之比为( )
第二十八页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[通·一类]——
2．(2016·课标全国卷Ⅲ)如图，网格 纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的表
面积为( )
A．18＋36 5 B．54＋18 5
C．90
D．81
解析：由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方 形，高为6，侧棱长为3 5 ，则该几何体的表面积S＝2×32＋ 2×3×3 5＋2×3×6＝54＋18 5.故选B.
——[悟·技法]—— 空间几何体结构特征的解题策略
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特 征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型 中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判 定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是 错误的，只要举出一个反例即可．

第四节 直线、平面平行的判定及其性质
【知识梳理】 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
平面外一条直线 判 与_此__平__面__内__的一 定 条直线平行,则该 定 直线与此平面平 理 行(线线平行⇒线
面平行)
图形语言
符号语言
因为_l∥__a_,_
_a_⊂_α__,_l_⊄_α__, 所以l∥α
【特别提醒】 1.两个平面平行的有关结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α, a⊥β,则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β, β∥γ,则α∥γ. 2.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否 则会出现错误.
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修2P61练习改编)下列命题中正确的是 ( ) A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何 平面 B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直 线平行
考向一 直线与平面平行的判定与性质
【考情快递】
命题方向
命题视角
证明直线与平面 主要考查利用线面平行的判定定理或
平行
利用面面平行的性质证明线面平行
线面平行性质定 主要考查利用线面平行性质定理得出
理的应用
线线平行,进而求解其他问题
【考题例析】 命题方向1:证明直线与平面平行 【典例1】(2015·山东高考改编题)如图,在三棱台DEFABC中,AB=2DE,点G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平 面FGH.
感悟考题 试一试
3.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是
直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件

向量的 夹角
a∥ b
名称
定义
若l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点， 直线的方 则称 为直线l的_________，显然，与 平 向向量 方向向量 AB AB 行的任意非零向量a也是直线l的方向向量 平面的 法向量 单位向量 如果直线l垂直于平面α ，那么把_______ _________叫作平面α 的法向量 直线l的 方向向量 对于任意一个非零向量a，我们把___叫作
aa
2 2 a12 a 2 a3
【教材拓展微思考】 1.共线向量与共面向量相同吗?
提示:不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.
2.零向量能作为基向量吗? 提示:不能.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任 意两个非零向量共面,故零向量不能作为基向量.
3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗? 提示:无关.这是因为一个确定的几何体,其“线线”夹
2.已知a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y 的值为________.
【解析】由|a|=6，得
2 4 x 又a⊥b，所以2×2+4y+2x=0.即x+2y=-2，
2 2 2
=6，解得x=±4，
当x=4时，得y=-3，所以x+y=1，
当x=-4时，得y=1，所以x+y=-3.
a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3) 垂直 夹角 模 a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 cos<a，b>= a b ab |a|= =
a1b1 a 2 b2 a 3b3 =_____________________ 2 2 2 2 2 2 a1 a 2 a 3 b1 b2 b3