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运动. 又如方程
2z x 2
2z y2
0
称为拉普拉斯(laplace)方程, 它在热传导、流体
运动等问题中有着重要的作用.
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练习 1、验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程:
2z x 2
2z y2
0.
证. 因 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
f y ( x,
y)
x3 x2 y2
2x3 y2 ( x2 y2 )2
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在例6中两个混合二阶偏导数相等, 但在 例7中两者不相等, 这说明混合偏导数与求偏 导数的次序有关.
定理 如果函数 z f ( x, y)的两个二阶混合偏
导数 fxy( x, y)与f yx ( x, y)在区域D内 连续，那么在 该区域内
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记为
z ,
x x x0 y y0
f ,
x x x0 y y0
z , x
x x0 y y0
或
f x ( x0 , y0 ).
同理, 可定义函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处
对y的偏导数, 为
lim yz lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
x y
y2 x3
g
y x
2u xy
x y2
f
x y
y x2
g
y x
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练习 3.
f
(
x,
y)
x
2
xy y2
0
( x, y) (0,0)在点(0,0)处( C ). ( x, y) (0,0)
2z yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
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例6. 求z x3 y2 xy 的四个二阶偏导数.
解. z 3x2 y2 y, x
2z x 2
6 xy2 ,
2z 6x2 y 1; xy
z 2x3 y x, y
f xy( x, y) f yx ( x, y).
一般地, 多元函数的高阶混合偏导数如果连 续就与求导次序无关.
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多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微
分方程. 偏微分方程是描述自然现象、反映自然
规律的一种重要手段. 例如方程
2z y2
a2
2z x 2
(a是常数)称为波动方程, 它可用来描述各类波的
如, u f ( x, y, z)在( x, y, z)处
f ( x x, y, z) f ( x, y, z)
fx(x, y,z)
lim
x0
x
,
f y( x, y, z) lim f ( x, y y, z) f ( x, y, z) ,
y0
y
fz ( x,
A. 连续,偏导数存在; B. 连续,偏导数不存在; C. 不连续,偏导数存在; D. 不连续,偏导数不存在.
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五、小结
偏导数的定义 (偏增量比的极限) 偏导数的计算
偏导数的几何意义
0
f
y
(0,0)
lim
y0
f (0,0 y) y
f (0,0)
lim 0 y0 y
0
注 由以上计算可知, f ( x, y) 在点(0,0)处可偏导, 但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的.
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三、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续
多元函数中在某点偏导数存在
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
z y y
2z y2
f yy ( x, y)
y
z x
2z xy
fxy( x, y),
z x y
z f ( x, y)对自变量x的偏导函数 (简称偏导数),
记作
z , x
f x
,
zx
或
f x ( x, y).
同理, 可定义函数 z f ( x, y) 对自变量y的
偏导函数 (简称偏导数),
记作 z , y
f , y
zy 或
f y( x, y).
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偏导数的概念可以 推广到二元以上函数
当( x, y) (0,0),
当(
x
,
y
)
求f (0,0).
xy
(0,0)和f
xy
(0,0).
当( x, y) (0,0)时, 按定义得
f
x
(0,0)
lim
x0
f
(0 x,0) x
f (0,0)
lim 0 x0 x
0
f
y
(0,0)
lim
y0
f
(0,0 y) y
x
x0
在点 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))
处的切线对y轴的斜率.
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例4.
f
(
x,
y)
xy x2
y2
当( x, y) (0,0),
0 当( x, y) (0,0).
求f ( x, y)的偏导数.
解. 当( x, y) (0,0)时,
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数。
y, z)
lim
z0
f
( x,
y, z
z) z
f
( x,
y, z) .
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求多元函数的偏导数 并不需要新的方法, 如求f x ( x, y),只需将y 看作常量,利用一元函数 的求导法对x求导即可.
例1. 求 z x y ( x 0) 的偏导数.
解. z yx y1, z x y ln x
x
y
求某一点的偏导数时, 可将其它变量的值 代入, 变为一元函数,再求导, 常常较简单.
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例2.求f ( x, y, z) (z a xy )sinln x2在点(1,0,2)处的 三个偏导数.
解.
f x (1,0,2) [ f ( x,0,2)]
[sin ln x2 ] x1
2
z x
x2
x
y2
,
2z x 2
(x2 y2) x 2x ( x2 y2 )2
(
y2 x2
x2 y2 )2
,
由x, y在函数表达式中的对称性, 立即可写出
z y y x2 y2 ,
2z y2
x2 y2 ( x2 y2 )2
,
即证.
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2 cosln x2 2
x
x1
f y (1,0,2) 0 y0 0
fz (1,0,2) 0 z2 0
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例3. 已知理想气体的状态方程pV RT ,其中
p为压强,V为体积,T为温度, R为常数,
求证 : p V T 1 V T p
二、偏导数的几何意义
设二元函数 z f ( x, y)在点 M0( x0 , y0 ) 有
偏导数. 如图,
z z f (x, y)
设M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))
M0 z f ( x, y0 )
为曲面 z f ( x, y) 上的一点,
过点 M0 作平面 y y0 , 此平面
与曲面相交得一曲线, 曲线的
y0
方程为
z
y
f (x, y0 .
y),
O
x0
x
y
由于偏导数 f x ( x0 , y0 ) 等于一元函数 f ( x, y0 )的
导数 f ( x, y0 ) xx0 ,故由一元函数导数的几何意义
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可知:
偏导数 f x ( x0 , y0 )在几何上表示
例5.选择题.
二元函数f(x, y)在点 (x0, y0)处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是 f (x, y) 在该点连续的 ( D ).
A. 充分条件而非必要条件 B. 必要条件而非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分条件又非必要条件
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四、高阶偏导数
练习
2、设u
yf
x y
xg
y x
, 其 中f
,
g有 连 续 的
二阶 导数, 求x
2u x 2
y
2u xy
.
答案: 0
解.
u x
f
x y
g
y x
