偏导数与全微分各类题目举例

第十四章 偏导数与全微分§1. 偏导数与全微分的概念1．求下列函数的偏导数： (1) 222ln()u x x y =+； (2) ()cos()u x y xy =+； (3) arctanx u y=； (4) x u xy y=+； (5) sin()xy u xye=；(6) yxu x y =+. 2．设2222221sin , 0,(,)0, 0.y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩考察函数在(0,0)点的偏导数.3．证明函数u =(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分：(1) u = (2) yzxu xe ey -=++.5．求下列函数在给定点的全微分：(1) u =(1,0)和(0,1)；(2 ) 2ln()u x y =+在点(0,1)和(1,1)；(3) u =在点(1,1,1)；(4) (u x y =+-在点（0，1）. 6．考察函数(,)f x y 在(0,0)点的可微性，其中2222221sin , 0,(,)0, 0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩7．证明函数2222222, 0,(,) 0, 0.x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。

8．证明函数222222221()sin , 0,(,) 0, 0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而f 在原点(0,0)可微。

9．设22222222, 0,(,) 0, 0.x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩证明f x ∂∂和f y∂∂在(0,0)点连续.10．设22()2222221, 0,(,) 0, 0.x x y e x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩证明(,)f x y 在(0,0)点可微，并求(0,0)df .11．设3222222, 0,(,) 0, 0.x x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩(1) (),()x x t y y t ==是通过原点的任意可微曲线（即22(0)(0)0;0x y t +=≠时，22()()0,()x t y t x t +≠、()y t 可微）.求证((),())f x t y t 可微.(2) (,)f x y 在(0,0)不可微.12．设,x y 很小，利用全微分推出下列各式的近似公式： (1) (1)(1);mnx y ++ (2) arctan1x yxy++. 13．设(,)u f x y =在矩形：,a x b c y d <<<<内可微，且全微分du 恒为零，问(,)f x y 在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论.14．设fx∂∂在00(,)x y 存在，f y ∂∂在00(,)x y 连续，求证(,)f x y 在00(,)x y 可微.15．求下列函数的所有二阶偏导数：(1) u = (2) yu xy x=+；(3) sin()cos()u x x y y x y =+++； (3) xyu e =.16．求下列函数指定阶的偏导数：(1) 33sin sin u x y y x =+,求633ux y∂∂∂；(2) arctan1x yu xy+=-，求所有三阶偏导数； (3) 22sin()u x y =+,求33u x∂∂，33uy ∂∂；(4) x y zu xyze++=,求p q r p q r ux y z++∂∂∂∂； (5) x yu x y +=- ()x y ≠，求m n m n u x y +∂∂∂；(6) ln()u ax by =+,求m n m n ux y+∂∂∂.17．验证下列函数满足22220u ux y ∂∂+=∂∂. (1) 22ln()u x y =+； (2) 22u x y =-； (3) cos x u e y =； (4) arctany u x=. 18．设函数(())u x y ϕψ=+，证明222u u u ux x y y x ∂∂∂∂=∂∂∂∂∂.19．设,x y f f 在点00(,)x y 的某邻域内存在且在点00(,)x y 可微，则有0000(,)(,)xy yx f x y f x y =.§2. 求复合函数偏导数的链式法则1．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) (,)u f ax by =； (2) (,)u f x y x y =+-； (3) 22(,)u f xy x y =； (4) (,)x y u f y z=；(5) 222()u f x y z =++； (6) (,,)x u f x y xy y=+.2．设22()yz f x y =-，其中f 是可微函数，验证 211z z zx x y y y∂∂+=∂∂.3．设1()rv g t r c=-，c 为常数，函数g 二阶可导，r = 证明 2222222221v v v v x y z c t∂∂∂∂++=∂∂∂∂.4．若函数(,,)f x y z 对任意正实数t 满足关系(,,)(,,)n f tx ty tz t f x y z =，则称(,,)f x y z 为n 次齐次函数.设(,,)f x y z 可微，试证明(,,)f x y z 为n 次齐次函数的充要条件是(,,)f f f xy z nf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂. 5．验证下列各式： (1) 22()u x y ϕ=+,则0u uyx x y ∂∂-=∂∂； (2) 22()u y x y ϕ=-,则u u xuyx x y y∂∂+=∂∂； (3) ()()u x x y y x y ϕψ=+++,则2222220u u ux x y y∂∂∂-+=∂∂∂∂； (4) ()()y y u x x xϕψ=+,则222222220u u u xxy y x x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂. 6．设(,)u f x y =可微，在极坐标变换cos x r θ=，sin y r θ= 下，证明2222()()()()z z z zx y u v∂∂∂∂+=+∂∂∂∂. 这时称22()()z z x y∂∂+∂∂是一个形式不变量. 8．设函数(,)u f x y =满足拉普拉斯方程22220u ux y ∂∂+=∂∂，证明在下列变换下形状保持不变，即仍有22220u us t∂∂+=∂∂.(1) 22s x s t =+,22ty s t=+； (2) cos ,sin ssx e t y e t ==； (3) (,),(,)x s t y s t ϕψ==满足,s t t sϕψϕψ∂∂∂∂==-∂∂∂∂.这组方程称为柯西－黎曼方程. 9．作自变量的变换，取,,ξηζ为新自变量： (1) 22,x x y ξη==+,变换方程0z zyx x y∂∂-=∂∂； (2) ,,x y x z x ξηζ==-=-,变换方程0u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂. 10．作自变量和因变量的变换，取,u v 为新的自变量，(,)w w u v =为新的因变量： (1) 设,,y zu x y v w x x=+==，变换方程 2222220z z zx x y y∂∂∂-+=∂∂∂∂； (2) 设,,xu v x w xz y y===-，变换方程 2222z z y y y x∂∂+=∂∂. 11．求下列方程所确定的函数(,)z f x y =的一阶和二阶偏导数： (1) 20xyx ez e --+=；(2) x y zx y z e++++=；(3) xyz x y z =++；(4) 22222450x y z x y z ++-+--=. 12．求由下列方程所确定的函数的全微分dz ； (1) (,)z f xz z y =-； (2) (,,)0F x y y z z x ---=； (3) 222(,)0f x y z x y z ++++=； (4) (,)(,)0f x y g y z +=.13．设(,)z z x y =由方程222()z x y z yf y++=所确定，证明222()22z z x y z xy xz x y∂∂--+=∂∂。

第一节偏导数与全微分一、单项选择题()()()()()00001.lim 11.0 . . .222.,,. . . .3.,x y A B C D z z z f x y x y x y A B C D f x y →→=-+∞∂∂=∂∂函数在点处的两个偏导数和存在是它在该点处可微的充分条件必要条件充要条件无关条件关于函数()()()()()()()()()222222, 00, 0.,0,0 .0,00.0,00 .,0,04.,1tan x y xy x y x y x y A f x y B f C f D f x y f x y xy x ⎧⎫+≠⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪+=⎩⎭===+-下列表述错误的是在点处连续在点处不可微设函数则()()()()22221,0.0 .1 .2 .5.3,.6 .6 .3 .36.sin ,.2sin .cos y f A B C D z z x y y A y B xy C x D x z z x y x y xA xy yB x x y =∂==∂∂=+=∂++不存在设函数则设二元函数则()2222222.2sin .sin 7.1.1 .2 . .C xy x y D x y yz z z x y A B C x y D x y ++⎛⎫∂∂⎛⎫=+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭++设二元函数则()()()()()20,1228.,|.0 .1 .2 .1,9.,,.2 .2 .2 .221x yz z xy e x A B C D f x y f xy x y x y x A B x C y D x y ∂=+=∂-∂-=+=∂+设函数则已知则()()()()()()()()331,12222220.ln ,|1. .33. .22 0,11.,0, z x y dz A dx dy B dx dy C dx dy D dx dy x y x y z f x y x y =+=++++++≠==+设则设()()()()()()()()()()0,(,)0,0;0,00,0,,,0,0 ,0,0.1 .2 .3 .412.,,lim x y x y f x y f f f x y f x y f x y A B C D f x y a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪=⎩⎭''''则下列四个结论中，①在处连续②，存在；③在处连续；④在处可微.正确结论的个数为设在点处有偏导数，则()()()()()()()()()02222,,.0 .2, ., .,13.=ln ,32,232.ln 32+ .ln 332h x x y f a h b f a h b hA B f a b C f a b D f a b x z z u v u v x y y x x x x A x y B x y x y y y →+--=∂==-=∂--设函数而则()()()()()()2222222232+ 322.ln 32+ .ln 32+3232x y x y yx x x x C x y D x y y x y y y x y y ------二、填空题()()()()()()()2221021.,ln ,1,1 .22.,4,, .23.,lim , .ln 34., .5.3, y x y x y x y y x f x y y f y f x y e xye f x y x y f x y f x y x y z x dz z x y dz --→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭+==+==--===+=设则已知函数则函数设则设则设函数则()()()()()()()()2221,1320 .6.,sin ,, .7., .8.1,| .9.2,sin ,,| .110.x y y t t f x y xy df x y z z f x y e y z z xy y du u x y xy x t y e dt f x z f xy yf x y x ===⎛⎫∂=+= ⎪ ⎪∂⎝⎭∂=+=∂=++===''=++设则设可微，则已知则设则设连续，2, .z x y∂=∂∂则2211., .12.ln = .x yz z e x yz z x y ∂==∂∂∂=∂∂设则设则二、计算题()()()2222220022222ln 1.,0,,2.arcsin .413.lim sin 4.sin ,,,.5.ln 6.,x y xxy y f x y x y x f x y x x y z x y x y z z z z x y ye x x x y z z z x y x yz z y x y→→⎛⎫+=-≠ ⎪⎝⎭+=+++∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂=∂∂设求求函数计算极限设函数求设求已知求()()()()()()()2222327.,.8.2sin 2323,,,.9.,,sin ,10.,,,00.11.,,,,.12.x x y x xy z z e dz z z x y z x y x z f x y x ydz z f x e x dxu f x y z y y x z z x e y e xz du dxy z z z z x f xy f x y y x y +=∂∂+-=+-=+∂∂====-=-=∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂∂⎝⎭设求设确定了函数求求设有连续偏导数和分别由方程和所确定，求设具有连续的二阶偏导数，求设()()()()()()()()()222222,cos ,sin ,,,.13.0+0.10;210,11,z z z u v uv u x y v x y x yz z f u z f x y f u f u uf f f u ∂∂=-==∂∂∂∂=+=∂∂'''+='==而求设函数在，∞内具有二阶导数，且满足等式验证若求函数的表达式.四、证明题()()()()()()()()()2221.,,.2.,,,0,.3.,,0.4.1ln ,x f f f x y x y x y x y x yz z z x y xy xf z y z xf z y z x z y f z x y z z z z z x y F x y x y z xy y x x yy z z xf x y x f x x x ϕϕϕ∂∂-+=-+=+∂∂∂∂''=++≠-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂∂⎛⎫∂∂++=+=- ⎪∂∂⎝⎭∂⎛⎫=+- ⎪∂⎝⎭证明设是的函数且证明：设函数由方程所确定，证明：设其中是任意的二次可微函数，求证：()22221.z y x y y ∂-=+∂。