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分治法解决问题的步骤一、基础概念类题目（1 - 5题）题目1：简述分治法解决问题的基本步骤。
解析：分治法解决问题主要有三个步骤：1. 分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立且与原问题形式相同的子问题。
例如，对于排序问题，可将一个大的数组分成两个较小的子数组。
2. 求解（Conquer）：递归地求解这些子问题。
如果子问题规模足够小，则直接求解（通常是一些简单的基础情况）。
对于小到只有一个元素的子数组，它本身就是有序的。
3. 合并（Combine）：将各个子问题的解合并为原问题的解。
在排序中，将两个已排序的子数组合并成一个大的有序数组。
题目2：在分治法中，分解原问题时需要遵循哪些原则？解析：1. 子问题规模更小：分解后的子问题规模要比原问题小，这样才能逐步简化问题。
例如在归并排序中，不断将数组对半分，子数组的长度不断减小。
2. 子问题相互独立：子问题之间应该尽量没有相互依赖关系。
以矩阵乘法的分治算法为例，划分后的子矩阵乘法之间相互独立进行计算。
3. 子问题与原问题形式相同：方便递归求解。
如二分查找中，每次查找的子区间仍然是一个有序区间，和原始的有序区间查找问题形式相同。
题目3：分治法中的“求解”步骤，如果子问题规模小到什么程度可以直接求解？解析：当子问题规模小到可以用简单的、直接的方法（如常量时间或线性时间复杂度的方法）解决时，就可以直接求解。
例如，在求数组中的最大最小值问题中，当子数组只有一个元素时，这个元素既是最大值也是最小值，可以直接得出结果。
题目4：分治法的“合并”步骤有什么重要性？解析：1. 构建完整解：它将各个子问题的解组合起来形成原问题的解。
例如在归并排序中，单独的两个子数组排序好后，只有通过合并操作才能得到整个数组的有序排列。
2. 保证算法正确性：如果合并步骤不正确，即使子问题求解正确，也无法得到原问题的正确答案。
例如在分治算法计算斐波那契数列时，合并不同子问题的结果来得到正确的斐波那契数是很关键的。
算法练习题---算法概述一、选择题1、下面关于算法的描述，正确的是（）A、一个算法只能有一个输入B、算法只能用框图来表示C、一个算法的执行步骤可以是无限的D、一个完整的算法，不管用什么方法来表示，都至少有一个输出结果2、一位爱好程序设计的同学，想通过程序设计解决“韩信点兵”的问题，他制定的如下工作过程中，更恰当的是（）A、设计算法，编写程序，提出问题，运行程序，得到答案B、分析问题，编写程序，设计算法，运行程序，得到答案C、分析问题，设计算法，编写程序，运行程序，得到答案D、设计算法，提出问题，编写程序，运行程序，得到答案3、下面说法正确的是（）A、算法+数据结构=程序B、算法就是程序C、数据结构就是程序D、算法包括数据结构4、衡量一个算法好坏的标准是（）。
A、运行速度快B、占用空间少C、时间复杂度低D、代码短5、解决一个问题通常有多种方法。
若说一个算法“有效”是指( )。
A、这个算法能在一定的时间和空间资源限制内将问题解决B、这个算法能在人的反应时间内将问题解决C、这个算法比其他已知算法都更快地将问题解决D、A和C6、算法分析中，记号O表示（），记号Ω表示（）。
A.渐进下界B.渐进上界C.非紧上界D.非紧下界7、以下关于渐进记号的性质是正确的有：（）A.f(n)(g(n)),g(n)(h(n))f(n)(h(n))=Θ=Θ⇒=ΘB.f(n)O(g(n)),g(n)O(h(n))h(n)O(f(n))==⇒=C. O(f(n))+O(g(n)) = O(min{f(n),g(n)})D.f(n)O(g(n))g(n)O(f(n))=⇔=8、记号O的定义正确的是（）。
A. O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n≥n0有：0≤f(n) ≤cg(n) }；B. O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n≥n0有：0≤cg(n) ≤f(n) }；C. O(g(n)) = { f(n) | 对于任何正常数c>0，存在正数和n0 >0使得对所有n≥n0有0 ≤f(n)<cg(n) }；D. O(g(n)) = { f(n) | 对于任何正常数c>0，存在正数和n0 >0使得对所有n≥n0有：0 ≤cg(n) <f(n) }；9、记号Ω的定义正确的是（）。
2024年3月青少年软件编程Python等级考试试卷四级真题（含答案和解析）分数：100 题数：38一、单选题(共25题，共50分)。
1. 运行如下代码，若输入整数3，则最终输出的结果为？（）def f(x):if x==1:s=1else:s=f(x-1)*xreturn sn=int(input("请输入一个大于1的整数："))print(f(n)+f(n-1))A. 2B. 4C. 8D. 16标准答案：C。
试题解析：由于f(3)=f(2)*3,f(2)=f(1)*2,f(1)=1,所以f(3)+f(2)=6+2=8。
2.运行下列程序，输出的结果是？（）def fun(x):if x > 3:return x * fun(x-1)else:return xprint(fun(6))A. 120B. 360C. 720D. 60标准答案：B。
试题解析：递归函数求解，根据递归函数6*5*4*3=360。
3. 下列关于递归的描述不正确的是？（）A. 递归函数一定包含if语句。
B. 递归函数体内一定包含调用自身的语句。
C. 在调用自身函数时需要明确的边界终止条件与边界值。
D. 递归算法一般代码简洁，执行效率高，空间复杂度低。
标准答案：D。
试题解析：递归算法一般代码简洁，易于理解，但执行效率较低，空间复杂度高。
4. 运行下列程序，输出的结果是？（）def fun(a, n):s = 0for i in range(1, n+1):temp = str(a)*is += int(temp)return sprint(fun(1, 3))A. 3B. 6C. 12D. 123标准答案：D。
试题解析：递推函数求解，本题是求1+11+111之和。
5. 运行下列程序，输出的结果是？（）def fun(a, b):s = 0a = a[::-1]for i in range(len(a)):s += int(a[i])*b**ireturn sprint(fun('45', 16))A. 69B. 45C. 64D. 61标准答案：A。
分治法1、二分搜索算法是利用（分治策略）实现的算法。
9. 实现循环赛日程表利用的算法是（分治策略）27、Strassen矩阵乘法是利用（分治策略）实现的算法。
34．实现合并排序利用的算法是（分治策略）。
实现大整数的乘法是利用的算法（分治策略）。
17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（分治法）。
29、使用分治法求解不需要满足的条件是（子问题必须是一样的）。
不可以使用分治法求解的是（0/1背包问题）。
动态规划下列不是动态规划算法基本步骤的是（构造最优解）下列是动态规划算法基本要素的是（子问题重叠性质）。
下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（动态规划法）备忘录方法是那种算法的变形。
（动态规划法）最长公共子序列算法利用的算法是（动态规划法）。
矩阵连乘问题的算法可由（动态规划算法B）设计实现。
实现最大子段和利用的算法是（动态规划法）。
贪心算法能解决的问题：单源最短路径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题，不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题是贪心算法的基本要素的是（贪心选择性质和最优子结构性质）。
回溯法回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（排列树）。
剪枝函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（确定解空间的时间）分支限界法最大效益优先是（分支界限法）的一搜索方式。
分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（最大堆）。
分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（最小堆）优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（结点的优先级）在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( 分支限界法).从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( 栈式分支限界法)之外都是最常见的方式.（1）队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。
（2）优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。
2、基本算法语句：①输入语句。
输入语句的格式：INPUT “提示内容”；变量②输出语句。
输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式③赋值语句。
赋值语句的一般格式：变量=表达式④条件语句。
（1）“IF—THEN—ELSE”语句格式：IF 条件THEN语句1ELSE语句2END IF⑤循环语句。
（1）当型循环语句当型（WHILE型）语句的一般格式为：WHILE 条件循环体WEND（2）“IF—THEN”语句格式：IF 条件THEN语句END IF（2）直到型循环语句直到型（UNTIL型）语句的一般格式为：DO循环体LOOP UNTIL 条件高中数学必修三《算法初步》练习题一、选择题1．下面对算法描述正确的一项是 （ ）A ．算法只能用伪代码来描述B ．算法只能用流程图来表示C ．同一问题可以有不同的算法D ．同一问题不同的算法会得到不同的结果2．程序框图中表示计算的是 ( )．A ．B CD3将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句正确一组是 ( )A B C D ．4. 计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）1a = 3b = a a b =+ b a b =-PRINT a ，b A ．1,3 B ．4,1 C ．0,0 D ．6,05．当2=x 时，下面的程序运行后输出的结果是 ( )A ．3B ．7C ．15D ．17 6. 给出以下四个问题：①输入一个数x , 输出它的相反数 ②求面积为6的正方形的周长 ③输出三个数,,a b c 中的最大数 ④求函数1,0()2,0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩的函数值其中不需要用条件语句来描述其算法的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个7．图中程序运行后输出的结果为 ( ) A. 3 43 B. 43 3 C. 18- 16 D. 16 18-8. 如果右边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中 UNTIL 后面的“条件”应为 ( )A. i>10B. i<8C. i<=9D. i<99. INPUT 语句的一般格式是( )A. INPUT “提示内容”；表达式B.“提示内容”；变量C. INPUT “提示内容”；变量D. “提示内容”；表达式10．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（ ）A ． 一个算法只能含有一种逻辑结构 B. 一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C. 一个算法必须含有上述三种逻辑结构D. 一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合11. 如右图所示的程序是用来 ( )A ．计算3×10的值B ．计算93的值C ．计算103的值D ．计算12310⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯的值12. 把88化为五进制数是（ ）A. 324(5)B. 323(5)C. 233(5)D. 332(5)13．下列判断正确的是 ( )A.条件结构中必有循环结构B.循环结构中必有条件结构C.顺序结构中必有条件结构D.顺序结构中必有循环结构14. 如果执行右边的框图，输入N =5，则输出的数等于（ ） A ．54B.45C. 65 D.5615．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是 ( )A ．2()f x x =B ．1()f x x =C ．()ln 26f x x x =+-D ． ()f x x =二、填空题： 16．（如右图所示）程序框图能判断任意输入的正整数x 是奇数或是偶数, 其中判断框内的条件是_____________17．执行右边的程序框图， 若0.8p =，则输出的n =18. 读下面程序 , 该程序所表示的函数是19．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗的运算原理如图所示，则21lg1000()2-⊗＝________.20.将二进制数101 101(2) 化为八进制数，结果为 .21.用“秦九韶算法”计算多项式12345)(2345+++++=x x x x x x f ，当2x =时的值的过程中，要经过 次乘法运算和 次加法运算，其中3v 的值是 .三、解答题： 22.设计算法求S = 201614121+⋅⋅⋅+++的值, 并画出程序框图.23.（1） 用辗转相除法求840与1785的最大公约数 ;（2） 用更相减损术求612 与468的最大公约数.高中数学必修三《算法初步》练习题-----参考答案一、选择题：CABBC, BADCD, CBBDD二、填空题：16．m = 0？17．4 18．10,00,10.x xy xx x+>⎧⎪==⎨⎪-+<⎩19．1 20．55(8)21．5，5，64三、解答题：22．解：（算法略）程序框图如右图所示.23. 解：（1）105；（2）36.。
【关键字】分析《算法分析与设计》作业参考答案作业一一、名词解释：1.递归算法：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
2.程序：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。
2、简答题：1.算法需要满足哪些性质？简述之。
算法是若干指令的有穷序列，满足性质：1）输入：有零个或多个外部量作为算法的输入。
2）输出：算法产生至少一个量作为输出。
3）确定性：组成算法的每条指令清晰、无歧义。
4）有限性：算法中每条指令的执行次数有限，执行每条指令的时间也有限。
2.简要分析分治法能解决的问题具有的特征。
分析分治法能解决的问题主要具有如下特征：1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
3.简要分析在递归算法中消除递归调用，将递归算法转化为非递归算法的方法。
将递归算法转化为非递归算法的方法主要有：1）采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。
该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。
2）用递推来实现递归函数。
3）通过Cooper变换、反演变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。
后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。
三、算法编写及算法应用分析题：1.冒泡排序算法的基本运算如下：for i ←1 to n-1 dofor j ←1 to n-i doif a[j]<a[j+1] then交换a[j]、a[j+1]；分析该算法的时间复杂性。
解答：排序算法的基本运算步为元素比较，冒泡排序算法的时间复杂性就是求比较次数与n的关系。
1）设比较一次花时间1；2）内循环次数为：n-i次,（i=1,…n），花时间为：3）外循环次数为：n-1，花时间为：2.设计一个分治算法计算一棵二叉树的高度。
分治练习题一、基础概念理解1. 请简述分治算法的基本思想。
2. 举例说明分治算法在解决具体问题时的步骤。
3. 请解释分治算法与递归算法之间的关系。
二、数组操作4. 给定一个整数数组，使用分治算法找出数组中的最大值。
5. 给定一个整数数组，使用分治算法找出数组中的最小值。
6. 给定一个整数数组，使用分治算法将数组排序。
7. 给定一个整数数组，使用分治算法计算数组中所有元素的和。
8. 给定一个整数数组，使用分治算法找出数组中的中位数。
9. 给定一个整数数组，使用分治算法找出数组中所有奇数的和。
三、搜索问题10. 给定一个已排序的整数数组，使用分治算法实现二分查找。
11. 给定一个整数数组，使用分治算法找出一个特定元素的索引。
12. 给定一个整数数组，使用分治算法找出第一个大于给定值的元素。
13. 给定一个整数数组，使用分治算法找出一个小于给定值的元素。
四、数学问题14. 使用分治算法计算两个大整数的乘积。
15. 使用分治算法计算一个整数的阶乘。
16. 使用分治算法计算斐波那契数列的第n项。
17. 使用分治算法计算一组数的最大公约数。
18. 使用分治算法计算一组数的最小公倍数。
五、动态规划与分治19. 使用分治算法解决最长公共子序列问题。
20. 使用分治算法解决最长公共子串问题。
21. 使用分治算法解决矩阵链乘问题。
22. 使用分治算法解决最优二叉搜索树问题。
23. 使用分治算法解决活动选择问题。
六、图论问题24. 使用分治算法计算无向图的最小树。
25. 使用分治算法计算有向图的最短路径。
26. 使用分治算法计算无向图的欧拉回路。
27. 使用分治算法计算有向图的哈密顿回路。
七、综合应用28. 使用分治算法解决归并排序问题。
29. 使用分治算法解决快速排序问题。
30. 使用分治算法解决动态规划中的背包问题。
31. 使用分治算法解决动态规划中的最长递增子序列问题。
32. 使用分治算法解决动态规划中的最长有效括号问题。
《第一章算法初步》试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、一个算法正确的执行是算法执行过程中每一步的操作都满足：A、有穷性B、确定性C、可行性D、输入输出的确定性2、一个算法的正确性可以用以下哪个指标来衡量？A、算法的效率B、算法的易懂性C、算法的简洁性D、算法的正确性3、下列语句表示的是一种算法，那么这个算法的功能是 ( )A、输入一个数据B、输出一个数据C、输入并输出一个数据D、先输入一个数据，进行运算后再输出结果4、下面哪个是算法的特征？A. 计算规律简单B. 只能用标准的计算器步骤C. 需要多个步骤完成D. 步骤随机改变5、在以下选项中，不属于算法四大特点的是（）A、有穷性B、确定性C、可扩展性D、可行性6、下列算法执行后的输出结果是（）A. 12B. 24C. 36D. 487、若编程实现下列算法：第一步：设定初始值 a = 5, b = 10;第二步：if (a > b) then a = a - 2 else b = b + 3; 第三步：输出 a 和 b 的值；则程序的输出结果是：A. a = 3, b = 13B. a = 3, b = 10C. a = 5, b = 13D. a = 5, b = 108、阅读下面的算法语句，执行后输出的S值为多少？S = 0 I = 1 While I <= 10 S = S + I I = I + 2 Wend Print SA、25B、26C、50D、55二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在算法设计中，以下是哪些算法分类属于算法设计的基本方法？（）A、分治法B、动态规划C、贪心法D、回溯法E、分支限界法2、已知算法A的步骤如下：（1）输入一个正整数n；（2）计算n的阶乘；（3）输出结果。
请从以下选项中选择正确的算法描述：A. 递归算法B. 非递归算法C. 算法A是求阶乘的正确方法D. 算法A不是求阶乘的正确方法E. 上述选项均正确3、以下关于算法的功能描述，哪些是正确的？（）A、算法可以简化问题解的计算过程B、算法一定能找到解决问题的所有可能解C、算法能够被计算机程序化实现D、算法的步骤必须是明确的，不能含糊其辞三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、在算法设计中，一个基本操作序列可以表示为______ ，其中n为基本操作重复执行的次数。
2023~2024学年普通高中《信息技术必修1 数据与计算》（沪科版2019）期末考试模拟卷五［满分：100分考试时间：60分钟］学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共20小题，每小题2分共40分）1．下列语句中，输出结果为整数18的是（）A．print('1'+'8')B．print(int('1'+'8'))C．print(2+32/2)D．s="2018";print(s[2:4])2．下列表述错误的是（）A．数字在计算机内部采用二进制编码表示B．按ASCII顺序，英文字符“C”与“D”ASCII的大小关系“C”＜“D”C．英文字符在计算机内部采用二进制编码表示D．汉字在计算机内部采用ASCII表示3．已知变量a=5，b=6，执行语句a*=a+b后，变量a的值为（）A．11B．30C．31D．554．为给整型变量x,y,z赋初值8，下面正确的Python赋值语句的是（）A．x=8; y=8; z=8B．x,y,z=8C．xyz=8D．x=8,y=8,z=8 5．我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出的数学问题：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何，为解决这个问题下列最适合的算法为（）A．折半法B．冒泡法C．枚举法D．排序法6．下列排序算法中，平均时间复杂度最低的是（）A．冒泡排序B．选择排序C．插入排序D．快速排序7．数据分析主要用于（）①现状分析①预测分析①原因分析①漏洞分析A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①8．下列选项中，属于信息编码的是（）。
A．编排考生的准考证号码B．翻译英文资料C．收看天气预报D．在网上发布招聘信息9．短视频APP利用大数据技术分析用户在不同视频上停留的时间，针对用户喜好推送视频。
第三章 分治算法习题1、编写程序实现归并算法和快速排序算法参见后附程序2、用长为100、200、300、400、500、600、700、800、900、1000的10个数组的排列来统计这两种算法的时间复杂性。
有些同学用的微秒us用s 可能需要把上面的长度改为10000，……，100000，都可以大部分的结果是快速排序算法要比归并算法快一些。
3、讨论归并排序算法的空间复杂性。
解析：归并排序由分解与合并两部分组成，如果用()S n 表示归并排序所用的空间。
则由MergeSort(low, mid) //将第一子数组排序 )2/(n SMergeSort(mid+1, high) //将第二子数组排序 )2/(n SMerge(low, mid, high) //归并两个已经排序的子数组 n n O 2)(≈则)()2/()(n O n S n S +≤递归推导得)()2()1()()2()2()2()1()()2()4()()2()(1n O n O S n O n O n O n O S n O n O n S n O n S n S k k =+≤+++++≤++≤+≤- 又由存储数组长度为n ，则有 )()(n O n S ≥因此，空间复杂度为)(n O 。
4、说明算法PartSelect 的时间复杂性为()O n证明：提示：假定数组中的元素各不相同，且第一次划分时划分元素v 是第i 小元素的概率为n /1。
因为Partition 中的case 语句所要求的时间都是)(n O ，所以，存在常数c ，使得算法PartSelect 的平均时间复杂度)(n C k A 可以表示为))1()((1)(1∑∑<≤≤<--+-+≤k i ni k k A i k A k A i C i n C n cn n C令)),((max )(n C n R kA k =取),1(R C ≥试证明cn n R 4)(≤。
证明：令)(n C kA 表示n 个元素的数组A 中寻找第k 小元素的平均时间复杂度，因1)-n 0,Partition(的时间复杂度是)(n O ，故存在常数c ，使得算法PartSelect 的平均时间复杂度)(n C k A 可以表示为))1()((1)(1∑∑<≤≤<--+-+≤k i ni k k A i k A k A i C i n C n cn n C 令)),((max )(n C n R k A k=且不妨设等式在n k k =时成立，则)(n R 满足 ))1()((1)(1∑∑<≤≤<--+-+≤k i ni k k A i k A i C i n C n cn n R 以下用第二数学归纳法证明cn n R 4)(≤。
取),1(R C ≥当1=n 时，取c ≥C/4,则c R 4)1(≤当2=n 时，c c c R c R 44212)1(212)2(=+≤+≤成立。
对于一般的n ，设对所有小于n 的自然数cn n R 4)(≤成立，则cnn c cn nn n c cn n n n n c cn n n k n k n c cn n k k n k n k n c cn n k k n n nc cn n R k R k R k n R n R ncn n R n n n n n n n n n n n 4)33(143)23)21((4)23)1((4)2)1)((2)2)(1((4))1(())1()1((4))1()1()(())1()1((1)(22222≤-+≤+-+≤--+--≤--+--≤-+-+--+≤-++++-++-+≤-++++++-++-+≤ 得证。
证明：（1）当7r =时，假设数组A 中元素互不相同。
由于每个具有7个元素的数组的中间值u 是该数组中的第4小元素，因此数组中至少有4个元素不大于u ，/7n ⎢⎥⎣⎦个中间值中至少有/7/2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥个不大于这些中间值的中间值v 。
因此，在数组A 中至少有4/7/22/7n n *⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥个元素不大于v 。
换句话说，A 中至多有5122/72(/7/7),(06)77n n n n e n e -=--≤+≤≤⎢⎥⎣⎦ 个元素大于v 。
同理，至多有51277n +个元素小于v 。
这样，以v 为划分元素，产生的新数组至多有51277n +个元素。
当24n ≥时，512117714n n +≤。
另一方面，在整个执行过程中，递归调用Select 函数一次，涉及规模为/7n ，而下一次循环Loop 涉及的数组规模为1114n 。
程序中其他执行步的时间复杂度至多是n 的倍数cn ，用()T n 表示算法在数组长度为n 的时间复杂度，则当24n ≥时，有递归关系111()()()714T n T n T n cn ≤++ 用数学归纳法可以证明，()14T n cn ≤。
所以时间复杂度是()O n 。
（2）当3r =时，使用上述方法进行分析，可知在进行划分后数组A 中有至多n n 653232≤+个元素。
而递归关系为cn n T n T n T ++≤)65()31()(。
若通过归纳法证明出有()T n kcn ≤的形式，用数学归纳法可以证明，cn n T 28)(≤。
所以时间复杂度是()O n 。
归并排序的 C++语言描述#include<iostream.h>template<class T>void MergeSort(T a[],int left,int right);template<class T>void Merge(T c[],T d[], int l,int m,int r);template<class T>void Copy(T a[],T b[],int l,int r);void main(){int const n(5);int a[n];cout<<"Input "<<n<<"numbers please:";for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];//for(int j=0;j<n;j++)//b[j]=a[j];MergeSort(a,0,n-1);cout<<"The sorted array is"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cout<<a[i];cout<<endl;}template<class T>void MergeSort(T a[],int left,int right) //{if(left<right){int i=(left+right)/2;T *b=new T[];MergeSort(a,left,i);MergeSort(a,i+1,right);Merge(a,b,left,i,right);Copy(a,b,left,right);}template<class T>void Merge(T c[],T d[],int l,int m,int r){int i=l;int j=m+1;int k=l;while((i<=m)&&(j<=r)){if(c[i]<=c[j])d[k++]=c[i++];else d[k++]=c[j++];}if(i>m){for(int q=j;q<=r;q++)d[k++]=c[q];}elsefor(int q=i;q<=m;q++)d[k++]=c[q];}template<class T>void Copy(T a[],T b[], int l,int r){for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=b[i];}快速排序的C++语言描述#include<iostream.h>template<class T>void QuickSort(T a[],int p,int r); template<class T>int Partition(T a[],int p,int r);void main(){int const n(5);int a[n];cout<<"Input "<<n<<"numbers please:";for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];QuickSort(a,0,n-1);cout<<"The sorted array is"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;}template<class T>void QuickSort(T a[],int p,int r){if(p<r){int q=Partition(a,p,r);QuickSort(a,p,q-1);QuickSort(a,q+1,r);}}template<class T>int Partition(T a[],int p,int r){int i=p,j=r+1;T x=a[p];while(true){while(a[++i]<x);while(a[--j]>x);if(i>=j)break;Swap(a[i],a[j]);}a[p]=a[j];a[j]=x;return j;}template<class T>inline void Swap(T &s,T &t){T temp=s;s=t;t=temp; }。
